陜西省咸陽市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的一般式得出斜率，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算得出傾斜角.【詳解】直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，，所以，所以.故選：A.2.在等差數(shù)列中，，則（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)直接求解,【詳解】根據(jù)題意，，所以.故選：C3.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到軸的距離之差為1，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用拋物線定義即可求解.【詳解】設(shè)，根據(jù)拋物線定義可知，，又點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到軸的距離之差為1，則，解得.故選：B4.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得出，，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以雙曲線經(jīng)的焦點(diǎn)在軸上，且，又因?yàn)殡x心率為，即，解得：，又因?yàn)?，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.5.已知圓與圓交于、兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】兩圓方程作差得到公共弦方程，再利用垂徑定理及勾股定理計(jì)算可得.【詳解】圓即，圓心，半徑；圓即，圓心，半徑，因?yàn)?，則，所以兩圓相交，則兩圓的公共弦方程為，則到的距離，所以.故選：A6.已知點(diǎn)，平面，其中向量，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由點(diǎn)到平面距離的向量公式求解即可.【詳解】由題意可得：，所以點(diǎn)到平面距離是：.故選：A.7.如圖，四棱柱中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】記，根據(jù)空間向量的運(yùn)算表示出，根據(jù)向量模的計(jì)算即可得答案；【詳解】記，則，所以，由于，故，故.故選：D.8.高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法·商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻蔓垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)．如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，?，則第8層小球的個(gè)數(shù)為（）A.35 B.36 C.46 D.49【答案】B【解析】【分析】記第n層有個(gè)球，則根據(jù)題意可得，再根據(jù)累加法與等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】記第層有個(gè)球，則，，，，結(jié)合高階等差數(shù)列的概念知，，，……，，則第8層的小球個(gè)數(shù)為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)兩條不重合的直線，的方向向量分別為，，兩個(gè)不重合的平面，的法向量分別為，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，使得，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間位置關(guān)系的向量證明逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，若，則，，A正確；對(duì)于B，，則或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，，C正確；對(duì)于D，，使得，則，而平面不重合，因此，D正確.故選：ACD10.設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由可求得，結(jié)合可排除，知B正確；由等比數(shù)列通項(xiàng)公式知A錯(cuò)誤；利用作差法可知C正確；根據(jù)等比數(shù)列求和公式可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，又，，或；當(dāng)時(shí)，，，與矛盾，，B正確；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，，即，C正確；對(duì)于D，，又，，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線交雙曲線右支于點(diǎn)，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點(diǎn)．若雙曲線的方程為，則（）A.B.雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為21C.當(dāng)反射光線過點(diǎn)時(shí)，光線由所經(jīng)過的路程為6D.設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義判斷選項(xiàng)A；利用點(diǎn)到直線的距離公式求右焦點(diǎn)到漸近線的距離判斷選項(xiàng)B；結(jié)合雙曲線定義求光線經(jīng)過的路程判斷選項(xiàng)C；通過分析漸近線斜率與反射光線斜率的關(guān)系判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于雙曲線，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（，），其中為雙曲線的實(shí)半軸長，為雙曲線的虛半軸長.可得，則.由雙曲線的定義：對(duì)于雙曲線右支上的點(diǎn)，有，所以，選項(xiàng)A正確.

由雙曲線可得，，則，右焦點(diǎn).雙曲線的漸近線方程為，即.右焦點(diǎn)到漸近線的距離，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

由雙曲線定義知，即.光線由所經(jīng)過的路程為.當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，，，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得.所以光線由所經(jīng)過的路程為，選項(xiàng)C正確.

設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A、B.如圖示：雙曲線的漸近線斜率為.當(dāng)與同向共線時(shí)，的方向?yàn)?，此時(shí)，最小.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以n所在直線斜率為.則斜率滿足，選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線，的方向向量分別是，，若，則________．【答案】18【解析】【分析】由題意可得出，所以，求出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得：，所?故答案為：.13.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則________．【答案】21【解析】【分析】由成等比數(shù)列，可得，代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以，解得：.故答案為：.14.已知兩點(diǎn)，和圓，則直線與圓的位置關(guān)系為________.若點(diǎn)在圓上，且，則滿足條件的點(diǎn)共有________個(gè).【答案】①.相交②.4【解析】【分析】先求出直線的方程，再利用圓心到直線的距離判斷直線與圓相交；先求出點(diǎn)到的距離，再結(jié)合圓心到直線的距離為和圓的半徑為判斷得解.【詳解】由題得，所以直線的方程為，所以直線的方程為，由可知，圓的圓心為，半徑為，又圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，又，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，又圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以圓上有個(gè)滿足條件的點(diǎn).故答案為：相交；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線和直線．（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求直線與之間的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出在軸和軸的截距，利用截距相等構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）由求出，再由兩平行線的距離求解即可.【小問1詳解】由題意可知，直線在軸的截距為，在軸的截距為，則，解得．【小問2詳解】若，則，得，此時(shí)直線，即，又直線，∴直線與之間的距離．16.已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點(diǎn)在圓上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得，即可求解，（2）利用圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【小問1詳解】由題可設(shè)圓心的坐標(biāo)為，，∵圓半徑為2，點(diǎn)在圓上，∴，解得（舍去），故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】由題知，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即，由題意得，解得或，∴切線的方程為或．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為棱上的點(diǎn)，滿足.請(qǐng)先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后解答下列問題.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋矫?，所以平?【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，由（1）知，設(shè)平面的法向量為，由（1）可得，，，所以，設(shè)，得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意列方程可得，求出，即可得出答案；（2）直線的方程為，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由，求出，即可求出答案.【小問1詳解】∵橢圓的焦點(diǎn)為，，且的周長為，∴，解得，，∴橢圓的方程為．【小問2詳解】若直線的斜率不存在，此時(shí)線段的垂直平分線與軸重合，不符合題意；設(shè)直線的方程為，，，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)，由韋達(dá)定理得，，∴，，∵，即，解得，∴直線的方程為，即或．19已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；（3）在（2）的條件下，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）應(yīng)用已知構(gòu)造數(shù)