平行四邊形單元 易錯(cuò)題提高題檢測(cè)試題

平行四邊形單元易錯(cuò)題提高題檢測(cè)試題

一、選擇題

1.如圖，已知正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)￡,尸分別在邊BC、CD上,

ZEAF=45°.當(dāng)所=8時(shí)，AM的面積是（）.

A.8B.16C.24D.32

2.如圖，在平行四邊形A8CO中，E、尸是對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)且AE=CV,下列說(shuō)

法中正確的是（）

①BE=DF；②BE/IDF；?AB=DE^④四邊形石BED為平行四邊形；

A.①⑥B.①②④⑥C.①②③④D.①②④⑤⑥

3.如圖，在正方形八8CD中，點(diǎn)G是對(duì)角線(xiàn)4c上一點(diǎn)，且CG=CB,連接8G,取8G上任

意一點(diǎn)H,分別作4c于點(diǎn)/8c于點(diǎn)M若正方形的邊長(zhǎng)為2,則HM+mV的

A.V2B.1C.百D.—

2

4.在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，ZEFB=2ZAFE=2ZBCE,CD=9,CE=20,

則線(xiàn)段AF的長(zhǎng)為（）.

5.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，PEJ_BC于點(diǎn)E,PF_LCD于點(diǎn)F,連接

EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP_LEF；③4APD一定是等腰三角形；

@ZPFE=ZBAP：⑤PD=&EC.其中正確結(jié)論的番號(hào)是（）

A.①②?@B.①②③④⑤C.①②④D.①④

6.如圖，在正方形A3CO中，點(diǎn)E,產(chǎn)分別在8c和CD上，過(guò)點(diǎn)A作G4_LAE,

CO的延長(zhǎng)線(xiàn)交4G于點(diǎn)G,BE+DF=EF,若ZttA尸=30°,則NBA石的度數(shù)為

（）

A.15°B.20。C.25。D.30。

7.線(xiàn)段AB上有一動(dòng)點(diǎn)C（不與A,B重合），分別以AC,BC為邊向上作等邊AACM和等

邊△BCN,點(diǎn)D是MN的中點(diǎn)，連結(jié)AD,BD,在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有下列結(jié)論：

①4ABD可能為直角三角形；②AABD可能為等腰三角形；③△CMN可能為等邊三角形;

④若AB=6,則AD+BD的最小值為35.其中正確的是（）

C.①③④D.②③④

8.如圖，菱形A6C。中，過(guò)頂點(diǎn)。作CE_L8C交對(duì)角線(xiàn)笈D于E點(diǎn)，已知

ZA=134°,則NBEC的大小為（）

A.23°B.28°C.62°D.67°

9.如圖，在菱形A3CO中，若E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，且CE=CD,連接力E,若

AB=5,AC=8,則D匕F?=（）

10.如圖，正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)E,F,使DE=AD,DF=BD,連接BF

分別交CD,CE于H,G下列結(jié)論：①EO2HG；②/GDH=/GHD；③圖中有8個(gè)等腰三:

角形；④SACDG=SADHF?其中正確的結(jié)論有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,八8=5,AC=2加，則平行四邊形ABCD

的周長(zhǎng)等于.

12.如圖，菱形48co的邊在工軸上，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(-3,0),頂點(diǎn)。坐標(biāo)為

(0,4),點(diǎn)七在y軸上，線(xiàn)段所〃x軸，且點(diǎn)尸坐標(biāo)為(8,6),若菱形ABCD沿x軸左

右運(yùn)動(dòng)，連接AE、。尸，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形ADEE周長(zhǎng)的最小值是.

13.如圖所示，菱形A8CD,在邊48上有一動(dòng)點(diǎn)￡,過(guò)菱形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)0作射線(xiàn)E0與8

邊交于點(diǎn)F,線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)分別交8C、4。邊于點(diǎn)G、H,得到四邊形EG小，點(diǎn)E

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的如F結(jié)論：

①可以得到無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形EGFH；

②可以得到無(wú)數(shù)個(gè)矩形EGFH；

③可以得到無(wú)數(shù)個(gè)菱形EGFH；

④至少得到一個(gè)正方形EGFH.

所有正確結(jié)論的序號(hào)是_.

14.如圖，正方形48CD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E、F分別在邊4D、8c上.將該紙片沿EF折疊，

使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在邊0C上，折痕￡F與4G交于點(diǎn)Q,點(diǎn)K為GH的中點(diǎn)，則隨著折

痕EF位置的變化，△GQK周長(zhǎng)的最小值為.

15.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=6,以8c為一邊作正方形8DEC設(shè)

正方形的對(duì)稱(chēng)中心為0，連接4。則40=.

16.如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E為BC上一點(diǎn)，AE交BD于F,若AB=AE,

NEAD=2NBAE，則下列結(jié)論：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正確的是（填

序號(hào)）.

17.已知：如圖，在長(zhǎng)方形A3CD中，AB=4,AD=6.延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使

CE=2,連接DE,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC—CD—D4向終

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?秒，當(dāng)，的值為秒時(shí)，AABP和ADCE全等.

18.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，HDE=DC,點(diǎn)P為邊

AD上一動(dòng)點(diǎn)，且PC_LPG,PG=PC,點(diǎn)F為EG的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則

CF的最小值為

19.如圖，在矩形紙片48co中，AB=6,BC=10,點(diǎn)￡在CD上，將△8CE沿8￡折疊，點(diǎn)

C恰落在邊4。上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在4F上，將△A8G沿8G折疊，點(diǎn)A恰落在線(xiàn)段8F上的

3

點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①NEBG=45°；②S.G=^S?GH;?ADEF^AABG：

④AG+DF=FG.其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

B

20.如圖所示，已知48=6,點(diǎn)C,D在線(xiàn)段43上，AC=DB=1,P是線(xiàn)段CD上的動(dòng)

點(diǎn)，分別以4P，P8為邊在線(xiàn)段4B的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB,連接EF,設(shè)EF的中

點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是.

三、解答題

21.如圖，在四邊形A5CZ）中，AB//DC,AB=AD,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)、O,

4c平分/BAO,過(guò)點(diǎn)C作CE_LAB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接OE.

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）若AE=5,OE=3,求線(xiàn)段CE的長(zhǎng).

22.如圖，在矩形4BC力中，AD=nAB,E，b分別在A8,BC上.

（1）若幾=1,

①如圖，AFIDE^求證：AE=BF；

AEB

②如圖，點(diǎn)G為點(diǎn)尸關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)AG,OE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AG于H,若

AH=AD^猜想AE、BF、AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

EM

(2)如圖，若M、N分別為DC、AO上的點(diǎn)，則工■的最大值為(結(jié)果用含〃

的式子表示)；

DMC

AEB

CF

(3)如圖，若E為AB的中點(diǎn)，ZADE=NEDF.則——的值為_(kāi)______(結(jié)果用含〃

BF

的式子表示).

DC

AEB

23.在四邊形ABCD中，/A=/8=/C=/O=90，AB=CD=iO^

BC=AD=S.

B備用圖B

(l)P為邊BC上一點(diǎn)，將沿直線(xiàn)AP翻折至AEP的位置(點(diǎn)B落在點(diǎn)E處)

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在CD邊上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖1中作出滿(mǎn)足條件的圖形(不寫(xiě)

作法，保留作圖痕跡，用2B鉛筆加粗加黑).并直接寫(xiě)出此時(shí)=；

②如圖2,若點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，連接CE,則CE與AP有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)點(diǎn)Q為射線(xiàn)DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AOQ沿AQ翻折，點(diǎn)D恰好落在直線(xiàn)BQ上的點(diǎn)

。處，則;

24.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，AM,AN分別交BD于點(diǎn)

P、Q，連接CQ、MQ.且CQ=MQ.

(1)求證：NQAB=NQMC

(2)求證：ZAQM=90°

(3)如圖2,連接MN,當(dāng)BM=2,CN=3,求AMN的面積

圖1圖2

25.（1）如圖①，在正方形ABCD中，A4石廠的頂點(diǎn)E,F分別在BC,CD邊上，高AG與

正方形的邊長(zhǎng)相等，求NE4尸的度數(shù)；

（2）如圖②，在RfAABO中，ZBAD=90\AD=AB,點(diǎn)M,N是BD邊上的任意兩

點(diǎn)，且NM4N=45°，將AAW燒點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至AADH位置，連接NH,試判

斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）在圖①中，連接BD分別交AE,AF于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,

（圖①）（圖②）

26.如圖，點(diǎn)4、F、C、。在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)8和點(diǎn)￡分別在直線(xiàn)40的兩側(cè)，且48=?！?

NA=ND,AF=DC.

（1）求證：四邊形8CEF是平行四邊形；

（2）若NDEF=90°,DE=8,EF=6,當(dāng)AF為時(shí)，四邊形8CEF是菱形.

27.如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺，用

連線(xiàn)的方法，分別在圖（1）、圖（2）中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

(1)在如圖(1)的AB邊上求作一點(diǎn)N,連接CN,使CV=4M；

(2)在如圖(2)的AO邊上求傳一點(diǎn)。，連接CQ,使CQPAM.

28.已知在平行四邊形A8CO中，ABHBC,將A3C沿直線(xiàn)AC翻折，點(diǎn)4落在點(diǎn)

盡處，AO與CE相交于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)OE.

(1)如圖1,求證：ACHDE-,

(2)如圖2,如果N8=90°,AB=6BC=瓜,求Q4C的面積；

(3)如果N3=30。，AB=25當(dāng)AED是直角三角形時(shí)，求8C的長(zhǎng).

29.猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B,C,G三點(diǎn)在一條直

線(xiàn)上，CE在邊CD上.連結(jié)AF,若M為AF的中點(diǎn)，連結(jié)DM,ME,試猜想DM與ME的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展與延伸：

⑴若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不

變，則DM和ME的關(guān)系為:

⑵如圖②擺放止方形紙片ABCD與止方形紙片ECGF,使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的

中點(diǎn)，試證明⑴中的結(jié)論仍然成立.［提示：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半］

臼自

AR

30.如圖，在矩形A8C。中，AD=nAB,E,F分別在68,8c上

(1)若n=LAFLDE.

①如圖1,求證：AE=BF；

②如圖2,點(diǎn)G為C8延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線(xiàn)交4G于H,AH=AD,求證：AE+BG

=AG：

CF

(2)如圖3,若E為4B的中點(diǎn)，NADE=/EDF.則一的值是(結(jié)果用

BF

含〃的式子表示).

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

如圖：4ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABH,可得AH=AF,ZBAH=ZDAF,進(jìn)

一步求出NEAH=NEAF=45°,再利用“邊角邊”證明4AEF和AAEH全等，再根據(jù)全等三

角形的面積相等，即可解答.

【詳解】

解：如圖，將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)外旋轉(zhuǎn)90°,得到aABH,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AH=AF,ZBAH=ZDAF,

VZEAF=45°,ZBAD=90°

AZEAH=ZEAF=45°

在4AEF和aAEH中

AF=AHZEAH=ZEAF=45°,AE=AE

AAAEF^AAEH(SAS),

/.EH=EF=8,

1

SAFE=SAAEH=--x8X8=32.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記并靈活應(yīng)用它們的性質(zhì)并利用旋轉(zhuǎn)作

輔助線(xiàn)、構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.D

解析：D

【分析】

先根據(jù)全等三角形進(jìn)行證明，即可判斷①和②，然后作輔助線(xiàn)，推出OD=OF,得出四邊形

BEDF是平行四邊形，求出BM=DM即可判斷④和⑤，最后根據(jù)AE=CF,即可判斷⑥.

【詳解】

①??,四邊形ABCD是平行四邊形，

AB/7DC,AB=DC,

:.ZDAC=ZADC,

在4ABE和aDFC中

'AE=FC

<Z.BAC=Z.ADC

AB=DC

/.△ABE^ADFC(SAS),

???BE;DF,

故①正確.

②???△ABEg^DFC,

:.ZAEB=ZDFC,

:.ZBEF=ZDFE,

ABE/7DF,

故②正確.

③根據(jù)已知的條件不能推AB=DE,故③錯(cuò)誤.

④連接BD交AC于0,過(guò)D作DM_LAC于M,過(guò)B作BN_LAC于N,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.D0=B0,0A=0C,

VAE=CF,

A0E=0F,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

故④正確.

⑤?.?BN_LAC,DM1AC,

AZBN0=ZDM0=90°,

在ABNO和△□'1()中

NBNO=NDMO

,ZBON=ZDOM

OB=OD

/.△BNO^ADMO(AAS)

???BN=DM

11

-XAEX-XAEX

-22-BN

?QC

?*—ADE=-ABE，

故⑤正確.

?VAE=CF,

/.AE+EF=CF+EF,

AAF=CE,

故⑥正確.

故答案是D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

3.A

解析：A

【分析】

連接CH,過(guò)G點(diǎn)作GP_L8c于點(diǎn)P,根據(jù)SA加C+SAG“C=SMCG將“M+HZV轉(zhuǎn)化為GP

的長(zhǎng)，再由等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得解.

【詳解】

連接CH,過(guò)G點(diǎn)作GP_L8c于點(diǎn)P,如下圖所示：

由題可知：S^=-BCXHNS^=-GCXHM,S^=-BCXGP

BC2F2GC2GC

S&BHC+S&GHC=S&BCG

：.-BCxHN+-GCxHM=-BCxGP

222

9：CG=CB,

:?HN+HM=GP

??,四邊形48CD是正方形，正方形的邊長(zhǎng)為2

AZBCA=45。，AC=25/2

^CB=CG=—AC=2

2

VGPiec

:.AGPC是等腰直角三角形

,GP=—CG=y[2

2

:?HN+HM=◎,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的面積求法，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

4.C

解析：C

【分析】

如圖，取CE的中點(diǎn)H,連接BH,設(shè)NEFB=2NAFE=2NECB=2a,則NAFB=3a,進(jìn)而求出

BH=CH=EH=10,ZHBC=ZHCB=a,再根據(jù)AD〃BC求出EF〃BH,進(jìn)而得出aEFG和48611

均為等腰三角形，則BF=EH=10,再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

如圖，取CE的中點(diǎn)H,連接BH,設(shè)NEFB=2/AFE=2NECB=2a,則NAFB=3a,

???在矩形ABCD中有AD〃BC,ZA=ZABC=90°,

/.△BCE為直角三角形，

???點(diǎn)H為斜邊CE的中點(diǎn)，CE=20,

.\BH=CH=EH=10,ZHBC=ZHCB=a,

VAD/7BC,

JZAFB=ZFBC=3a,

ZGBH=3a-a=2a=ZEFB,

，EF〃BH,

/.ZFEG=ZGHB=ZHBC+ZHCB=2a=ZEFB=ZGBH,

??.△EFG和△BGH均為等腰三角形，

ABF=EH=10,

VAB=CD=9,

???AF=>JBF2-AB2=71O2-92=曬?

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

題意正確作出輔助線(xiàn).

5.A

解析：A

【分析】

過(guò)P作PGJLAB于點(diǎn)G,根據(jù)正方形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)及題中的已知條件，證明AAGP號(hào)AFPE

后即可證明①AP=EF；（4）ZPFE=ZBAP；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)平分對(duì)角的性

質(zhì)，在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC?+EC2=2EC2,求得⑤DP=0EC.

【詳解】

證明：過(guò)P作PG_LAB于點(diǎn)G,

點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn),

GP=EP,

在AGPB中,ZGBP=45%

/.ZGPB=45°,

/.GB=GP,

同理，得

PE=BE,

AB=BC=GF,

AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

AG=PF,

「.△AGP合△FPE,

①AP=EF；

ZPFE=ZGAP

/.④NPFE=ZBAP,

②延長(zhǎng)AP到EF上于一點(diǎn)H,

/.ZPAG=ZPFH,

???ZAPG=ZFPH,

ZPHF=ZPGA=90°,即AP_LEF；

③；點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上任意一點(diǎn)，ZADP=45度，

當(dāng)NPAD=45度或67.5度或90度時(shí)，△APD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤.

GFIIBC,

/.ZDPF=ZDBC,

又'ZDPF=ZDBC=45°,

ZPDF=ZDPF=45°,

PF=EC,

/.在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

?DP=V2EC.

???其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④⑤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì)，

勾股定理的運(yùn)用.本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，在解答時(shí)要認(rèn)真審題.

6.A

解析：A

【分析】

根據(jù)已知條件先證明4ABE些△ADG,得到AE=AG,再證明△AEFM△AGF,得到

/叢尸=264尸,根據(jù)N94b=30。，設(shè)利用G4_LAE得到方程求出x即可求

解.

【詳解】

在正方形A8CO中，AB=ADZZABE=ZADG=ZBAD=90°

?：GA±AE

：.ZEAD+ZDAG=90°

又NE4Z)+NB4E=90。

ZDAG=BAE

AABE^△ADG(ASA)

AAE=AG,BE=DG,

■:BE+DF=EF

BE+DF=DG+DF=EF

EF=GF

/.△AE雁△AGF(SSS)

：.ZEAF=ZGAF

「ZDAF=30°,設(shè)Z^4E=x,

Z.EAF=Z.GAF=x+30°

.GA1AE

「?ZE4f，4-ZGAF=90°

故x+30°+x+30°=90°

解得x=15°

故選A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的

判定定理.

7.D

解析：D

【分析】

根據(jù)題意并結(jié)合圖形，我們可以得出當(dāng)C為AB的中點(diǎn)時(shí)，可判斷所給結(jié)論正確與否.

【詳解】

解：

當(dāng)C為AB中點(diǎn)時(shí)，有圖如下，

?：ACM與BCN為等邊三角形，

VC為AB中點(diǎn)，

/.AM=AC=MC=NC=BC=NB,MD=ND,

V^MCN=60°

???/CMN=/CNM=60°

???CMN為等邊三角形，③正確；

V/AMD=4ND=120°

:.AMD=BND

AAD-BD,Z\ABD此時(shí)為等腰三角形，②正確;

當(dāng)C為AB中點(diǎn)時(shí)，AD+BD值最小,

YD為MN的中點(diǎn)，

ACD為MN的垂直平分線(xiàn)，

VAD=BD

AAD+BD=3x/7，④正確；

若4ABD可能為直角三角形，則/ADB=90。，

，CD為AB的垂直平分線(xiàn)

/.^ADC=45°

AAC=CD,與所求結(jié)論不符，①錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理及性質(zhì)，弄清題意，畫(huà)

出當(dāng)C為AB中點(diǎn)時(shí)的圖形是解題的關(guān)鍵.

8.D

解析：D

【分析】

先說(shuō)明ABD=NADC=/CBD,然后再利用三角形內(nèi)角和180°求出即可NCBD度數(shù)，最后再

用直角三角形的內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】

解：???菱形ABCD

AAB=AD

AZABD=ZADC

AZABD=ZCBD

又NA=134。

.,.ZCBD=ZBDC=ZABD=ZADB=^-(180°-134°)=23°

2

/.NBEC=90°-23°=67°

故答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線(xiàn)平分每一組對(duì)角和三角形內(nèi)

角和定理.

9.B

解析：B

【分析】

連接BD,與AC相交于點(diǎn)0,則AC_LBD,A0=-AC=4,由AD=AB=5,根據(jù)勾股

2

定理求出D0,求出E0,由勾股定理求出DE,即可得到答案.

【詳解】

解：連接BD,與AC相交于點(diǎn)0,則AC_LBD,

在菱形A3C。中，A0=-AC=4,

2

,:AD=AB=CD=5,

在RtaAOD中，由勾股定理，得：

DO=yj52-42=3*

\-CE=CD=5,AC=8,

???AE=8-5=3,

：.OE=4-3=],

在RtZXODE中，由勾股定理，得

DE=S+f=而，

.DEV10

?■------=--------.

AD5

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，以及線(xiàn)段的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助

線(xiàn)，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)度.

10.B

解析：B

【分析】

關(guān)鍵結(jié)合圖形證明△CHGgZXEGD,即可逐項(xiàng)判斷求解

【詳解】

解：VDF=BD,

AZDFB=ZDBF,

VAD/7BC,DE=BC,

,四邊形DBCE是平行四邊形，ZDFB=ZGBC,

ZDEC=ZDBC=45°,

/.ZDEC=2ZEFB,

AZEFB=22.5°,ZCGB=ZCBG=22.5°,

ACG=BC=DE,

VDE=DC,

/.ZDEG=ZDCE,

VZGHC=ZCDF+ZDFB=90o+22.5°=112.5°,

ZDGE=180°-(ZBGD+ZEGF),

=180°-(ZBGD+ZBGC),

=180°-(1800-ZDCG)+2,

=180°-(180M5O+2,

=112.5%

/.ZGHC=ZDGE,

/.△CHG^AEGD,

/.ZEDG=ZCGB=ZCBF,

/.ZGDH=900-ZEDG,

ZGHD=ZBHC=90<,-ZCGB,

.*.ZGDH=ZGHD

故②正確；

AZGDH=ZGHD

又NEFB=22.5°,

/.ZDHG=ZGDH=67.5°

oo

jZGDF=90-ZGDH=22.5=ZEFB/

，DG=GF,

AHG=DG=GF

???HF=2HG,

顯然CE#HF=2HG,

故①正確；

VACHG^AEGD,

S&cHG=SgGD

?e?S&cHG+S^HG=S&EGD+S^DHG，

即S/iax;一S四邊形DHGE

而S.D'F=S四邊形DMGE+S&EFG,

故S&CDG*S色DHF

故④不正確；

結(jié)合前面條件易知等腰三角形有Z\ABD,ACDB,ABDF,ACDE,ABCG,△DGH,

△EGF,ACDG,ZXDGF共9個(gè)，.??③錯(cuò)誤；

故正確的有①②，有2個(gè)，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判

定，正方形的性質(zhì)，等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)

鍵.

二、填空題

11.12或20

【分析】

根據(jù)題意分別畫(huà)出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出

即可.

【詳解】

解：情況一：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部時(shí)，如圖1所示：

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,AB=5,AC=2右，

2

在RSACE中，由勾股定理可知：CE=>JAC-AE2=7(2>/5)2-42=2，

2

在RSABE中，由勾股定理可知：BE=VAB-AE2=752-42=3/

ABC=BE+CE=3+2=5,

此時(shí)平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于2X(AB+BC)=2x(5+5)=20：

情況二：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的外部時(shí)，如圖2所示：

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為AE=4,AB=5,AC=2j5

2

在RtAACE中，由勾股定理可知：CE=VAC-AE2=7(2>/5)2-42=2?

在RSABE中，由勾股定理可知：BE=VAB2-AE2=752-42=3,

ABC=BE-CE=3-2=1Z

平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2X(AB+BC)=2x(5+l)=12,

綜上所述，平行四邊形ABCD的底長(zhǎng)等于12或20.

故答案為：12或20.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，分高在平行四邊形內(nèi)部還是外部

討論是解題關(guān)鍵.

12.18

【分析】

由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形A￡步E周長(zhǎng)的最小，AE+DF的和應(yīng)是最小的，運(yùn)

用“將軍飲馬〃模型作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Ei,同時(shí)作DF〃AFi,此時(shí)AE+DF的和即為

EiFi,再求四邊形AO莊周長(zhǎng)的最小值.

【詳解】

在RtZXCOD中，0C=3,0D=4,

CD=VOC2+OD2=5，

'：ABC。是菱形，

.\AD=CD=5,

VF坐標(biāo)為(8,6)，點(diǎn)E在y軸上，

/.EF=8,

作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Ei,同時(shí)作DF〃AFi,

則Ei(0,2),Fi(3,6),

則EIFT即為所求線(xiàn)段和的最小值，

在RtAAEiFi中，EiFi=JEE；+印2=J(6?2)2+(8-5尸=5,

，四邊形ADEE周長(zhǎng)的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiF1=5+8+5=18.

本題考查菱形的性質(zhì)、“將軍飲馬”作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)求線(xiàn)段和的最小值，比較綜合，難度較大.

13.??④

【分析】

由“MS”可證△AOEgZXCOF,△4〃。g△CG。，可得OE=OF,HO=GO,可證四邊形EGFH

是平行四邊形，由EFJ_GH,可得四邊形EGFH是菱形，可判斷①③正確，若四邊形488

是正方形，由“4S4”可證△80G絲△COF,可得OG=OF,可證四邊形EGFH是正方形，可

判斷④正確，即可求解.

【詳解】

解：如圖，

???四邊形A8CD是菱形，

：.AO=CO,AD//BC,AB//CD,

：.ZBAO=ZDCO,NAEO=NCFO,

：./\AOE^^COF(A4S),

：.OE=OF,

???線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)分別交8C、AD邊于點(diǎn)G、H,

過(guò)點(diǎn)0,GH±EF,

,:AD〃BC,

：.ZDA0=ZBC0,NAH0=NCG0,

：.A^HO^ACGO(AAS),

：.H0=G0t

???四邊形EGFH是平行四邊形，

■:EF2GH,

???四邊形EG由是菱形，

丁點(diǎn)E是48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

???隨著點(diǎn)E的移動(dòng)可以得到無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形EGFH,

隨著點(diǎn)E的移動(dòng)可以得到無(wú)數(shù)個(gè)菱形EGFH,

故①@正確；

若四邊形4BCD是正方形，

/.Z80C=90°,ZGBO=ZFCO=45°,08=0C：

VfF±GH,

，NGOF=90°；

N8OG+N8OF=NCOF+N8OF=90°,

：.ZBOG=ZCOF；

在△BOG和△COF中，

/BOG=Z.COF

?.,\BO=CO,

/GBO=/FCO

AABOG^ACOFCASA)；

：.OG=OF,

同理可得：EO=OH,

:?GH=EF；

???四邊形EGFH是正方形，

???點(diǎn)￡是A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

工至少得到一個(gè)正方形EGFH,故④正確,

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是關(guān)鍵.

14.3+36.

【分析】

取AB的中點(diǎn)M,連接DQ,QM,DM.證明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解決問(wèn)題.

【詳解】

取A8的中點(diǎn)連接DQ,QM,DM.

???四邊形4BC。是正方形，

：.AD=AB=6,ZDAM=ZADG=9Q，＞,

*：AM=BM=3,

DM=2

***VAB+AM2=NG+32=3逐,

?:GK=HK,AB,GH關(guān)于￡F對(duì)稱(chēng)，

：.QM=QK,

VZADG=90°,AQ=QG,

：.DQ=AQ=QG,

VAQGK的周長(zhǎng)=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.

又???Da+QM20M,

:?DQ+QM23逐,

???△QGK的周長(zhǎng)的最小值為3+3百，

故答案為3+375.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是取AB的中

點(diǎn)M,確定QG+QK=QD+QM,屬于中考?？碱}型.

15.7&；

【分析】

連接AO、BO、CO,過(guò)。作FO_LAO,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,判定△AOC@Z\FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,進(jìn)而得到AF=8+6=14,ZFAO=45°,根據(jù)AO=AFxcos45°進(jìn)行計(jì)

算即可.

【詳解】

解：連接AO、B。、CO,過(guò)。作FO_LAO,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,

V0是正方形DBCE的對(duì)稱(chēng)中心，

ABO=CO,ZBOC=90°,

VFO±AO,

/.ZAOF=90%

/.ZBOC=ZAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

AZAOC=ZFBO,

VZBAC=90°,

.,?在四邊形ABOC中，ZACO+ZABO=180°,

VZFBO+ZABO=180°,

/.ZACO=ZFBO,

在△AOC和aFOB中，

ZAOC=ZFOB

<AO=FO,

NACO=NFBO

/.△AOC^AFOB(ASA),

/.AO=FO,FB=FC=6,

,-.AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45°,

:.AO=AFxcos450=14x叵=7&.

2

故答案為

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).本題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)建

全等三角形，然后將已知和所求線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行計(jì)算.

16.(2X3)

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC_LBD,所以在RtZ\AFP中，AF一定大于AP,從而判斷①；設(shè)

ZBAE=x,然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出NABE,再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出

ZABE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和NBE的度數(shù)，從而

判斷②?.

【詳解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

???在《△AFP中，AF一定大于AP,故①錯(cuò)誤；

???四邊形ABCD是菱形，

，AD〃BC,

,ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

設(shè)NBAE=x°,

則NEAD=2x°,ZABE=1800-xo-2x0,

VAB=AE,ZBAE=x°,

，NABE=NAEB=180X2x°,

由三角形內(nèi)角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

即NBAE=36°,

ZBAE=180°-36°-2x36,>=70o,

???四邊形ABCD是菱形，

1

/.ZBAD=ZCBD=—ZABE=36°,

2

,NBFE=NABD+NBAE=360+36°=72°,

/.ZBEF=180o-360-72o=72°,

ABE=BF=AF.故③正確

VZAFD=ZBFE=72\NEAD=2x°=72°

AZAFD=ZEAD

AAD=FD

XVAD=AB=AE

，AE=FD,故②正確

???正確的有②③

故答案為：②③

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于NBAE的方程是解題

的關(guān)犍，注意：菱形的對(duì)邊平行，菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.

17.1或7.

【分析】

存在2種情況滿(mǎn)足條件，一種是點(diǎn)P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一種是點(diǎn)P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【詳解】

設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Z秒，

當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段8C上時(shí)，則8尸=力，

;四邊形A8CD為長(zhǎng)方形，

：.AB=CD,NB=ZDCE=90。,

此時(shí)有AA3-ZXDCE,

:?BP=CE,即〃=2,解得/二1；

當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段AO上時(shí)，MBC+CD+DP=2r,

VAB=4,AO=6,

:.BC=6,CD=4,

??.AP=(BC+CD+DA)-(BC^-CD+DP)=6+4+6-2t=\6-2tf

???AP=\6-2t,

此時(shí)有△AB/NACDE,

；?AP=CE,BP16-2r=2,解得，=7；

綜上可知當(dāng)，為1秒或7秒時(shí)，A43P和ACOE全等.

故答案為：1或7.

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，要證三角形的全等，只需要還得到

一條直角邊相等即可

18.2y/2

【分析】

由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,得出AB=BC=4,ZB=90°,得出AC=4&，當(dāng)P與D重合

時(shí)，PC=ED=PA,即G與A重合，則EG的中點(diǎn)為D,即F與D重合，當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

A點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為DF,由D是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是EG的中點(diǎn)，得出DF是4EAG

的中位線(xiàn)，證得NFDA=45°,則F為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，CF1DF,此時(shí)CF最

小，此時(shí)CF=；AG=2&.

【詳解】

解：連接FD

B

???正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,

AAB=BC=4,ZB=90°,

/.AC=45/2，

當(dāng)P與D重合時(shí)，PC=ED=PA,即G與A重合，

???EG的中點(diǎn)為D,即F與D重合，

當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡為DF,

?JD是A匚的中點(diǎn)，「是CG的中點(diǎn)，

，DF是4EAG的中位線(xiàn)，

ADF/7AG,

VZCAG=90°,ZCAB=45°,

/.ZBAG=45°,

/.ZEAG=135°,

AZEDF=135°,

AZFDA=45°,

，F(xiàn)為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，CF±DF,

此時(shí)CF最小，

此時(shí)CF=^AG=2x/2：

故答案為：2人.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.①②④.

【分析】

利用折疊性質(zhì)得/CBE=NFBE,ZABG=ZFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,則可得到

ZEBG=^-ZABC,于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；在Rt^ABF中利用勾股定理計(jì)算出AF=8,則

DF=AD-AF=2,設(shè)AG=X,則GH=X,GF=8-X,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到X?+42=(8-X)

2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可對(duì)②④進(jìn)行判斷；接著證明△ABFs/WFE,利用

相似比得到=g,而了g=§=2,所以了王。石萬(wàn)，所以△DEF與AABG不相

似，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：???△8CE沿8￡折疊，點(diǎn)C恰落在邊4。上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，

將△ABG沿8G折疊，點(diǎn)4恰落在線(xiàn)段BF上的點(diǎn)〃處，

:?NCBE=NFBE,ZABG=ZFBG,BF=BC=10tBH=BA=6,AG=GHf

AZEBG=ZEBF+ZFBG=^-ZCBF+-^-ZABF=ZABC=45°,所以①正確;

在RtZ\A8F中，AF=y/sF2-AB'=>/102-62=8?

：.DF=AD-AF=10?8=2,

設(shè)AG=x,則GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=1Q-6=4,

在RtAGFH中，

?：GH2^HF2=GF2,

Ax2+42=(8-x)2,解得x=3,

???GF=5,

???AG+DF=FG=5,所以④正確；

沿折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD」一的點(diǎn)F處，

??.N8FE=NC=90°,

：.ZEFD+ZAFB=9Q°,

而NAF8+NA8F=90°,

ANABF=NEFD,

:./\ABFsgFE,

.AB_AF

**DF-DE*

?__D_E____AF_8_4

DFAB63

工AB6

而［7=1=2，

AG3

ABDE

???—yg-,

AGDF

???△DEF與4ABG不相似；所以③錯(cuò)誤.

11

：3&ABG=-X6X3=9,5&GHF=-X3X4=6,

22

3

??SAABG=_S^FGH>所以②正確.

故答案是：①②④.

B

H

G

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有

的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在利用相似三角形的性質(zhì)

時(shí)，主要利用相似比計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng).也考查了折疊和矩形的性質(zhì).

20.2

【分析】

分別延長(zhǎng)AE,BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，則

G的運(yùn)動(dòng)軌跡為△?＜口的中位線(xiàn)MN,再求出CD的長(zhǎng)度，運(yùn)用中位線(xiàn)的性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)

度即可.

【詳解】

解：如圖，分別延長(zhǎng)AE,BF交于點(diǎn)H,

VZA=ZFPB=6O0,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60°,

ABHIIPE

，四邊形EPFH為平行四邊形，

JEF與HP互相平分，

???點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，

???點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，即在P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，

AG的運(yùn)動(dòng)軌跡為AHCD的中位線(xiàn)MN,

VCD=6-1-1=4,

AMN=-CD=2,

2

工點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形及中位線(xiàn)的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，是中考熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得

出G的運(yùn)動(dòng)軌跡為4HCD的中位線(xiàn)MN.

三、解答題

21.(1)見(jiàn)解析；(2)而

【分析】

(1)根據(jù)題意先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB=AD可得平行四邊形ABCD是菱

形；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出0A的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)定理得出0E=JAC,在

R/AACE應(yīng)用勾股定理即可解答.

【詳解】

(1)證明：A8〃C￡),

???ZOAB=ZDCA,

丁AC為NZMB的平分線(xiàn)，

:.ZOAB=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

CD=AJD=AB,

?,AB//CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

?:AD=ABf

.??A3C。是菱形；

(2)

???四邊形ABC。是菱形

???AO=CO

?：CELAB

:.ZAEC=90。

???AC=2OE=6

在用AACE中，CE=y]AC2-AE2=VH

故答案為(2)Vn.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，勾股定

理，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.(1)①見(jiàn)解析；②AG=FB+AE,證明見(jiàn)解析；(2)而W；(3)41—1

【分析】

(1)①證明△ADEgaBAF(ASA)可得結(jié)論.

②結(jié)論：AG=BF+AE.如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AKJ_HD交BC于點(diǎn)K,證