人教版高中數(shù)學(xué)排列組合及概率全部教案

兩個(gè)基本原理

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)傳授目標(biāo)：正確理解和掌握加法原理和乘法原理

2、能力培養(yǎng)目標(biāo)：能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題

3、思想教育目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的

能力

二、教材分析

1.重點(diǎn)：加法原理，乘法原理。解決方法：利用簡(jiǎn)單的舉例得到一般

的結(jié)論.

2.難點(diǎn)：加法原理，乘法原理的區(qū)分。解決方法：運(yùn)用對(duì)比的方法比較它們

的異同.

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)：思考，討論，對(duì)比，練習(xí).

2.教具：多媒體課件.

四、教學(xué)過程正

1.新課導(dǎo)入

隨著社會(huì)發(fā)展，先進(jìn)技術(shù)，使得各種問題解決方法多樣化，高標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)要求，

使得商品生產(chǎn)工序復(fù)雜化，解決一件事常常有多種方法完成，或幾個(gè)過程才能完

成。

排列組合這一章都是討論簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，而排列、組合的基礎(chǔ)就是基

本原理，用好基本原理是排列組合的關(guān)鍵.

2.新課

我們先看下面兩個(gè)問題.

1從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.一天中，

火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到

乙地共有多少種不同的走法？

板書：圖

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法,

每一種走法都可以從甲地到達(dá)乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙

地共有4+2+39種不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有ml

種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有

mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=ml十m2十…十mn種不同的方法.

2我們?cè)倏聪旅娴膯栴}：

由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條.從A村經(jīng)B村去

C村，共有多少種不同的走法？

板書：圖

這里，從A村到B村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法

到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村又有2種不同的走法.因此，從A村經(jīng)B村去C

村共有3X26種不同的走法.

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有ml種不同的

方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法.那么

完成這件事共有N=mlm2…mn種不同的方法.

例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

1）從中任取一本，有多少種不同的取法？

2）從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？

解：（1）從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上層取數(shù)學(xué)書,

可以從6本書中任取一本，有6種方法；第二類辦法是從下層取語文書，可以從

5本書中任取一本，有5種方法.根據(jù)加法原理，得到不同的取法的種數(shù)是6十

511.

答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法.

（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，可以分成兩個(gè)步驟完成：第一

步取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第二步取一本語文書，有5種方法.根據(jù)乘法原

理，得到不同的取法的種數(shù)是N=6X5=30.

答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有30種不同的方法.

練習(xí)：一同學(xué)有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣

1）從中任取一枚，有多少種不同取法？2）從中任取明清古幣各一枚，

有多少種不同取法？

例21由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)三位數(shù)？

2由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

3由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)

字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，共有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由

于數(shù)字允許重復(fù),

這仍有5種選法，第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法.根據(jù)

乘法原理，得到可以組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是N5X5X5125.

答：可以組成125個(gè)三位數(shù).

練習(xí)：

1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲

地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.

（1）從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？

（2）從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.一名兒童做加法游戲.在一個(gè)紅口袋中裝著20張分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、

19、20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù)；在另一個(gè)黃口袋中

裝著10張分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、9、10的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)

作為加數(shù).這名兒童一共可以列出多少個(gè)加法式子？

3.題2的變形

4.由0—9這10個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

小結(jié)：要解決某個(gè)此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時(shí)用加法,

分步時(shí)用乘法

其次要注意怎樣分類和分步，以后會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)

練習(xí)

1.（口答）一件工作可以用兩種方法完成.有5人會(huì)用第一種方法完成，

另有4人會(huì)用第二種方法完成.選出一個(gè)人來完成這件工作，共有多少種選法？

2.在讀書活動(dòng)中，一個(gè)學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本文藝書

里任選一本，共有多少種不同的選法？

3.乘積(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項(xiàng)？

4.從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁

地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通.從甲地到丙地共有多少種不同的

走法？

5.一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，所有這些小球

的顏色互不相同.

(1)從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

(2)從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

作業(yè)：(略)

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排列

【復(fù)習(xí)基本原理】

1.加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有ml種不

同的方法，第二辦法中有m2種不同的方法，第n辦法中有mn種不同的方法,

那么完成這件事共有

Nml+m2+m3+…mn

種不同的方法.

2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有ml種不

同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，.

那么完成這件事共有

Nmlm2m3…mn

種不同的方法.

3.兩個(gè)原理的區(qū)別：

【練習(xí)11

1.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同的機(jī)

票？

2.由數(shù)字1、2、3可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)？請(qǐng)一一列出.

【基本概念】

什么叫排列？從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素（這里的被取元素各不相

同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列

什么叫不同的排列？元素和順序至少有一個(gè)不同.

什么叫相同的排列？元素和順序都相同的排列.

什么叫一個(gè)排列？

【例題與練習(xí)】

由數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

2.已知a、b、c、d四個(gè)元素，①寫出每次取出3個(gè)元素的所有排列；②寫

出每次取出4個(gè)元素的所有排列.

【排列數(shù)】

定義：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元

素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.

用符號(hào)表示上述各題中的排列數(shù).

排列數(shù)公式：nn-ln-2…n-m+1

計(jì)

算:

【課后檢測(cè)】

寫出：

從五個(gè)元素a、b、c、d、e中任意取出兩個(gè)、三個(gè)元素的所有排列；

由1、2、3、4組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

由0、1、2、3組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

計(jì)算：

①②③④

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排列

課題：排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用1

目的：進(jìn)一步掌握排列、排列數(shù)的概念以及排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式，會(huì)用排

列數(shù)公式計(jì)算和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

過程：

一、復(fù)習(xí)：（引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)整理）

1.排列的定義，理解排列定義需要注意的幾點(diǎn)問題；

2.排列數(shù)的定義，排列數(shù)的計(jì)算公式

或（其中mWnm,nZ）

3.全排列、階乘的意義；規(guī)定0!1

4.“分類”、“分步”思想在排列問題中的應(yīng)用.

二、新授:

例1：⑴7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？

解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列一一=5040

⑵7位同學(xué)站成兩排（前3后4）,共有多少種不同的排法？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7X6X5X4X3X2X1=71=5040

⑶7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列一一720

⑷7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的

5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種則共有240種排列方法

⑸7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

解法一（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中

選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行

排列（全排列）有種方法所以一共有=2400種排列方法.

解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種

方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法.所以甲不能站在排頭，乙不能排

在排尾的排法共有一+2400種.

小結(jié)一：對(duì)于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除

法”，對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮.

例2:7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？

解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同

學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法.所

以這樣的排法一共有=1440種.

⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？

解：方法同上，一共有=720種.

⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？

解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有

6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)

元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種方法；最后

將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法.所以這樣的排法一共有=960種

方法.

解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元

素，

若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有種方

法.

解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元

素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有種方法，

再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有種方法,最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”,

所以這樣的排法一共有=960種方法.

小結(jié)二：對(duì)于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）.

例3：7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？

解法一：（排除法）

解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位

置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空）有種方法，

所以一共有種方法.

⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？

解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空”，

再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)''空”有種方法，所以一共有=1440

種.

小結(jié)三：對(duì)于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）.

三、小結(jié)：

1.對(duì)有約束條件的排列問題，應(yīng)注意如下類型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）；

2.基本的解題方法：

⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，

稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）；

⑵某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看作一個(gè)元素，與其他元

素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；

⑶某些元素不相鄰排列時(shí)，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入

空擋，這種方法稱為“插空法”；

（4）在處理排列問題時(shí)，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有

效的解題途徑，這是學(xué)好排列問題的根基.

四、作業(yè)：《課課練》之“排列課時(shí)1—3”

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排列

課題：排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用2

目的：使學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)用排列數(shù)公式計(jì)算和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，進(jìn)一步培

養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解.

過程：

一、復(fù)習(xí)：

1.排列、排列數(shù)的定義，排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式；

2.常見的排隊(duì)的三種題型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置一一優(yōu)限法；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）一一捆綁法；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）一一插空法.

3.分類、分布思想的應(yīng)用.

二、新授：

示例一：從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演

員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？

解法二：（從特殊元素考慮）若選：若不選：

則共有十=136080

解法三：（間接法）136080

示例二：

⑴八個(gè)人排成前后兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后

排,

則共有多少種不同的排法？

略解：甲、乙排在前排；丙排在后排；其余進(jìn)行全排列.

所以一共有=5760種方法.

⑵不同的五種商品在貨架上排成一排，其中a,b兩種商品必須排在一起而

c,d兩種商品不排在一起，

略解：（“捆綁法"和''插空法”的綜合應(yīng)用）a,b捆在一起與e進(jìn)行

排列有；

此時(shí)留下三個(gè)空，將c,d兩種商品；最后將a,b“松綁”有.所以

一共有=24種方法.

☆⑶6張同排連號(hào)的電影票，分給3名教師與3名學(xué)生，若要求師生相間

而坐，則不同的坐法有多少種？；若第一個(gè)為學(xué)生則有

所以一共有2=72種方法.

示例三：

⑴由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？

略解：

⑵由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字，并且比13000

大的正整數(shù)？

解法一：分成兩類，一類是首位為1時(shí)，十位必須大于等于3有種方法；另

一類是首位不為1,有種方法.所以一共有個(gè)數(shù)比13000大.

解法二：（排除法）比13000小的正整數(shù)有個(gè)，所以比13000大的正整數(shù)

有=114個(gè).

示例四：用1,3,6,7,8,9組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，由小到大排列.

⑴第114個(gè)數(shù)是多少？⑵3796是第幾個(gè)數(shù)?

解：⑴因?yàn)榍粩?shù)是1的四位數(shù)一共有個(gè)，所以第114個(gè)數(shù)的千位數(shù)應(yīng)該

是“3”,十位數(shù)字是“1”即“31”開頭的四位數(shù)有個(gè)；同理，以“36”、“37”、

“38”開頭的數(shù)也分別有12個(gè),所以第114個(gè)數(shù)的前兩位數(shù)必然是“39”，而“3

968”排在第6個(gè)位置上，所以“3968”是第114個(gè)數(shù).

(2)由上可知“37”開頭的數(shù)的前面有60+12+12=84個(gè),而3796在“37”

開頭的四位數(shù)中排在第11個(gè)(倒數(shù)第二個(gè))，故3796是第95個(gè)數(shù).

示例五：用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中

⑴能被25整除的數(shù)有多少個(gè)？

⑵十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有多少個(gè)？

解：⑴能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50兩種，末

尾為50的四位數(shù)有個(gè)，末尾為25的有個(gè)，所以一共有+=21個(gè).

注：能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50,75,00四

種情況.

⑵用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，一共有個(gè).因?yàn)樵谶@

300個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的大小關(guān)系是“等可能的”，所以十位數(shù)字比

個(gè)位數(shù)字大的有個(gè).

三、小結(jié)：能夠根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)呐帕蟹椒?，同時(shí)注意考慮問題的全面性，

此外能夠借助一題多解檢驗(yàn)答案的正確性.

四、作業(yè)："3+X”之排列練習(xí)

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組合⑴

課題：組合、組合數(shù)的概念

目的：理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式.

過程：

一、復(fù)習(xí)、引入：

1.復(fù)習(xí)排列的有關(guān)內(nèi)容：

定義特點(diǎn)相同排列公式排列

以上由學(xué)生口答.

2.提出問題：

示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1

名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不

同的選法？

引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排

列”，而示例2只要求選出2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的.

引出課題：組合問題.

二、新授：

1.組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（mWn）個(gè)元素并成一

組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

注：1.不同元素2.“只取不排”一一無序性3.相同組合：元素

相同

判斷下列問題哪個(gè)是排列問題哪個(gè)是組合問題：

（1）從A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽；（組合）

⑵從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中選出2個(gè)人擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支部書記.(排列)

2.組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有組合的

個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)表示.

例如：示例2中從3個(gè)同學(xué)選出2名同學(xué)的組合可以為：甲乙，甲丙,

乙丙.即有種組合.

又如：從A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽的組合：AB,AC,AD,

BC,BD,CD一共6種組合,即：

在講解時(shí)一定要讓學(xué)生去分析：要解決的問題是排列問題還是組

合問

題，關(guān)鍵是看是否與順序有關(guān).

那么又如何計(jì)算呢？

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)

⑴提問：從4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是多少呢？

啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排

列數(shù)可以求得，故我們可以考察一下和的關(guān)系，如下：

組合排列

由此可知：每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不

同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：①考慮從4個(gè)不同元素中

取出3個(gè)元素的組合，共有個(gè)；②對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，

各有種方法.由分步計(jì)數(shù)原理得：=,所以：.

⑵推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如

下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)；②求每一個(gè)組合中

m個(gè)元素全排列數(shù)，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得：=

⑶組合數(shù)的公式：

或

(4)鞏固練習(xí)：

1.計(jì)算：(1)(2)

2.求證：

3.設(shè)求的值.

解：由題意可得：即：2WxW4

VAx2或3或4

當(dāng)x2時(shí)原式值為7；當(dāng)x3時(shí)原式值為7；當(dāng)x2時(shí)原式值為11.

，所求值為4或7或11.

4.例題講評(píng)

例1.6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少種不同

的分

法？

略解：

例2.4名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人實(shí)踐活動(dòng)小組，

問組成方法共有多少種？

解法一：(直接法)小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分

別有，，，所以一共有++=100種方法.

解法二：(間接法)

5.學(xué)生練習(xí)：(課本99練習(xí))

三、小結(jié)：

定義特點(diǎn)相同組合公式排列組

合此外，解決實(shí)際問題時(shí)首先要看是否與順序有

關(guān)，從而確定是排列問題還是組合問題，必要時(shí)要利用分類和分步計(jì)數(shù)原理.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：教學(xué)與測(cè)試75課

課外作業(yè)：課課練課時(shí)7和8

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組合⑵

課題：組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用及組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

目的：深刻理解排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系，熟練掌握組合數(shù)的計(jì)算公式；掌

握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并且能夠運(yùn)用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.

過程：

一、復(fù)習(xí)回顧：

1.復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：

定義特點(diǎn)相同XX公式排列組

合強(qiáng)調(diào)：排列一一次序性；組合一一無序性.

2.練習(xí)一：

練習(xí)1：求證：.（本式也可變形為：）

練習(xí)2：計(jì)算：①和；②與；③

答案：①120,120②20,20③792

（此練習(xí)的目的為下面學(xué)習(xí)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)打好基礎(chǔ).）

3.練習(xí)二:

（1）平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)

為端點(diǎn)（組合問題）⑵（排列問題）

二、新授：

1.組合數(shù)的性質(zhì)1：.

理解：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，剩下nm個(gè)元素.因

為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的nm個(gè)元素的

每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這

n個(gè)元素中取出nm個(gè)元素的組合數(shù)，即：.在這里，我們主要體現(xiàn)：“取法”

與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想.

證明：Y

又???

注：1我們規(guī)定

2等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).

3此性質(zhì)作用：當(dāng)時(shí)，計(jì)算可變?yōu)橛?jì)算，能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化.

例如：==2002.

4或

2.示例一：（課本101例4）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑

球.

⑴從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？

⑵從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？

⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？

解：⑴⑵⑶

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：.為什么呢？

我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可以分為兩類:

一類含有1個(gè)這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為

兩類：一類含有元素，一類不含有.含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m1個(gè)

元素與組成的，共有個(gè)；不含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，

共有個(gè).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì).在這里，我們主要

體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想.

3.組合數(shù)的性質(zhì)2：=+.

證明：

，=+.

注：1公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下

標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與高的相同的一個(gè)組合數(shù).

2此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算.在今后學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式

定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的主要應(yīng)用.

4.示例二:

⑴計(jì)算：

(2)求證：=++

⑶解方程：

(4)解方程：

⑸計(jì)算：和

推廣：

5.組合數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用:

證明下列等式成立：

⑴(講解)

(2)(練習(xí))

(3)

6.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》76課

課外作業(yè)：課本習(xí)題10.3；課課練課時(shí)9

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組合⑶

課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑴

目的：進(jìn)一步鞏固組合、組合數(shù)的概念及其性質(zhì)，能夠解決一些較為復(fù)雜的

組合應(yīng)用問題，提高合理選用知識(shí)的能力.

過程：

一、知識(shí)復(fù)習(xí)：

1.復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：

依然強(qiáng)調(diào)：排列一一次序性；組合一一無序性.

2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及有關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1：性質(zhì)2：=+

常用的等式：

3.練習(xí)：處理《教學(xué)與測(cè)試》76課例題

二、例題評(píng)講：

例1.100件產(chǎn)品中有合格品90件，次品10件，現(xiàn)從中抽取4件檢查.

⑴都不是次品的取法有多少種？

⑵至少有1件次品的取法有多少種？

⑶不都是次品的取法有多少種？

解:(1);

(2)；

(3).

例2.從編號(hào)為1,2,3,…，10,11的共11個(gè)球中，取出5個(gè)球，使得

這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取法？

解：分為三類：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有

所以一共有++.

例3.現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名青年能勝任

德語翻

譯工作(其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任)，現(xiàn)在要從中挑選5名青年承

擔(dān)一項(xiàng)任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種

不同的選法？

解：我們可以分為三類：

①讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作，有；

②讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作，有；

③讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有.

所以一共有++=42種方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，

乙不值周六，問可以排出多少種不同的值周表？

解法一：（排除法）

解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有；另一類為甲

不值周一，但值周六，有.所以一共有+=42種方法.

例5.6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不同的送書方

法？

解：第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個(gè)元素

有種方法；第二步將5個(gè)“不同元素（書）”分給5個(gè)人有種方法.根據(jù)分步計(jì)

數(shù)原理，一共有=1800種方法.

變題1：：：；2.；3..

三、小結(jié)：1.組合的定義，組合數(shù)的公式及其兩個(gè)性質(zhì)；

2.組合的應(yīng)用：分清是否要排序.

四、作業(yè)：《3+X》組合基礎(chǔ)訓(xùn)練

《課課練》課時(shí)10組合四

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組合⑷

課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑵

目的：對(duì)排列組合知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的了解，掌握排列組合一些常見的題型及

解題方法，能夠運(yùn)用兩個(gè)原理及排列組合概念解決排列組合問題.

過程：

一、知識(shí)復(fù)習(xí)：

1.兩個(gè)基本原理；

2.排列和組合的有關(guān)概念及相關(guān)性質(zhì).

二、例題評(píng)講:

例1.6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：

⑴分給甲、乙、丙三人，每人兩本；

⑵分為三份，每份兩本；

⑶分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；

（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；

⑸分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

解：⑴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到：種.

⑵分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個(gè)過程可以分兩步完成：

第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙

三名同學(xué)有種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得：，所以.因此分為三份，每份兩本

一共有15種方法.

注：本題是分組中的“均勻分組”問題.

⑶這是“不均勻分組”問題，一共有種方法.

（4）在⑶的基礎(chǔ)上在進(jìn)行全排列，所以一共有種方法.

（5）可以分為三類情況：①“2、2、2型”即（1）中的分配情況，有種方法；

②“1、2、3型”即⑷中的分配情況，有種方法；③“1、1、4型”，有種方法.所

以一共有90+360+90=540種方法，再將甲、乙、丙三名同學(xué)插入5個(gè)空位置中

（但無需要進(jìn)行排列）有種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有=240種方法.

例3.⑴四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中，一共有多少種不同的放法？

⑵四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中且恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？

解：⑴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：一共有種方法.

⑵（捆綁法）第一步從四個(gè)不同的小球中任取兩個(gè)“捆綁”在一起看成一個(gè)

元素有種方法，第二步從四個(gè)不同的盒取其中的三個(gè)將球放入有種方法.所以一

共有=144種方法.

例4.馬路上有編號(hào)為1,2,3,…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響

照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的

燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？

解：（插空法）本題等價(jià)于在7只亮著的路燈之間的6個(gè)空檔中插入3只熄

掉的燈，故所求方法總數(shù)為種方法.

例5.九張卡片分別寫著數(shù)字0,1,2,…，8,從中取出三張排成一排組成

一個(gè)三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問可以組成多少個(gè)三位數(shù)？

解：可以分為兩類情況：①若取出6,則有種方法；②若不取6,則有

種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，一共有+=602種方法.

三、小結(jié)：

四、作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》77課；《課課練》相關(guān)練習(xí)

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二項(xiàng)式定理--1定理

復(fù)習(xí)填空：

在n1,2,3,4時(shí)，研究a+bn的展開式.

a+b1,

a+b2,

a+b3,

a+b4

列出上述各展開式的系數(shù):

3.這些系數(shù)中每一個(gè)可看作由它肩上的兩個(gè)數(shù)字得到.你能寫出第五

行的數(shù)字嗎？a+b5

4.計(jì)算：，，，，.用這些組合數(shù)表示a+b4的展開

式是：a+b4.

二、定理：

a+bn(n),這個(gè)公式表

示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做a+bn的，

其中(r0,1,2,……,n)叫做，叫做二

項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，通項(xiàng)是指展開式的第項(xiàng)，展開式共有個(gè)項(xiàng).

例題：1.展開；2.展開.

小結(jié)：求展開式中的指定項(xiàng)一般用通項(xiàng)公式，當(dāng)指數(shù)n不是很大時(shí)，也可用

定理展開，再找指定項(xiàng).

3.計(jì)算:(1)(0.997)3的近似值(精確到0.001)

(2)(1.002)6的近視值(精確到0.001).

三、課后檢測(cè)

1.求(2a+3b)6的展開式的第3項(xiàng).

2.求(3b+2a)6的展開式的第3項(xiàng).

3.寫出的展開式的第r+1項(xiàng).

4.求(x3+2x)7的展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并求第4項(xiàng)的系數(shù).

5.用二項(xiàng)式定理展開：

(1);(2).

6.化簡(jiǎn)：

(1)；(2)

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二項(xiàng)式定理一-2通項(xiàng)應(yīng)用-一求指定項(xiàng)

一、復(fù)習(xí)填空：

a+bn(n)，這個(gè)公式表示

的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做a+bn的，其

中(r0,1,2,……,n)叫做，叫做二項(xiàng)

展開式的通項(xiàng)，通項(xiàng)是指展開式的第項(xiàng)，展開式共有個(gè)項(xiàng).

二、應(yīng)用舉例：

1.的展開式中，第五項(xiàng)是..............................()

A.B.C,D.

2.的展開式中，不含a的項(xiàng)是第....................()項(xiàng)

A.7B.8C.9

D.6

3.二項(xiàng)式z-26的展開式中第5項(xiàng)是-480,求復(fù)數(shù)z.

4.求二項(xiàng)式的展開式中的有理項(xiàng).

三、練習(xí)及課后檢測(cè)

1.的展開式中含x3的項(xiàng)是

2.二項(xiàng)式的展開式中的第八項(xiàng)是......................()

A.-135x3B.3645x2C.D.

3.的展開式中的整數(shù)項(xiàng)是()

A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第14項(xiàng)D.第15

項(xiàng)

4.展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n的值是............()

A.13B.12C.11D.10

5.的展開式中的第7項(xiàng)是............................()

A.B.-C.-672d3iD.672d3i

6.展開式的常數(shù)項(xiàng)是

7.展開式的常數(shù)項(xiàng)是

8.在的展開式中，第項(xiàng)是中間項(xiàng)，中間項(xiàng)是

9.已知(10+xlgx)5的展開式中第4項(xiàng)為106,求x的值.

*10.若(l-2x)5展開式中的第2項(xiàng)小于第1項(xiàng)，且不小于第3項(xiàng)，求實(shí)數(shù)

x的取值范圍.

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二項(xiàng)式3--求指定項(xiàng)的系數(shù)

一、定理復(fù)習(xí)

1.a+bn(n),共有個(gè)項(xiàng)，其

中(r0,1,2,……,n)叫做；

2.通項(xiàng)表示展開式中的第項(xiàng)，通項(xiàng)公式是

二、例題與練習(xí)

1.(x-2)9的展開式中，第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是…

()

A.4032B.-4032C.126D.-126

2.若的展開式中的第三項(xiàng)系數(shù)等于6,則n等于..........（）

A.4B.4或-3C.12D.3

3.多項(xiàng)式l-2x52+x含x3項(xiàng)的系數(shù)是........................（）

A.120B.-120C.100D.-100

4.求x-1-x-12+x-13-x-14+x-15的展開式中，x2的系數(shù)

5.二項(xiàng)式的展開式中第三項(xiàng)系數(shù)比第二項(xiàng)系數(shù)大44,求第4項(xiàng)的系數(shù).

三、課后檢測(cè)

1.在的展開式中，x6的系數(shù)是....................（）

A.-27B.27C.-9D.9

2.在x2+3x+25的展開式中,x的系數(shù)為..................（）

A.160B.240C.360D.800

3.1+x3+1+x4+…+1+x50展開式中x3的系數(shù)是...........（）

A.B.C.D.

4.1+x+1+x2+1+x3+…+1+x10的展開式中，含x8的系數(shù)是…（）

A.10B.45C.54D.55

5.在的展開式中，求x4的系數(shù)與x-4的系數(shù)之差.

6.1-x5l+x+x24的展開式中，含x7項(xiàng)的系數(shù)是

7.已知1+n展開式中含x-2的項(xiàng)的系數(shù)為12,求n.

8.x1-X4+X21+2X5+X3+1-3x7的展開式中，x4項(xiàng)的系數(shù)是.

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二項(xiàng)式定理4-—整除問題

例題選講

1.求4713被5除所得的余數(shù).

2.求xlO-3除以x-12所得的余式.

3.求證34n+2+52n+l能被14整除.

二、練習(xí)與檢測(cè)

1.10110-1的末尾連續(xù)零的個(gè)數(shù)是..........................()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.若n為奇數(shù)，7n+被9除所得的余數(shù)是……()

A.0B.2C.7D.8

3.5n+13nn除以3的余數(shù)是...........................()

A.0B.0或1C.0或2D.2

4.求5555除以8所得的余數(shù).

5.用二項(xiàng)式定理證明6363+17能被16整除.

6.求9192除以100的余數(shù).

7.今天是星期二，不算今天，251天后的第一天是星期幾？

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二項(xiàng)式定理測(cè)試題

選擇題

1.已知2a3+n的展開式的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，則n的值為........

()

A.7B.8C.9D.10

2.在x2+3x+25的展開式中，x2的系數(shù)為

()

A.850B.640C.360D240

3.x-y-2z8的展開式中x6yz的系數(shù)是.......................

()

A.28B.16C.56D-16

4.設(shè)1+x3+1+x4+…+1+x50a0+alx+a2x2+…+a50x50,則a3.....

()

A.B.C,D.

5.數(shù)1.056的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近視值是................

()

A.1.23B.1.24C.1.33D.1.44

6.在ax+17的展開式中，a1,x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的

等差中項(xiàng)，則a的值是...................................()

A.B.C.2-D.2+

7.x+12x+l3x+l—nx+1的展開式中，x的系數(shù)是

()

A.B.C.D.

8.1+X+X2+X34的展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)和是...

()

A.64B.128C.120D.256

9.的值是（)

A.217B.218C.219D.220

10.l-2x15的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和是()

A.1B.-lC.215D.315

二、填空題

11.若n展開式中第五項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)

是

12.展開式的中間項(xiàng)是

13.|x|+3的展開式中，所有常數(shù)項(xiàng)的和是

14.在x2-x-ln的展開式中，奇次項(xiàng)的系數(shù)和為T28,則系數(shù)最小的項(xiàng)

是

三、解答題

15.已知x3+n的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求展開式中不

含x的項(xiàng).

16.設(shè)fx1+xm+1+xnm>n,若其展開式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為

11,試問：m、n取何值時(shí)，fx的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，并求出這

個(gè)最小值.

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二項(xiàng)式5--二項(xiàng)式系數(shù)

復(fù)習(xí)、思考、填空：

1.a+bn的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是；

2.組合數(shù)的性質(zhì)1是；

3.寫出a+b10的展開式：

觀察二項(xiàng)式系數(shù)的變化規(guī)律；

二項(xiàng)式系數(shù)最大的是項(xiàng).

4.下面二項(xiàng)展開式中，那些項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大？是多少？分別填在相應(yīng)

的橫線上

（1）a+b19第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，是；

（2）a+b20第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，是

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

請(qǐng)閱讀課本P251頁一一P252頁證明下列二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

性質(zhì)1：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等

即其中m0,1,2,3,……,n

性質(zhì)2：如果二項(xiàng)式的事指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二

項(xiàng)式的基指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；

性質(zhì)3：

性質(zhì)4：a+bn的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)和.即2n-l

［注意］二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.

例題與練習(xí)

1.l-x29展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是，系數(shù)最小的項(xiàng)

是，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是

說明：注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的區(qū)別；系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.

2.若的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為1024,求它的中間項(xiàng).

四、課后檢測(cè)

1.a+bn展開式中第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等，則n為.............

（）

A.8B.9C.10D.11

2.二項(xiàng)式1-x4n+l的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)是....................

)

A.第2n+l項(xiàng)B.第2n+2項(xiàng)C.第2n項(xiàng)D第2n+l項(xiàng)或2n+2

3.若a+bn的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為8192,則n的值為....

)

A16B.15C.14D.13

4.a+b2n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的是......................

)

A.第n項(xiàng)B.第n項(xiàng)或第n+1項(xiàng)C.第n+1項(xiàng)

D.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，是第n+1項(xiàng)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是第n項(xiàng).

5.a-b99的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是..........................

)

A.第1項(xiàng)B.第50項(xiàng)C.第51項(xiàng)D.第50項(xiàng)與第51項(xiàng)

6.

7.

8.若a+n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和等于512,求第八項(xiàng).

9.的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32,求這個(gè)展開式的常數(shù)項(xiàng).

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隨機(jī)事件的概率

【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】深刻理解隨機(jī)事件在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的刻劃方

法，是用客觀存在著的一個(gè)小于1的正數(shù)來表示。

【教學(xué)過程】

一、前言

從這節(jié)開始，大約用12課時(shí)來學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支一一“概率論”初步。

“概率論”是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的科學(xué)，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，“概率論”

在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到了越來越廣泛的應(yīng)用。在現(xiàn)實(shí)世界中，

隨機(jī)現(xiàn)象是廣