2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第6章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 6.2.2 第2課時(shí) 函數(shù)最值的求法教學(xué)實(shí)錄 新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.2第2課時(shí)函數(shù)最值的求法教學(xué)實(shí)錄新人教B版選擇性必修第三冊(cè)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容《2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.2第2課時(shí)函數(shù)最值的求法教學(xué)實(shí)錄新人教B版選擇性必修第三冊(cè)》主要內(nèi)容包括：復(fù)習(xí)回顧導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；學(xué)習(xí)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，并通過(guò)具體實(shí)例學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，包括閉區(qū)間和開(kāi)區(qū)間兩種情況。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)的能力，提高邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題解決提升數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；強(qiáng)化數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力，在合作學(xué)習(xí)中提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-明確本節(jié)課的核心內(nèi)容，以便于教師在教學(xué)過(guò)程中有針對(duì)性地進(jìn)行講解和強(qiáng)調(diào)。

a.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用：教師需強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，特別是如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，以及如何從極值點(diǎn)判斷函數(shù)的最大值或最小值。

b.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)最值的關(guān)系：重點(diǎn)講解導(dǎo)數(shù)的幾何意義如何幫助我們直觀理解函數(shù)在特定點(diǎn)的切線斜率與函數(shù)的增減性之間的關(guān)系。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-識(shí)別并指出本節(jié)課的難點(diǎn)內(nèi)容，以便于教師采取有效的教學(xué)方法幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

a.極值點(diǎn)的判定：學(xué)生可能難以理解如何根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化判斷極值點(diǎn)，需要通過(guò)實(shí)例和練習(xí)來(lái)強(qiáng)化這一概念。

b.函數(shù)最值的分類討論：對(duì)于閉區(qū)間和開(kāi)區(qū)間的情況，學(xué)生需要學(xué)會(huì)如何根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性和端點(diǎn)值來(lái)分類討論最值問(wèn)題，這是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。

c.復(fù)雜函數(shù)的最值求解：在處理涉及復(fù)合函數(shù)或分段函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能難以確定合適的求導(dǎo)策略和求解方法，需要教師提供具體的指導(dǎo)。教學(xué)資源-軟硬件資源：電子白板、筆記本電腦、投影儀、數(shù)學(xué)軟件（如Mathematica、GeoGebra等）

-課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺(tái)、在線教育平臺(tái)（如國(guó)家中小學(xué)網(wǎng)絡(luò)云平臺(tái)）

-信息化資源：導(dǎo)數(shù)概念動(dòng)畫(huà)、函數(shù)圖像分析軟件、在線測(cè)試系統(tǒng)

-教學(xué)手段：多媒體課件、教學(xué)視頻、課堂練習(xí)題、學(xué)生互動(dòng)軟件教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。例如，要求學(xué)生預(yù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)法則，并嘗試對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。如：“如何通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。例如，通過(guò)在線測(cè)試或課堂提問(wèn)來(lái)檢查學(xué)生的預(yù)習(xí)情況。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解導(dǎo)數(shù)的概念和求導(dǎo)法則。

思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：針對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)。例如，學(xué)生可能會(huì)對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義產(chǎn)生疑問(wèn)。

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問(wèn)題等）提交至平臺(tái)或老師處。教師可以通過(guò)這些成果了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過(guò)實(shí)際生活中的例子，如速度與時(shí)間的關(guān)系，引出導(dǎo)數(shù)的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。例如，通過(guò)繪制函數(shù)圖像和切線斜率來(lái)解釋導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生通過(guò)合作解決函數(shù)最值問(wèn)題。例如，讓學(xué)生討論如何利用導(dǎo)數(shù)找到函數(shù)的極大值和極小值。

解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，如“如何確定函數(shù)的極值點(diǎn)？”進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

聽(tīng)講并思考：認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論，體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

提問(wèn)與討論：針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，如“導(dǎo)數(shù)在非連續(xù)點(diǎn)如何處理？”勇敢提問(wèn)并參與討論。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：布置一些涉及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的練習(xí)題，如求函數(shù)的極值、分析函數(shù)的單調(diào)性等，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提供拓展資源：提供與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的拓展資源，如數(shù)學(xué)競(jìng)賽題、在線教程等，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)，如指出錯(cuò)誤的原因并提供改進(jìn)建議。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，嘗試解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。例如，學(xué)生可能會(huì)反思自己在解決最值問(wèn)題時(shí)遇到的困難，并思考如何改進(jìn)解題策略。教學(xué)資源拓展1.拓展資源

a.導(dǎo)數(shù)的歷史背景與數(shù)學(xué)家介紹

-介紹導(dǎo)數(shù)的起源和發(fā)展，如牛頓和萊布尼茨的貢獻(xiàn)。

-介紹歷史上對(duì)導(dǎo)數(shù)概念有重要影響的人物，如費(fèi)馬、巴羅等。

b.導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用

-探討導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用，如速度和加速度的計(jì)算。

-研究導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，如邊際成本和邊際收益的分析。

c.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際案例

-分析實(shí)際生活中的函數(shù)最值問(wèn)題，如建筑設(shè)計(jì)中的材料最優(yōu)化問(wèn)題。

-探討導(dǎo)數(shù)在工程技術(shù)中的應(yīng)用，如電路設(shè)計(jì)中的電阻和電流分析。

d.高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)

-介紹高階導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)，如二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)等。

-講解隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，如復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)等。

e.導(dǎo)數(shù)在微積分中的應(yīng)用

-介紹微積分的基本概念，如微分、積分等。

-探討導(dǎo)數(shù)在微積分中的應(yīng)用，如求不定積分、定積分等。

2.拓展建議

a.閱讀相關(guān)書(shū)籍

-推薦閱讀《微積分學(xué)導(dǎo)論》等書(shū)籍，深入了解導(dǎo)數(shù)的概念和應(yīng)用。

-閱讀數(shù)學(xué)史書(shū)籍，了解導(dǎo)數(shù)的發(fā)展歷程和數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)。

b.觀看教學(xué)視頻

-觀看在線教育平臺(tái)上的導(dǎo)數(shù)教學(xué)視頻，如KhanAcademy、Coursera等。

-觀看科普視頻，如《數(shù)學(xué)之美》等，了解導(dǎo)數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。

c.參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽

-參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（AMC）、國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）等。

-通過(guò)競(jìng)賽，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。

d.實(shí)踐項(xiàng)目

-參與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，如美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（MCM/ICM）等。

-在實(shí)踐中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，解決實(shí)際問(wèn)題，如優(yōu)化設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)分析等。

e.小組討論與合作

-與同學(xué)組成學(xué)習(xí)小組，共同討論導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。

-通過(guò)合作學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的溝通能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。

f.教師指導(dǎo)

-向數(shù)學(xué)教師請(qǐng)教，解決在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題。

-參加教師組織的輔導(dǎo)班或講座，拓寬知識(shí)面。

g.拓展閱讀

-閱讀數(shù)學(xué)期刊和論文，了解導(dǎo)數(shù)領(lǐng)域的最新研究成果。

-閱讀數(shù)學(xué)家的傳記，了解他們的研究方法和思維方式。板書(shū)設(shè)計(jì)①導(dǎo)數(shù)概念

-導(dǎo)數(shù)定義：函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率

-幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率

②求導(dǎo)法則

-基本求導(dǎo)法則：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的求導(dǎo)

-復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：鏈?zhǔn)椒▌t、商法則、積法則

③導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用

-單調(diào)性：通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

-極值：通過(guò)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)判斷極值點(diǎn)，結(jié)合端點(diǎn)值判斷最值

-函數(shù)的凹凸性：通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性

④函數(shù)最值的求法

-閉區(qū)間上的最值：利用導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)值分析

-開(kāi)區(qū)間上的最值：利用導(dǎo)數(shù)分析并考慮端點(diǎn)值的影響

⑤導(dǎo)數(shù)應(yīng)用實(shí)例

-物理學(xué)中的應(yīng)用：速度和加速度

-經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：邊際成本和邊際收益

⑥總結(jié)

-導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具

-導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義

-利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值問(wèn)題作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.完成課本第6章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用部分的相關(guān)練習(xí)題，包括求導(dǎo)法則的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性和極值的判斷等。

-作業(yè)內(nèi)容：第6章課后練習(xí)題1-5題（涉及求導(dǎo)法則）

-目的：鞏固求導(dǎo)法則的應(yīng)用，提高學(xué)生的計(jì)算能力。

2.分析以下函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，并解釋原因。

-作業(yè)內(nèi)容：分析函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1的單調(diào)性和極值點(diǎn)。

-目的：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)的能力，提高邏輯推理能力。

3.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，并使用導(dǎo)數(shù)解決它。

-作業(yè)內(nèi)容：設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于成本、收入和利潤(rùn)的問(wèn)題，并使用導(dǎo)數(shù)找到最優(yōu)解。

-目的：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

4.比較以下兩個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)，并解釋為什么它們的極值點(diǎn)不同。

-作業(yè)內(nèi)容：比較函數(shù)f(x)=x^2和g(x)=-x^2的極值點(diǎn)。

-目的：讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)在判斷極值點(diǎn)中的作用，以及不同函數(shù)特性的影響。

作業(yè)反饋：

1.作業(yè)批改：

-對(duì)于第1項(xiàng)作業(yè)，檢查學(xué)生是否正確應(yīng)用了求導(dǎo)法則，是否有計(jì)算錯(cuò)誤。

-對(duì)于第2項(xiàng)作業(yè)，評(píng)估學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)的理解程度，以及分析的合理性。

-對(duì)于第3項(xiàng)作業(yè)，評(píng)價(jià)學(xué)生設(shè)計(jì)的實(shí)際問(wèn)題的合理性，以及使用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的能力。

-對(duì)于第4項(xiàng)作業(yè)，檢查學(xué)生對(duì)極值點(diǎn)比較的準(zhǔn)確性，以及能否解釋原因。

2.作業(yè)反饋：

-對(duì)于求導(dǎo)法則的應(yīng)用，指出學(xué)生可能出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)誤，如忘記常數(shù)倍數(shù)法則、冪函數(shù)求導(dǎo)等。

-對(duì)于函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)的分析，強(qiáng)調(diào)分析步驟的完整性，如先求導(dǎo)數(shù)、再找零點(diǎn)、最后判斷極值。

-對(duì)于實(shí)際問(wèn)題解決，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的方法，并提供改進(jìn)建議，如如何更清晰地表達(dá)問(wèn)題、如何選擇合適的函數(shù)模型等。

-對(duì)于極值點(diǎn)比較，引導(dǎo)學(xué)生思考不同函數(shù)特性的影響，如奇偶性、對(duì)稱性等。

3.反饋方式：

-通過(guò)書(shū)面反饋，詳細(xì)記錄學(xué)生的作業(yè)完成情況，包括正確答案、錯(cuò)誤原因和改進(jìn)建議。

-通過(guò)課堂講解，針對(duì)共性問(wèn)題進(jìn)行集體反饋，幫助學(xué)生共同進(jìn)步。

-通過(guò)個(gè)別輔導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生的個(gè)性化問(wèn)題進(jìn)行一對(duì)一的反饋和指導(dǎo)。

4.反饋目的：

-促進(jìn)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念和應(yīng)用的深入理解。

-幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并改正錯(cuò)誤，提高解題能力。

-鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。教學(xué)反思九、教學(xué)反思

今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的函數(shù)最值求法。整體來(lái)看，我覺(jué)得有幾個(gè)方面值得反思。

首先，我覺(jué)得我在導(dǎo)入新課的時(shí)候做得還可以。我嘗試用一個(gè)簡(jiǎn)單的物理例子來(lái)引入導(dǎo)數(shù)的概念，這樣既激發(fā)了學(xué)生的興趣，又讓他們更容易理解導(dǎo)數(shù)的意義。但是，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義還是不太理解，他們似乎更習(xí)慣于從代數(shù)的角度去看待問(wèn)題。這讓我意識(shí)到，在今后的教學(xué)中，我需要更多地結(jié)合圖形和直觀的例子來(lái)幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

接著，我在講解求導(dǎo)法則時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用有些困難。他們往往記住了公式，但不知道如何在具體問(wèn)題中靈活運(yùn)用。我意識(shí)到，光靠講解是不夠的，我應(yīng)該在講解過(guò)程中加入更多的實(shí)例分析，讓學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)會(huì)如何運(yùn)用這些法則。同時(shí)，我也考慮在課后提供一些練習(xí)題，讓學(xué)生通過(guò)不斷的練習(xí)來(lái)提高他們的應(yīng)用能力。

在課堂活動(dòng)環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了一些小組討論的問(wèn)題，旨在讓學(xué)生通過(guò)合作學(xué)習(xí)來(lái)解決問(wèn)題。但是，我發(fā)現(xiàn)討論的效果并不理想，有些小組討論得很熱烈，而有些小組則顯得有些沉默。這可能是因?yàn)閷W(xué)生之間的互動(dòng)不夠，或者是對(duì)討論問(wèn)題缺乏興趣。因此，我需要在今后的教學(xué)中更加注重培養(yǎng)學(xué)生的