邏輯學導論 第14章 概率

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學導論（第15版）IntroductiontoLogicPPT制作湖南師范大學

彭道林

[美]歐文·M.柯匹[美]卡爾·科恩著[加]維克多·羅迪奇張建軍潘天群頓新國等譯14第14講概率目錄Contents關(guān)于概率的幾種觀點第一節(jié)概率演算

日常生活中的概率第三節(jié)第二節(jié)一、關(guān)于概率的幾種觀點概率的數(shù)值系數(shù)：一個事件的概然性所賦的值概率是整個歸納邏輯的一個核心評價概念。概率的驗前解釋：當我們擲一枚硬幣并假定正面朝上的概率是1/2時即使用了概率的這一種意義。區(qū)分“概率”概念在使用中的兩種附加含義斷定一個事件的概率依據(jù)的是人們合理地相信那個事件發(fā)生的程度。斷定一個命題的概率依據(jù)的是一個完全理性的人將會相信它的程度。概率的相對頻率解釋：當我們說一個25歲的美國婦女至少將再活一年的概率是0.971的時即使用了概率的這一種意義。一、關(guān)于概率的幾種觀點之所以被稱為“驗前理論”，是因為我們在做任何實驗之前就把1/2賦給了它但只有通過考察25歲的美國婦女這整個類并且確定她們中有多少人確實至少或者已經(jīng)又生活了一年才能知道這個“相對頻率”在概率的相對頻率理論里，概率被定義成呈現(xiàn)某特定屬性的類中成員的相對頻率。二、概率演算復合事件可以看作一個整體，其部分是作為其成分的單個事件共同發(fā)生的概率替代性發(fā)生的概率概率演算是允許進行這樣計算的數(shù)學的一個分支二、概率演算乘法定理：P（a且b）=P（a）×P（b）

這里P（a）和P（b）是兩個事件各自的概率，而P（a且b）表示它們的共同發(fā)生的概率。假定我們希望知道一枚硬幣在兩次拋擲的過程中都正面朝上的概率。把這兩個組成事件成為a和b。我們可以直接算出這一結(jié)果：兩次正面朝上的共同發(fā)生等價于第一次擲出正面的概率（1/2）乘以第二次擲出正面的概率（1/2）共同發(fā)生的概率共同發(fā)生的概率二、概率演算共同發(fā)生的概率兩個獨立事件共同發(fā)生的概率等于它們各自概率的乘積這個簡單的乘法只有當兩個事件是獨立事件的時候才會成功。即當一個事件的發(fā)生不影響其他事件發(fā)生的概率。

但是假如事件之間不是相互獨立的呢？二、概率演算假如一種情況的成功對另一種情況成功的概率有影響呢？例如：假定我要求從一副洗好的撲克牌中連續(xù)抽三張黑桃的概率，但抽出的牌不放回。如果抽出的第一張牌是一張黑桃，那么第二次抽牌過程中總的牌數(shù)為51張牌，剩下的黑桃只有12張，而如果第一次抽出的不是一張黑桃，那么剩下的51張牌中有13張黑桃。假定a是從一副牌中抽出一張黑桃并且不放回去的事件b為從剩下的牌中抽取另一張黑桃的事件，那么b的概率，即P(在a發(fā)生的條件下b)為12/51。如果a和b都發(fā)生，第三次抽牌是在只有11張黑桃的50張牌中進行。如果c是最后的事件，P（c|a&b）為11/50。根據(jù)乘法定理,三張均是黑桃的概率為13/52×12/51×11/50=11/850共同發(fā)生的概率乘法定理：P（a&b&c）=P（a）×P（b|a）×P（c|a&b）這些事件是不獨立的二、概率演算加法定理：P（a或b）=P（a）＋P（b）如果事件是相互排斥的，至少其中一個事件發(fā)生的概率為它們概率的簡單相加當問題涉及共同發(fā)生的時候，我們使之相乘；當問題涉及替代性發(fā)生的時候，我們使之相加。從一副洗過的牌中抽到或者一張黑桃或者一張梅花的概率為多少？抽到一張黑桃的概率為1/4，抽到一張梅花的概率為1/4，抽到或者一張黑桃或者一張梅花的概率為1/4加1/4等于1/2。但替代性事件通常并不是相互排斥的替代性發(fā)生的概率二、概率演算第二種方法：因為沒有一個結(jié)果可以既滿足條件又不滿足條件。因此，我們所問的替代性復合事件的概率等于1減去這些替代性組分事件一個也不發(fā)生的概率。第一種方法：將滿足條件的情況的集合分解成互斥事件，然后簡單地將那些概率相加。如果我們所關(guān)心的結(jié)果是不確定的，當組分事件并非相互排斥時，加法定理不能直接使用，不過可以間接使用。用符號“a-”表示不滿足a的事件，可以用左邊的方式將組分事件并非相互排斥的替代性事件的定理公式化：

P(a)=1-P(a-)

即：一個事件發(fā)生的概率，就等于1減去那個事件不發(fā)生的概率。替代性發(fā)生的概率二、概率演算(2)從第一只甕中抽出一個黑球和從第二只甕中抽出一個白球：概率為4/6×3/12=1/6。第一種方法：將滿足條件的情況分解為三個互斥的替代性事件，然后將概率相加。(1)從第一只甕中抽出一個白球和從第二只甕中抽出一個黑球：概率為2/6×9/12=1/4。替代性發(fā)生的概率假設(shè)我們有兩個甕，第一只甕包含兩個白球和四個黑球，而第二只甕包含三個白球和九個黑球。我們想要計算從這兩個甕中隨機抽取一個球，抽到至少一個白球的概率。這兩種方法哪種更簡單呢？第二種方法：1、首先確定不滿足條件——從兩只甕中都抽出一個黑球——的概率：4/6×9/12=1/2。然后，用1減去這個概率，得到抽到至少一個白球的概率：1-1/2=1/2。(3)從兩只甕中均抽出一個白球：概率為2/6×3/12=1/12。由于這些事件是相互排斥的，所以總概率為1/4+1/6+1/12=1/2。結(jié)論：兩種方法都得到了相同的結(jié)果，即抽到至少一個白球的概率為1/2。二、概率演算在概率論中，有時會遇到與直覺相反的結(jié)果，這被稱為“違反直覺”。實際概率計算：單個骰子非1點的概率為5/6。三個骰子均非1點的概率為(5/6)^3=125/216，不等于1/36。直覺誤解：粗心的玩家可能認為三個骰子中出現(xiàn)特定點數(shù)是互斥的。實際上，骰子是相互獨立的，一個骰子的點數(shù)不影響其他骰子。賭博規(guī)則：嘉年華的賭博游戲中，玩家擲三個骰子。運營商提出賭三個骰子中均不出現(xiàn)1點。玩家有一美元冒險，贏了則取回一美元并獲得額外一美元。替代性發(fā)生的概率騙局揭示：賭博利用了人們對概率的直覺理解，實際上并非公平。運營商通過設(shè)定不公平的規(guī)則來獲得利潤。二、概率演算雙骰賭博被普遍認為是公平的賭博---擲骰子者有一半獲勝的機會。真的是這樣嗎？首次投擲，若得7點或11點，玩家贏；首次投擲，若得2點、3點或12點，玩家輸；首次投擲得其他點數(shù)（4-10點），需繼續(xù)投擲；后續(xù)投擲中，若再次出現(xiàn)首次投擲的點數(shù)，玩家贏；后續(xù)投擲中，若出現(xiàn)7點，玩家輸。勝負判定：擲骰子者贏的方式有8種,這些方式都是相互排斥的，所以擲骰子者總的贏的概率為能夠獲勝的各種可以贏的替代性發(fā)生方式的概率之和。這個概率為6/36+2/36+1/36+2/45+25/396+25/396+2/45+1/36=244/495。如果表示成小數(shù)，這就是0.493。這表明在雙骰賭博中，擲骰子者贏的機會小于一半;盡管僅僅是略小于，但仍然是小于0.5。簡言之，雙骰賭博游戲依據(jù)首次及后續(xù)投擲的點數(shù)組合決定玩家勝負。替代性發(fā)生的概率雙骰賭博游戲規(guī)則簡述：游戲用具：使用兩個骰子進行投擲。二、概率演算B.如果這些事件（如a并且b并且c等）都是不獨立的：它們共同發(fā)生的概率為第一個事件的概率，乘以第一個事件發(fā)生的條件下第二個事件的概率，乘以第一和第二個事件發(fā)生的條件下第三個事件的概率，等等：A.如果這些事件（如a并且b）都是獨立的：它們共同發(fā)生的概率為其概率的簡單乘積：計算兩個或更多共同發(fā)生事件的概率的方法：P(a&b&c)=P(a)×P(b|a)×P(c|a&b)

P(a&b)=P(a)×P(b)乘法定理替代性發(fā)生的概率二、概率演算B.如果事件（如a或者b或者c）是不獨立的：確定至少其中一個事件發(fā)生的概率可以是：A.如果事件（如a或者b）是相互排斥的：至少其中一個事件發(fā)生的概率為它們概率的簡單相加：計算兩個或更多替代性發(fā)生事件的概率的方法：1.將滿足條件的狀態(tài)分析為相互排斥的事件，然后將那些成功事件的概率相加。2.確定這些替代性事件一個也不發(fā)生的概率，然后用1減去那個概率。替代性發(fā)生的概率

P(a或b)=P(a)＋P(b)加法定理二、概率演算下面的這個問題是概率理論家發(fā)生爭論的一個源頭。

正確的結(jié)論違反直覺嗎？例：從一副牌中取出A和K，即四張A、四張K，共八張牌。從這八張牌中發(fā)兩張牌給你的朋友。如果她看到牌并聲明她手中有一張A（她的話是誠實的），她手中的牌均為A的概率有多少？如果她轉(zhuǎn)而聲明她手中有一張牌為黑桃A,那么她手中兩張牌均為A的概率為多少？這兩個概率相同嗎挑戰(zhàn)讀者替代性發(fā)生的概率三、日常生活中的概率下賭注和投資中，人們會考慮兩個因素：安全性（在賭博中獲勝或投資中取得回報的概率），回報率（在賭博中贏到的或在投資中獲得的收益的數(shù)量）較高的回報通常伴隨著較大的風險。最安全以及許諾成功后會有最大回報的投資都不是最好的投資但二者往往不兼容我們不僅在賭博和投資中會考慮安全性和最大回報，在教育，擇業(yè)以及生活中其他方面也會考量，我們會考慮所有的因素，來決定給未來下這樣的賭注是否明智，這也是我們對未來的期望值。三、日常生活中的概率用賭博來解釋期望值正面朝上，獲得2美元收益（1美元是付出的，另外1美元是贏得的）打1美元的賭，一賠一的賠率賭一枚硬幣正面朝上反面朝上，收益為0美元下的注便是購買價格，購買的是某個期望或期望值將每個可能結(jié)果下產(chǎn)生的收益與實現(xiàn)該結(jié)果的概率值相乘，所有這些乘積之和，即為期望或期望值該賭博的期望值為(1/2*$2)+(1/2*$0)此例子中購買的期望值等于購買價格三、日常生活中的概率我們常尋求購買期望值大于我們成本的投資，然而我們經(jīng)常被一些賭博誘惑，這些賭博的期望值常比其價格低甚至低得多。期望值為(1/40000*$20000)+(39999/40000*$0)，即為50美分假定抽彩的收益是20000美元的汽車，而彩票的價格為1美元。一般發(fā)行彩票是為了某個有意義的目的來籌集資金，只有當彩票賣出的錢大于獎品付出的錢才能籌集到資金，所以我們購買的任何彩票的期望值必定小于我們?yōu)橹冻龅腻X數(shù)如果賣20000張彩票如果賣出40000張期望值為(1/20000*$20000)+(19999/20000*$0)，正好為1美元三、日常生活中的概率上節(jié)中計算出，雙骰賭博中擲骰子者贏的機會為0.493，并以一比一的賠率為擲骰子者下注在“每天一個三位數(shù)”的博彩中，玩家以“單注”的方式，從000到999間任選取一個三位數(shù)，選對數(shù)字的玩家將獲得500美元的獎勵。我們常尋求購買期望值大于我們成本的投資，然而我們經(jīng)常被一些賭博誘惑，這些賭博的期望值常比其價格低甚至低得多。期望值為(1/1000*$500)+(999/1000*$0)，等于50分。期望值為(0.493*$2)+(0.507*$0),即為98.6美分。三、日常生活中的概率期望值概念在實際中有很大用處，可以幫我們明智地省錢或投資若利率為5%，1000美元的期望值為$1000+(0.05*1000),即為$1050將錢投入有保障的銀行賬戶購買的期望值大于本金(購買價格)三、日常生活中的概率借錢給公司不是絕對可靠的，若最終的收益下降至0.95時，收益=$1100期望值=($1100*0.95)+($0*0.05)=$1045有保障的銀行賬戶，5個百分點的利息，存1年：收益=[本金+利息]=($1000+$50)=1050獲得收益的概率為1時，期望值=($1050*1)+($0*0)=$1050安全性與收益率是一直處于張力狀態(tài)中的考慮因素。若準備犧牲一定程度的安全性，那么就可以適度提高收益率若這個最新的估算反映了我們對出售債券公司的評價，則可斷定：銀行賬戶盡管利率較低，但具有高得多的安全性，投資銀行賬戶是比較明智的。10個百分點利息的公司債券，存1年：收益=[本金+利息]+($1000+$100)=$1100收益概率=0.99時，期望值=(