2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式111-120-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

二、分類分參，對(duì)比感受對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的含參恒成立問題可用通法“分類討論”，也可用“參數(shù)分離”.一般題目都可用分類討論的方法求參數(shù)范圍，但運(yùn)算量較大;而參數(shù)分離則往往可以避免煩瑣討論.利用圖象直接求得答案.【例1】已知函數(shù)，若對(duì)任意.存在，使得.求的取值范圍.【解析】解法1:分類討論法題目條件等價(jià)于在這個(gè)區(qū)間內(nèi).的值城包含的值城.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增(導(dǎo)數(shù)為，在上恒大于零)，所以.并且.故，又因?yàn)椋瑒t:(1)當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，，則，又，所以此時(shí)的取值范圍是;(2)當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，，，，所以此時(shí)無解;(3)當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在端點(diǎn)和在時(shí)取得極值，以下略.【評(píng)注】該方法很復(fù)雜，思路為:分別解出在端點(diǎn)處和處的值.比較它們的大小，可以確定的一個(gè)取值范圍.然后根據(jù)比較的過程，確定值域，然后再和的最大值和最小值比較，又可以得到一個(gè)范圍，取交集，最后取(1)~(3)中的取值范圍的并集.解法2:參數(shù)分離法，對(duì)任意，存在，使得，所以，即，即，得，所以【評(píng)注】這里用參數(shù)分離法，思路清晰，運(yùn)算簡捷.【例2】已知函數(shù)，其中是自然常數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3?若存在，求出的值;若不存在，說出理由.【解析】由，得，，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即【例3】已知函數(shù)(且).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值?(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個(gè)，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，+∞);當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1).(2)由得，則，.，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上總存在極值，所以有兩個(gè)不等實(shí)根且至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi).又因?yàn)楹瘮?shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，所以由得，設(shè)，則在[1，2]上單調(diào)遞減，所以，所以，由，解得；綜上得一當(dāng).(3)解法1:分類討論法因?yàn)?，所?令，則.①當(dāng)時(shí)，由得，，從而，所以在上不存在使得；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.所以，故只要，解得，綜上所述，的取值范圍是，解法2:參數(shù)分離法在上有解?在上有解，即，.由于在上恒成立，在上恒成立，所以，故單調(diào)而，可對(duì)的分子再求導(dǎo)，令，，由于在上恒成立，在上恒成立。所以，單調(diào)遞減，而，故若還發(fā)現(xiàn)不了，可再對(duì)求導(dǎo)，，因?yàn)椋?，單調(diào)遞減， 因?yàn)?，所以，單調(diào)遞減，.因?yàn)?，所以，單調(diào)遞減，故.綜上所述，的取值范圍是，【例4】已知函數(shù)，(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)?jiān)u注理由；(2)如果當(dāng)時(shí)，有恒成立，試求的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)椋匀舸嬖?，使在上遞增，在上遞減，則所以，這時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.(2)解法1:分類討論法，分子的判別式，若，即，則對(duì)任意恒成立，這時(shí)在上遞減，，若，則當(dāng)時(shí)，，，不可能恒小于等于0.若，則，不合題意.若，則，，故存在，使，時(shí)，，這時(shí)單調(diào)遞增，，不合題意.綜上，解法2:分離參數(shù)法由題意得，令由于最大值一定為正，又分母要盡可能小，故最大值應(yīng)該在內(nèi)取到.令，所以單調(diào)遞減，因?yàn)樗裕?，單調(diào)遞減，所以所以【例5】已知函數(shù)(為常數(shù)，)(1)若，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值;(2)求證:當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，(3)若對(duì)任意的，總存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由已知，得且，所以，因?yàn)椋裕?2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，又，所以，故在上是增函數(shù)..(3)解法1:分類討論法時(shí)，由(2)知，在上的最大值為，于是問題等價(jià)于:對(duì)任意的，不等式恒成立.記則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞減，此時(shí)，，由于，所以時(shí)不可能使恒成立，故必有，所以，若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有與恒成立矛盾，故，這時(shí)，在上遞增，恒有，滿足題設(shè)要求，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，解法2:分離參數(shù)法，令，令，所以單調(diào)遞減，又，所以，所以，單調(diào)遞減，(取不到)，故，【例6】設(shè)函數(shù)，(是實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)時(shí)，求與函數(shù)的圖象在點(diǎn)處相切的切線方程;(2)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增的數(shù)，求的取值范圍:(3)若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.【解析】(1)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，即.則在該點(diǎn)處的切線方程為，即，(2)要使為單調(diào)增函數(shù)，需在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，所以當(dāng)時(shí)，在(0，+∞)上為單調(diào)增函數(shù).(3)解法1:分類討論法因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)。所以，①當(dāng)時(shí)，在上遞減，，不合題意;②當(dāng)時(shí)，在上遞增，又在上為減函數(shù)，故只需，即，則，③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?2)知在上為增函數(shù)，所以，不合題意.綜上，的取值范圍為，解法2:.令，，在上單調(diào)逃減，時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，故只要時(shí)，，即，即，所以.解法3:參數(shù)分離法在上作差得，令，令，，在上，，則，單調(diào)遞減，，則，單調(diào)遞減，，則，故，單調(diào)遞減.在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，只要，即.【評(píng)注】對(duì)于在某區(qū)間上，恒成立問題，和在某區(qū)間上存在，使成立問題，一般有三種方法解決：方法一：作差，，求；方法二：分別研究，的圖象性質(zhì)，探求，，若，即恒成立。若上存在，使成立，只要，但兩者必須是反向單調(diào)；方法三：參數(shù)分離，研究分離后的函數(shù)的最值問題，可以多次求導(dǎo)【例7】設(shè)函數(shù)，(1)若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立?！窘馕觥?1)求導(dǎo)得，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以或，(2)解法1：分類討論法①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，恒有成立；②當(dāng)時(shí)，由題意，首先有，解得，由(1)知，令，則，，且，又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為，則，.從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以要使對(duì)恒成立，只要成立，知③將③式代入①式得.又，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，再由③式以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，由②式解得所以，綜上，的取值范圍是，解法2：參數(shù)分離法顯然成立；當(dāng)時(shí)，，從而，令，，令，，綜上，的取值范圍是.【例8】設(shè)函數(shù).(1)求證：當(dāng)時(shí)，(2)設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù).于是在處取到最小值，因而當(dāng)時(shí)，，即，所以時(shí)，成立。(2)解法1:分類討論法由題設(shè)知，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；當(dāng)時(shí)，令，又因?yàn)椋裕?由于)，故，，，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，，即，當(dāng)時(shí)，()，在上是增函數(shù)，，即，即當(dāng)時(shí)，存在區(qū)間使，即，綜上得【評(píng)注】此證法中蘊(yùn)合超級(jí)技巧，請(qǐng)好好體會(huì)。解法2:參數(shù)分離法當(dāng)時(shí)，不成立;當(dāng)時(shí)，，，令，，令則，則單調(diào)遞增，，則，單調(diào)遞增，，則，單調(diào)遞增。所以，所以，【例9】設(shè)函數(shù)，(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在區(qū)間，使在上的值城是，求的取值范圍【解析】(1)令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的最小值為，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，另解：，對(duì)任意，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)由(1)得在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏系闹涤蚴牵?，，則在上至少有兩個(gè)不同的正根。，令則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，所以，【例10】已知，(1)求函數(shù)在上的最小值；(2)若對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍:(3)求證：對(duì)一切，都有成立.【解析】(1)略。(2)解法1：令，，由于單調(diào)增，故存在唯一的零點(diǎn)，所以①，故只要②即可，把①代入②得，即，解得，解法2:參數(shù)分離法，則，設(shè)則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，