2024-2025學年北京市東城區(qū)九年級上期末數(shù)學試卷（附答案解析）

2024-2025學年北京市東城區(qū)九年級上期末數(shù)學試卷

一、選擇題（每題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）下列事件為必然事件的是（）

A.在平面上畫一個三角形，其內(nèi)角和是360°

B.經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

C.不在同一條直線上的三個點確定一個圓

D.購買1張彩票，中獎

2.（2分）將拋物線y=/向下平移2個單位長度，得到的拋物線為（）

A.y=7+2B.尸%2-2C.y—（x-2）2D.y=（x+2）2

3.（2分）第33屆夏季奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行、奧運會圖標在視覺設計

上主要融入三個方面的內(nèi)容一一對稱設計、項目場地的抽象表達以及項目的代表性元素.下列四個圖標

中是中心對稱圖形的是（）

A.(尤-4)2=20B.(尤-4)2=16C.(x-4)2=12D.(x-4)2=4

5.(2分)如圖，PA,PB與分別相切于點A,B,PA=2,ZP=60°,則AB=()

6.（2分）若關(guān)于尤的一元二次方程/+2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則比的值可能是（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2分）鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接

而成，六條弧所對應的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O,而所在圓的圓心C恰好是△ABO的重心.若

AB=?則花窗的周長（圖中實線部分的長度）為（）

C.3itD.4n

8.（2分）二次函數(shù)yuaf+bx+c（a=0）圖象上部分點的坐標滿足如表:

???

X-3-20135

.??

y70-8-9-57

下面有四個結(jié)論：

①拋物線的開口向上；

②拋物線的對稱軸為直線x=2；

③當-2Vx<4時，j<0；

④x=-1是關(guān)于x的一元二次方程以2+笈+C+5=0（qWO）的一個根.

其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每題2分，共16分）

9.（2分）在平面直角坐標系中，點（3,5）關(guān)于原點對稱的點的坐標是.

10.（2分）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0,7）的拋物線的解析式

11.（2分）某數(shù)學興趣小組做“任意拋擲一枚圖釘”的重復試驗，多次試驗后獲得如下數(shù)據(jù)：

重復試驗1050100500100020005000

次數(shù)

釘尖朝上515362004038012001

次數(shù)

估計任意拋擲一枚圖釘、釘尖朝上的概率約為（結(jié)果精確到0.1）.

12.（2分）據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2024年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2021年和2023年全國居

民人均可支配收入分別為3.5萬元和3.9萬元.設2021年至2023年全國居民人均可支配收入的年平均

增長率為無，依題意可列方程為

13.（2分）如圖，以點。為中心的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的直徑與直角三角

板的斜邊重合，如果點D在量角器上對應的刻度為110°,連接CD.那么.

14.（2分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線BD±AD,NC=135°,4。=2,則AB

15.（2分）如圖，在△ABC中，ZBAC=100°,將△A8C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a,得至（Z￡=60°.若

點、B,C,。恰好在同一條直線上，則a=

16.（2分）古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，在算籌記數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”

兩種方式表示數(shù)字，如圖所示.

123456789

縱式IIIIIIIlliIIIIITTTUr

橫式一=三三季

據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，百萬

相當.即在算籌記數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此

類推.例如，算籌_LT—UI表示的四位數(shù)是6613.

（1）用3根算籌表示的兩位數(shù)可以是（寫出一個即可，算籌不剩余且個位不為0）；

（2）在用4根算籌表示的所有兩位數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)，這個數(shù)大于60的概率為

（算籌不剩余且個位不為0）.

三、解答題（共68分，第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27-28題每題7分）解答應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟。

17.（5分）解方程：x2-4x=5.

18.（5分）如圖，圓形拱門的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，如果。是中弦的中點，連接

。。并延長交O。于點C,并且48=1偌，CD=2.5m,求的半徑.

19.（5分）己知：。。為aABC的外接圓；。是BC：邊上的一點，連接AD

求作：ZBEC,使得點E在線段上，且/8￡^=2/區(qū)4仁

作法：

①連接分別作線段。8,的垂直平分線12,兩直線交于點P

②以點尸為圓心，PB長為半徑作圓，交線段于點E；

③連接BE,CE.

NBEC就是所求作的角.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接。C.

:點A,B,C在。。上，

.-.ZBXC=|zBOC（）（填推理的依據(jù)），

:點2,O,E,C在OP上，

ZBEC=Z.

:./BEC=2/BAC.

20.(5分)己知二次函數(shù)y=/-6x+8.

(1)求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；

(2)當0WxW4時，y的取值范圍是.

21.(5分)如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，點A,B,C的坐標分別為(-2,1),(1,2),(2,1),將

△A3C繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到B'C',點A的對應點A'的坐標為(-2,-1),點8的對

應點次的坐標為(-3,2).

(1)點尸的坐標是；(填寫正確的選項)

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,-1)

(2)畫出旋轉(zhuǎn)后的B'C,并寫出C的坐標是；

(3)線段R4的延長線與線段A'B'交于點M,直接寫出的度數(shù).

yA

「—―「一一1一一14------------------1一一一

(ill?

22.(5分)中國古代的“四書”是指《論語》、《孟子》、《大學》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，

是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分.下面是正面印有“四書”字樣的書簽A,B,C,D,書簽除正面的字

樣外，其余完全相同.將這4張書簽背面向上，洗勻放好.

(1)從中隨機抽取1張，抽到“中庸”書簽的概率是;

(2)從中隨機抽取2張；用列舉法求出隨機抽取的2張書簽恰好是“論語”和“大學”的概率.

23.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程//+陵-2=0(aWO).

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程的一個根是2,求代數(shù)式6a2+36的值.

24.(6分)如圖1,某隧道內(nèi)設單向兩車道公路，其截面由長方形的三條邊AB,AC,8。和拋物線的一段

(點E為拋物線的頂點)構(gòu)成.以的中點。為原點，分別以直線和拋物線的對稱軸為x軸和y

軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系.其中，AB=12米，AC=BD=3米，OE=7米.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)為保證安全，要求行駛車輛頂部(視為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于1米.若

行車道的總寬度MN為8米，且。為的中點，請計算通過隧道的車輛的限制高度.(車道分界線的

寬度忽略不計)

圖1圖2

25.(6分)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC邊為直徑作。。交AB于點。，連接。。并延長

交的延長線于點E,點尸為8c的中點，連接QP.

(1)求證：尸。是O。的切線；

(2)若。。的半徑為3,NB=30°,求PE的長.

26.(6分)在平面直角坐標系xOy中，點(2,n)在拋物線y=/-(m+3)x+3相上，設拋物線的對稱軸

為直線x=t.

(1)當w=3:w時，求f的值；

(2)點A(-/,yi),B(Z+1,y2)在拋物線上，若優(yōu)w<0,比較yi,”的大小，并說明理由.

27.(7分)如圖，在等邊△ABC中，。為AB上一點，連接CD,E為線段CD上一點(CE>DE),將線

段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CR連接AF.

(1)求證：BE=AF-,

(2)點G為8c延長線上一點，連接AG交CF于點若M為AG的中點，用等式表示線段CE,

MF,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.(7分)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,對于。。的弦43和不在直線上的點C,給

出如下定義：若/ACB=a,且點C關(guān)于弦AB的中點M的對稱點在。。上或其內(nèi)部，則稱點C為弦

A8的“a關(guān)聯(lián)點”.

(1)已知點4(—>B(1,0).

①在點C1(—1,-1),金(2,0),。3(。，8)中，點是弦AB的關(guān)聯(lián)點，其中a=.

②若直線y=-島+6上存在A8的“60°關(guān)聯(lián)點”，則b的取值范圍是；

(2)若點C是AB的“60°關(guān)聯(lián)點”，且。。=再，直接寫出弦AB的最大值和最小值.

備用圖

2024-2025學年北京市東城區(qū)九年級上期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案CBBABADC

一、選擇題（每題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）下列事件為必然事件的是（）

A.在平面上畫一個三角形，其內(nèi)角和是360°

B.經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

C.不在同一條直線上的三個點確定一個圓

D.購買1張彩票，中獎

【解答】解：4、在平面上畫一個三角形，其內(nèi)角和是360。是不可能事件，不符合題意；

8、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，不符合題意；

C、不在同一條直線上的三個點確定一個圓是必然事件，符合題意；

。、購買1張彩票，中獎是隨機事件，不符合題意；

故選：C.

2.（2分）將拋物線向下平移2個單位長度，得到的拋物線為（）

A.y=/+2B.y—jr-2C.y=（x-2）2D.y=（x+2）2

【解答】解：拋物線y=7的頂點坐標為（0,0）,把點（0,0）下平移2個單位長度所得對應點的坐

標為（0,-2）,所以平移后的拋物線為2.

故選：B.

3.（2分）第33屆夏季奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行、奧運會圖標在視覺設計

上主要融入三個方面的內(nèi)容一一對稱設計、項目場地的抽象表達以及項目的代表性元素.下列四個圖標

中是中心對稱圖形的是（）

【解答】解：選項A、C、。的圖形不都能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重

合，所以不是中心對稱圖形，

選項8的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.

故選：B.

4.(2分)用配方法解方程/-8x-4=0,變形后結(jié)果正確的是()

A.(x-4)2=20B.(尤-4)2=16C.(x-4)2=12D.(x-4)2=4

【解答】解：x2-8x-4=0,

x2-8x=4,

x2-8X+42=4+42,

(x-4)2=20.

故選：A.

5.(2分)如圖，PA,尸8與O。分別相切于點A,B,出=2,/P=60°,貝U()

A.V3B.2C.2A/3D.3

【解答】解：PB與O。分別相切于點A,B,

J.PA^PB,VZAPB=60°,

/.AB4B是等邊三角形，

：.AB=AP=2.

故選:B.

6.（2分）若關(guān)于x的一元二次方程/+2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則優(yōu)的值可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：根據(jù)題意，得A=4-4wi>0,

解得m<1,

VO<1,

故選：A.

7.（2分）鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接

而成，六條弧所對應的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點0,彳&所在圓的圓心C恰好是△A3。的重心.若

AB=W，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）為（)

A.TTB.2irC.3ITD.4n

【解答】解：如圖，過點C作CMUB于點則4"8知=93=空,

,?,六條等弧所對應的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點0,

360°

..Z08=k=6。。,

'：OA=OB,

???△AOB是正三角形,

:砂所在圓的圓心C恰好是的重心,

...點C為正三角形493重心，也是內(nèi)心,

1

：.Z.CAB=Z.CBA=1X60°=30°,ZACB=2ZAOB=120°,

9：AM=^~,ZCAM=30°,

“V3

._AM__2__.

?A?r"=^^=直i

T

r1207TX12

.?.4B的長為-------=-Tt,

1803

2

?,?花窗的周長為［7TX6=47r.

故選：D.

8.（2分）二次函數(shù)丁=/+法+。（〃W0）圖象上部分點的坐標滿足如表:

X…-3-20135

y…70-8-9-57

下面有四個結(jié)論:

①拋物線的開口向上；

②拋物線的對稱軸為直線x=2；

③當-2cx<4時，y<0；

@x--1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+c+5=0（aWO）的一個根.

其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：???拋物線經(jīng)過點（-3,7）,（5,7）,

拋物線的對稱軸為直線尤=1,所以②錯誤；

拋物線的頂點為（1,-9）,即x=l時，y有最小值-9,

拋物線開口向上，所以①正確；

???拋物線經(jīng)過點（-2,0）,

拋物線經(jīng)過點（4,0）,

...當-2<x<4時，y<0,所以③正確；

?.?拋物線經(jīng)過點（3,-5）,

拋物線經(jīng)過點（-1,-5）,

，關(guān)于龍的一元二次方程aj?+bx+c=-5QW0）的兩個根為3或-1,

...尤=-1是關(guān)于x的一元二次方程辦2+阮+C+5=0（“WO）的一個根，所以④正確.

故選：C.

二、填空題（每題2分，共16分）

9.（2分）在平面直角坐標系中，點（3,5）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（-3,-5）

【解答】解：在平面直角坐標系中，點（3,5）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（-3,-5）.

故答案為:（-3,-5）.

10.（2分）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0,-1）的拋物線的解析式丫=弁-1（答案不唯

一）.

【解答】解：拋物線的解析式為1.

故答案為：1（答案不唯一）.

11.（2分）某數(shù)學興趣小組做“任意拋擲一枚圖釘”的重復試驗，多次試驗后獲得如下數(shù)據(jù)：

重復試驗1050100500100020005000

次數(shù)

釘尖朝上515362004038012001

次數(shù)

估計任意拋擲一枚圖釘、釘尖朝上的概率約為0.4（結(jié)果精確到0.1）.

【解答】解：表中圖釘釘尖朝上的頻率分別為5+10=0.5,15+50=0.3,364-100=0.36,2004-500=

0.4,4034-1000=0.43,8014-2000=0.4005,2001+5000=0.4002,

可知圖釘釘尖朝上頻率逐漸穩(wěn)定在0.4左右，

所以估計任意拋擲一枚圖釘、釘尖朝上的概率約為0.4.

故答案為：04

12.（2分）據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2024年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2021年和2023年全國居

民人均可支配收入分別為3.5萬元和3.9萬元.設2021年至2023年全國居民人均可支配收入的年平均

增長率為x,依題意可列方程為3.5（1+為2=3.9.

【解答】解：根據(jù)題意得：3.5（1+x）2=3.9.

故答案為：3.5（1+x）2=3.9.

13.（2分）如圖，以點。為中心的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的直徑與直角三角

板的斜邊AB重合，如果點。在量角器上對應的刻度為110°,連接CQ.那么55°.

c

【解答】解：連接OD

則/80。=110°,

VZACB=90°,

；.c點在。。上，

1

：.ZBCD=^ZBOD=55°.

故答案為：55°.

14.（2分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形A3CQ中，對角線3O_LAO,ZC=135°,AD=2,則AB=2近

Q

C

【解答】解：???圓內(nèi)接四邊形ABC。，ZC=135°,

ZA=180°-135°=45°,

VBDXAD,

???AABD是等腰直角三角形，

：.AB=V2AD=2V2,

故答案為：2a

15.（2分）如圖，在△ABC中，ZBAC=100°,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a,得到△ADE,ZE=60°.若

點、B,C,。恰好在同一條直線上，則。=140°.

【解答】解：；將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a,得到△ADE,NE=60°,

AZACB=ZE=60°,AB=AD,

又?.,/BAC=100°,

ZABC=180°-100°-60°=20°,

XVAB=AD,

；./ADB=/B=20°,

：.ZBAD=180°-2X20°=140°,

即旋轉(zhuǎn)角a=140°,

故答案為：140.

16.（2分）古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，在算籌記數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”

兩種方式表示數(shù)字，如圖所示.

123456789

縱式IIinmimuTTTIT

橫式一==^=_LJ_I—L

據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，百萬

相當.即在算籌記數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此

類推.例如，算籌_LT—UI表示的四位數(shù)是6613.

（1）用3根算籌表示的兩位數(shù)可以是21（答案不唯一）（寫出一個即可，算籌不剩余且個位不為

0）；

3

（2）在用4根算籌表示的所有兩位數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)，這個數(shù)大于60的概率為（算籌不

-8----

剩余且個位不為0）.

【解答】解：（1）三根算籌可以是1與2的組合，即12或21；

也可以是6與1的組合，即16或61；

4個數(shù)中任寫一個，

故答案為：21（答案不唯一）；

（2）在用4根算籌表示的所有兩位數(shù)，可以是13,31,22,26,62,66,71,17共8個數(shù)，其中大于

3

60的數(shù)有3個，則抽取一個數(shù)大于60的概率為3

3

故答案為：--

8

三、解答題（共68分，第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27-28題每題7分）解答應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟。

17.（5分）解方程：/-4x=5.

【解答】解：：f-4x=5

-4.r-5=0

（x-5）（x+1）=0

/.x-5=0,尤+1=0

...原方程的解為：XI=5,X2=-1.

18.（5分）如圖，圓形拱門的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，如果。是。。中弦AB的中點，連接

。。并延長交OO于點C,并且CD=2.5m,求。。的半徑.

為中點，AB=lm,

：.CD±AB,AD=^AB=0.5m,

設。。的半徑為廣加，則OA=OC=r%,

,:CD=25m,

OD=（2.5-r）m,

在RtZ\04。中，由勾股定理得：OA2=OD1+AD1,

即/=（2.5-r）2+0.52,

解得：r=1.3,

即O。的半徑為1.3;加

19.（5分）己知：O。為△ABC的外接圓；。是BC：邊上的一點，連接AD

求作：/BEC,使得點E在線段上，且NBECuZ/BAC.

作法：

①連接08,分別作線段。3,BC的垂直平分線/1,12,兩直線交于點P;

②以點尸為圓心，尸8長為半徑作圓，交線段A。于點E；

③連接BE,CE.

NBEC就是所求作的角.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接。C.

:點A,B,C在。。上，

：.^BAC=^BOC（同弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半）（填推理的依

據(jù)）,

:點8,0,E,C在0P上，

NBEC=ZBOC.

：.ZBEC=2ZBAC.

【解答】（1）解：圖形如圖所示:

（2）證明：連接OC.

:點A,B,C在。。上，

：.^BAC=^BOC（同弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半），

:點8,0,E,C在OP上，

ZBEC=ZBOC.

：.NBEC=2/BAC.

故答案為：同弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，BOC.

20.（5分）已知二次函數(shù)y=/-6X+8.

（1）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；

（2）當0WxW4時，y的取值范圍是-iWyW。.

【解答】解：（1）6尤+8=（%-3）2-1,

拋物線頂點坐標為（3,-1）；

（2）將尤=0代入y=--6x+8得：y=8,

將x=4代入y=/-6x+8得：y=0,

???拋物線頂點坐標為（3,-1）,

...當0WxW4時，-lWyW8,

故答案為：-lWyW8.

21.（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A,B,C的坐標分別為（-2,1）,（1,2）,（2,1）,將

△ABC繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△&'B'C',點A的對應點A'的坐標為（-2,-1）,點8的對

應點B'的坐標為（-3,2）.

（1）點尸的坐標是A；（填寫正確的選項）

A.（-1,0）

B.(0,1)

C.(1,-1)

(2)畫出旋轉(zhuǎn)后的△?!'B'C',并寫出C'的坐標是(-2,3)；

(3)線段54的延長線與線段A'B'交于點直接寫出的度數(shù).

(-1,0),

故選：A；

.yA

(2)如圖所示，ANB'C即為所求，C(-2,3),

故答案為：(-2,3)；

(3)由作圖可知，△A8C是由△ABC繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

：.BM±B'A',

：.ZBMA'=90°.

22.(5分)中國古代的“四書”是指《論語》、《孟子》、《大學》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，

是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分.下面是正面印有“四書”字樣的書簽A,B,C,D,書簽除正面的字

樣外，其余完全相同.將這4張書簽背面向上，洗勻放好.

1

(1)從中隨機抽取1張，抽到“中庸”書簽的概率是一；

-4-

(2)從中隨機抽取2張；用列舉法求出隨機抽取的2張書簽恰好是“論語”和“大學”的概率.

【解答】解：(1)由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中抽到“中庸”書簽的結(jié)果有1種,

，從中隨機抽取1張，抽到“中庸”書簽的概率是占

4

1

故答案為：--

4

(2)列表如下：

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)CB,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)CD,C)

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的2張書簽恰好是“論語”和“大學”的結(jié)果有：(A,C),(C,A),

共2種，

抽取的2張書簽恰好是“論語”和“大學”的概率為馬=

126

23.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程/2=0QW0).

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程的一個根是2,求代數(shù)式6/+36的值.

【解答】(1)證明：因為一元二次方程為/7+bx-2=0,

所以A=82-4Xa2x(-2)=廿+8片.

又因為aWO,廿20,

所以A>0,

所以方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：將x=2代入方程得，

4(r+2b-2=0,

即2a2+6=1,

所以6a2+3b—3(2$+6)=3.

24.(6分)如圖1,某隧道內(nèi)設單向兩車道公路，其截面由長方形的三條邊AB,AC,30和拋物線的一段

(點E為拋物線的頂點)構(gòu)成.以A8的中點。為原點，分別以直線AB和拋物線的對稱軸為無軸和y

軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系.其中，AB=12米，AC=2D=3米，0E=7米.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)為保證安全，要求行駛車輛頂部(視為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于1米.若

行車道的總寬度為8米，且。為的中點，請計算通過隧道的車輛的限制高度.(車道分界線的

寬度忽略不計)

圖1圖2

【解答】解：(1)由題意可知，A(-6,0),B(6,0),E(0,7),C(-6,3),D(6,3),

為拋物線的頂點，

/.設拋物線解析式為y=。/+7,

把點D坐標代入解析式得：36a+7=3,

解得a=

...拋物線解析式為y=-#+7；

(2)由題意知，N(4,0),

設車的高度為人則當x=4時，y=h+\,

1

-3yx16+7—7z+1,

解得：仁等

QO

...通過隧道的車輛的限制高度為一米.

9

25.(6分)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC邊為直徑作。。交AB于點。，連接。。并延長

交BC的延長線于點E,點尸為8c的中點，連接QP.

(1)求證：尸。是O。的切線；

(2)若。。的半徑為3,ZB=30°,求PE的長.

E

【解答】(1)證明：連接CD,

〈AC為直徑，

，CDLAD,

：.ZCDB=90°,

??,點/為3C的中點,

1

:.PB=PD=PC=$C,

：.ZB=ZBDP,

;OD=OA,

：.ZA=ZODA,

VZACB=90°,

???NB+NA=90°,

ZBDP+ZADO=90°,

：.ZPDE=180°-ZBDP-ZADO=90°,

??,0。是。。的半徑，

???尸。是OO的切線；

(2)解：VZBDC=90°,ZB=30°,

：.ZPCD=60°,

由(1)知，PC=PD,

:ACDP是等邊三角形，

:?PD=CD,ZBCD=ZDPE=60°,

9：ZBDC=ZPDE=90°,

:.ABDC經(jīng)AEDP(ASA),

；.PE=BC,

VAC=6,

：.AB=2AC=12,

：.BC=7AB2-AC2=6V3,

:?PE=BC=6W.

26.(6分)在平面直角坐標系I0y中，點(2,n)在拋物線-(m+3)x+3m_b,設拋物線的對稱軸

為直線x=t.

(1)當〃=3根時，求f的值；

(2)點A-t,yi),B(什1,")在拋物線上，若mn<0,比較yi,”的大小，并說明理由.

【解答】解：(1)當x=2時，n=4-2(m+3)+3m=m-2,

Vn=3m,

'?m-2=3m,

?\m=-1,

.*.y=x2-2x-3,

???對稱軸為x=/=l;

(2)結(jié)論：y2<yi,理由如下：

Vmn<0,n=m-2<0<m,

.,.0<m<2,

???拋物線的對稱軸為尤=f=吟，

35

22

止匕時，-2V—tV—2<3￡+1>才，

???-/V/V/+1,

點A關(guān)于對稱軸直線x=t的對稱點為A'(3byl),

35

V-<t<^,

22

?K/+1V3/,

V?=l,

???拋物線開口向上，

...當尤>/時，y隨尤的增大而增大，

".y2<yi.

27.(7分)如圖，在等邊△ABC中，。為AB上一點，連接CO,E為線段CD上一點(CE>DE),將線

段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CR連接AF.

(1)求證：BE=AF-,

(2)點G為8c延長線上一點，連接AG交CF于點若M為AG的中點，用等式表示線段CE,

MF,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【解答】(1)證明：：△ABC是等邊三角形，

：.BC=AC,ZACB=60°,

:將線段CE繞點、C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CF,

:.CE=CF,ZFCE=60°,

：./BCE=ZACF^60°-ZACE,

在△BCE和△AC尸中，

BC=AC

乙BCE=NACF,

.C