第02講712全概率公式（知識(shí)清單3類熱點(diǎn)題型講練分層強(qiáng)化訓(xùn)練）

第02講7.1.2全概率公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合古典概型，了解利用概率的加法公式與乘法公式推導(dǎo)出全概率公式的過程，為解決一類概率問題奠定基礎(chǔ)。2.理解全概率公式，并能利用全概率公式進(jìn)行相關(guān)的概率計(jì)算。3.了解貝葉斯公式，并能利用貝葉斯公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)利用全概率公式求解事件概率，會(huì)利用貝葉斯公式進(jìn)行簡單的計(jì)算，解決簡單的應(yīng)用問題。知識(shí)點(diǎn)01：全概率公式（1）一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對(duì)任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.（2）全概率公式的理解全概率公式的直觀意義：某事件的發(fā)生有各種可能的原因（）,并且這些原因兩兩互斥不能同時(shí)發(fā)生，如果事件是由原因所引起的，且事件發(fā)生時(shí)，必同時(shí)發(fā)生，則與有關(guān)，且等于其總和.“全概率”的“全”就是總和的含義，若要求這個(gè)總和，需已知概率,或已知各原因發(fā)生的概率及在發(fā)生的條件下發(fā)生的概率.通俗地說，事件發(fā)生的可能性，就是其原因發(fā)生的可能性與已知在發(fā)生的條件下事件發(fā)生的可能性的乘積之和.【即學(xué)即練1】（2425高三上·山東·階段練習(xí)）一位教授去參加學(xué)術(shù)會(huì)議，他選擇自駕、乘坐動(dòng)車和飛機(jī)的概率分別為0.2，0.5，0.3，現(xiàn)在知道他選擇自駕、乘坐動(dòng)車和飛機(jī)遲到的概率分別為0.5，0.2，0.1，則這位教授遲到的概率為（

）A．0．8 B．0.5 C．0.23 D．0.32【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)全概率公式來求得正確答案.【詳解】依題意，教授遲到的概率為.故選：C知識(shí)點(diǎn)02：貝葉斯公式（1）設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，，則對(duì)任意的事件,，有，.【即學(xué)即練2】（2425高三上·江蘇揚(yáng)州）某工廠有兩個(gè)生產(chǎn)車間，所生產(chǎn)的同一批產(chǎn)品合格率分別是和，已知某批產(chǎn)品的和分別是兩個(gè)車間生產(chǎn)，質(zhì)量跟蹤小組從中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)不合格，則該產(chǎn)品是由A車間生產(chǎn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率【分析】根據(jù)貝葉斯公式求得正確答案.【詳解】依題意，該產(chǎn)品是由A車間生產(chǎn)的概率為：.故選：A題型01全概率公式的應(yīng)用【典例1】（多選）（2425高三上·廣西·期中）對(duì)于隨機(jī)事件，，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算條件概率、利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，可判斷AB的真假，根據(jù)和事件概率計(jì)算公式，可判斷C的真假，結(jié)合全概率公式和條件概率計(jì)算公式，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，故A正確；對(duì)于B：由，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所?所以.故D正確.故選：ABD【典例2】（2425高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動(dòng)期間設(shè)計(jì)出了一種游戲活動(dòng)，顧客需投擲一枚骰子兩次，若兩次投擲的數(shù)字都是偶數(shù)，則該顧客獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券5張，且有2次終極抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（2次抽獎(jiǎng)結(jié)果互不影響）；若兩次投擲的數(shù)字之和是5或9，則該顧客獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券5張，且有1次終極抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；其余情況顧客均獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券3張，不具有終極抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).已知每次在終極抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的獎(jiǎng)品和對(duì)應(yīng)的概率如下表所示.獎(jiǎng)品一個(gè)健身背包一盒蛋白粉概率則一位參加游戲活動(dòng)的顧客獲得蛋白粉的概率為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、利用全概率公式求概率【分析】記事件“顧客有兩次終極抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)”，事件“顧客有一次終極抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)”，事件“獲得蛋白粉”，求出，，利用全概率公式即可求解.【詳解】記事件“顧客有兩次終極抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)”，事件“顧客有一次終極抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)”，事件“獲得蛋白粉”，，，，兩次投擲的數(shù)字之和是5的情況有：“1,4”，“4,1”，“2,3”，“3,2”，兩次投擲的數(shù)字之和是9的情況有：“6,3”，“3,6”，“4,5”，“5,4”，所以，.故答案為：.【典例3】（2425高二上·四川眉山·期中）現(xiàn)有紅、黃、綠三個(gè)不透明盒子，其中紅色盒子內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球和一個(gè)綠球；黃色盒子內(nèi)裝有兩個(gè)紅球，兩個(gè)綠球；綠色盒子內(nèi)裝有兩個(gè)紅球，兩個(gè)黃球.小明第一次先從紅色盒子內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)球，將取出的球放入與球同色的盒子中；第二次從該放入球的盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球.記抽到紅球獲得1塊月餅、黃球獲得2塊月餅、綠球獲得3塊月餅，小明所獲得月餅為兩次抽球所獲得月餅的總和，求下列事件發(fā)生的概率(1)求第二次抽到紅的概率(2)如果第二次抽到紅球，那么它來自黃色盒子的概率(3)小明獲得4塊月餅的概率【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算條件概率、利用全概率公式求概率【分析】記紅球?yàn)?球，黃球?yàn)?球，綠球?yàn)?球，記事件分別表示第一次、第二次取到球，.（1）分別求出第一次摸出紅、黃、綠球的概率，以及第二次從紅、黃、綠盒子里摸出紅球的條件概率，再由全概率公式得到第二次摸出紅球的概率；（2）由條件概率和（1）中的結(jié)果計(jì)算得出答案；（3）列出所有可能得情況，分別求出發(fā)生的概率再求和.【詳解】（1）記紅球?yàn)?球，黃球?yàn)?球，綠球?yàn)?球，記事件分別表示第一次、第二次取到球，，則，，又由條件概率知，，，由全概率公式知，（2）如果第二次抽到紅球，那么它來自黃色盒子的概率為，（3）若小明獲得4塊月餅可能的情況有三種：①第一次從紅色盒子內(nèi)抽到紅球，第二次從紅盒子內(nèi)抽到綠球，其概率為，②第一次從紅色盒子內(nèi)抽到綠球，第二次從綠盒子內(nèi)抽到紅球，其概率為，③第一次從紅色盒子內(nèi)抽到黃球，第二次從黃盒子內(nèi)抽到黃球，其概率為，所以小明獲得4塊月餅的概率是.【變式1】（2425高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）某校團(tuán)委開展知識(shí)競賽活動(dòng)．現(xiàn)有兩組題目放在，兩個(gè)箱子中，箱中有6道選擇題和3道論述題，箱中有3道選擇題和2道論述題．參賽選手先在任一箱子中隨機(jī)選取一題，作答完后再在此箱子中選取第二題作答，答題結(jié)束后將這兩個(gè)題目放回原箱子．(1)若同學(xué)甲從箱中抽取了2題，求第2題抽到論述題的概率；(2)若同學(xué)乙從箱中抽取了2題，答題結(jié)束后誤將題目放回了箱，接著同學(xué)丙從箱中抽取題目作答，求丙取出的第一道題是選擇題的概率．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】（1）設(shè)出事件后，利用全概率公式求解即可得；（2）設(shè)出相應(yīng)事件后，借助組合數(shù)公式求出同學(xué)乙從箱中取出不同題目的不同概率，再利用全概率公式求解即可得.【詳解】（1）設(shè)事件表示“甲第次從箱中取到論述題”，，則；（2）設(shè)事件為“丙從箱中取出的第一道題是選擇題”，事件為“乙從箱中取出2道選擇題”，事件為“乙從箱中取出1道選擇題和1道論述題”，事件為“乙從箱中取出2道論述題”，則，，，則，即丙取出的第一道題是選擇題的概率為.【變式2】（2425高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）設(shè)有甲、乙兩個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子中裝有除顏色外其他都相同的小球，其中甲箱有4個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙箱有3個(gè)紅球和2個(gè)白球.從甲箱中隨機(jī)摸出2個(gè)球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球.(1)求從乙箱中摸出白球的概率；(2)若從乙箱中摸出白球，求從甲箱中摸出2個(gè)紅球的概率.【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算條件概率、利用全概率公式求概率、實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】（1）利用獨(dú)立乘法公式、全概率公式求從乙箱中摸出白球的概率（2）應(yīng)用條件概率的求法求從甲箱中摸出2個(gè)紅球的概率.【詳解】（1）由題意，從甲摸出2紅球概率為，此時(shí)從乙摸出白球概率為，從甲摸出2白球概率為，此時(shí)從乙摸出白球概率為，從甲摸出紅白球各一個(gè)的概率為，此時(shí)從乙摸出白球概率為，所以從乙箱中摸出白球的概率為.（2）由（1）知，從乙箱中摸出白球情況下，甲箱中摸出2個(gè)紅球的概率為.【變式3】（2425高三上·湖南·期中）某紅茶批發(fā)地只經(jīng)營甲?乙?丙三種品牌的紅茶，且甲?乙?丙三種品牌的紅茶優(yōu)質(zhì)率分別為.(1)若該紅茶批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌的紅茶市場占有量的比例為，小張到該批發(fā)地任意購買一盒紅茶，求他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率；(2)若小張到該批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌店各任意買一盒紅茶，求他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率【分析】（1）設(shè)出對(duì)應(yīng)事件，利用全概率公式完成概率計(jì)算；（2）先分析目標(biāo)事件所包含的事件，然后利用概率乘法公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)事件分別表示小張買到的紅茶品牌為甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品，則依據(jù)已知可得，，由全概率公式得，所以他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率為.（2）設(shè)事件表示他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶，組成事件的情況有：甲乙優(yōu)質(zhì)紅茶丙非優(yōu)質(zhì)紅茶、甲丙優(yōu)質(zhì)紅茶乙非優(yōu)質(zhì)紅茶，乙丙優(yōu)質(zhì)紅茶甲非優(yōu)質(zhì)紅茶，且優(yōu)質(zhì)與否互相獨(dú)立，則，所以他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率為.題型02貝葉斯公式的應(yīng)用【典例1】（2425高三上·河北滄州·階段練習(xí)）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，瓷器的發(fā)明是中華民族對(duì)世界文明的偉大貢獻(xiàn)，瓷器傳承著中國文化，有很高的欣賞和收藏價(jià)值．現(xiàn)有一批同規(guī)格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙瓷廠分別生產(chǎn)300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷廠的次品率依次為4%、3%、3%．現(xiàn)從這批瓷器中任取一件，若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】0.36【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率、計(jì)算條件概率、計(jì)算古典概型問題的概率【分析】先由古典概率計(jì)算抽到各廠產(chǎn)品的概率，再由全概率計(jì)算抽到次品的概率，最后由條件概率計(jì)算即可；【詳解】設(shè)B表示事件：取得次品．表示事件：該產(chǎn)品由第i家工廠生產(chǎn)（，2，3）．第i家工廠（，2，3）分別表示甲、乙、丙瓷廠．，，．，，，．故取到的是次品，則其來自甲廠的概率為．故答案為：0.36.【典例2】（2425高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）假定某工廠甲、乙、丙個(gè)車間生產(chǎn)同一種螺釘，產(chǎn)量依次占全廠的、、，如果各車間的次品率依次為、、.現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出個(gè)次品，則它是由甲車間生產(chǎn)的概率是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率、計(jì)算條件概率【分析】先根據(jù)全概率公式求出，再帶入貝葉斯公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)“從待出廠產(chǎn)品中取出個(gè)是次品”為事件A，從待出廠產(chǎn)品中取出個(gè)產(chǎn)品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的事件分別為事件，，，則，，，，，，由全概率公式得，現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出個(gè)次品，則它是由甲車間生產(chǎn)的概率是．故答案為：.【典例3】（2425高三·上海·課堂例題）一紙箱中原來裝有10件產(chǎn)品，其中一等品5件，二等品3件，三等品2件，若取走一件產(chǎn)品，但不知是幾等品，然后從紙箱中任取2件產(chǎn)品，結(jié)果都是一等品，求取走的也是一等品的概率．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率、計(jì)算條件概率【分析】利用結(jié)合條件，利用全概率公式及貝葉斯公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)事件為“取走的是等品”，其中，依題意，，且、、彼此互斥，則有，，，設(shè)事件為“取走一件產(chǎn)品后從紙箱中任取2件產(chǎn)品都是一等品”，則有，，，由全概率公式得，由貝葉斯公式得，，所以取走的也是一等品的概率.【變式1】（2425高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）在秋冬季節(jié)，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀.則任意一位病人有癥狀的概率為，病人有癥狀時(shí)患疾病的概率為（癥狀只在患有疾病，，時(shí)出現(xiàn)）【答案】//【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，，，，，，由全概率公式可知：，即任意一位病人有癥狀的概率為，由貝葉斯公式可知：，即病人有癥狀時(shí)患疾病的概率為.故答案為：，.【變式2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）有一臺(tái)用來檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量的儀器，已知一只次品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品的概率為0.99，而一只正品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品的概率為0.005，已知產(chǎn)品的次品率為，若一產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品，則它確實(shí)為次品的概率約為（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）．【答案】0.892【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率【分析】設(shè)“產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品”，“產(chǎn)品確實(shí)為次品”，求出，，，，根據(jù)貝葉斯公式求.【詳解】設(shè)“產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)被認(rèn)為是次品”，“產(chǎn)品確實(shí)為次品”，由題意知，，，，，由貝葉斯公式得，所求概率為．故答案為：0.892.【變式3】（2425高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）5個(gè)袋子中放有白球和黑球，其中1號(hào)袋中白球占，另外2，3，4，5號(hào)4個(gè)袋子中白球都占，從中隨機(jī)取1個(gè)袋子，從所取的袋子中隨機(jī)取1個(gè)球，結(jié)果是白球，求這個(gè)球來自1號(hào)袋中的概率．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)貝葉斯公式即可求解.【詳解】設(shè)“取到第號(hào)袋子”，，“取到白球”，根據(jù)題意得，，，由貝葉斯公式得，．所以這個(gè)球來自1號(hào)袋中的概率為．題型03全概率公式和貝葉斯公式的綜合應(yīng)用【典例1】（2425高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）有一道數(shù)學(xué)題，不知道答案的概率為，如果知道答案則本題答對(duì)的概率為，不知道答案則本題答對(duì)的概率為0.2，在答對(duì)本題的條件下，則不知道答案的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率、計(jì)算條件概率【分析】根據(jù)全概率公式和條件概率公式即可得出答案.【詳解】設(shè)事件：知道答案，事件：答對(duì)本題，則，，則故選：D【典例2】（2024高二·全國·專題練習(xí)）小張從家到公司上班總共有三條路可以直達(dá)，如圖所示，但是每條路每天擁堵的可能性不太一樣，由于路的長短不同，選擇每條路的概率如下：，，．每天上述三條路不擁堵的概率分別為：，，．假設(shè)遇到擁堵會(huì)遲到，不擁堵便不會(huì)遲到．(1)小張從家到公司不遲到的概率是多少？(2)小張到達(dá)公司未遲到且選擇第一條路的概率是多少？（結(jié)果保留三位小數(shù)）【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率、計(jì)算條件概率【分析】（1）小張從家到公司不遲到會(huì)受到三條路的影響，因此這是一個(gè)全概率問題，根據(jù)全概率求解即可；（2）運(yùn)用條件概率公式之后，再用概率的乘法公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)事件為到公司不遲到（說明選擇的路不擁堵），事件為選擇第條路．由全概率公式，得．所以小張從家到公司不遲到的概率是．（2）．所以他選擇第一條路的概率約是．【典例3】（2526高三上·上?！卧獪y試）某商店從三個(gè)廠購買了一批燈泡，甲廠占25%，乙廠占35%，丙廠占40%，各廠的次品率分別為5%、4%、2%．(1)求消費(fèi)者買到一只次品燈泡的概率；(2)若消費(fèi)者買到一只次品燈泡，則它是哪個(gè)廠家生產(chǎn)的可能性最大？【答案】(1)0.0345(2)買到乙廠產(chǎn)品的可能性最大【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率【分析】（1）直接由全概率公式即可求解；（2）直接由貝葉斯公式即可求解.【詳解】（1）記事件表示“消費(fèi)者買到一只次品燈泡”，、、分別表示“買到的燈泡是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的燈泡”，根據(jù)題意得，，，，，，．所以；（2），，，所以買到乙廠產(chǎn)品的可能性最大．【變式1】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）某醫(yī)院針對(duì)某種疾病研制了新的特效藥，可有效減輕癥狀，縮短病程．現(xiàn)將該藥品投入臨床試驗(yàn)，若不使用新藥，病人3天可痊愈的概率為0.3，若使用新藥，則3天痊愈的概率為0.9，假設(shè)臨床病人有0.7的概率選擇新藥，若某病人3天痊愈，則該病人未使用新藥的概率為（

）A．0．3 B．0.21 C．0.125 D．0.09【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率、計(jì)算條件概率【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】記事件使用新藥，則不使用新藥，病人3天病愈，依題意，，所以.故選：C【變式2】（2324高二下·全國·課后作業(yè)）已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，若從100個(gè)男人和100個(gè)女人中任選一人，則此人患色盲的概率為，若此人是色盲，則此人是男人的概率為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)全概率公式即可求解空1，由貝葉斯公式即可求解空2.【詳解】設(shè)“任選一人是男人”為事件A，“任選一人是女人”為事件B，“任選一人是色盲”為事件C，此人患色盲的概率．則．故答案為：【變式3】（2324高二下·廣西·期中）2024年某公司推出高、中、低3個(gè)價(jià)位的S型新能源汽車，這3個(gè)價(jià)位的新能源汽車的銷量之比為3∶3∶4，用戶對(duì)這3個(gè)價(jià)位的新能源汽車的滿意率分別為80%，60%，70%．(1)求用戶對(duì)S型新能源汽車的滿意率；(2)從對(duì)S型新能源汽車滿意的用戶中隨機(jī)抽取1人，求此用戶購買的是低價(jià)位S型新能源汽車的概率．【答案】(1)0.7(2)0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率【分析】（1）由全概率公式求解即可；（2）由貝葉斯公式求解．【詳解】（1）設(shè)“用戶購買的是高價(jià)位的S型新能源汽車”，“月用戶購買的是中價(jià)位的S型新能源汽車”，“用戶購買的是低價(jià)位的S型新能源汽車”，“用戶對(duì)S型新能源汽車滿意”，則，，兩兩互斥，且，，，，，，由全概率公式得．（2）從對(duì)S型新能源汽車滿意的用戶中隨機(jī)抽取1人，此用戶購買的是低價(jià)位S型新能源汽車的概率，就是在B發(fā)生的條件下，發(fā)生的概率，A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2324高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知某羽毛球小組共有20名運(yùn)動(dòng)員，其中一級(jí)運(yùn)動(dòng)員4人，二級(jí)運(yùn)動(dòng)員6人，三級(jí)運(yùn)動(dòng)員10人．現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，若一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率分別為0．9，0．6，0．2，則這20名運(yùn)動(dòng)員中任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率為（

）A．0．42 B．0.46 C．0.58 D．0.62【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件B為“選出的運(yùn)動(dòng)員能晉級(jí)”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是一級(jí)運(yùn)動(dòng)員”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是二級(jí)運(yùn)動(dòng)員”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是三級(jí)運(yùn)動(dòng)員”，則，，，又根據(jù)題意可得，，，由全概率公式可得：，任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率為0.46.故選：B.2．（2324高二下·福建漳州·期末）在一個(gè)關(guān)于智能助手的準(zhǔn)確率測試中，有三種不同的模型，，.模型的準(zhǔn)確率為0.8，模型的準(zhǔn)確率為0.75，模型的準(zhǔn)確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)模型進(jìn)行測試，則準(zhǔn)確率為（

）A．0．56 B．0.66 C．0.76 D．0.86【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率【分析】直接由全概率公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】由全概率公式可知，所求準(zhǔn)確率為.故選：C.3．（2324高二下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）設(shè)某公路上經(jīng)過的汽車不是貨車就是客車，且貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0．02，客車為0．01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率（

）A．0．6 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算條件概率、利用全概率公式求概率【分析】先用全概率公式計(jì)算中途有車修理的概率，再用貝葉斯公式求這個(gè)條件概率即可.【詳解】設(shè)表示該汽車是貨車，表示該汽車是客車，則設(shè)表示貨車中途停車修理，表示客車中途停車修理，表示汽車中途停車修理，則由全概率公式得∴今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為:故選：C.4．（2324高二下·甘肅武威·階段練習(xí)）設(shè)甲乘汽車、動(dòng)車前往某目的地的概率分別為0．3、0．5，汽車和動(dòng)車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0．6、0．8，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（

）A．0．62 B．0.64 C．0.58 D．0.68【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件表示甲乘動(dòng)車到達(dá)目的地，事件表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由題意知，，，．由全概率公式得．故選：C．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）“狼來了”的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個(gè)小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠實(shí)的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實(shí)的，則他說謊的概率是.最初人們不知道這個(gè)小孩誠實(shí)與否，所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠實(shí)的概率是.他說謊的概率是（

）A．0．1 B．0.9 C．0.05 D．0.14【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】利用全概率公式直接求得結(jié)果.【詳解】設(shè)事件表示“小孩誠實(shí)”，事件表示“小孩說謊”，則，，，，所以，故選：D6．（2425高三上·四川德陽·階段練習(xí)）已知一道解答題共有兩小問，第一問5分，第二問8分，現(xiàn)每10個(gè)人有6個(gè)人能夠解答出第一問，在第一問解答不出的情況下，解答出第二問的概率為0．1，第一問解答出來的情況下，第二問解答不出來的概率為0．7，則解答出第二問的概率為（

）A．0．04 B．0.18 C．0.22 D．0.46【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率、利用對(duì)立事件的概率公式求概率【分析】設(shè)相應(yīng)事件，由題意可得，根據(jù)對(duì)立事件求出所需事件的概率，依據(jù)全概率公式求解.【詳解】設(shè)“解出第一問”為事件，“解出第二問”為事件，由題意可得：，則，所以，，所以.故選：C7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）某平臺(tái)為維護(hù)消費(fèi)者權(quán)益，開設(shè)維權(quán)通道，消費(fèi)者可通過投訴專線、郵件投訴等多個(gè)渠道進(jìn)行消費(fèi)維權(quán)投訴．平臺(tái)將對(duì)投訴情況進(jìn)行核實(shí)，為消費(fèi)者提供咨詢幫助．據(jù)統(tǒng)計(jì)，在進(jìn)行維權(quán)的消費(fèi)者中，選擇投訴專線維權(quán)和郵件投訴維權(quán)的概率分別為和，且對(duì)應(yīng)維權(quán)成功的概率分別為、，選擇其他方式維權(quán)且成功的概率為，則在維權(quán)成功的條件下，選擇郵件投訴的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率【分析】設(shè)選擇郵件投訴為事件，維權(quán)成功為事件，求出、的值，利用條件概率公式可求得的值.【詳解】設(shè)選擇郵件投訴為事件，維權(quán)成功為事件，則，，故在維權(quán)成功的條件下，選擇郵件投訴的概率為.故選：B.8．（2324高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:35到5:395:40到5:445:45到5:495:50到5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車回家，結(jié)果他是5:47到家的，則他乘地鐵回家的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用貝葉斯公式求概率、利用全概率公式求概率【分析】應(yīng)用全概率、貝葉斯公式求乘地鐵回家的概率即可.【詳解】若表示乘地鐵，表示乘汽車，則，若表示5:45到5:49到家，則，所以，所以.故選：C二、多選題9．（2425高二上·吉林長春·期中）已知隨機(jī)事件滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率、事件的運(yùn)算及其含義【分析】利用概率的性質(zhì)結(jié)合已知即可推出A正確；再利用和事件的概率公式結(jié)合A選項(xiàng)，即可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，，，又，所以，故，A正確；對(duì)于BCD，，結(jié)合，則，而，所以，B正確，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD10．（2425高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）隨機(jī)事件A、B滿足，，，下列說法正確的是（

）A．事件與事件B相互獨(dú)立 B．C． D．【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】利用對(duì)立事件的概率公式求概率、計(jì)算條件概率、獨(dú)立事件的判斷、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】利用獨(dú)立事件計(jì)算公式可判斷A正確，易知，可得B錯(cuò)誤，根據(jù)全概率公式可得C正確，計(jì)算可得D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)，可得；又，可得；即滿足，因此事件與事件B相互獨(dú)立，即A正確；易知，因此B錯(cuò)誤；由可得，即可知C正確；計(jì)算可得，所以，即D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題11．（2025高三·全國·專題練習(xí)）某同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)選擇中的一家就餐，若第1天去餐廳，則第2天去餐廳的概率為0.6；若第1天去餐廳，則第2天去餐廳的概率為0.8．則該同學(xué)第2天去餐廳的概率為．【答案】0.3/【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可直接求得.【詳解】設(shè)“第天去餐廳就餐”，“第天去餐廳就餐”，則對(duì)立且，所以．故答案為：0.3.12．（2425高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）無人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感.去某地旅游的游客有無人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇.某游客去該地旅游，第一天隨機(jī)選擇一種酒店入住，如果第一天入住無人酒店，那么第二天還入住無人酒店的概率為0.8；如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無人酒店的概率為.【答案】0.7/【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率【分析】先由題意分別求出第一天入住無人酒店和第一天入住常規(guī)酒店后第二天還入住無人酒店的概率，再由全概率公式即可求解所求概率.【詳解】設(shè)第一天入住無人酒店為事件，第一天入住常規(guī)酒店為事件，第二天入住無人酒店為事件B，則由題意可得，所以由全概率公式可得該游客第二天入住無人酒店的概率為.故答案為：0.7.四、解答題13．（2324高二下·北京房山·期末）袋子中有個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，其中個(gè)白球，個(gè)黑球.從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，觀察顏色后放回，同時(shí)放入一個(gè)與其顏色大小相同的小球，然后再從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球.(1)求第一次摸到白球的概率；(2)求第二次摸到白球的概率；(3)求兩次摸到的小球顏色不同的概率.【答案】(1)(2)(3).【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、計(jì)算條件概率、利用全概率公式求概率【分析】（1）由古典概型計(jì)算可得結(jié)果；（2）由全概率公式計(jì)算可得；（3）根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)第一次摸到白球的事件為，則，即第一次摸到白球的概率為.（2）設(shè)第二次摸到白球的事件為，則，即第二次摸到白球的概率.（3）設(shè)兩次摸到的小球顏色不同的事件為，則，即兩次摸到的小球顏色不同的概率為.14．（2324高二下·廣東云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假設(shè)各箱含有0，1，2只殘次品的概率對(duì)應(yīng)為，和.一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)查看4只玻璃杯，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯；否則不買.求：(1)顧客買下該箱玻璃杯的概率；(2)在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算條件概率、利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率【分析】（1）設(shè)事件表示“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只殘次品”，利用全概率公式計(jì)算可得；（2）利用條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)事件表示“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只殘次品”，由題設(shè)可知，，，，且，，，所以.即顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為.（2）因?yàn)椋栽陬櫩唾I下的一箱中，沒有殘次品的概率是.15．（2324高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的和，且四條流水線的產(chǎn)品不合格率分別為和，現(xiàn)從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件.(1)問抽到不合格品的概率是多少?(2)在抽到這件產(chǎn)品不合格的條件下，它是第二條流水線生產(chǎn)的概率是多少?【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用全概率公式求概率、利用貝葉斯公式求概率【分析】（1）設(shè)A表示“任取一件產(chǎn)品，抽到不合格品”，表示“任取一件產(chǎn)品，結(jié)果是第條流水線的產(chǎn)品”，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解.（2）結(jié)合第（1）問，利用貝葉斯概率公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)A表示“任取一件產(chǎn)品，抽到不合格品”，表示“任取一件產(chǎn)品，結(jié)果是第條流水線的產(chǎn)品”，，由題意，，，，，且，，，，從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，抽取不合格品的概率是：.（2）結(jié)合第（1）問知.B能力提升16．（2324高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）現(xiàn)有編號(hào)為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3個(gè)盒子，Ⅰ號(hào)盒中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球；Ⅱ號(hào)盒中有2個(gè)白球和