高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)專題突破課五　二次函數(shù)的最值問(wèn)題含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)專題突破課五二次函數(shù)的最值問(wèn)題含答案專題突破課五二次函數(shù)的最值問(wèn)題——寸轄制輪尋專題,綱舉目張謀突破二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題是二次函數(shù)的重要題型之一,是近幾年的命題熱點(diǎn).對(duì)稱軸與給定區(qū)間位置關(guān)系的討論是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.此類問(wèn)題常見(jiàn)以下四種情況:(1)軸定區(qū)間定;(2)軸變區(qū)間定;(3)軸定區(qū)間變;(4)軸變區(qū)間變.類型一“軸定區(qū)間定”問(wèn)題【例1】已知f(x)=3x2-12x+5,當(dāng)f(x)的定義域?yàn)橄铝袇^(qū)間時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值.(1)[0,3];(2)[-1,1];(3)[3,+∞).【解析】f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,對(duì)稱軸為x=2,如圖:(1)若x∈[0,3],則f(x)min=f(2)=-7,f(x)max=f(0)=5;(2)若x∈[-1,1],此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,則f(x)min=f(1)=-4,f(x)max=f(-1)=20;(3)若x∈[3,+∞),此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則f(x)min=f(3)=-4,無(wú)最大值.【總結(jié)升華】1.解題思路:(1)畫(huà)出函數(shù)圖象,根據(jù)給定的區(qū)間截取符合要求的部分;(2)根據(jù)圖象或單調(diào)性寫(xiě)出最大值和最小值.2.常用結(jié)論:當(dāng)二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上時(shí),自變量距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大;當(dāng)圖象開(kāi)口向下時(shí),則相反.【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3.(1)當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),求f(x)的最值;【解析】f(x)=(x-1)2+2,對(duì)稱軸為x=1,(1)當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(-2)=11,f(x)min=f(0)=3;(2)當(dāng)x∈[-2,3]時(shí),求f(x)的最值.【解析】f(x)=(x-1)2+2,對(duì)稱軸為x=1,(2)當(dāng)x∈[-2,3]時(shí),f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞減,在(1,3]上單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(-2)=11,f(x)min=f(1)=2.類型二“軸變區(qū)間定”問(wèn)題【例2】求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[-1,1]上的最小值.【解析】函數(shù)f(x)=x2-2ax+2的對(duì)稱軸為x=a,(1)當(dāng)a≤-1時(shí),函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(-1)=1+2a+2=2a+3;(2)當(dāng)-1<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在[-1,1]上先減后增,f(x)min=f(a)=a2-2a2+2=-a2+2;(3)當(dāng)a≥1時(shí),函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(1)=1-2a+2=3-2a,綜上所述,f(x)min=2a【總結(jié)升華】1.解題思路:以一元二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上、對(duì)稱軸為x=m為例,區(qū)間為[a,b],則有(1)f(x)min=f((2)f(x)max=f(當(dāng)開(kāi)口向下時(shí),可用類似方法進(jìn)行討論;2.解題關(guān)鍵:討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系.【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a,a∈R.(1)求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值g(a);【解析】因?yàn)閒(x)=-x2+2ax+1-a,開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=a,所以f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減.(1)當(dāng)a>1時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以g(a)=f(x)min=f(0)=1-a;當(dāng)a<0時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以g(a)=f(x)min=f(1)=a;若0≤a≤1,當(dāng)0≤a≤12時(shí),a≤1-a,此時(shí)g(a)=a當(dāng)12<a≤1時(shí),1-a<a,此時(shí)g(a)=1-a綜上所述:g(a)=a,(2)已知函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為h(a),求h(a)的最小值.【解析】因?yàn)閒(x)=-x2+2ax+1-a,開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=a,所以f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)a>1時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以h(a)=f(x)max=f(1)=a;當(dāng)a<0時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以h(a)=f(x)max=f(0)=1-a;當(dāng)0≤a≤1時(shí),h(a)=f(x)max=f(a)=a2-a+1,綜上所述:h(a)=1-作出h(a)的大致圖象如圖所示:由此可得h(a)min=h(12)=3【補(bǔ)償訓(xùn)練】求函數(shù)f(x)=x2-ax+1在[0,1]上的最大值.【解析】因?yàn)閒(x)=x2-ax+1,開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=a2,所以f(x)在(-∞,a2)上單調(diào)遞減,在(若a2>1,即a>2,則f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f若a2<0,即a<0,則f(x所以f(x)max=f(1)=2-a;若0≤a2≤1,即0≤a≤2,則當(dāng)0≤a2≤12,即0≤a≤1時(shí),f(x)max=f(1)=2-a,當(dāng)12<a2≤1,即1<a≤2時(shí),f(x)類型三“軸定區(qū)間變”問(wèn)題【例3】求函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[t,t+1]上的最小值.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2x+3的對(duì)稱軸為x=1,則當(dāng)t>1時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(t)=t2-2t+3,當(dāng)t≤1≤t+1,0≤t≤1時(shí),f(x)min=f(1)=1-2+3=2,當(dāng)t+1<1,即t<0時(shí),f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+3=t2+2.所以函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[t,t+1]上的最小值為f(x)min=t2【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵:分析對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論.【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值h(t).【解析】因?yàn)閒(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.(1)當(dāng)t+1<4,即t<3時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,則h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;(2)當(dāng)t≤4≤t+1,即3≤t≤4時(shí),h(t)=f(4)=16;(3)當(dāng)t>4時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減,h(t)=f(t)=-t2+8t.綜上,h(t)=-t類型四“軸變區(qū)間變”問(wèn)題【例4】設(shè)a是正數(shù),且函數(shù)f(x)=-12x2+3x-ax+2在0,2a上的最大值為M(a),求M【解析】因?yàn)閒(x)=-12x2+3x-ax=-12[x-(3-a)]2+(所以x=3-a為對(duì)稱軸,①當(dāng)3-a<0,即a>3時(shí),M(a)=f(0)=2,②當(dāng)0≤3-a≤2a,即0<a≤1或2≤a≤3時(shí),M(a)=f(3-a)=(③當(dāng)3-a>2a,即1<a<2時(shí),M(a)=f(2a)=綜上:M(a)=2,【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵:由于所給區(qū)間與對(duì)稱軸的位置都是變化的,它們的變化相互制約,故必須對(duì)其制約關(guān)系進(jìn)行討論.【即學(xué)即練】求二次函數(shù)f(x)=x2-tx-1在x∈[t,t+1]上的最小值g(t),t∈R.【解析】因?yàn)閒(x)=x2-tx-1=(x-t2)2-t2+44,所以(1)當(dāng)t≥0時(shí),則0≤t2<t<t+1,此時(shí)f(x)在區(qū)間[t,t所以最小值為g(t)=f(t)=t2-t2-1=-1;(2)當(dāng)t<0時(shí),①若t+1<t2,即t<-2,此時(shí)f(x)在區(qū)間[t,t所以最小值為g(t)=f(t+1)=(t+1)2-t(t+1)-1=t.②若t2≤t+1,即0>t≥-2,此時(shí)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上先減后增,所以最小值為g(t)=f(t2)=-綜上:g(t)=-1【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=-x2+4tx-1在區(qū)間[t,t+1]上的最大值為g(t),求g(t)的解析式.【解析】因?yàn)閒(x)=-x2+4tx-1=-(x-2t)2+4t2-1,所以x=2t為對(duì)稱軸,①當(dāng)t≥1時(shí),因?yàn)閒(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞增,所以g(t)=f(t+1)=-(t+1-2t)2+4t2-1=3t2+2t-2,②當(dāng)0≤t<1時(shí),因?yàn)?t∈[t,t+1],所以最大值為g(t)=f(2t)=4t2-1,③當(dāng)t<0時(shí),因?yàn)閒(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,所以最大值為g(t)=f(t)=-t2+4t2-1=3t2-1,綜上:g(t)=3t專題突破課一集合中的新定義問(wèn)題——寸轄制輪尋專題,綱舉目張謀突破集合中的新定義問(wèn)題是集合的重要題型之一,是近幾年的命題熱點(diǎn).領(lǐng)會(huì)命題情境,破譯與應(yīng)用新定義是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.此類問(wèn)題常見(jiàn)以下三種情況:(1)集合概念的新定義問(wèn)題;(2)集合性質(zhì)的新定義問(wèn)題;(3)集合運(yùn)算的新定義問(wèn)題.類型一集合概念的新定義問(wèn)題【例1】若集合A1,A2滿足A1∪A2=A,則稱(A1,A2)為集合A的一種分拆,并規(guī)定:當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時(shí),(A1,A2)與(A2,A1)是集合A的同一種分拆.若集合A有三個(gè)元素,則集合A的不同分拆種數(shù)是_______.

答案:27【解析】不妨令A(yù)={1,2,3},因?yàn)锳1∪A2=A,當(dāng)A1=?時(shí),A2={1,2,3},當(dāng)A1={1}時(shí),A2可以為{2,3},{1,2,3}共2種,同理A1={2},{3}時(shí),A2各有2種,當(dāng)A1={1,2}時(shí),A2可以為{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4種,同理A1={1,3},{2,3}時(shí),A2各有4種,當(dāng)A1={1,2,3}時(shí),A2可以為A1的子集,共8種,故共有1+2×3+4×3+8=27(種)不同的分拆.【總結(jié)升華】集合概念的新定義問(wèn)題的解題思路1.解答集合概念的新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂新定義情境,構(gòu)建集合新概念模型.2.本例著手點(diǎn)是理解“分拆”的概念,按照“分拆”的要求解答.【即學(xué)即練】設(shè)集合I={1,2,3},A?I,若把滿足M∪A=I的集合M叫做集合A的配集,則A={1,2}的配集的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.滿足條件的M可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},共4個(gè).類型二集合性質(zhì)的新定義問(wèn)題【例2】若集合A具有以下性質(zhì):a.0∈A,1∈A;b.若x∈A,y∈A,則x-y∈A,且x≠0時(shí),1x∈A.則稱集合A是“好集”.給出下列說(shuō)法:①集合B={-1,0,1}是“好集”;②有理數(shù)集Q是“好集”;③設(shè)集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,則x+y∈A.其中,正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.①假設(shè)集合B是“好集”,當(dāng)-1∈B,1∈B時(shí),-1-1=-2?B,這與-2∈B矛盾,所以集合B不是“好集”.②因?yàn)?∈Q,1∈Q,對(duì)任意x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0時(shí),1x∈Q,所以有理數(shù)集Q是“好集”.③因?yàn)榧螦是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,則0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈【總結(jié)升華】解決集合性質(zhì)的新定義問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化,即解決新定義問(wèn)題時(shí),首先要讀懂題意,對(duì)題目進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,切忌與已有概念混淆;(2)方法選取,即對(duì)于新定義問(wèn)題,可恰當(dāng)選用特例法、篩選法等方法,并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.【即學(xué)即練】若數(shù)集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性質(zhì)P:對(duì)任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj與ajai兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A,則稱集合A為“權(quán)集”.A.{1,3,4}為“權(quán)集”B.{1,2,3,6}為“權(quán)集”C.“權(quán)集”中元素可以有0D.“權(quán)集”中一定有元素1【解析】選B.由于3×4與43均不屬于數(shù)集{1,3,4},故A錯(cuò)誤;由于1×2,1×3,1×6,2×3,62,63,11,22,33類型三集合運(yùn)算的新定義問(wèn)題【例3】已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)______.

【解析】集合A表示如圖所示的所有“”,集合B表示如圖所示的所有“”+所有“”,集合A⊕B顯然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)),則集合A⊕B表示如圖所示的所有“”+所有“”+所有“”,共45個(gè).故A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為45.答案:45【總結(jié)升華】新定義“運(yùn)算”問(wèn)題的求解策略有關(guān)新定義“運(yùn)算”的問(wèn)題,在理解運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上