2024-2025學年高二數學上學期期末重難點專練：軌跡問題（解析版）

重難點03軌跡問題

一、單選題

1.（23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期末）動圓M經過定點尸（4,-1）,且與'軸相切，則圓心M的軌跡為（）

A.圓B.橢圓

C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】根據圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識確定正確答案.

【詳解】由于動圓M經過定點P（4,-1）,且與y軸相切，

所以M到定點尸（4,-1）的距離，等于M到y(tǒng)軸的距離，

根據拋物線的定義可知，M的軌跡為拋物線.

故選：D

2.（23-24高二上?四川綿陽?期末）如圖，定圓。的半徑為定長r,A是圓。外一個定點，P是圓。上任意一

點.線段AP的垂直平分線/與直線OP相交于點。，當點P在圓。上運動時，點。的軌跡是（）

A.射線B.橢圓C.雙曲線D.圓

【答案】C

【分析】連接24、OA,由題意可得儂|=|。尸|,所以||。4|-日0||=||。升-|。0||=］。尸|=,，根據雙曲線的定

義，即可得答案.

【詳解】連接04、OA,如圖所示:

因為/為總的垂直平分線，所以|@|=|。尸］,

所以必一聞=儂TM=\OP\=r為定值，

又因為點A在圓外，所以|。4|>|。兒

根據雙曲線定義，點。的軌跡是以。、A為焦點，『為實軸長的雙曲線.

故選：C.

丫2

3.（23-24高二上?上海?期末）已知橢圓?+/=1,作垂直于x軸的直線交橢圓于A,3兩點，作垂直于V軸

的直線交橢圓于CD兩點，且兩垂線相交于點尸，若點尸的軌跡是某種曲線（或其一部分），

則該曲線是（）.

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】C

【分析】設出尸點坐標，結合|AB|=|CD|,將點坐標代入橢圓方程，求出點P的軌跡方程即可得.

【詳解】設尸（辦〃）,A（m,r）,則3（加,-。，

由|AB|=|CD|及橢圓對稱性，可取C（f㈤、D（-t,n）,

故有史+〃=1、二+”2=1,

44

22

消去「可得=+（4-4眉=1,即生--4?=一3,

4v'4

rrm2

即§一法一，則點尸（私”）為雙曲線上一點.

4

故選：C.

4.（23-24高二上?廣東梅州,期末）已知定點4-1,0）,P為圓C:無2+丁=4的動點，則線段AP的中點M的

軌跡方程為（）

2

A.I+V=1B.(尤+1)2+>2=1

2

x+；

C.I+/=2D.0+1)2+y2=2

【答案】A

%,=2x+l

【分析】設線段"中點〃的坐標為（％y）,且點尸（石,％）,結合中點公式求得；二〃,代入八、』即

可求解.

【詳解】設線段AP中點M的坐標為（X,y）,且點尸（4%）,

X,-1

X二——

7xl=2x+l

又由4（—1,0）,可得，,解得

=2〉

2

又由犬+；/=4,可得（2x+l），（2y『=4,即■I+y?=1，

故選：A

5.（23-24高二上?河北唐山?期末）線段AB長度為4,其兩個端點A和2分別在x軸和y軸上滑動，則線段A8

中點的軌跡所圍成圖形的面積為（）

A.2B.4C.2兀D.4兀

【答案】D

【分析】利用幾何法直接求出軌跡方程，進而由圓的面積公式求解.

【詳解】-.-OArOB,設P為線段中點,

：.\OP\=^\AB\=2,設P(x,y),則4+丁=2,即尤2+y=4.

則線段中點的軌跡是以坐標原點為圓心，2為半徑的圓;

故線段中點的軌跡所圍成圖形的面積為47t.

故選：D

6.（22-23高二下?上海崇明?期末）已知A,B為平面內兩定點，過該平面內動點M作直線的垂線，垂足

-------?21---------

為N若MN=--AN-NB,則動點M的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【答案】D

【分析】建立適當的平面直角坐標系，設43的坐標，設M的坐標，由題意可得N的坐標，求出3個向

量，由向量的關系求出M的軌跡方程.

【詳解】解：建立以43所在的直線為x軸，以線段的中垂線為y軸的直角坐標系，

設B（tz,O）,a>0,

設M的坐標為（x,y）,由題意可得N（x,O）,

則麗=（O,-y）,AN=（x+a,O）,NB=（a-x,O）,

所以麗2=/，麗.而=（x+a）（a-x）=a1-x2,

由麗一=一］初.而，可得,;二年一百，

整理可得：］苫2=—所以—y2=，。>0,

7.（23-24高二上?河北滄州?期末）已知平面上兩定點A,B,滿足』=左Ck>0,且a1）的點尸的軌跡

rD

是一個圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，稱作阿氏圓.利用上述結論，解決下面的問題：

若直線X+2y-6=。與X,y軸分別交于A,2兩點，點跖N滿足|。叫=|ON|=2,|阿=21MBi,|N4|=21Asi,

則直線MN的方程為（）

A.x-2y+l=0B.x-2y-l=0C.x+2y-l=0D.%+2y+l=0

【答案】A

【分析】根據題意得出點點N是兩個圓的公共點，所以將兩圓直接作差即可得到公共弦所在直線方程.

【詳解】由題得1（6,0）,3（0,3）,設M（x,y）,同阿=2,回點M在圓G：/+廿=4上.

E|M4|=2|MB|,0（x-6）2+y2=4[x2+（y-3）2],整理得f+J+4尤_勺=0,

回點M也在圓G：x2+y2+4x-Sy=0±,同理點N也在這兩個圓上，

團MN是這兩圓的公共弦，兩圓方程作差，得x-2y+l=0,即直線MN的方程為x-2y+l=0,

故選：A.

8.（22-23高二下?上海松江?期末）中國結是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術，帶有濃厚的中華民族文化特色，它

有著復雜奇妙的曲線.用數學的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的"②"形對應著數學曲線中的雙

紐線.在平面直角坐標系中，把與定點6（-。，0）、乙（。,0）（。＞0）距離之積等于標的動點的軌跡稱為伯

努利雙紐線，記為曲線C.關于曲線C,有下列兩個命題：

①曲線C上的點的橫坐標的取值范圍是[-2°,2a]；

②若直線產丘與曲線C只有一個交點，則實數上的取值范圍為（Y?，TU[I,E）.

則（）

A.①為真命題，②為假命題B.①為假命題，②為真命題

C.①為真命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【答案】B

【分析】利用定義求得曲線C的軌跡方程為：/+（2*2+2〃/2+/-242》2=0,由關于y的方程有解，求x

的取值范圍判斷命題①；先判斷得直線丫=履與曲線C必有一個公共點，再將＞="代入曲線C得到無非

零解方程，求實數%的取值范圍判斷命題②.

【詳解】對于①：由伯努利雙紐線的定義可知，曲線C的方程為：

2

小（尤+a）2+y2.J（尤—6?）+y~=/,

412

化簡得y+（2三+2a2），+尤4-2ax=0,

設y2=r,貝！]r20

2

方程化為t+（2尤2+2。2）r+--2a2尤2=o

設上述方程的兩個根為小L，則4出至少有一個大于等于0

222222

則需有A=（2元2+2a）_4（尤4_2ax）=4/+16ax>0

由%+弓=-(2x?+2a~)<0,

2a1x2<0,解得—6_a<x<五a，

①為假命題；

對于②：直線>=區(qū)與曲線C一定有公共點(0,0),若直線、=丘與曲線C只有一個交點，

2222

將尸質代入曲線C方程中得[(1+用，2+2ak-2a]-x=0,方程無非零解,

即(1+E)2x2+2Mle-2a2=。無實數解，故有2a2k2-2a2>0,

所以二一120,解得上V-1或左21,故②為真命題.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是利用平面軌跡方程的求法求得曲線C的軌跡方程，橫坐標的取值

范圍由方程有解判斷，直線與曲線的交點問題一般通過聯立方程分析判斷.

二、多選題

9.(23-24高二上?河北保定?期末)平面直角坐標系中，A(0,l),B(0,-D,則下列說法正確的是()

A.若網+幽=4,則點M軌跡為橢圓

B.若11MAl訓=4,則點M軌跡為雙曲線

C.^\MA\-\MB\=4,則點M軌跡關于x軸、y軸都是對稱的

D.若整答=牝則點M軌跡為圓

【答案】ACD

【分析】根據題意，結合橢圓、雙曲線，以及軌跡方程的求法，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，因為

由橢圓的定義可知，點”的軌跡為橢圓，所以A正確；

對于B中，由雙曲線的定義可得訓<|A同時，點河的軌跡為雙曲線，

所以B不正確；

對于C中，設M(x,y),由4HMa=4,可得后不彳?1癡萬=4，

整理得犬+,4+2%2/+2X2—2/=15,可得曲線關于羽y軸對稱，所以C正確;

\MA\4可得n

對于D中，因為=4,

\MB\

整理得15/+15/+34>+15=0,即f+y2+話y+i=（）,

17Q

所以點M的軌跡為以（0,-彳）為圓心，半徑為r=77的圓，所以D正確.

故選：ACD.

10.（23-24高二下?河南漠河?期末）我們在解析幾何學習過程中知道橢圓、雙曲線定義分別是到兩定點距離

之和、距離之差的絕對值等于某個定值.天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星運行規(guī)律時發(fā)現了到兩定點距

離之積為常數的點的軌跡，我們稱之為卡西尼卵形線.已知兩定點耳（-2,0）,6（2,0）,動點尸（%,%）滿足

|巴十|盟|=4,設P的軌跡為曲線C,則下列命題正確的是（）

A.曲線C過原點

B.P的橫坐標最大值是2拒

C.P的縱坐標最大值是；

D.Jo<21n（Xg+1）

【答案】ABD

【分析】根據給定條件，可得必=-尤；+4肝門-4,結合函數思想逐項分析判斷即可.

【詳解】依題意，［（尤。+2）2+>：］［（%-2『+y；］=16,即［（考+*+4）+4尤°］［（*+7+4）-4%］=16,

整理得w=一年+4府1一4,

對于A,當％o=。時，%=。，因此曲線。過原點，A正確；

對于B,由-x；+4jx；+l-4N0,得%+4W4&H,整理得x：W8x；,

解得-2夜4與420,尸的橫坐標最大值是20,B正確；

對于C,yj=-（xj+1-4J尤;+1+4）+1=-Q尤;+1-2廠+1W1,當且僅當七=±5/^時取等號,

因此P的縱坐標最大值是1,C錯誤；

對于D,y421n（X；+1）O->++1-4421n（考+1）,令/=&+1

上述不等式等價于一產+4r-3421nro產―4r+41nr+320,

令函數-4/+4如f+3,1e[l,3],求導得-⑺=2/-4+；=2(〃一力2+：＞o,

函數冊)在口,31上單調遞增,/(0＞/(1)=0,即/-4f+41nt+3N0成立,

因此y：W21n(無：+1),D正確.

【點睛】思路點睛：函數不等式證明問題，將所證不等式等價轉化，構造新函數，再借助函數的單調性、

極(最)值問題處理.

11.(23-24高二下?陜西渭南,期末)曲線C是平面內與兩個定點耳(-1,0),巴(1,0)的距離的積等于常數

的點的軌跡.則下列說法正確的是()

A.曲線C關于坐標原點對稱

B.曲線C過坐標原點

C.若點P在曲線C上，貝”網依1；/

D.以公，尸2為焦點、以2a為長軸長的橢圓上的點一定不會在曲線C圍成的區(qū)域的外部

【答案】ACD

【分析】首先求函數的解析式，再代入(-x,-y)分析函數的對稱性，判斷A；代入原點判斷B；利用三角形

的面積公式，結合軌跡的定義，即可判斷C；結合橢圓的定義，以及基本不等式，即可判斷D.

【詳解】設動點尸(x,y),

|P劃尸局=",即J-2xj(x_]y+y2(*)

點P關于原點的對稱點為(-%-y),代入(*)

得+(一才x+(-y)2=J(尤-I)?+/X'(x+lj+/=，故A正確；

并且將(％-y),(-x,y)代入(*)都滿足，所以曲線c也關于蒼y軸對稱，

B,原點(0,0)代入(*),得。＞1,所以曲線c不過原點，故B錯誤；

C,若點尸是曲線C上，則邑叼2=(國川與小皿/甲里=(1&114；/里，

因為sin/￡PK〈l,所以＜曄(；片，故c正確.

D,由橢圓的定義可知，以K，弱為焦點、以2a為長軸長的橢圓滿足

J(x+1)2++^(x-1)2+y2=2a；

根據基本不等式可知,^(x+1)2+y2+.^(x-l)2+y2>2^(x+l)^+j2x—+y2=2a，

所以曲線C上的點都在橢圓的外部或上面，故D正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：本題第D選項的關鍵是理解點在橢圓外，以及和基本不等式比較大小結合在一起的

思路.

三、填空題

12.(23-24高二上?廣東汕尾?期末)在直角坐標系xOy中，點尸到x軸的距離等于點尸到點的距離,

記動點尸的軌跡為W.則W的方程為;

【答案】>=一+)

4

【分析】設點尸的坐標，根據已知列方程并整理出w的方程.

【詳解】點尸(用，)，根據已知列方程得3=卜+(k；],兩邊平方并整理得：y=Y+：.

故答案為：、=1+!

13.(23-24高二上?河南省直轄縣級單位?期末)在平面直角坐標系中，若P(x,y)的坐標x,'滿足方程

則點尸(x,y)的軌跡是(填曲線的類型，填方程不給分).

【答案】直線

【分析】利用兩點間的距離公式及點到直線間的距離公式，即可求解.

【詳解】由"]-2)2=的+=1|,

得叱=

所以等式左邊表示點P(x,y)到點(1,2)的距離，

右邊表示點P(x,y)到直線3尤+4y-n=0的距離，兩距離相等，

而點(1,2)在直線3x+4y+12=0上，

所以點尸的軌跡是垂直直線3x+4y+12=0于點(1,2)的直線.

故答案為：直線.

14.（23-24高二上?吉林遼源?期末）古希臘后期的數學家帕普斯在他的《數學匯編》中探討了圓錐曲線的焦

點和準線的性質：平面內到一定點和定直線的距離成一定比例的所有點的軌跡是一圓錐曲線.這就是圓錐曲

線的第二定義或稱為統(tǒng)一定義.若平面內一動點P（x?）到定點AQO）和到定直線x=9的距離之比是（則點

P的軌跡方程為.

22

【答案】—+^-=1

98

【分析】利用軌跡的直接法求解.

【詳解】由題意得出T+—0）J,化簡解得8/+9產=72,SR—+^=1,

|x-9|398

22

所以點尸的軌跡方程為：—+^=1.

98

尤2v2

故答案為：—+^=E

98

四、解答題

15.（23-24高二上?四川成都?期末）已知圓耳：（丈+2>+丁=4,圓J心-2>+/=36,若動圓M與圓B外切,

與圓尸2內切.

⑴求動圓圓心M的軌跡C的方程；

（2）直線/與（1）中軌跡C相交于A,B兩點，若。（2,T）為線段的中點，求直線/的方程.

22

【答案】⑴土+。=1-

1612

（2）3元-2y-8=0.

【分析】（工）利用兩圓內外切的充要條件可求出動點到兩定點的距離，再運用橢圓的定義判斷動點的軌跡,

最后對軌跡上的特殊點進行檢測，去除不符題意的點即得；

（2）利用橢圓的中點弦問題運用"點差法"即可求出弦的斜率即得直線方程.

【詳解】（1）設動圓/的半徑為「，,?,動圓M與圓B外切，與圓尸2內切，

\MFl\=2+r,且|4|=6-廠，于是|嗎|+|河西|=8>|6后|=4,

動圓圓心M的軌跡是以尸2為焦點，長軸長為8的橢圓，

22

故。=4，c=2,z?2=12,橢圓方程為土+^—=1,

1612

又因當M點為橢圓左頂點時，動圓M不存在，故不合題意舍去，

22

故動圓圓心M的軌跡C的方程為今+2=心。-4）；

(2)設A(X(，M),3(巧,為),由題意，顯然％

工+n=1,兩式作差可得江二名+分一￡=0,

16121612

即有⑻+型為f)+(%+為?f)=o,又。(2,-1)為線段AB的中點,

lo12

則有再+9=4,%+%=-2,代入即得直線/的斜率為％=

再一X?2

3

直線/的方程為y-(-1)=效-2),整理可得直線I的方程為3x-2y-8=0.

16.(23-24高二上?上海?期末)在平面直角坐標系x0y中，已知點尸(0,1),直線/:y=T.P是平面上的動點,

過尸作直線/的垂線，垂足為。，且滿足好?爐=喬?々.

⑴求點尸的軌跡方程；

(2)記點尸的軌跡為曲線C,過點尸作直線加，與曲線C交于AB兩點，求證：市.礪為定值.

【答案】⑴V=4y

⑵-3

【分析】(1)設以不丫)，根據切?斯=麗?①，代入P(x,y)化簡求解軌跡方程即可；

(2)設直線加的方程為》=丘+1,設Aa，x),B(%,%),聯立方程組,二4y得到韋達定理形式，最后

[y=fcv+l

表達出方?礪，求解即可.

【詳解】(1)設尸(x,y),則。(工一1),且尸(0,1),

因為切?斯=麗?苑，所以>(-x-即尤z=4y,

所以點尸的軌跡方程為：x2=4y,是以尸(0』)為焦點開口向上的拋物線.

(2)過點尸作直線加，與曲線C交于43兩點，顯然直線機的斜率存在,

且尸(0,1),設直線機的方程為丁=履+1,設4(網,必),2(々,當)，

則片=4%,考=4y2,

聯立方程組尸~4y,得/_4丘_4=0,

[y=kx+l

A=16公+16>0,直線加與曲線C一定有兩個交點，

其中石+%-4k,玉/=-4

OA-OB=XjX+yy=%%+=-4+—=-3.

2x21616

故況.礪為定值-3.

17.(23-24高二下?湖北武漢?期末)已知圓耳：(無+1了+丁=16和點月(1,0),點P是圓上任意一點，線段尸瑞

的垂直平分線與線段尸片相交于點。，記點。的軌跡為曲線「

⑴求曲線「的方程；

⑵若過原點的兩條直線分別交曲線「于點A,C和氏。，且kAC-kBD=-^O為坐標原點).判斷四邊形ABCD

的面積是否為定值？若為定值，求四邊形A3C。的面積；若不為定值，請說明理由.

22

【答案】⑴土+上=1

43

(2)是定值，四邊形ABCD的面積為

【分析】(1)先根據橢圓的定義判斷。點的軌跡是橢圓，再確定。的值，可得曲線「的方程.

(2)分直線A5有無斜率分類討論，當直線48有斜率時，設其方程為>="+機，代入橢圓方程，根據一元

二次方程根與系數的關系，表示出再+3,%再用它們表示出四邊形ABCD的面積，化簡整理可得定值.

【詳解】(1)由題意知,圓心為6(—1,0),半徑為4,且|朗=也回，忸閶=2.

如圖：

因為|Q￡|+|Q匐=|0耳|+|°H=|P耳|=4>|耳閭=2,

所以，點。的軌跡為以耳，旦為焦點的橢圓.

設橢圓方程為「+口=1("8>0),則2a=4,2c=2,解得a=2,c=l,

ab

所以，b1=a1—c1=3.

22

所以，曲線r的方程為二+二=1

43

(2)四邊形A5C。的面積為定值，理由如下:

如圖:

當直線A8的斜率不存在時，直線AB人x軸，此時四邊形ABCD為矩形，且心,=-的

因為&c?怎。=2%=-=，不妨設kAC=叵,則心°=一走.

422

取小/*卜13,-"，

則四邊形ABCD的面積S=4S?.=4x；x^x夜=46.

當直線AB的斜率存在時，設48：、=履+根，且4（%1，%）,8（%2，%）

聯立直線AB與橢圓C的方程，消去V并整理，得（4/+3）/+8加優(yōu)+4m2-12=0.

2

由A=（8物?）2—4（4左2+3）（4m-12）>0,得4k?一席+3>0.

8km4m2-12

所以為+%=—4%2+3'%/一一4/+3

22

所以=（依+m）（Ax2+m）=^XJX2+Am（石+x2）+m.

g、i724m2-12（8km23m2-Uk2

所以％%=%x+kmx\-+m

4fe2+34A2+34k2+3

因為=、％=一■!，所以3m2-12V3

即4左2+3=2/.

2

x{x244m-124

22

因為|A5|=y/l+k1%!-x2I=y/l+k.J（X[+/）2—4%升2，

2Jl+A

所以|AB|=Ji+/.

\1n\

Iml

因為原點0到直線AB的距離d=7外,且四邊形ABC。為平行四邊形,

y/l+k2

=4xlx-L777^x2岳軍^

所以四邊形ABCD的面積S=4sm?=4G.

2TiTF列

所以，四邊形ABCO的面積為定值46.

18.(23-24高二上?廣東深圳?期末)在平面直角坐標系中，已知點火-2,0),3(2,0),動點河(x,y)滿足直線

3

AM與的斜率之積為了，記M的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程，并說明C是什么曲線：

⑵若直線/：>=尤-3和曲線c相交于瓦月兩點，求忸同.

22

【答案】(l)?-g=l(xN±2)，曲線C是雙曲線，除去左右頂點

(2)1673

3

【分析】(1)設M(x,y),根據?原計算即可求出其軌跡方程，進而可得出其是何曲線；

(2)利用圓錐曲線的弦長公式計算即可.

【詳解】(1)設M(x,y),

貝怎M'kBM=P

x+2x-24

化簡得4-4=1,

43

22

所以C的方程為1=1(尤*士2),曲線C是雙曲線，除去左右頂點；

(2)設雙藥,%),產(%2，%)，

f22

土—工=1

聯立j43，消￥得了2—24X+48=0,

y=x-3

△=(-24)2-4x48=384>0,

則%]+/=24,xxx2=48,

222

所以舊刊=71+1-y/(x1+x2)-4x1x2=V2-V24-4X48=16店.

19.(23-24高二上?江蘇?期末)在平面直角坐標系X。、中，點A是圓&：，+V=3上一動點，點8是圓

。2：/+>2=4上一動點，當A,5,。三點共線時，過點2作x軸的垂線，垂足為X,過點A作的垂線,

垂足為E

⑴請判斷動點P（x,y）的軌跡，并求出其軌跡方程;

⑵記（1）中軌跡為曲線C,在曲線C的上半部分取兩點M,N,若T（T,O）,Q（1,O）,且俞=2函.

①當前=2的時，求四邊形TQNM的面積;

②求四邊形TQMW的面積最大時點M的坐標.

22

【答案】⑴軌跡為橢圓（去除左、右端點），工+L=l（xw土2）；

⑵①哈②/

【分析】（]）利用三角換元分類討論計算即可；

（2）①利用橢圓的對稱性轉化線段關系，直線GM的方程與點坐標，利用韋達定理計算參數再根據

弦長公式及點到直線的距離公式計算即可；②結合①的結論轉化四邊形面積為三角形面積，利用弦長公式

及點到直線的距離公式及對勾函數的單調性計算即可.

動點P（x,y）的軌跡為橢圓（去除左、右端點）.

易知不能在橫軸上，

由題意當A3在原點同側，可設A（6cosa6sine）,8（2cosO,2sinO）,

x=2cos8

0G（O,7T）U（7r,2jt）,則＜

y=上sin6'

當A,B在原點異側，可設A（6COS。,石sin@,3（-2cosa-2sin。），

Ix=-2cos^

夕￡（0,兀）5兀,2兀），則《廠,

[y=V3sin。

22

整理可得動點P（x,y）的軌跡方程為3+q=l（x/土2）；

在曲線C的上半部分取兩點M,N,且押=2麗，延長交