2025高考數(shù)學二輪復習-三角函數(shù)與平面向量161-170-專項訓練【含答案】

【例19】在中，斜邊為AB的中點，則的最大值為_____________【答案】：【解析】如圖，易知設則經驗證等號能取到，故所求的最大值為【例20】已知任意四邊形ABCD的四條邊長分別為求證：.【解析】如圖，可得又得，所以八、向量求模，分插點積【例21】已知在中，是線段BC上的動點，且求的取值范圍.【解析】：解法1：如圖，設BC的中點為O，則，由得因為所以其中，即AM在AO上的投影為，故.解法2：設∠=，則設則.因為所以，又故所以【例22】如圖，O為的外心為針角，M是BC的中點，則=_________【答案】5【解析】【評注】選擇題、填空題也可用特例法。當BC為直徑時，如圖，可直接得出答案.【例23】已知為等邊三角形設點P，Q滿足若則的值為A.B.C.D.【解析】對分別插入分點A，如圖，設則，則，由，得即整理得即，解得故選【例24】如圖，在平行四邊形ABCD中邊AB和AD的長分別為2和1，若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足，則的取值范圍是_______【答案】【解析】對，分別插入分點B，D設則又因為所以因為所以即的取值范圍是[2，5].【例25】已知正方形ABCD的邊長為1，E是AB邊上的動點，則的值為__________,的最大值為__________【答案】1:1【解析】解法1：如圖，根據平面向量的數(shù)量積公式結合圖可知，，因此，而就是向量在上的射影，要想讓最大，即讓射影最大，此時點E與點B重合，射影為，所以長度為1.解法2：對，中的插入分點A，展開即得.過程略.九、首尾不連，插點借力【例26】如圖，在中，已知若長為2a的線段PQ以為中點，則與夾角取何值時的值最大?并求出這個最大值.【解析】解法1：插入分點式對向量分別插入分點，則由得又線段PQ以為中點，則解法2:坐標法，詳見第七章“三、無計可施，津系破招”的例53.如圖，已知等邊的邊長為的半徑為1，PQ為任意一條直徑(1)判斷是否為定值;(2)求的取值范圍【解析】對向量，分別插入點A，則(1)(2)其中為與的夾角.【例28】如圖，在和中，B是EF的中點若則與的夾角等于__________________【答案】【解析】由題意知即從而即得所以.【例29】在和中，是EF的中點若則與的夾角的余弦值等于【答案】【解析】因為所以即因為，，，所以即設與的夾角為則有即所以【例30】如圖，在中，C為OA上一點，且是BC的中點，過點的直線，是直線上的動點，若則____________【答案】【解析】A是關鍵點，故對OP插入分點A則設，則從而有得【例31】已知空間四點A，B，C，D滿足則的值(.A.只有一個B.有兩個C.有四個D.有無窮多個【答案】A.【解析】注意到由于則即所以只有一個值為0，故選【例32】在平行四邊形ABCD中，已知為AB的中點，點在BC與上運動（包括端點），則的取值范圍是_______________【答案】(1)P在BC上的，如圖1，有，則(2)當點在CD上的，如圖2，有綜上【例33】在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，且若則___________【答案】【解析】如圖，延長BA,交CD的延長線于點O，易知，兩式相加得又，上式兩邊平方得，故又即，則所以【評注】畫出圖形，結合圖形先求出的值，再利用,即可求出的值.【規(guī)律探索】托勒密定理:在平面四邊形ABCD中其向量形式為證明:取E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則平方相減得下面利用這個定理解答例33.由題意知可得所以【評注】當四邊形內接于圓時，托勒密定理變?yōu)?用托勒密定理解答例33的優(yōu)越性不言而喻.十、共點點積，點插極化【例34】如圖，已知的半徑為2，A，B是圓上兩點，且是一條直徑，點在圓內且滿足則的是小值為A.-2B.-1C.-3D.-4【答案】【解析】解法1:插入分點法插入分點O，易知則有故選C.解法2:極端原理法令ON為的平分線，則為AB與ON的交點.過程略.【例35】已知長方體同一頂點處的一組棱長分別為2，4，4，O是其中心，過點的直線交長方體的表面于M，N兩點，另有一點P是表面上的動點，求的取值范圍，【解析】插入分點O，則有由得所以【例36】在等腰中是邊BC上的高，P為AD的中點，M，N分別為邊AB和邊AC上的點，且M，N兩點關于直線AD對稱，當時__________【答案】3【解析】解法1：連接MN交AD于點F，如圖由題意知因為，所以則，所以解法2：連接MN交AD于點F，如圖由極化定理得又因為所以.因為所以，所以第七章向量點積,三招套路數(shù)量積與投影的關系(數(shù)量積的兒何定義):向量a，b的數(shù)量積公式為可變形為或或進而與向量投影建立聯(lián)系.1.數(shù)量積的投影定義向量a，b的數(shù)量積等于其中一個向量的模長乘以另一個向量在該向量上的投影.b在a上的投影，a在b上的投影.只要抓住投影的幾何意義，就可以使解題快速簡明.注意：求向量點積時，用投影的前提是其中一個向量必須定向.2.數(shù)量積投影定義的適用范圍作為數(shù)量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問題.(1)圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關的垂直條件時，尤其是垂足確定的情況下(此時便于確定投影)，可以考慮利用投影，例如:直角三角形、菱形對角線、三角形的外心(外心在三邊的投影為三邊中點).(2)從模長角度出發(fā)，在求數(shù)量積的范圍時，如果有一個向量的模長是定值，則可以考慮利用投影，將問題轉化為尋找投影最值的問題.一、出現(xiàn)定向，抓住投影(一)直接定向，立馬投影【例1】在中分別為邊BC，AC的中點與相交于點G，BC的垂直平分線與AB交于點N，且則的形狀是.A.銳角三角形B.針角三角形C.直角三角形D.任意三角形【答案】B【解析】如圖則，從而，作或其延長線)于點，如圖2，則，從而即為針角，故選【變式訓練】1.已知在△ABC中，BC=6，G，O分別為△ABC的重心和外心，且.則△ABC的形狀是().A.銳角三角形B.針角三角形C.直角三角形D.上述三種情況都有可能2.已知正一邊形ABCDEF，則下列向量的數(shù)量積中最大的是（）.A.B.C.D.3.已知在直角梯形中，設是DC的中點，是梯形ABCD內或邊界上的一個動點，則的最大值是A.4B.6C.8D.104.已知是邊長為2的正的邊BC上的動點，則___________【例2】在中，已知是邊BC的垂直平分線上的一點，則=__________【答案】【解析】如圖【變式訓練】1.在中，CD是斜邊AB上的高，則下列等式中不成立的是()A.B.C.D.2.已知為的外接圓，OB是斜邊AC上的高，且為線段OA的中點，若DE是中繞圓心運動的一條直徑，則_______________【例3】如圖，在△ABC中，是邊A