高中數(shù)學復習專題07 直線與圓（學生版）

專題07直線與圓一、多選題1．（2024新高考Ⅱ卷·10）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，C．當時，D．滿足的點有且僅有2個一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·6）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．2．（2022新高考Ⅱ卷·3）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·14）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．4．（2022新高考Ⅱ卷·15）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．一、直線的傾斜角和斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、直線的斜率設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）傾斜角與斜率的關系當時，直線平行于軸或與軸重合；當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；3、過兩點的直線斜率公式已知直線上任意兩點，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°4、三點共線兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．二、直線的方程1、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用2、求曲線（或直線）方程的方法在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）3、線段中點坐標公式若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．4、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.三、兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個為0，另一個不存在．四、三種距離1、兩點間的距離平面上兩點的距離公式為．特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離2、點到直線的距離點到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．（2）設，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對應系數(shù)要相等．4、雙根式雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調(diào)性求解．五、圓1、圓的四種方程（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是2、點與圓的位置關系判斷（1）點與圓的位置關系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．（2）點與圓的位置關系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．六、直線與圓的位置關系1、直線與圓的位置關系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離．七、兩圓位置關系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）設兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關系可用下表來表示：位置關系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解公切線條數(shù)43210【直線與圓常用結論】一、直線1、點關于點對稱點關于點對稱的本質(zhì)是中點坐標公式：設點關于點的對稱點為，則根據(jù)中點坐標公式，有可得對稱點的坐標為2、點關于直線對稱點關于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．3、直線關于點對稱法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．4、直線關于直線對稱求直線，關于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點第二步：在上任找一點（非交點），利用點關于直線對稱的秒殺公式算出對稱點第三步：利用兩點式寫出方程5、常見的一些特殊的對稱點關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．點關于點的對稱點為．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．6、過定點直線系過已知點的直線系方程（為參數(shù)）．7、斜率為定值直線系斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．8、平行直線系與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．9、垂直直線系與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．10、過兩直線交點的直線系過直線與的交點的直線系方程：（為參數(shù)）．二、圓1、圓的參數(shù)方程①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．2、關于圓的切線的幾個重要結論（1）過圓上一點的圓的切線方程為．（2）過圓上一點的圓的切線方程為（3）過圓上一點的圓的切線方程為（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應注意理解：①所求切線一定有兩條；②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．一、單選題1．（2024·江西新余·二模）已知直線交圓C：于M，N兩點，則“為正三角形”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·陜西西安·三模）若過點可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·北京·三模）已知，若點P滿足，則點P到直線的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·四川成都·三模）已知直線與相交于兩點，若是直角三角形，則實數(shù)的值為（

）A．1或 B．或 C．或 D．或5．（2024·湖南邵陽·三模）已知直線：與圓：，過直線上的任意一點作圓的切線，，切點分別為A，，則的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2024·重慶·二模）已知圓是圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則（

）A． B．3 C． D．7．（2024·北京·三模）已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024·山東煙臺·三模）若圓與軸沒有交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．9．（2024·北京·三模）已知直線，圓，下列說法錯誤的是（

）A．對任意實數(shù)，直線與圓有兩個不同的公共點；B．當且僅當時，直線被圓所截弦長為；C．對任意實數(shù)，圓不關于直線對稱；D．存在實數(shù)，使得直線與圓相切．10．（2024·江西鷹潭·三模）已知，直線與的交點在圓：上，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2024·湖南長沙·三模）已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點B．當時，圓上恰有三個點到直線的距離等于1C．直線與圓可能相切D．若圓與圓恰有三條公切線，則12．（2024·山西臨汾·三模）已知是以為圓心，為半徑的圓上任意兩點，且滿足，是的中點，若存在關于對稱的兩點，滿足，則線段長度的可能值為（

）A．3 B．4 C．5 D．613．（2024·河南鄭州·三模）已知直線（不同時為0），圓，則（

）A．當時，直線與圓相切B．當時，直線與圓不可能相交C．當時，與圓外切且與直線相切的動圓圓心的軌跡是一條拋物線D．當時，直線與坐標軸相交于兩點，則圓上存在點滿足14．（2024·山東青島·三模）已知動點分別在圓和上，動點在軸上，則（

）A．圓的半徑為3B．圓和圓相離C．的最小值為D．過點做圓的切線，則切線長最短為15．（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點．若，則實數(shù)的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．16．（2024·浙江紹興·三模）已知，為圓上的兩個動點，點，且，則（

）A．B．C．外接圓圓心的軌跡方程為D．重心的軌跡方程為三、填空題17．（2024·廣東汕頭·三模）已知圓經(jīng)過，，三點，（i）則圓的標準方程為；（ii）若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則的取值范圍是.18．（2024·天津和平·三模）已知圓以點為圓心，且與直線相切，則滿足以上條件的圓的半徑最大時，圓的標準方程為．19．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）點關于直線的對稱點在圓內(nèi)，則實數(shù)的