韋達(dá)化和非對稱韋達(dá)的處理（解析版）

=1+k2(x1+x2)2-4x1x1(直線為斜截式y(tǒng)=kx+m)=(x1+x2)2-4x1x1|kx0-y0+m|SΔPAB=SΔPQA+SΔPQB=|PQ||yA-yB|=|PQ|、(y1+y2)2-4y1y2SΔPAB=SΔPQA+SΔPQB=|PQ||xA-xB|=|PQ|、(x1+x2)2-4x1x211(2)x=、2y+2或x=-、2y+22=c2-a2=2所以原點(diǎn)O到直線l的距離d=m2+1-1(y2+4my+6=0，所以m2≠1且Δ=16m2-24(m2-1(=24-8m2>0，---- 3-m2 3-m2m2-1|-1|-1|、1+m2所以v3-m2=1所以直線l的方程為x=2y+2或x=-、2y+2.222=[(x-2)2+y2]2-y2=2，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1；則y1+—y2=-,y1y2=，所以P?P=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(my1+2-t)(my2+2-t)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(2-t)(y1+y2)+(2-t)2若要上式為定值，則必須有4t-6=-20)滿足P?P=-1.PA?PB=-1.1k2為定值.2-=1332=a2+b2，所以C的方程為x2-=1；(x=my+2,x2-=1,可得(3m2-1(y2+12my+9=0，所以yM=×+3434m2+9所以k2==-m，又k1=，所以k1k2=-m×=-1.44點(diǎn)M的坐標(biāo)；l則圓心F1(-1,0(到直線3x-y=0的距離為=，22=61+所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(x-y=1,(2-6=1,y1+y23x1-x2，作差可得x1+xy1+y23x1-x2，0=7(y0=-7(y=kx+4+=1，整理得(3+4k2(x2+32kx+52=0，55或k>.+4k2(=48(4k2-13(>0，所以k2>，即或k>.所以S△ODE=x3-x4|=2|x3-x4|=2(x3+x4(2-4x3x42-13(3+4k2(23+4k24k2+3，令t=4k2-13>0，則4k2+3=t2+16，則S△ODE=83t=83t2+16t+1t6，t+1t6662+4y22+4y2=3x2-83x+16，=所以x2+4y2=4，即點(diǎn)M的軌跡方程為+y2=1.則(ky+m)2+4y2=4，整理得(4+k2)y2+2mky+m2-4=0，且Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0，則m2<k2+4，所以y1+y2=-，y1y2=，①由題意A?A=(x1-2,y1)?(x2-2,y2)=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=(k2+1)y1y2+k(m-2)(y1+y2)+m2-4m+4=(k2+1)?-k(m-2)?+m2-4m+4=0，近線方程為x-、3y=0.(9-2=1、、77-3k2(x2-6kmx-3m2-3=0，,且Δ=36k,且Δ=36k2m2+4(1-3k2((3m2+3(=12(m2-3k2+1(>0，、2-23k+1-3k2+1=2-23k>0，即k<31+x====== -(kx1+m((x0-x2(-(kx2+m((x0-x1((x0-x1((x0-x2(2kx1x2-(kx0-m((x1+x2(-2mx0x-(x1+x2(x0+x1x2x--- -6k-2mx0-3xk2-6mx0k-3m2-3+x-6k-2(1-、3k(x0-3xk2-6(1-、3k(x0k-3(1-、3k)2-3+x(2、3x0-6(k-2x0-3(x0-、3(2k2+(6、3-6x0(k-6+x，882(；定直線上.2=4xx-=-x，故拋物線方程為y2=4x.聯(lián)立x=ty+1和拋物線，得到y(tǒng)2-4ty-4=0，Δ=16t2+16>0，99由y1+y2=4t,y1y2=-4，代入可得=，2+4n)=0，解得n=0或n=-4，兩直線方程相減得到：-4=-(x-1)，1=ty1+1,x2=ty2+1，于是-4=-(x-1)，即-4=-(x-1)，即2t=+(x-1)，解得x=-1，即直線AP與BQ的交點(diǎn)在一條定直線x=-1上從而簡化運(yùn)算.PMPQ所以b=、a2-c2=1，所以橢圓C的方程為+y2=1.所以P，Q均在直線x+my-1=0上，即lPQ:x+my-1=0，當(dāng)直線PQ斜率k≠0時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為x+my-1=0，則k=-，故λ=+-yN|故λ=+-yN|1+2y2-yN|1+1+2y2-yN|1+2y1(y1+y2(2-4y1y(y1+y2(2-4y1y211+m2所以λ==1+m2m2+2，y1y2=-m2+m2+2，y1y2=-m2+2，2 2+1-4×2 2+1m2+2m2+2m2+2m2+21+m2=22.m2+1m2+1 m2+2+-yN|+-yN|1+2y11+21+2y1/1+m2故雙曲線C的方程為-y2=1；-9(y2+4my-5=0，Δ=16m2+20(m2-9(=36m2-180>0，即m2>5，則y1+y2=-，y1y2=-，k1===-，則==?=?=2(；k2=-；把y=kx代入+=1,整理得(4k2+3)x2=12,則x1=,x2=-,分別代入y=kx中,解得y1=k,y2=-k.1=,k2=，=?=-===k2==×-=-；當(dāng)直線MN的斜率不為0時(shí)，如圖可設(shè)其方程為x=my+1，2+4)y2+6my-9=0，則y3+y4=-,y3?y4=-,故得y3?y4=(y3+y4)，由圖形的對稱性(交換點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置)可知直線NH必經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)，故可令y=0，代入可得：x=-+4==== 解證明.FF=QF2=．A,B分別為C得出結(jié)論.F=2，所以雙曲線C:x2-=1，Q|=t+2，即t2+(t+2(2-t(t+2(=20，解得t=4(負(fù)根舍去)，所以直線F1Q的方程為x=-、5；②易知直線EF的斜率不為零，則可設(shè)直線EF的方程為x=my+2，(x=my+2x2-=1，得(4m2-1(y2+16my+12=0，Δ=(16m(2-48(4m2-1(=16(4m2+3(>0恒成立，0且y1y2=<0，所以-<m<，則直線EA:y=(x+1(，直線FB:y=-(x-1(，聯(lián)立可得===my1y2+(y1+y2(-y2=+y2(=-1my1y2+3y2解得x=，故動(dòng)點(diǎn)P在直線x=上，所以點(diǎn)P到直線F1Q的距離為-(-、5(=+5，所以點(diǎn)P到直線F1Q的距離為定值.—→—→PF且=3.=(P+O1(?(P+O2(=P2-O12=P2-c2≥b2-c2，2-c2=1-c2=-2，所以c2=3,a2=4，所以橢圓M的方程為+y2=1；1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=01+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，所以kx1x2=(x1+x2)， 2+2m+1)x1+(1-m2)x2(1-m2)x1+(m2-2m+1)x2，==，==，線l過點(diǎn)P.【答案】(1)y=0，x+y+1=0或x-y+1=0可求解.此時(shí)l的方程為x=y-1或x=-y-1.綜上，l的方程為y=0，x+y+1=0或x-y+1=0.則y1+y2=4m，y1y2=4.所以-1-1(+y1y2=0，整理可得-++1=0，代入可得-++1=0，解得m2=2.1+y2)2-4y1y2=16m2-16=4.和上頂點(diǎn)B.1k2為定值.+x2=t，得k1k2=化簡可得y1y2-2y1=(x1x2-3x2(，可得k1k2為定值.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.2=y2x2因?yàn)閥1y2-2y1=(-x1+t((-x2+t(-2(-x1+t(=t2-t(x1+x2(+x1x2-2t+x1，且t=(x1+x2(，所以y1y2-2y1=(x1x2-3x2(，所以k1k2=a2+b22F2-2=1a2+b2a2+b2aa2+b2a2+b2a=2+b22=b2，22=b22=12故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y=1.(x=my-23m2-1≠093m2-13m2-11y2=Δ=144m2-36(3m23m2-1≠093m2-13m2-11y2=x-x2(.令y=0，得到直線BP與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x=x2-== ==5(my2-2(y1-(my1-2(y2+2y24my1y2-10(y1+y2 ==2(my1-2(y2-4y2+5y12my1y2+5(y1+y2(-13y2 ==-36m-120m+14(3m2-1(y2-84m+14(3m ==-18m+60m-13(3m2-1(y278m-13(3m2-1(y213，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)均在C的左支上，所以m=0或<-3或>3，所以-<m<令m2+1=t，則1≤t<,=-=，(2)y=x-3或y=x-3=1-求出離心率即可；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-=k(x-3(，即y=k(x-3(+，y=k(x-3(+y=k(x-3(+消去y整理可得，(4k2+3(x2-(24k2-12k(x+36k2-36k-27=04k2+3，124k2+3則x1+x2=24k2-12kxx4k2+3，124k2+344k2+3244k2+3點(diǎn)A到直線l的距離為d=2，、1+k241+則S△ABP41+則S△ABP==9=解得k=x-則可設(shè)該直線方程為y=kx+y=kx+，可得(3+4k2(x2+12kx-27=0，y=kx+，可得(3+4k2(x2+12kx-27=0，故Δ=144k2+108(3+4k2(=324+576k2>0，-273+4k21x2=且-273+4k21x2=且x1+x2—→而TM=,y1-t(，T=(x2,y2—→而TM=-t(故T?T=x1x-t(故T?T=x1x2+(y1-t((y2-t(=x1x2+(kx1+-t((kx2+-t((x1+x2(+(-t(22-273+4k223+4k22=2-273+4k223+4k22(-36+4t2(k2(-36+4t2(k2-3+4k2=—→—→-36+4t2≤0(-3≤t≤3--9t+3t2≤0，即-36+4t2≤0(-3≤t≤3解得-≤t≤3，此時(shí)需-3≤t≤3，兩者結(jié)合可得-≤t≤32=c2-a2=9-4=5，所以C的方程為-=1.-4(y2+40my+60=0，Δ=(40m(2-240(5m2-4(=80(5m2+12(>0，因?yàn)橹本€BM的方程為y=-(x-2(，所以kAG=因?yàn)閗AN=，所以kAG-kAN=--=-==-y1(my2+6(-3y2(my1+2(-4my1y2-6(y==3(x1-2((x2+2(3(x1-2((x2+2(=-4m?-6?=03(x1-2((x2+2(+y2=12x24+y2x24+y2=1.====λ=7-43，解得x0=-3，====λ=7-43，解得x0=-3，y1-y2||BM|2-x0+y2=1，可得(m2+4(y2+2mx0y+x-4=0，+y2=1，可得(m2+4(y2+2mx0y+x-4=0，m?(y1+y2(.-+y1(x0-2(x0-21==-=m?(y1+y2(.-xm-0+y2(x0+2(x0+2λ,多1.BC與直線x=-2交于點(diǎn)E，F(xiàn)．證明：以EF為直徑的圓在x上截得的弦長為定值.2=4x(x≥0(或y=0(x<0)2=4x；所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x(x≥0(或y=0(x<0).將x=my+2代入y2=4x，消去x得y2-4my-8=0，2(，則y1+y2=4m，y1y2=-8，則kAC=y1-2=4-1y1+2，直線AC的方程為y-2=(x-1(，令x=-2，則y=2+×(-3(=，-2,，2+=--32-64m+64=-32-64m=8-8+8m+48m-4，∴a=22-2或a=-22-2，點(diǎn)P.NE交直線MF2于點(diǎn)Q2=a2-c2=得(8m2+9(y2+16mny+8n2-72=0，令Δ=0，得8m2-n2+9=0①,8t2+9,y1y2=8t2+9，所以8t2+9,y1y2=8t2+9，所以4(y1+y2(=-ty1y2，所以4y1=-ty1y2-4y2，故yQ=-===-=y1，故DQ丄y軸.,D=λP，-x1①,又由=72λ2，兩式作差可得：8(x1+λx2((x1-λx2(+9(y1+λy2((y1-λy2(=72(1+λ((1-λ(②,故yQ=-=-λy2=y1，故DQ丄y軸.圓E上.(ii)當(dāng)P為AC中點(diǎn)時(shí)，求直線AP的方程.1>x2，2k+m=1且x0=，聯(lián)立直線與橢圓=3x2-4，結(jié)合m=1-2k代入韋達(dá)定理故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1；2+4kmx+2m2-2=0，所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2+1-m2)>0，可得0<k<2，則x1+x2=-，x1x2=，2-x1)=2(x1-2)(x2-x0)，整理得(x0+2)(x1+x2)=即證-=+4x0，整理得1-m2-2km=(1+2k2+km)x0，(4x2-3x-4=-4x2=，所以k=1或k=，則直線AP為x-y-1=0或x-5y+3=0.，則+y=1，即x-4=-4y，+y2=1得(m2+4(y2+2mny+n2-4=0，+y2=1得(m2+4(y2+2mny+n2-4=0，Δ=4m2n2-4(m2+4((n2-4(=16m2-16n2+64>0，1+y2=-2mny1y2=n2-4m2+4，m2+4，+x2=m(y1+y2(+2n=，x1x2=m2y1y2+mn(y1+y2(+n2=，AMkAN=-，∴?=-，即=-，∴=n2-4=n2-4