高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第十章　10.1　10.1.1　有限樣本空間與隨機事件含答案

高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第十章10.110.1.1有限樣本空間與隨機事件含答案10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件【學習目標】【素養(yǎng)達成】1.理解隨機試驗、樣本點與樣本空間,會寫試驗的樣本空間數(shù)學抽象2.了解隨機事件的有關(guān)概念,掌握隨機事件的表示方法及含義數(shù)學抽象一、隨機試驗(1)隨機試驗:我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗,常用字母E來表示.(2)隨機試驗的特點:①試驗可以在相同條件下重復(fù)進行;②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個;③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.二、樣本點、樣本空間、有限樣本空間項目定義字母表示樣本點把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點用ω表示樣本點樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}三、隨機事件隨機事件樣本空間Ω的子集,用A,B,C,…表示事件A發(fā)生在每次試驗中,當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時基本事件只包含一個樣本點的事件必然事件每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,即Ω不可能事件不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,即?【教材挖掘】(P228思考)問題:體育彩票搖獎時,將10個質(zhì)地和大小完全相同,分別標號0,1,2,…,9的球放入搖獎器中,經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球,觀察這個球的號碼,這個隨機試驗共有多少種可能結(jié)果?如何表示這些結(jié)果?提示:10種可能結(jié)果;可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)隨機試驗的結(jié)果是不確定的.(×)提示:隨機試驗的結(jié)果是確定的.(2)一次隨機試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果只有一個.(×)提示:一次隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果不止一個.(3)有限樣本空間中的樣本點是有限的.(√)提示:有限樣本空間中的樣本點是確定的,有限的.類型一確定樣本空間(數(shù)學抽象)【典例1】(1)(教材P229例2改編)將一枚骰子先后拋擲兩次,觀察它落地時朝上的面的點數(shù),試寫出這個試驗的樣本空間;(2)(鏈接教材P229例3)連續(xù)拋擲3枚硬幣,觀察落地時這3枚硬幣朝上的面的情況,試寫出這個試驗的樣本空間.【解析】(1)兩次擲出的點數(shù)列表如下:第一次第二次1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以其樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},也可寫成Ω={(m,n)|1≤m≤6,1≤n≤6,m,n∈N*}.(2)畫樹狀圖如圖所示.因此這個試驗的樣本空間Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.【備選例題】寫出下列試驗的樣本空間:(1)同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的骰子,記錄三枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和;(2)從含有兩件正品a1,a2和兩件次品b1,b2的四件產(chǎn)品中任取兩件,觀察取出產(chǎn)品的結(jié)果;(3)用紅、黃、藍三種顏色給圖中3個矩形隨機涂色,每個矩形只涂一種顏色,觀察涂色的情況.【解析】(1)該試驗的樣本空間Ω1={3,4,5,…,18}.(2)該試驗所有可能的結(jié)果如圖所示,因此,該試驗的樣本空間Ω2={a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2}.(3)如圖,用1,2,3分別表示紅色、黃色與藍色這三種顏色,則此試驗的樣本空間Ω3={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)}.【總結(jié)升華】寫樣本空間的方法(1)列舉法:適用于樣本點個數(shù)不多,可以把樣本點一一列舉出來的情況,但列舉時必須按一定的順序,要做到不重不漏.(2)列表法:適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素,且試驗結(jié)果相對較多的樣本點個數(shù)的求解問題,通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對”,也可用坐標法.列表法的優(yōu)點是準確、全面、不易遺漏.(3)樹狀圖法:適用于較復(fù)雜問題中的樣本點的探求,一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹狀圖進行列舉.【即學即練】1.(2024·北京高一檢測)拋擲兩枚硬幣,觀察它們落地時朝上的面的情況,該試驗的樣本空間中樣本點的個數(shù)為()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選C.拋擲兩枚硬幣,試驗的樣本空間為{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},樣本點共有4個.2.(2024·上海徐匯區(qū)月考)若從兩男兩女四人中隨機選出兩人,設(shè)兩個男生分別用A,B表示,兩個女生分別用C,D表示,則相應(yīng)的樣本空間Ω=______________,“選出一男一女”對應(yīng)的樣本點組成的集合為______________.

答案:{AB,AC,AD,BC,BD,CD}{AC,AD,BC,BD}【解析】隨機選出兩人的所有可能結(jié)果組成的集合為{AB,AC,AD,BC,BD,CD},因此Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD}.“選出一男一女”對應(yīng)的樣本點組成的集合為{AC,AD,BC,BD}.類型二事件類型的判斷(數(shù)學抽象)【典例2】(2024·上海高二檢測)下列事件中,隨機事件的個數(shù)是()①某人購買福利彩票一注,中獎500萬元;②三角形的內(nèi)角和為180°;③地球上,沒有空氣和水,人類可以生存下去;④同時拋擲兩枚硬幣一次,都出現(xiàn)正面向上.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.對于事件①,某人購買福利彩票一注,中獎500萬元,該事件為隨機事件;對于事件②,三角形的內(nèi)角和為180°,該事件為必然事件;對于事件③,地球上,沒有空氣和水,人類可以生存下去,該事件為不可能事件;對于事件④,同時拋擲兩枚硬幣一次,都出現(xiàn)正面向上,該事件為隨機事件.因此,隨機事件的個數(shù)為2.【總結(jié)升華】對事件分類判斷的兩個關(guān)鍵點條件事件的分類是與一定的條件相對而言的,沒有條件,無法判斷事件是否發(fā)生結(jié)果發(fā)生與否有時結(jié)果較復(fù)雜,要準確理解結(jié)果包含的各種情況【即學即練】(多選)已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片,從中任取3張卡片,則下列判斷正確的是()A.事件“都是紅色卡片”是隨機事件B.事件“都是藍色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件D.事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是必然事件【解析】選ABC.“都是紅色卡片”可能發(fā)生,是隨機事件,所以A正確;袋中只有2張藍色卡片,所以B,C正確;“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件,所以D錯誤.類型三隨機事件的表示及含義(數(shù)學抽象)【典例3】試驗E:甲、乙兩人玩出拳游戲(石頭、剪刀、布),觀察甲、乙出拳的情況.(1)寫出試驗的樣本空間.(2)用集合表示下列事件:①設(shè)事件A表示隨機事件“甲乙平局”;②設(shè)事件B表示隨機事件“甲贏得游戲”;③設(shè)事件C表示隨機事件“乙不輸”.【解析】(1)設(shè)石頭為w1,剪刀為w2,布為w3,用(i,j)表示游戲的結(jié)果,其中i表示甲出的拳,j表示乙出的拳,則樣本空間Ω={(w1,w1),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w1),(w2,w2),(w2,w3),(w3,w1),(w3,w2),(w3,w3)}.(2)①因為事件A表示隨機事件“甲乙平局”,則滿足要求的樣本點共有3個:(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),所以事件A={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3)};②因為事件B表示隨機事件“甲贏得游戲”,則滿足要求的樣本點共有3個:(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1),所以事件B={(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1)};③因為事件C表示“乙不輸”,則滿足要求的樣本點共有6個:(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w2,w1),(w1,w3),(w3,w2),所以事件C={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w1,w3),(w2,w1),(w3,w2)}.【總結(jié)升華】隨機事件的表示及含義題型求解策略(1)隨機事件的表示:先列出所有的樣本點,再確定要求的隨機事件包含哪些樣本點,把這些樣本點作為元素表示成集合即可.(2)說明隨機事件的含義:要先理解事件中樣本點的意義,觀察它們的規(guī)律,進而確定隨機事件的含義.【即學即練】在試驗E:“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次,觀察每次擲出的點數(shù)”中,指出下列隨機事件的含義.(1)事件A={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)};(2)事件B={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)};(3)事件C={(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)}.【解析】(1)事件A中所含的樣本點中的第二個數(shù)都為3,根據(jù)樣本空間知第二個數(shù)為3的樣本點都在事件A中,故事件A的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次,第二次擲出的點數(shù)為3;(2)事件B中所含的樣本點中兩個數(shù)的和均為6,且樣本空間中兩數(shù)和為6的樣本點都在事件B中,故事件B的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次,2次擲出的點數(shù)之和為6;(3)事件C中所含樣本點中兩個數(shù)的差的絕對值為2,且樣本空間中兩個數(shù)的差的絕對值為2的樣本點都在事件C中,故事件C的含義為連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次,2次擲出的點數(shù)之差的絕對值為2.【補償訓練】柜子里有3雙不同的鞋,隨機抽取2只,用A1,A2,B1,B2,C1,C2分別表示3雙不同的鞋,其中下標為奇數(shù)表示左腳,下標為偶數(shù)表示右腳,指出下列隨機事件的含義.(1)M={A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2};(2)N={A1B1,B1C1,A1C1};(3)P={A1B2,A1C2,A2B1,A2C1,B1C2,B2C1}.【解析】(1)事件M的含義是“從3雙不同的鞋中,隨機抽取2只,取出的2只鞋不成雙”;(2)事件N的含義是“從3雙不同的鞋中,隨機抽取2只,取出的2只鞋都是左腳的”;(3)事件P的含義是“從3雙不同的鞋中,隨機抽取2只,取到的鞋一只是左腳的,一只是右腳的,且不成雙”.10.1.2事件的關(guān)系和運算【學習目標】【素養(yǎng)達成】1.了解隨機事件的并、交與互斥的含義.數(shù)學抽象2.能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.邏輯推理一、兩個事件的關(guān)系項目定義符號表示圖形表示包含關(guān)系一般地,若事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B?A且A?B,則稱事件A與事件B相等A=B二、事件的運算定義符號表示圖形表示一般地,事件A與事件B至少有一個發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)續(xù)表定義符號表示圖形表示一般地,事件A與事件B同時發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中,也在事件B中,我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)【教材深化】理解事件包含關(guān)系的注意點(1)任何事件都包含不可能事件,即C??(C為任一事件).事件A也包含于事件A,即A?A.(2)若兩個事件相等,則這兩個事件總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生.(3)①A?B可用邏輯語言表述為A發(fā)生是B發(fā)生的充分條件,B發(fā)生是A發(fā)生的必要條件;②A=B可用邏輯語言表述為A發(fā)生是B發(fā)生的充要條件.三、互斥事件與對立事件定義符號表示圖形表示一般地,如果事件A與事件B不能同時發(fā)生,也就是說A∩B是一個不可能事件,即A∩B=?,則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B=?一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生,即A∪B=Ω,且A∩B=?,那么稱事件A與事件B互為對立.事件A的對立事件記為AA∪B=Ω,A∩B=?【教材深化】1.和事件與互斥事件的辨析(1)和事件A∪B包含三種情況:①事件A發(fā)生,事件B不發(fā)生;②事件A不發(fā)生,事件B發(fā)生;③事件A,B都發(fā)生.(2)事件A與事件B互斥包含三種情況:①事件A發(fā)生,B不發(fā)生;②事件A不發(fā)生,B發(fā)生;③事件A不發(fā)生,B也不發(fā)生.注意:任意兩個基本事件都是互斥的,?與任意事件互斥.2.對立事件的理解(1)事件A的對立事件記為A,A∩A=?,A∪A=Ω.若事件A,B互為對立事件,則A∪B是必然事件.(2)對立事件是特殊的互斥事件,若A與B相互對立,則A與B互斥,但反之不成立,即“A與B相互對立”是“A與B互斥”的充分不必要條件.3.多個事件的和事件、積事件類似地,我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A,B,C,…,A∪B∪C∪…(或A+B+C+…)發(fā)生當且僅當A,B,C,…中至少一個發(fā)生,A∩B∩C∩…(或ABC…)發(fā)生當且僅當A,B,C,…同時發(fā)生.【教材挖掘】(P231探究)問題1:在擲骰子試驗中,事件A=“點數(shù)為1”,事件B=“點數(shù)為奇數(shù)”,表示A與B兩事件的集合有什么關(guān)系?A與B事件有什么關(guān)系?提示:集合B包含集合A;事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生.問題2:在擲骰子試驗中,用集合的形式表示事件D1=“點數(shù)不大于3”,事件E1=“點數(shù)為1或2”和事件E2=“點數(shù)為2或3”,借助集合與集合的關(guān)系和運算,你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎?提示:D1={1,2,3},E1={1,2},E2={2,3}.{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1.問題3:在擲骰子試驗中,事件C2=“點數(shù)為2”,事件E1=“點數(shù)為1或2”和事件E2=“點數(shù)為2或3”,借助集合與集合的關(guān)系和運算,你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎?提示:E1={1,2},E2={2,3},C2={2}.{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若兩個事件是互斥事件,則這兩個事件是對立事件.(×)提示:對立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件.(2)若事件A和B是互斥事件,則A∩B是不可能事件.(√)提示:因為事件A和B是互斥事件,所以A∩B為空集,所以A∩B是不可能事件.(3)事件A∪B是必然事件,則事件A和B是對立事件.(×)提示:反例:拋擲一枚骰子,事件A:向上的點數(shù)小于5,事件B:向上的點數(shù)大于2,則事件A∪B是必然事件,但事件A和B不是對立事件.類型一判斷兩個事件的關(guān)系(數(shù)學抽象)【典例1】在擲骰子試驗中,可以得到以下事件,A:{出現(xiàn)1點};B:{出現(xiàn)2點};C:{出現(xiàn)3點};D:{出現(xiàn)4點};E:{出現(xiàn)5點};F:{出現(xiàn)6點};G:{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1};H:{出現(xiàn)的點數(shù)小于5};I:{出現(xiàn)奇數(shù)點};J:{出現(xiàn)偶數(shù)點}.請判斷下列兩個事件的關(guān)系:(1)B________H;(2)D______J;(3)E______I;(4)A________G.

答案:(1)?(2)?(3)?(4)=【解析】因為出現(xiàn)的點數(shù)小于5包含出現(xiàn)1點,出現(xiàn)2點,出現(xiàn)3點,出現(xiàn)4點四種情況,所以事件B發(fā)生時,事件H必然發(fā)生,故B?H;同理D?J,E?I;易知事件A與事件G相等,即A=G.【備選例題】對一箱產(chǎn)品進行隨機抽查檢驗,如果查出2個次品就停止檢查,最多檢查3個產(chǎn)品.寫出該試驗的樣本空間Ω,并用樣本點表示事件:A={至少有2個正品},B={至少1個產(chǎn)品是正品},并判斷事件A與事件B的關(guān)系.【解析】依題意,檢查是有序地逐個進行,至少檢查2個,最多檢查3個產(chǎn)品.如果用“0”表示查出次品,用“1”表示查出正品,那么樣本點至少是一個兩位數(shù),至多是一個三位數(shù)的有序數(shù)列.樣本空間Ω={00,010,011,100,101,110,111}.A={011,101,110,111},B={010,011,100,101,110,111},所以A?B.【即學即練】連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次,得到如下三個事件:A為“3次正面向上”,B為“只有1次正面向上”,C為“至少有1次正面向上”,試判斷事件A,B,C之間的包含關(guān)系.【解析】當事件A發(fā)生時,事件C一定發(fā)生,當事件B發(fā)生時,事件C一定發(fā)生,因此有A?C,B?C;當事件A發(fā)生時,事件B一定不發(fā)生,當事件B發(fā)生時,事件A一定不發(fā)生,因此事件A與事件B之間不存在包含關(guān)系.【補償訓練】(2024·平頂山高一檢測)拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣,記事件A=“至多2枚正面朝上”,事件B=“沒有硬幣正面朝上”,則下列正確的是()A.A∩B=? B.A=BC.B?A D.A?B【解析】選C.記Ai=“有i枚硬幣正面朝上”,i=0,1,2,3,則A=A0∪A1∪A2,B=A0,所以B?A.類型二事件的運算(數(shù)學抽象)【典例2】盒子里有6個紅球,4個白球,現(xiàn)從中任取3個球,設(shè)事件A={3個球中有1個紅球、2個白球},事件B={3個球中有2個紅球、1個白球},事件C={3個球中至少有1個紅球},事件D={3個球中既有紅球又有白球}.求:(1)事件D與A,B是怎樣的運算關(guān)系?(2)事件C與A的交事件是什么事件?【解析】(1)事件D包含的樣本點為{1個紅球、2個白球},{2個紅球、1個白球},故D=A∪B.(2)事件C包含的樣本點為{1個紅球、2個白球},{2個紅球、1個白球},{3個紅球},故C∩A=A.【備選例題】在本例中,設(shè)事件E={3個紅球},事件F={3個球中至少有一個白球},那么事件C與B,E分別是什么運算關(guān)系?C與F的交事件是什么事件?【解析】事件C包含的樣本點為{1個紅球、2個白球},{2個紅球、1個白球},{3個紅球},故B?C,E?C,而事件F包含的樣本點為{1個白球、2個紅球},{2個白球、1個紅球},{3個白球},所以C∩F={1個紅球、2個白球且2個紅球、1個白球}=D.【總結(jié)升華】事件間運算的方法(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有的樣本點,分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算.(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想,分析同一條件下的試驗所有的樣本點,把這些結(jié)果在圖中列出,進行運算.【即學即練】(多選)(2024·南通高一檢測)一批產(chǎn)品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件,給出以下四個事件:事件A:恰有一件次品;事件B:至少有兩件次品;事件C:至少有一件次品;事件D:至多有一件次品.下列選項正確的有()A.A∪B=C B.B∪D是必然事件C.A∩B=C D.A∩D=C【解析】選AB.對于A選項,事件A∪B指至少有一件次品,即事件C,故A正確;對于B選項,事件B∪D指至少有兩件次品或至多有一件次品,次品件數(shù)包含0到5,即代表了所有情況,故B正確;對于C選項,事件A和B不可能同時發(fā)生,即事件A∩B=?,故C錯誤;對于D選項,事件A∩D指恰有一件次品,即事件A,而事件A和C不同,故D錯誤.類型三互斥事件與對立事件(數(shù)學抽象、邏輯推理)【典例3】判斷下列各事件是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明理由.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學去參加演講比賽,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是男生;(4)至少有1名男生和全是女生.【解析】(1)是互斥事件,不是對立事件.理由:在所選的2名同學中,“恰有1名男生”實質(zhì)是選出“1名男生和1名女生”,它與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生,所以是一對互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以不是對立事件;(2)不是互斥事件,也不是對立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種結(jié)果,它