專題16 遞推公式-構(gòu)造法求通項【一題一專題 技巧全突破】熱點題型專項突破（解析版）

遞推公式---構(gòu)造法求通項高考定位已知數(shù)列的遞推關(guān)系求解通項公式是命題的熱點，可以很好地考查學生邏輯推理與數(shù)學運算核心素養(yǎng).專題解析一般地，可以通過將遞推式進行適當?shù)淖冃危瑯?gòu)造出等差數(shù)列、等比數(shù)列或常數(shù)列，從而求得原數(shù)列的通項公式，本專題匯總了常見的遞推公式，并進行全面梳理。數(shù)列數(shù)列求通項求和公式法疊加法疊乘法構(gòu)造法專項突破基礎(chǔ)類型一、a例1．在數(shù)列中，，且，則的通項為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；【詳解】解：∵，∴，由，得，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即．故選：A練．已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的（為正整數(shù)）的值為（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】先求得的通項公式，然后解不等式求得的值.【詳解】依題意，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，由得，即，即，，而在上遞減，所以由可知.故選：D基礎(chǔ)類型二、p例2．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由遞推式可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，，即數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故選：D.練．已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項公式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】對兩邊取倒數(shù)后，可以判斷是首項為1，公差為的等差數(shù)列，即可求得.【詳解】由數(shù)列滿足：，兩邊取倒數(shù)得：，即，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以故選:D練．已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式；【答案】【分析】首先證得是等差數(shù)列，然后求出的通項公式，進而求出的通項公式；【詳解】解：因為，所以令，則，解得，對兩邊同時除以，得，又因為，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；練．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將遞推關(guān)系式整理為，可知數(shù)列為等差數(shù)列，借助等差數(shù)列通項公式可整理求得，從而得到的通項公式；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可采用分離變量法得到，結(jié)合導數(shù)的知識可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由得：．，即，是公差為的等差數(shù)列．，，，．是遞減數(shù)列，，，即，即．只需，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，當時，，即，，即實數(shù)的取值范圍是．故選：B．練．已知數(shù)列滿足，記數(shù)列前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，利用累加法可求得，求得的范圍，從而可得的范圍，從而可得出答案.【詳解】解：由可得，化簡得，累加求和得，化簡得，因為，所以，即，．，，所以，即．故選：B.基礎(chǔ)類型三、a例3．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用累加法得出.【詳解】由題意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故選：B.練．數(shù)列滿足，且（），則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用累加法求得，進而得到，利用裂項相消法求解.【詳解】∵，，…，，∴，即，∴，．∵符合上式，∴．∴，，，．故選：A．類型四、a例4．若數(shù)列滿足，，，且，則______．【答案】15【詳解】由可得，an所以a所以a解得.故答案為：15練．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前36項和為（）A．174 B．672 C．1494 D．5904【答案】B【分析】由條件可得，由此求出數(shù)列的通項，進而求得數(shù)列的通項，再利用分組求和方法即可計算作答.【詳解】在數(shù)列中，，當時，，anan?1=因，，則，因此，，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，于是得，所以數(shù)列前36項和為672.故選：B練．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是數(shù)列的前項和，證明．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）先化簡遞推公式，由等比數(shù)列的定義判斷出，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出；（2）由（1）和條件求出，利用作差法判斷出數(shù)列的單調(diào)性，可求出的最大值，再求實數(shù)的取值范圍；（3）由（1）化簡，利用裂項相消法求出，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出的單調(diào)性，結(jié)合的取值范圍求出的范圍，即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）由已知，，可得，即：an+1an=疊加得：．（2）由（1）知，所以，所以，．，所以，所以則當，，即，當，，即，是最大項且，．（3），又令，顯然在時單調(diào)遞減，所以，故而．基礎(chǔ)類型五、含Sn的遞推公式例5.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*.(1)求{an}的通項公式；(2)若bn＝eq\f(n,an)，求{bn}的前n項和Tn，并判斷是否存在正整數(shù)n，使得Tn·2n－1＝n＋50成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，請說明理由.解(1)因為Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，eq\f(Sn＋1＋1,Sn＋1)＝2.因為a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也滿足此式.故an＝2n－1，n∈N*.(2)易得bn＝eq\f(n,an)＝eq\f(n,2n－1)，則Tn＝eq\f(1,20)＋eq\f(2,21)＋…＋eq\f(n,2n－1)，所以eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,21)＋eq\f(2,22)＋…＋eq\f(n,2n).兩式相減得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,20)＋eq\f(1,21)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(n＋2,2n).即Tn＝4－eq\f(n＋2,2n－1)，代入Tn·2n－1＝n＋50得，2n－n－26＝0.令f(x)＝2x－x－26(x≥1)，則f′(x)＝2xln2－1>2xlneq\r(e)－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以f(x)＝2x－x－26在[1，＋∞)上為增函數(shù).而f(5)·f(4)<0，故不存在正整數(shù)n使得Tn·2n－1＝n＋50成立.練.已知數(shù)列的前項和為.若，且（1）求；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為.證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由題意得，從而得到數(shù)列是以為首項?為公差的等差數(shù)列，即可得到答案；（2）求得數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求和，結(jié)合不等式的放縮法，即可得到答案；（1）因為數(shù)列的前項和為，所以由可得又因為，所以，因此，數(shù)列是以為首項?為公差的等差數(shù)列，所以.（2）因為而，所以所以數(shù)列的前項和為故，命題得證.提高類型一、a例1-1．已知列滿足，且，．（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推式得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)論得證.（2）由（1）直接寫出通項公式即可.【詳解】（1）由題設(shè)知：，且，∴是首項、公差均為1的等差數(shù)列，又，則數(shù)列為等差數(shù)列，得證.（2）由（1）知：.練．已知在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；【詳解】解:因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．故選：A練．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式______．【答案】【分析】利用條件構(gòu)造數(shù)列，可得數(shù)列為等差數(shù)列即求.【詳解】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項公式．故答案為：.練．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式________.【答案】【分析】由，可得，設(shè)，即，先求出的通項公式，進而得到答案.【詳解】由，可得，設(shè)則，則所以是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.則，則，所以故答案為：練．已知數(shù)列中，，且滿足，若對于任意，都有成立，則實數(shù)的最小值是_________.【答案】2【分析】將已知等式化為，根據(jù)數(shù)列是首項為3公差為1的等差數(shù)列，可求得通項公式，將不等式化為恒成立，求出的最大值即可得解.【詳解】因為時，，所以，而，所以數(shù)列是首項為3公差為1的等差數(shù)列，故，從而.又因為恒成立，即恒成立，所以.由得，得，所以，所以，即實數(shù)的最小值是2.故答案為：2練．在數(shù)列中，，且，則______.(用含的式子表示)【答案】【分析】將條件變形為，即數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以所以.故答案為：提高類型二、an=p例2-1．設(shè)數(shù)列滿足，若，且數(shù)列的前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)的遞推關(guān)系求出的通項公式，代入的表達式中，求出的通項，即可求解的前項和【詳解】由可得,∵,∴,則可得數(shù)列為常數(shù)列，即,∴∴,∴.故選:D練．已知數(shù)列的前項和滿足，，證明：對任意的整數(shù)，有.【答案】證明見解析【分析】由與的關(guān)系，結(jié)合待定系數(shù)法可求得，由于通項中含有，考慮分項討論，分析得出當且為奇數(shù)時，，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)進行分類討論，結(jié)合放縮法以及等比數(shù)列的求和公式可證得所證不等式成立.【詳解】當時，，解得，當時，由可得，兩式作差得，即，設(shè)，即，所以，，得，所以，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且首項為，所以，，故，由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當且為奇數(shù)時，（減項放縮）.①當且為偶數(shù)時，；②當且為奇數(shù)時，所以，.因此，對任意的整數(shù)，有.練．已知數(shù)列的前項和滿足：，則為__________．【答案】【分析】當時，，將已知式子變形得：，繼而推出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求解即可.【詳解】當時，，，也即：，，即：，當時，，解得：，，數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，，即.故答案為：.提高類型三、an+1a例3-1．已知數(shù)列滿足，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列遞推式得到是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出其通項公式后代入，當時，，且求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由得，則由，得，∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，由，得，因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以時，，，即，所以，又∵，，由，得，得，綜上：實數(shù)的取值范圍是.故選：C.練．已知數(shù)列滿足，，則通項公式_______.【答案】【分析】先取倒數(shù)可得,即,由等比數(shù)列的定義可得時,,即,再檢驗時是否符合即可【詳解】由題,因為,所以,所以,當時,,所以,所以當時,,則,即,當時,,符合,所以,故答案為:提高類型四、an+1a例4-1．已知數(shù)列滿足，，若，當時，的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知遞推關(guān)系式變形可得，由此可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可取得，進而得到；由可上下相消求得，結(jié)合解不等式可求得的最小值.【詳解】由得：，，，即，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，則，，由得：，又，且，的最小值為.故選：C.練．設(shè)數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項和為，則的值為___________．【答案】2023【分析】根據(jù)遞推公式，可知從第2項起是等差數(shù)列，可得，再根據(jù)累加法，可得，由此可得當時，，又，由此即可求出.【詳解】當時，，，，，從第2項起是等差數(shù)列.又，，，，，當時，，（），當時，.又，.故答案為：2023提高類型五、an+1a例5-1．已知數(shù)列滿足，其中.（1）求證是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，若對任意的恒成立，求p的最小值.【答案】（1）證明見解析，；（2）最小值為1.【分析】（1）根據(jù)，可得，從而可得，即可得出結(jié)論，再根據(jù)等差數(shù)列的通項即可求得數(shù)列的通項公式；（2），即，設(shè)，利用作差法證明數(shù)列單調(diào)遞減，從而可得出答案.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.，∴.（2）解：∵，∴，即對任意的恒成立，而，設(shè)，∴，，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當時，，∴.∴p的最小值為1.練．已知數(shù)列{an}滿足a1a2…an＝1an．（1）求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，證明：b1+b2+…+bn＜．【答案】（1）證明見解析，an＝；（2）證明見解析.【分析】（1）由題設(shè)得，進而構(gòu)造與的關(guān)系式，利用等差數(shù)列的定義證明結(jié)論，然后求a1，即可得an；（2）由（1）求得Tn與bn，再利用放縮法與裂項相消法證明結(jié)論．【詳解】（1）∵a1a2…an＝1an①，則a1a2…an+1＝1an+1②，∴兩式相除得：，整理得，∴，則，∴，又n＝1時有a1＝1a1，解得：，∴，∴數(shù)列{}是以為首項，為公差的等差數(shù)列，∴，即.（2）由（1）得：Tn＝a1a2…an＝，∴bn＝，∴b1+b2+…+bn＜，得證．提高類型六、a例6-1．已知數(shù)列的前項和為，，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得出數(shù)列是等比數(shù)列，然后可利用數(shù)列的奇數(shù)項仍然為等比數(shù)列，求得和．【詳解】因為，所以，又，所以，所以是等比數(shù)列，公比為4，首項為3，則數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為，首項為3．所以．故選：A．練．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，從而得數(shù)列以為首項，2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)，可化為，從而即可求得答案.【詳解】由可得，若，則，與題中條件矛盾，故，所以，即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：A．練．數(shù)列各項均是正數(shù)，，，函數(shù)在點處的切線過點，則下列命題正確的個數(shù)是（）．①；②數(shù)列是等比數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義得到，整理得到，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項，即可判斷；【詳解】解：由得，所以，∴（*），①，，，，∴，正確；②由（*）知，∴首項，，∴是等比數(shù)列，正確；③，首項，不符合等比數(shù)列的定義，錯誤；④由②對可知：，兩邊同除得，令，∴，．∴，，即數(shù)列是恒為0的常數(shù)列．∴，故錯誤．故選：B．練．已知數(shù)列中的分別為直線在軸、軸上的截距，且，則數(shù)列的通項公式為_____________．【答案】【詳解】試題分析：由已知得：，已知條件可化為，設(shè)，可化為：，則，解得：，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則．兩邊同時除以轉(zhuǎn)化為：，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．提高類型七、a例7-1．已知數(shù)列滿足，，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）構(gòu)造，結(jié)合已知條件可知是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，寫出通項公式，再應用累加法有，即可求的通項公式；（2）由（1）知：，易知在上恒成立，且數(shù)列單調(diào)遞增，即可求其最小值.【詳解】（1）令，則，而，∴是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，即，∴，又，∴.（2）由題設(shè)，，，∴，當且僅當時等號成立，故且在上單調(diào)遞增，又，∴當時，的最小值.練．已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式_______________________.【答案】【分析】由已知條件可得，從而有是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進而可得，最后利用累加法及等差數(shù)列的前n項和公式即可求解.【詳解】解：由,得，則，由得，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，當時，，所以，當時，也適合上式，所以，故答案為：.練．已知是數(shù)列的前項和，，，，求數(shù)列的通項公式___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造，可得是公比為的等比數(shù)列，即，再由累加法以及分組求和即可求解.【詳解】因為，所以，因此，因為，，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以當時，，，，，，以上各式累加可得：，因為，所以；又符合上式，所以.故答案為：.提高類型八、含Sn例8-1．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，（），則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系,將轉(zhuǎn)換為的遞推公式,繼而構(gòu)造數(shù)列求出,再得到關(guān)于的表達式,進而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得的增減性求解即可.【詳解】由題,當時,,整理得,即數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.所以,故.所以,令函數(shù),則.故數(shù)列是一個遞增數(shù)列,當時,有最小值.故選：B練．數(shù)列的前項和為，已知，，則___．【答案】【分析】由給定條件借助消去，求出即可得解.【詳解】因，，而，則，于是得，又，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，從而有，即，，時，，而滿足上式，所以，.故答案為：練．數(shù)列滿足，（，），則______.【答案】【分析】利用項和轉(zhuǎn)換，得到，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，可得，再借助，即得解.【詳解】由于，即故是以為首項，為公差的等差數(shù)列由于故答案為：練．已知Sn＝4－an－，求an與Sn.【答案】an＝n·，n∈N*；Sn＝4－.【分析】由題得Sn＝4－an－，Sn－1＝4－an－1－，n≥2，兩式相減化簡即得an與Sn.【詳解】∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，當n≥2時，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.∴an＝an－1＋∴，∴2nan－2n－1an－1＝2，∴{2nan}是等差數(shù)列，d＝2，首項為2a1.∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝n·，n∈N*，∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.練.在各項均不為0的數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足Seq\o\al(2,n)＝aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,2)))，求數(shù)列{an}的通項.解當n≥2時，有an＝Sn－Sn－1，將其代入Seq\o\al(2,n)＝aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,2)))，可得Seq\o\al(2,n)＝(Sn－Sn－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,2)))＝Seq\o\al(2,n)－eq\f(1,2)Sn－SnSn－1＋eq\f(1,2)Sn－1，整理化簡，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.又易知Sn≠0，得eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2.故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項為eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝1，公差為2的等差數(shù)列.因此eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋2(n－1)＝2n－1，則Sn＝eq\f(1,2n－1).當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n－3)＝－eq\f(2,（2n－1）·（2n－3）).經(jīng)驗證a1＝1不符合上式，故數(shù)列{an}的通項為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,－\f(2,（2n－1）·（2n－3）)，n≥2.))提高類型九、f(n)?例9-1．在數(shù)列中，，，，則________.【答案】460【分析】由已知可得，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由此可求出的通項公式，得出所求.【詳解】，，即,所以，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，.故答案為：460.練．已知數(shù)列的首項，且滿足，則中最小的一項是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，所以，，，當時，，所以中最小的一項是.故選：B.練．數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項和為，則（）A．64 B．80 C． D．【答案】C【分析】由已知可得，即數(shù)列是等差數(shù)列，由此求出，分別令可求出.【詳解】數(shù)列滿足，，則，可得數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，即有，即為，則，則.故選：C.練．數(shù)列滿足，且，若，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】依題意，得，可判斷出數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，進一步可求得21a1=2，即其首項為2，從而可得an=，繼而可得答案．【詳解】∵，即，∴數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，又a1=1，∴21a1=2，即其首項為2，∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，∴an=．∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，∴若，則n的最小值為5，故選C．練．數(shù)列滿足：，，，令，數(shù)列的前項和為，則__________．【答案】【詳解】由遞推關(guān)系整理可得：，則：，據(jù)此可得：以上各式相加可得：，再次累加求通項可得：，當時該式也滿足題意，綜上可得：，則：練．在數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項和，則為___________.【答案】【分析】將化為，再由等比數(shù)列的定義和通項公式?求和公式，可得所求和.【詳解】解：由，，可得，即，所以數(shù)列是以為首項?2為公差的等差數(shù)列，所以，由，.故答案為：.類型十、帶平方遞推公式例10-1．若正項數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式是_______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件將原等式變形成，再利用構(gòu)造成基本數(shù)列的方法求解即得.【詳解】在正項數(shù)列中，，則有，于是得，而，因此得：數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以數(shù)列的通項公式是.故答案為：練．已知數(shù)列，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，進而可求得的值.【詳解】由可得，，根據(jù)遞推公式可得出，，，進而可知，對任意的，，在等式兩邊取對數(shù)可得，令，則，可得，則，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，，即.故選：B.練．已知數(shù)列的首項，則（）A．7268 B．5068 C．6398 D．4028【答案】C【分析】由得，所以構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，算出，求出.【詳解】易知，因為，所以，即，是以3為公差，以2為首項的等差數(shù)列.所以，即.故選：C練．若數(shù)列滿足，，則使得成立的最小正整數(shù)的值是______.【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得，代入不等式，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】，，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，由得：，即，，且，滿足題意的最小正整數(shù).故答案為：.練．數(shù)列滿足,記,則數(shù)列的前項和________．【答案】【詳解】試題分析：由得，且，所以數(shù)列構(gòu)成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，從而得到，則，所以,,兩式相減，得所以.例10-2．設(shè)數(shù)列滿足，，，，則______.【答案】【分析】由題意可得，，化簡整理得，令，可得，由此可得，從而可求出答案．【詳解】解：∵，，∴當時，，即，∴，∴，令，則，且，∴，又，∴，即，∴，故答案為：．練．已知數(shù)列滿足，則________【答案】【分析】等價變形，換元設(shè)，得，兩邊取對數(shù)，得是首項，公比的等比數(shù)列，求出可解.【詳解】，，，設(shè)，則，，兩邊取對數(shù)，，，所以是首項，公比的等比數(shù)列，，，故答案為：練．設(shè)二次函數(shù)滿足：（i）的解集為；（ii）對任意都有成立.數(shù)列滿足：，，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求證：【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）利用賦值法，令代入不等式即可求解.（2）根據(jù)不等式的解集可設(shè)，將代入即可求解.（3）由（2）可得，從而可得，得出，令，構(gòu)造為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式可得，進而求出，放縮后由等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】解：（1）由于對任意都有成立，則令，得，則；（2）由于的解集為，可設(shè)，由，可得，則；（3）證明：，則，即有，令，則，由于，則有，，即有，則，則，則，所以原不等式成立.類型十一、構(gòu)造常數(shù)列例11-1．若數(shù)列滿足，，，且，則______．【答案】15【分析】根據(jù)題意整理可得，所以為常數(shù)列，令即可得解.【詳解】由可得，兩邊同除可得，故數(shù)列為常數(shù)列，所以，所以，解得.故答案為：15練．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前36項和為（）A．174 B．672 C．1494 D．5904【答案】B【分析】由條件可得，由此求出數(shù)列的通項，進而求得數(shù)列的通項，再利用分組求和方法即可計算作答.【詳解】在數(shù)列中，，當時，，于是得數(shù)列是常數(shù)列，則，即，因，，則，因此，，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，于是得，所以數(shù)列前36項和為672.故選：B練．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）已知，，設(shè)___________，求數(shù)列的通項公式.在①，②，③，這3個條件中，任選一個解答上述問題.注：如果選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計分.【答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求，從而可求的通項.（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可得為常數(shù)列，據(jù)此可求的通項，從而可求相應的的通項公式.【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，故，故，而，故即，所以等差數(shù)列的公差為1，所以.（2）因此，故，所以，所以