2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.命題“HxeR,/一4x-5<0”的否定是（）

A.eR,x2-4x-5>0B.VxgR,x2-4x-5>0

C.IveR,f-4x-520D.VxeR,x2-4x-5>0

2.已知集合/={x|—-2尤-8<0},8={y|了=*+4尤-3},則（）

A.（-2,1]B.（-2,1）C.（-4,1]D.（-4,1）

3.已知平面a,直線/,且/ua,m<￡a,貝ij“加///”是“加//tz”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)

一一八esin2a+l/、

過點尸（tana,4）,則一-——（）

cos2a+l

99「9-19—1

A.-B.-C.一或彳D.一或一

282288

5.已知向量2=（6,指），且向量々與]的夾角為'則的最小值為（）

A.1B.72C.2D.4

S2〃+4a

6.已知兩個等差數(shù)列包},也}的前〃項和分別是S〃Z，且于=§巧，貝1（）

.39一73

A.—B.—C.—D.一

414115

7.如圖，在扇形043中，半徑|。/|=|。|=2,弧長為5兀?，點尸是弧上的動點，

6

點分別是半徑CM,。？上的動點，貝蛛尸周長的最小值是（）

A.V6+V3B.4C.26D.V6+V2

8.已知定義域為(0,+8)的函數(shù)為(x)滿足:V尤?>0*(盯)=3)+3)—2,且當x>l

時，h(x)>2,a=In—,/?=—,c=tan—,貝|()

9109

A.h(a)<h(Jj)<A(c)B.h(b)<h{a)<〃(c)

C.h(c)<h(a)<k(b)D,h(a)<h(c)<h(b)

二、多選題(本大題共3小題)

9.某超市隨機抽取了當天100名顧客的消費金額作為樣本，并分組如下：

[0,50),[50,100),[100,150),.-.,[250,300](單位：元)，得到如圖所示的頻率分布直方

圖，則下列說法正確的是()

t頻率/組距

0.004^-1~~——

0.003[-----卜+------

0.002^-----卜----------

。|50100150200250300金輸(元)

A.若該超市當天總共有600名顧客，則消費金額在[100,150)(單位：元)內(nèi)的顧

客約有180人

B.若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表，則樣本中消費金額的平均數(shù)是145元

C.若用樣本估計總體，則該超市當天消費金額的中位數(shù)是100.8元

D.現(xiàn)從樣本的第1,2組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，再從這6

人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，則抽到的2人的消費金額都不少于50元的概率

■

10.已知函數(shù)+的部分圖象如圖所示，貝I]()

2

C.函數(shù)的圖象與直線>=1的相鄰兩交點間的距離為1

D./Q-^+/（x-l）=O

11.某興趣小組制作了一個直三棱柱-44G容器（容器壁厚度忽略不計），其

中AB=3,BC=5,AC=7,則下列說法正確的是（）

A.若四棱錐4-8CCS的體積為手，貝

B.若三棱柱N3C-4耳G的外接球的表面積為箸，則三棱柱NBC-43G的側(cè)

面積為30

C.若44=2,棱長為。的正方體能被整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動，則。的最大

值為通

3

D.若用=4,點尸在四邊形BCC圈內(nèi)（含邊界），且N尸=小，則點尸的軌跡

2

長度為兀

三、填空題（本大題共3小題）

43

12.已知Z=^7，貝.

2+3113

13.已知隨機變量X?N?,4],且正數(shù)見6滿足尸保41=尸（XN6）,則工+9的

<4）V2）a+bb

最小值為.

22

14.已知實軸長為4的雙曲線C:y1r=l（a>0,6>0）的漸近線為彳±島=0,片、F2

分別為C的上、下焦點，過點鳥的直線/與C的上、下兩支分別交于點M、N,且

怛M=則直線/的斜率為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.如圖1,在矩形N8CZ）中，AB=1,BC=C，將△BCD沿著翻折到的位

置，得到三棱錐尸-48。，且尸平面4BP,如圖2所示.

(1)求證：平面/尸。_L平面/2D；

(2)求直線AB與平面BPD所成角的正弦值.

16.已知V/2C的內(nèi)角43,C的對邊分別為a,b,c,向量

m=(a-b,smC),n=(b+c,sinA+sin5),m/In.

⑴求A的大?。?/p>

(2)。是邊BC上一點且4D平分Z8/C,若=的面積是26，求V/3C的

周長.

17.已知函數(shù)/(x)與g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且〃x)+g(無)=e'.

⑴求函數(shù)〃x)與g(x)的解析式；

⑵若對于Tfe-1,0,不等式/(左cosf)+/(e'-sinf)>0恒成立，求實數(shù)人的取值范圍.

18.已知數(shù)列｛凡｝滿足%+2=6。“+1-9a“(〃e%),且為=3,。2=18.

⑴證明：數(shù)列｛。用-3叫是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(3)若數(shù)列的前〃項和為s,,,c,=(〃+1)［g-S,J(〃eN+),證明：數(shù)列匕｝中任

意不同的三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列.

19.法國著名數(shù)學(xué)家拉格朗日給出一個結(jié)論：若函數(shù)〃x)在閉區(qū)間以以上的圖象是

一條連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間(％6)上都有導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間(%方)上存在實數(shù)使得

=這就是拉格朗日中值定理，其中/稱為/(工)在區(qū)間上的

“拉格朗日中值”.已知函數(shù)〃x)=x3-3/+2x,g(x)=/(x)+e*-e2r,〃(x)=lnx-%x+3.

(1)利用拉格朗日中值定理求函數(shù)/(x)在［1,3］上的“拉格朗日中值”；

(2)利用拉格朗日中值定理證明：函數(shù)g(x)上任意兩點連線的斜率不小于2e-l；

(3)針對函數(shù)”(x),請證明拉格朗日中值定理成立.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】命題“去€1<,/-4;(：-5<0”的否定是心€11/2-布-520,

故選：D

2.【正確答案】A

【詳解】集合/={HX2-2X-8<0}={X|-2<X<4},

因為>=一一+4工一3=-(工-2『+141,所以8={y|y41},

則"8=(-2』.

故選：A.

3.【正確答案】A

【詳解】因m/〃，又/ue,mtta,則〃z//(z,即“用///"是"〃z〃a”的充分條件;

當m//a,/u(z,加仁;7時，加不一定和/平行，還有可能異面，

則“冽/〃”不是“防〃。”的必要條件.則“力〃/”是“加/條”的充分不必要條件.

故選：A

4.【正確答案】C

【詳解】因為awg,左eZ,所以tana/O,

4

因為。的終邊過點P(tana,4),所以tana=-------,解得tana=±2,

tana

sin2a+\2sinacosa+coJa+sir?a11

------------=--------------------------------------=tana-\----1tan2a，

cos2o+l2co^a-1+122

sin2a+1八119

當tana=2時,------------=2+-+-x22

cos2a+1-------222

sin2a+1I

當tana二一2時,=-2+-+-x(-2)2

cos2a+1222

,.,ll、上sin2a+19…sin2a+11

綜上所述：--——；二不或--——r=-

cos2cr+12cos2a+12

故選：C.

5.【正確答案】C

【詳解】因為2=(6,g)，貝ij問=6^=20,

由平面向量數(shù)量積的定義可得鼠刃=忖卡向：=2網(wǎng),

所以，*彳=1一2力+/明2-明+8=（%_彳+424,

當且僅當可=2時，等號成立，故的最小值為2.

故選：C.

6.【正確答案】B

【詳解】由題意，

S2〃+4

在兩個等差數(shù)列｛%｝,也｝中，前〃項和分別是工工，手=而巨，

對于一般等差數(shù)列前〃項和為二次型函數(shù)：S,=kM+bn（k,b為常數(shù)），

.?.設(shè)S"=（2〃+4）加,T“=（3n+l）kn,左為常數(shù)

S1

.a4_y_9S[9（2x7+4）?7-9

TT~77（3x9+l）-9^I"

99

故選：B.

7.【正確答案】D

【詳解】連接。尸，作點P關(guān)于直線CM的對稱點4，關(guān)于直線。8的對稱點

連接45分別交。4,0B與前M,N,連接PM,尸N如下圖所示：

M\PM\=\PXM\\PN\=\PXN\,\OP\=\OP^=\OP^=2,

此時△尸AW的周長取得最小值，其最小值為憶到的長度；

SirSir

因為扇形。的弧長為?，半徑為2,所以//。5=多；

612

根據(jù)對稱性可知//筆=?5兀,

0

在△6。6中，由余弦定理可得

=四2+pE,一2Pq慨|cosZ^（9^=4+4-2x2x2x,￡=8+4不,

所以由間="+也.

即APAW周長的最小值是痛+J1

故選：D

8.【正確答案】B

【詳解】由題意，任取再,%€（0,+8）,且占<X2，則強>1,/J->2,

X1\X1J

所以%%（玉）=力?xJ—力（再）=〃[邃]+力（西）一2—%（玉）=%—-2>0,

即A（X2）>/Z（X1）,所以函數(shù)//（%）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

由a-b=]n---------=-ln

9101

設(shè)/(x)=-ln(l-x)-x,0<x<l,

貝U/'(X)=占T=占〉0，所以函數(shù)/(X)在(°，1)上單調(diào)遞增，

所以〃%)=—如(1一%)—%>〃0)=0,

則。一6二—ln[l—j^]一0,BPa>b.

,1101/D1

由a-c=\n-----tan—=In1+--tan—,

9919)9

設(shè)g(x)=ln(l+x)—tanx,0<x<l,則g'(x)=y^---------^―,

因為0<x<l,所以0<cosx<l,貝I」———>1,

cosX

而l<x+l<2,貝!J—<<1,

2x+1

所以g'（x）=J---------=<0，則函數(shù)g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，

14-XCOSX

所以g（x）=ln（l+x）-tanx<g（O）=O,

貝a—c=ln[l+§]—tan—<0,即a<c.

綜上所述，c>a>b>0,

又函數(shù)〃（x）在（0,+s）上單調(diào)遞增，則”（。）>〃（。）>/7伍）.

故選：B.

9.【正確答案】BD

【詳解】因為0.1+0.2+50。+0.2+0.15+0.1=1,所以a=0.005,

對于A,所以消費金額在口00,150）內(nèi)的顧客約有50ax600=150人，A選項錯誤;

對于B,樣本中消費金額的平均數(shù)是

0.1x25+0.2x75+0.25x125+0.2x175+0.15x225+0.1x275=145元，B選項正確；

對于C,設(shè)消費金額的中位數(shù)是前二組的頻率和為0.1+0.2<0.5,前三組的頻率和

為0.1+0.2+0.25>05,

所以才在第三組，所以0.1+0.2+t-100）x0.005=0.5,所以上140元，C選項錯誤；

對于D,第1組頻率，第2組頻率分別為0.1。2,所以從樣本的第1,2組中用比例

分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，第1組抽2人，第2組抽4人，

所以從這6人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，則抽到的2人的消費金額都不少于50

「2￡2

元的概率是尸=1=正j,D選項正確.

故選：BD.

10.【正確答案】ABD

【詳解】由圖可得/=2,&=2*信與=2n。=兀,

co133J

7ix—+69=71+2kn,keZn(p=A2knJeeZ,因〈二，取左=0=＞。=工，

3323

r_L十，兀4兀

對于A,。+9=兀+—=—故A正確;

33

對于B,/(x)=2sin(7ix+y

gp/(l-x)=/fx-|j,故B正確;

7T￡

對于C,令/(x)=2sin3+§)=l

2

冗冗57r1I

=^>7LX+—=——b2而或——+2左兀,得％=——+2左或x=—+2k,其中％EZ,

36662

分別取左=0,1,得〃尤）=1相鄰的三個根為一二月，

626

11?

則相鄰根的差值即“X）的圖象與直線>=1的相鄰兩交點間的距離為:+：=:或

263

1114

故C錯誤；

623

兀=2sin[%tx衛(wèi)]

對于/(x-1)=2sin

D,V3J

2兀

=2sin---7lX=-2sin\nx—,

、3[3.

D正確.

11.【正確答案】ABD

【詳解】對于A,根據(jù)余弦定理，叱狀L=則

?R6

sinB=——,

2

如圖，過點A作垂足為￡,

所以L3C./E=LA8.8CsinBnLx5x/￡=Lx3x5x9n/￡=+,

222222

因為直三棱柱ABC-A^Q,所以四棱錐4-8CC4的高為/￡,

所以叱BCCB=~sBCCB-AE=-x5-AA,x^-=i^^^AA.=-,故A正確；

d]-z>3oz>vV|Z>]3i23i3

對于B,設(shè)三棱柱/BC-4耳G的外接球的球心為O,半徑為分別為上底面和下底

面外接圓的圓心，則4D為V/3C外接圓的半徑，如上圖,

Ar77

r?2208兀252---------=2ADn—j=~=2ADnAD=-j=

則4位2=丁nA2=§,sin/B36,

T

所以==所以/4=2°。=2,

所以三棱柱48C-48c的側(cè)面積為(3+5+7)x2=30,故B正確；

,JL一也

對于C,因為V/8C內(nèi)切圓的半徑為，—2s_2X2X2_^3,

f———

a+b+c3+5+72

又因為441=2>2.，所以三棱柱4G能容納的最大的內(nèi)切球的半徑為巨，則

2

棱長為。的正方體能整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動，

則棱長最大的正方體恰好是直徑為g的球的內(nèi)接正方體，則V3a<V3,.\a<l,

則。的最大值為1,故C錯誤；

對于D,在平面N8C內(nèi)作/〃_L3C,垂足為〃，由A的分析可知“落在C8的延長

線上，

且/H=A8?sinq=—,BH=AB-cos-=-,

3232

由于_L平面NBC,/Hu平面故

又BCcBB\=B、BC64u平面BCCR,故犯，平面BCCXBX,

刊7<=平面8。。用,故必，尸〃，而/p=哈，故PH7Ap2-AH?=3,

又必=4,故尸點軌跡為以〃為圓心，3為半徑的圓在四邊形BCC圈內(nèi)（含邊界）

的圓弧MN,

在R3NHB中，cosZNHB=—=~,則=工，

NH23

TT

故弧兒W的長為；'3=兀，即點P的軌跡長度為兀，故D正確；

故選：ABD

12.【正確答案】1

【詳解】由題意，

-4-44（2-3i）8-12i8-12i812.

在z=-------中.z=--------=-------------------=--------=--------=----——1

2+3i2+3i（2+3i）（2-3i）4-9i2131313

故I.

13.【正確答案】9

【詳解】因為隨機變量正數(shù)出人滿足尸卜臼=尸26）,

有對稱性可知+=BPa+26=1,

2l2J4

叱-(44ba+b】

所以力4+1=［力+.1Y(“+2…3=(〔.4+"1(Y“+"737=X44+力+—+1

〃+空；

>5+2,469

a+bb

當且僅當々=乎，即a=6二時，等號成立.

a+bb3

故9

14.【正確答案】土巫

3

22

【詳解】因為實軸長為4的雙曲線C:%-1r=1（。>0,6>0）的漸近線為x±囪y=O,

2。=4

a=222

則工—叵解得所以，雙曲線C的方程為匕一土=1,

b=Ti412

H

C=JQ2+/-54+12=4，

如下圖所示:

設(shè)寓M=|耳初二",由雙曲線的定義可得國N|-內(nèi)的=八-隹N|=2a,則

=m-2a=m-4,

\F2M\—\FXM\=\F2M\—m=2a,所以，|7^Af|=m+2a=m+4f

所以，\MN\=\F2M\-\F2N\=(m+2a)-(m-2a)=4a=S,

出閭，上

由余弦定理可得cos/F[F2M=

2|甲訃2版叫刊

64+(m-4)2-m264+(m+4f—m2

u\以，7r—77解得加=2^/10,

2x8x(加一4)2x8x(m+4)

64+(m-4)-m80-8m10-m_io_yib

所以，COSZF,FM=-----------7---r—=-7----7；----7

22x8x(加一4)16(加一⑷4加一⑷2(2V10-4)

4(Vw-2)4

所以，sin/月與“=正cos2NF遙M=手

TT

當直線/的傾斜角e為銳角時，則

Sm*gM

sin。COSZFFMy[T04廣5

所以，tand=X2

cossinZF^M

。cosFEM

此時，直線/的斜率為姮;

3

當直線/的傾斜角為鈍角時，由對稱性可知，直線/的斜率為-至

3

綜上所述，直線/的斜率為土巫.

3

故答案為.土嫗

3

15.【正確答案】(1)證明見詳解

【詳解】(1)因為尸Z)_L平面48尸，48,4Pu平面/8P,可得尸。_1_48,PDLAP,

由題意可知：AD1AB,且尸。P0,4Du平面尸40,

可得4B_L平面尸由48u平面所以平面APZ)_L平面/8D

(2)由題意可知：AB=PD=1,AD=PB=?AP=NAD5D?=6,

設(shè)點A到平面3尸。的距離為d,

因為噎j，Bp16?x|xlxV3=^xlx^xlxV2,解得心四，

32323

巫

所以直線與平面所成角的正弦值為色二三二

AB~13

16.【正確答案】(1)丁

(2)6+277

【詳解】(1)由加=(a—b,sinC),〃=(6+c,sin24+sinB),mlIn，

可得(a-9(sin4+sin5)=sinC(Z?+c),

再由三角形正弦定理角化邊得：伍-?(a+b)=c(b+c),

整理得：a2-b2=c2+beb2+c2-a2=—be,

再由余弦定理得：cosN=、+。",=3=」,

2bc2bc2

又因為440,兀)，所以Z=g.

(2)

_27r4

因為4。平分/A4C,^4=—,AD=—,

ffftU-xbex^-=—x--cx-^+—xZ>-,化簡得：~^c=c+b,

222322324

又由V45。的面積是2JJ,則=26,解得：be=8,

22

~3

所以6+c=—be=6,

4

又由余弦定理得：a2=〃+c2-26ccos/=(Z)+c『-2bc-2bc(-g]=36-16+8=28,

所以°=2旨，即三角形的周長是6+2g.

17.【正確答案】(l)/(x)=%(e'-ef)；g(x)=；(e，+eT)

⑵(T+8)

【詳解】(1)由/(x)+g(x)=e，①，可得/(-x)+g(-x)=eT,所以

-/(尤)+g(尤)=e-￡②，

①一②可得2f(x)=e，-,所以/(x)=1(eI-e-i),

①+②可得2g(x)=efJ,所以g(x)=；(e工+尸)；

(2)由(1)知〃x)=g(e—e-，),所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

由/(A:cosZ)+/(e'—sin’>0,得/(左cos。〉—/(e’—sin￡)=/(—e'+sin。，

所以《cost>一e'+sin，，

當”號時，o./>-e^-r不等式恒成立，

當時，cosf>0,所以不等式變形為6>-e'+sm'

I2」cos.

一'e+sint所以“⑺_(4+cos"cost一(-d+sin1)Gsint)_一e'cosf-e'sinf+1

令h(t)=

cos.cos21cos21

令=-ezcos^-ezsin/+1,求導(dǎo)得“?)=-e'cos/+e'sin/-ezsint-elcost=-2elcost,

因為可啖0，所以d（/）<0，所以夕0在信,0上單調(diào)遞減,

所以夕(。2研0)=-e°cos0-e°sin0+1=0,

所以所以帕）=山皿在Jt，o］上單調(diào)遞增，所以

costI2_

-e°+sin01

恤)max=〃(。)=---------=-1，

cosO

因為對于-p0,不等式/（丘。5。+小-回>0恒成立，所以心陽而=-1，

所以實數(shù)上的取值范圍為（-1,+⑹.

18.【正確答案】（1）證明見解析；

（2）??="-3"

（3）證明見解析.

【詳解】（1）證明：因氏+2=6%+i-9a”（"eN+）,

則％,+2-3%+i=3a?+1-9a?=3（a?+1-3（z?）,

則｛。向-3%｝是以g-3%=9為首項，公比為3的等比數(shù)列；

（2）由（1），5-S'"』畀，=1,

則仔｝是以?=1為首項，公差為1的等差數(shù)列，貝庠=l+（l）n4=〃3；

,2%+3用2n-3"+3"+I11

tl(?)---------------=-----------------------=------------------------------

2W+1w+1

anan+lH(H+1)-3小3〃(?+l)-3

11111111

----------—?—-----------—|—...—----------------------------

1x312x322x323x23n-3"(n+l)-3,,+13(?+l)-3"+1"

則c?=(w+l)f|-S,J=(?+l)：1]1

3'(〃+>3陽3+i

證明：假設(shè)數(shù)列｛qj中存在不同的三項能構(gòu)成等差數(shù)歹h

設(shè)這三項項數(shù)為〃?’力〃.其中m,t,MeN,,

則〃一，21,n-m>2,t-m>1,

__1____1__=11n_^n-m_1_^n-t,_^n-t,_-yn-m_i

3，+lyn+\3〃+l3/+IJ—l—J-N、P—3—1.

設(shè)〃-f=xNLt-m=a>i,貝Ij〃一〃7=〃一，+/一加=x+a,

得2.3”，-3"r”=23-y+a=(2-3a)3\

注意至3a23n2-3“V-l,無21-3*23,

則2.y-'-y-m=2-3工-3A+a=(2-3a)3A<-3.

這與2?3"T-3"F=1矛盾，則數(shù)列｛g｝中不存在不同的三項能構(gòu)成等差數(shù)列.

19.【正確答案】(1”=3+2〉

3

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)由題，/(3)—/⑴=八*3—1)=八'=」⑶J⑴,

因/'(x)=3f—6x+2,/(3)=6,/(1)=0,

貝U3r-6%+2=3=>/_3+2A/3(負值舍去)；

3

(2)由,g(x)=/—3%2+2x+ex—e2x=>g，(%)=3x2—6x+2+e'+e?,

設(shè)P(%)—312-6x+2+e"+e2-x=>p(%)=6x-6+e"-e2r,

設(shè)m(x)=6x-6+ex—e2r=>冽'(x)=6+e"+e2r>0,

則加(x)="(x)在H上單調(diào)遞增，注意至!J夕'⑴=0,

則當％>1=；/(%)>0=>2(％)=g，(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

%<1=>//(%)<Onp(%)=g'(%)在(-8,1)上單調(diào)遞減,

則g'ULng'⑴=2e-l,

設(shè)函數(shù)g(尤)上任意兩點為(a,g(a)),(6,g(6)),

則函數(shù)g(x)上任意兩