湖北省2024-2025學年高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省2024-2025學年高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】命題“，”的否定為“，”可得命題“”的否定是“”.故選：D.3.截取一塊扇形鋼板，若扇形鋼板的圓心角為，面積為，則這個扇形鋼板的半徑約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)扇形的半徑為，由扇形面積公式可得，又，可得（），故選：C.4.已知函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為和在上都是連續(xù)的增函數(shù)，所以在上是連續(xù)的增函數(shù)，所以在上至多有一個零點，因為，，所以，所以唯一的零點所在的區(qū)間為，故選：C.5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，“”是“”的必要不充分條件.故選:B.6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知函數(shù)的定義域為，因為，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，排除D.又當時，，則，排除C.又，排除B.故選：A.7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）間的關(guān)系為，其中、是正的常數(shù).如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，，當時，，即.所以當時，，即后，還剩的污染物，所以前消除的污染物的占比為.故選：A.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，，要比較與0的大小，即比較的大小.由，，可得，故；又，故，所以，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知角的終邊過，則（）A.角為第二象限角 B.C.當時， D.的值與的正負有關(guān)【答案】BC【解析】由，角的終邊在第四象限，顯然A錯誤；由定義，，B項正確；當時，，所以，所以C項正確；因為，與的正負無關(guān)，所以D項錯誤，故選：BC.10.已知函數(shù)的定義域為，，則（）A. B.C.為減函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】ABD【解析】因為，，令，可得，則，令，可得，則.對于A選項：令，可得，所以A正確；對于B選項：令可得，所以B正確；對于C選項：因為、，所以不可能為上減函數(shù)，故C錯誤；對于D選項：函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，令，可得，所以，所以為奇函數(shù)，所以D正確.故選：ABD.11.已知，函數(shù)，若恒成立，則（）A.的最小值為9 B.的最小值為2C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AC【解析】因為?單調(diào)遞增，?單調(diào)遞增，恒成立，所以與零點相等，令可得，令可得所以函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，所以對于A選項：，可知，故，所以，當且僅當，即取等號，所以A正確；對于B選項：，可知，即，顯然，所以，當且僅當時等號成立，故B錯誤；對于C選項：由可知，易知，，故，所以，故，當且僅當，即取等號，所以C正確；對于D選項：由可知，，由A選項可知，所以，當且僅當取最小值，所以D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)的圖象過點，則_____.【答案】8【解析】由題意得，，解得，所以.故答案為：.13.若，且，則_____.【答案】或【解析】法1：由已知得，與聯(lián)立可得，故，因為，則，所以.法2：由可知，因為，則，，則，由于，則，聯(lián)立，解得，即.法3：由，構(gòu)造對偶式，令，兩式平方相加可得，因為，則，，則，即或（舍），所以，解得.故答案為：.14.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作，即.已知.（1）_____；（2）若方程恰有5個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】因為，所以，所以；，畫出的圖象要使方程恰有5個實數(shù)根，結(jié)合圖像可知，，解得.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）依題意，所以.（2）由（1）及，得，解得，所以16.已知集合.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若集合中恰有3個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，可得或，即集合或：由，得或，解得或.（2）易知集合的區(qū)間長度為6，故中最少有5個整數(shù)，而集合中端點“”與“7”相距8個單位，故要使集合中恰有3個整數(shù)，則有兩種情形：①當即，要使集合中恰有3個整數(shù)，三個整數(shù)應(yīng)為，，，則，可知②當即時，要使集合中恰有3個整數(shù)，三個整數(shù)應(yīng)為7，8，9，則，可知綜上可知.17.已知，函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式：.解：（1）法一：因為為奇函數(shù)，所以，即，亦即，解得.法二：因為為奇函數(shù)，所以，即，解得.此時，所以所以符合題意，故.（2）為增函數(shù).證明如下：設(shè)且，則.因為，所以，即，故，所以為增函數(shù).（3）原不等式即為.又由（1）可知為奇函數(shù)，所以.又由（2）可知為增函數(shù)，所以，即，解得.所以原不等式解集為.18.某企業(yè)生產(chǎn)一批產(chǎn)品，受工藝和技術(shù)水平的限制，在生產(chǎn)中會產(chǎn)生一些次品，其次品率與日產(chǎn)量（單位：千件）之間滿足如下關(guān)系：（且）.每生產(chǎn)1千件合格品企業(yè)平均可以獲利5萬元，但每生產(chǎn)1千件次品企業(yè)平均虧損7萬元.（注：次品率，盈利=獲利總額-虧損總額.）（1）求企業(yè)日盈利（單位：萬元）關(guān)于日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當日產(chǎn)量多少時，企業(yè)日盈利最大？解：（1）依題意，，當時，，則，當時，，則，所以日盈利關(guān)于日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，（且）.（2）由（1）知，當時，企業(yè)不盈利，則只需考慮時的情況，設(shè)，，則，且，則，①當，即時，，當且僅當，即時，取最大值27萬元，此時千件；②當，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當，即千件時，取最大值，最大值為萬元，所以當，時，日產(chǎn)量（千件）時，企業(yè)盈利最大；當，時，日產(chǎn)量（千件）時，企業(yè)盈利最大.19.用表示中的最小值，用表示中的最大值.（1）已知，求的值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，函數(shù)，試討論函數(shù)的零點的個數(shù).解：（1）由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即又由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即.又因為，所以，即.（2）解法一：由，可得，且.則，所以，當且僅當即，時取等號，所以的最大值為.解法二：由，可得，且.則，所以，當且僅當即，時取等號，所以的最大值為.解法三：由，可得，且.所以.下面研究的最大值：，令，，則有.由及可得，故的最大值為.接下來驗證取等號的條件.當時，，所以取等號的條件為即，時取等號，所以，故的最大值為.（3），，由可得.對，則①當，即時，恒成立，所以的零點也為的零點，故有個零點；②當，即或.（i）當時，，此時，是的個零點.（ii）當時，，當時，，，當時，，當且僅當，所以有個零點，和.②當，即或，有個零點，記為.所以，（i）當