2024-2025學(xué)年湖南省高三年級(jí)上冊(cè)第二次大聯(lián)考（11月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考（11月）數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

設(shè)集合4={M-4WXW0},5={X—3WXW1},

1則集合AcB中所含整數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.2B.3C.4D.5

3-i

z=-------

2.已知l+2i,則彳的虛部為（）

7_7J

A.5B.5C.5D.5

3.“2025。＞2025“W1”是“Y＞/”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

sin（＜9+100）=-^貝°sin（29+110°）=（）

7J__￡_7

A.8B.8C.8D.§

5.經(jīng)研究表明：光源發(fā)射出來的粒子在沒有被捕獲之前屬于光子，光子在離開光源后會(huì)

與各種粒子撞擊，其動(dòng)量可能會(huì)改變，導(dǎo)致其速度降低，最終可能改變身份成為其他范

圍的粒子（如紅外線粒子），不再能被人類的感光設(shè)備捕獲.已知在某次光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，

實(shí)驗(yàn)組相關(guān)人員用人類感光設(shè)備捕獲了從同一光源發(fā)射出來的兩個(gè)光子A,3,通過

數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析得知，此時(shí)刻在平面直角坐標(biāo)系中它們的位移所對(duì)應(yīng)的向量分別為

S，=（4,3）,SB=（2,10）,設(shè)光子B相對(duì)光子A的位移為8,則8在力上的投影向量的坐標(biāo)

為（）

A.GWB.（-2,7）c,1石'刃D,而石）

6.已知等差數(shù)列｛"」的前一項(xiàng)和為S",公差為"嗎=2,若庖F也為等差數(shù)列，則

d的值為（）

A.2B.3C.4D.8

X+1

/（x）=In-------F2x（mw1）

7.已知函數(shù)x+m關(guān)于點(diǎn)（"，4）中心對(duì)稱,則曲線7=/（功在點(diǎn)（〃一%,

/（"-M）處的切線斜率為（）

17313

A.4B.4C.8D.8

兀

bcosC*+ccosB—2^4—-_

8.中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且一'一3,則

△N8C的內(nèi)切圓半徑的最大值為（

V2V3V3

A.2B.3c.TD.1

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知正數(shù)X）滿足2x+y=l,則（）

14

-+->12

A.&孫（1B.xy

4/+/>1x(y+l)<-

C.’2nv74

10.三棱臺(tái)4sC-4耳G中，"8=2/4,設(shè)AB的中點(diǎn)為凡,4的中點(diǎn)為尸，4月與BF

交于點(diǎn)G,4c與C,F交于點(diǎn)H,則（）

A.直線GH與直線異面

nGH//BC.

C.線段AE上存在點(diǎn)尸，使得8C"/平面4PC

D.線段BE上存在點(diǎn)尸，使得2C"/平面//。

11.設(shè)函數(shù)/（x）=e-〃x+/,〃eN+,記的最小值為見，則（）

Aa\>a「2gan>n+\

C./（"〃）>/（〃）D,an+m>an+am

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知命題：“V無eR,*一6-2<0”為真命題，則。的取值范圍是.

13.已知P為邊長為4的正六邊形ABCDEF內(nèi)部及其邊界上的一點(diǎn)，則方?刀的取

值范圍是.

14.三棱錐尸一/BC中，AB=AC=42,AB±AC平面尸2cL平面/8C,且心=尸聶

2_j_

記尸一/5C的體積為V,內(nèi)切球半徑為小則7一萬的最小值為

四、解答題(本大題共5小題)

15已知函數(shù)/(x)=Gsin2x+cos2x,x￡(0,兀)

(1)求“X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

71

----,771

(2)若“X)在L12」上的最小值為-2,求加的取值范圍.

16.記首項(xiàng)為1的數(shù)列包｝的前〃項(xiàng)和為S",且犯=(〃+1)?！?

(1)探究數(shù)列J是否為單調(diào)數(shù)列；

(2)求數(shù)列也2"｝的前"項(xiàng)和入

17.如圖，四棱柱一4片GA中，四邊形ABCD是菱形，四面體42CQ的體積

與四面體的體積之差為244瓦)的面積為2石.

(1)求點(diǎn)A到平面48。的距離；

(2)若48=4248'4G，m=2,求銳二面角4-B0-G的余弦值.

一

f(x)=——+ax-ax\nx/

18.己知函數(shù)2在Q+°°x)上有兩個(gè)極值點(diǎn)勾尤2,且占<包

(1)求。的取值范圍；

—e(l,e)

⑵當(dāng)再時(shí),證明2<elnX]+ln12<e+l

mtn

—m—\

對(duì)于"@7=2,3,…)項(xiàng)數(shù)列｛%｝,若滿足f同-豆

19.z=li=l則稱它為一個(gè)滿足

“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的加階數(shù)列.

(1)對(duì)于一個(gè)滿足“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的機(jī)階數(shù)列證明：存在，"e｛L2,…,加｝,滿足

aflj<0

(2)若“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的加階數(shù)列3"｝還滿足.歸M=12'r"),則稱也｝為“絕對(duì)值

X關(guān)聯(lián)”的機(jī)階數(shù)列.

3

①請(qǐng)分別寫出一個(gè)滿足“絕對(duì)值a關(guān)聯(lián)”的4階數(shù)列和滿足“絕對(duì)值1關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)

列（不必論證，符合要求即可）；

②若存在“絕對(duì)值2關(guān)聯(lián)”的〃階數(shù)列（“22）,求幾的最小值（最終結(jié)果用常數(shù)或含

〃的式子表示）.

答案

1.【正確答案】C

【分析】根據(jù)集合的交集，可得答案.

【詳解】由題意可得,={*一1叫,8={》-3""可得/門8={尤1-34》40},

故集合/cB中所含整數(shù)有-3,-2,-1,0,共4個(gè).

故選：C.

2.【正確答案】A

【分析】求出z,求出彳，求出彳的虛部.

3-i(3-i)(l-2i)3-2-i-6i17.

Z——~-1

【詳解】由題意可得1+2i(l+2i)(l-2i)555,

_17.7

z——l—i—

故55,其虛部為5.

故選：A.

3.【正確答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及幕函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分不必要條件，可得答案

【詳解】由2025°>2025"21,且函數(shù)歹=2025”為增函數(shù)，可得。>620,

令函數(shù)〃幻=/，易得/(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)。>此0時(shí)，一定有故充分性成立;

但由/只能推出。>以即必要性不成立；

故"2025”>2025b1”是“/”的充分不必要條件.

故選：A.

4.【正確答案】A

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式求解即可.

sin(0+10")=」

【詳解】由題意可得,,4,

故sin(26+110°)=sin(90°+26+20°)=cos(26+20°)=1-2sin2(6>+10°)

故選：A.

5.【正確答案】C

【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.

［詳解］由向量力=(43),SR=Q,1。),可得<=23=Sp-力=(2,10)-(4,3)=(-2,7),

8力力.21-8s-13(5239)

_rU同一丁,二一三43)-0,劉

所以s在S”上的投影向量為IdMl.

故選：C.

6.【正確答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)特點(diǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，可得答案.

1

Sn—an=—n+\2--d\n+d-2/VT-

【詳解】易知2I2J，若4?"一。"也為等差數(shù)列，

-n2+(2--d}n+d-2[2--d\-2d(d-2)=0

則2<2)為完全平方，則I2J,解得d=4.

故選：C.

7.【正確答案】D

【分析】由題意結(jié)合函數(shù)圖象變換整理新函數(shù)，利用對(duì)稱性可得其奇偶性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與

切線斜率的關(guān)系，可得答案.

【詳解】因?yàn)椤癤)關(guān)于點(diǎn)(％對(duì)中心對(duì)稱，

g(x)=/(x+〃)-4=Ind"+2x+2〃-4

所以函數(shù)x+m+n為奇函數(shù)，

,x+3

y=In-----------

貝(j2"_4=0,即〃=2,且x+加+2為奇函數(shù)，所以加+2=-3,解得加=-5,

f(x)=Inx+1+/(x)=2------------------/⑺="

故八)x-52x,〃一加=7,且/(x+D(x-5),故切線斜率為)8.

故選：D.

8.【正確答案】B

._坐)be

【分析】先計(jì)算出。，然后利用面積公式計(jì)算出‘-22+b+c,再利用余弦定理和基

本不等式計(jì)算出M4,最后計(jì)算出r的最大值.

【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r,由題意可得bcosC+ccosB=2,

-J'/+c—2/$一/十萬+C?-/

由余弦定理可得2ab2ac2a2a

百be

S^ABC=—6csin=—(?+/>+c)r

而22故22+6+c,

由余弦定理可得?2=b2+c2-2bccosA,則4=/+c?一兒26c,當(dāng)且僅當(dāng)方二0時(shí)等號(hào)成

立，

而4=(b+cP_3bc,則6+c=J3加+4,其中beW4,

A/3beA/3be

y-..----------------

故22+b+c22+j36c+4,

令j3bc+4=?2</W4)故62+f63

故選：B

9.【正確答案】AC

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：利用基本不等式即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)B：利用“1”的妙用，即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)C：利用基本不等式即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D：利用配湊思想，根據(jù)基本不等式即可判斷；

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?x+y=122聲亍，則刈氣，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,

11

x=一,y——

即42時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)A正確；

14,14、-、/l8xy,.rr

對(duì)于選項(xiàng)B：xyxyyxx,

-=z旦)丫=2益

當(dāng)且僅當(dāng)>以即工=2?時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

xy<—4x2+y2=(2x+y)2-4xy>l-4x—=—

對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)A可知8,所以82,

11

。x=一=-

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即42時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)c正確；

~-2

/1、J/1、/12x+0+l)1

x(y+1)=—?2x(y+1)<—?--------------=—

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?212」2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=1+l,即

x=—,y=0x(y+1)<—

2'時(shí)取等號(hào)，這與x,y均為正數(shù)矛盾，故-2,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.【正確答案】AD

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)線面關(guān)系，得到B,G,H三點(diǎn)不共線，直線GH與直線沒

有交點(diǎn)，故兩直線異面；B選項(xiàng)，/G:G8=1:2,但巨是FG的中點(diǎn)，

F"："G=1：2不成立，故B錯(cuò)；CD選項(xiàng)，取線段BF的中點(diǎn)°,連接4。交BE于點(diǎn)

p,可證得8G//平面4尸0,c錯(cuò)誤，D正確.

【詳解】如圖所示，對(duì)于A,因?yàn)?瓦,平面8G尸,840平面8G尸=巴

故'耳與平面2G尸的交點(diǎn)為8,且是唯一的.又因?yàn)锽,G,H三點(diǎn)不共線,

所以GH不經(jīng)過點(diǎn)B,又GH1平面8CF,所以直線GH與直線84沒有交點(diǎn)，

即直線GH與直線2片異面，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)锳B的中點(diǎn)為區(qū)/4的中點(diǎn)為尸，所以點(diǎn)G是△4/8的重心，

FG:GB=1:2,若GHUBG,則尸〃：g=l:2,

而=彳起=2卬+就乖+2而)=24⑷

-3-1JAj1-?，

所以4”一定經(jīng)過C尸的中點(diǎn)，故H是尸0的中點(diǎn)，F(xiàn)H:HQ=1:2不成立,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于CD選項(xiàng)，如圖，取線段BF的中點(diǎn)0,連接4。并延長，交BE于點(diǎn)尸，

下證3〃平面4尸。：由H為C/的中點(diǎn)可知HQUBC^

又平面4尸平面&PC,所以8C"/平面4尸°,故D正確，C錯(cuò)誤;

故選：AD.

11.【正確答案】BCD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)思想來研究單調(diào)性和最值，再構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)來證明不等式，從

而來比較大小.

【詳解】由題意可得/3=二一"，當(dāng)xe(-oo,ln")時(shí)，/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(ln〃,+8)時(shí)，/(x)>OJ(x)單調(diào)遞增，所以“工)的最小值為"M”),

2

gpdn=f(1nn)=n+n-n\nn

a-2

對(duì)于A：4=2,1=6—21112,4—2_q=2_21n2>0,gp\<?2,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B-設(shè)函數(shù)尸(無)=x2-l-xlnx,xeN+，尸'(x)=2x-lnx-l,

^(x)=2x-Inx-1,2r(x)=2--,x>1，/、C/、

設(shè)函數(shù)X時(shí)，則g(x)>°ng(x)單調(diào)遞增，

故g(x)>g⑴=1>0=>L(x)>0nF(x)單調(diào)遞增，

22

F(x)>F(l)=0^>n-l-n\nn>0^n+n-n\nn>n+\^an>w+1故B正確

對(duì)于C：易知〃>ln〃，又因?yàn)椤▁)在xe(ln〃,+8)上單調(diào)遞增，

故4111〃)</(〃)<〃〃+1)4/(%),故/(0)>/(〃),故c正確；

對(duì)于D.an+m-am-an=網(wǎng)>+也加一ln(〃+加)]+〃[加+111〃-+機(jī))],

只需證明〃+lnzw-lnS+")>0即可，而〃+lnm=inenm,由e'>x+l(x"1)

易得men>+1)=加+mn>m+n^故〃+In加一ln(n+機(jī))>0,

同理可得加+ln〃-ln(〃+")>0,故%+?.>%+%>,故D正確，

故選：BCD.

12.【正確答案】（TO】

【分析】先討論。=°成立，然后討論。二°時(shí)，利用二次函數(shù)的圖像求解即可.

【詳解】因?yàn)槊}“VxeRw2-ax-2<°”為真命題，當(dāng)。=o時(shí)，-2<0成立，

JQ<0

當(dāng)。中0時(shí)，貝14=/+8"<°,解得一8<a<0,故。的取值范圍是（-8,0],

故（-8,。]

13.【正確答案】[-8,24]

【分析】利用向量數(shù)量積的幾何意義，等于動(dòng)向量下在方方向上的投影長度與

存的模之積，這里的投影長度是有正負(fù)的，規(guī)定投影長度與方方向相同的為正數(shù),

與否方向相反的為負(fù)數(shù)，然后找到端點(diǎn)位置去計(jì)算取值范圍.

【詳解】

-------?

根據(jù)正六邊形的特征及投影的定義可以得到/P在方向上的投影長度的取值范圍是

[-2,6]；

由數(shù)量積定義可知后?萬等于方的模與后在方方向上的投影長度的乘積，

所以后.方的取值范圍是[-8,24],

故答案為.-8,24]

14.【正確答案】V6+2/2+V6

2_2-+2+2J2/+1_2J2/+1+2+之

【分析】根據(jù)等體積法可得r一h~h，即可構(gòu)造函數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，’即可求解最值.

【詳解】設(shè)三棱錐P-/8C的高為6,依題意，可取8C中點(diǎn)0,

連接。4OP,則OPLBC,

由于AB=AC=y[2,AB.LAC則BC=\[2AB=2

貝°0A=OB=OC=1,OP=h,

由于平面PBC，平面48C,且交線為5C,OP,8C,OPu平面BBC,

故。尸，平面尸5C,故PA=PB=PC,

-h-BC=h-OABC=1

則APBC的面積為2、4BC的面積2

由P4=PB=PC=VF+1可得APBA和^PAC的面積為

于是三棱錐尸-"BC的表面積為，2宣+1+a+1,

所以「hh

2_j_2123__________

~r~Vr1c,rh2d2/+1+232J2r+1—1

-S.?rh-----------------+2—;=-----------------+2

故

、2,2無2+-1

〃x)=-+--2-------------

設(shè)函數(shù)X,且無>0,

J2/+1—2

22

,,z、xyJlx+\+1+2)

則/(x)=

x<J：,/(x)<0J(x)

當(dāng)單調(diào)遞減,

V2,〃x）單調(diào)遞增,

2=逐+2

/?>/

所以

V62_J_

所以,一2時(shí)，7一方取得最小值遙+2,

故展+2.

22〃+2+2A/2/+I2,2/+1+2

+2

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等體積法得到廠hh,構(gòu)造函數(shù)

242/+1—1

/w=+2

x求導(dǎo).

712兀

15.【正確答案】（1）1%T

271

⑵L3

【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡）（X）,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案,

,兀71.71

2x+—€

(2)由已知確定636」范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的最小值可得

3兀，兀13兀

——<2m+—<——

266,即可求得答案.

/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin[2x+；e(0,兀)

【詳解】（1）由題意可得

兀_7i13K

Z=2x+—,xG(0,71)Z￡6'~6~

令6，貝|]

7i13K71371

y=sinz,ze

6，-6~的單調(diào)遞減區(qū)間是12'2

因?yàn)?/p>

71兀

gZ4型兀」,2兀2

—<x<——,所以〃）的單調(diào)遞減區(qū)間是63

且由22,得63xL'

兀_7171_兀

XG——2xHG一,2〃？+一

(2)當(dāng)12則636

71

—,Tn

2

因?yàn)?(x)在區(qū)間L'上的最小值為-2,

7T_71

一,2加+一

即^=$?12在136上的最小值為T,

7113兀兀,c13K

ZG37i

6，-6-——<2m+—<——,

又因?yàn)?，所?66

2兀2兀

——<m<Ti,故加的取值范圍為L3'

即3

16.【正確答案】（1）數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列.

⑵北=（力-1）27+2.

【分析】（I）當(dāng)“22時(shí)，利用%=S"-S"T,求出數(shù)列｛“■｝的遞推關(guān)系式即可得解;

（2）利用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】（1）由題意得2S"=（"+1）4,當(dāng)“22時(shí)，2s“T=〃*

兩式作差得2氏=(?+!>?(?-!)??=na.i

ana?-l

所以?"T,則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,

無單調(diào)性，故數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列.

2=幺=1

(2)由(1)可得〃1，所以凡=",故aj2%=〃-2".

所以。=>2+2-22+3"+…+〃.2",①

27；=1-22+2-23+3.24+?■?+(?-1)-2"+?-2"+1②

,,2。-2")

-7=2+22+23+---+2"-n-2"+1=-^-----^-?-2"+1=-2-(?-1)-2"+|,

①-②得1-2

所以小(1)2”+2?

17.【正確答案】(1)百

V2

⑵2

【分析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)°,設(shè)四棱柱/8。。-4月。12的體積為%=5//,求

出四面體”近）4的體積，四面體442。的體積，證明四面體48Go的體積是四面體

的體積的兩倍，求出點(diǎn)A到平面48。的距離；

（2）連接°4,證明四邊形ABCD是菱形，證明NC,平面證明40,平面

ABCD,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，0A為x軸，0B為》軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)向量求出銳二面角4一*）一。的余弦值.

【詳解】（1）如圖，連接AC交BD于點(diǎn)°,

設(shè)四棱柱12四一4瓦GD的體積為憶=s〃（其中S為菱形ABCD的面積，〃為四棱柱

一的高），

所以四面體的體積為5$與"一%"

同理四面體448G的體積為2S'3h~~6V

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

AO=OC=^AC=^A1C1

所以

所以點(diǎn)A到平面4加的距離為點(diǎn)G到平面”①。距離的一半，

所以四面體42Go的體積是四面體的體積的兩倍，即3r,

設(shè)點(diǎn)A到平面4BD的距離為d,

2=-V--V=-V=-d-243

貝Ij3663,

解得"=6；

0A

（2）如圖，連接{

由得又四邊形

481MBLNC,ABCD是菱形，

所以NC_Z,8Z）,又48n5D=8,48,H0u平面4區(qū)0,

所以4C_L平面4嗎又4。u平面,叫

所以4O_L/C又4B=A[D,B0=BD

所以又8。八*7=0,80,/。（=平面人8?口

所以4°，平面ABCD,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，0A為％軸，0B為夕軸，°4為z軸，建立如

圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知展12,且"加的面積為S=26,

h=4M_2石

所以棱柱的高一丁一，而三棱錐耳一,8。的體積為2,

—x2^/3x一/Ox2=2r~

故32，故A0=6

所以。（0,0,0）,（?（-后,0,0）,8（0,1,0）,。（一2百,0,2道），

易得平面48°的一個(gè)法向量為oc=（-V3,o,o）（

設(shè)平面8CQ的一個(gè)法向量為G=（a，b，c）,

又礪=（0,1,0）,西=（-2瓜0,2肉,

?=0b二0

,元二°,即一

所以cic=0

\n-OQ#)V2

取〃=(1,0,1),故

V2

故銳二面角4-BO-G的余弦值為T.

18.【正確答案】（l）=e（e,+8）

（2）證明見解析

【分析】（1）求出了'（X）,分aWO、。＞0討論可得答案;

In強(qiáng)

In石=——工

zxzx巡_]/--G(1,e)"+e|n(

(2)根據(jù)g(石六g(*2)=°,得再，令玉,得。山1+加工2="1,

/-It-\t-\

o,〕ii/72---<InZ<(e+1)----m(t)=]nt-2---

欲證2<61呻+1眸<6+1,即證f+ef+e,令函數(shù)t+e,函數(shù)

t-i

n(t)=(e+1)-----]nt,te(l,e),、?八?

f+e,只需證明砌)>0,"?)>0即可.

【詳解】(1)易得“X)定義域?yàn)?Q+W.-lnx,

①當(dāng)a4°時(shí)，/'(x)單調(diào)遞增，不可能有兩零點(diǎn)，不合題意.

，/、x-a

?(x)=--------

②當(dāng)a>0時(shí)，令函數(shù)g(x)=/'(x),易得‘x,

故xe(0,a)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，xe(a,+8)時(shí)，g〈x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)°Me時(shí)，有g(shù)(x)Ng(a)=a"lna)?O,不可能有兩零點(diǎn)；

當(dāng)a>e時(shí)，有g(shù)(a)<0,g⑴=1>0,

由零點(diǎn)存在性定理可得g(X)在區(qū)間。，4)必有一個(gè)零點(diǎn)%1.

g(")=Q("—21nq),令函數(shù)°(a)=q_21na,

,2'

(P(a)=1--->0(、

則a,即。(°)單調(diào)遞增，

故?⑷>?(e)=e-2>0,即g(Y)>°,故g(x)在(%+8)上有零點(diǎn)％,

綜上ae(e,”>)；

(2)依題意有且(石)=g(%)=0,即玉一。山石二%2—Qin/=0,

%2一%

二三--_=]口邃

故得111再lnx2Inx2-Inxxx1

111^

ln西=一^ln三

%一再不三一]七三e(l,e)

因此再，令再

1In,〔tintt+e.

Inx=---lnx=----i,[---In/

則t-1,同理9t-\,故可%+ln/=/_1,

nt<e+

欲證2<elnX|+lnx2<e+l,即證/+e<\+e；

m(t)=InZ-2---n(t)=(e+1)-~--InZ,?e(1,e)

令函數(shù)f+e,函數(shù)，+e,

只需證明〃9)>。，〃(，)>0即可,

0+e)2-2r(e+l)_(r-l)2+e2-l

m(t)=>0

2

又t(t+e)t(t+e)2

故加⑺是增函數(shù)，故加⑺＞31）=0,

又由仁尸

e2+1----t

2

ee2

A(?)=e2+1-----1h'(t)=~-l>0

令函數(shù)(,貝ijt,

故W)單調(diào)遞增，故/)>人⑴=0,

,1

n⑺=--------72(0>0

因此?+e),故〃⑺單調(diào)遞增，

故〃⑺>“(1)=0,故2<el叫+lnx2<e+l得證

/、1c，—1

=In%—2---

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問解題的關(guān)鍵點(diǎn)是令函數(shù)f+e,函數(shù)

n（t）=（e+1）----In?,/G（l,e）

f+e，只需證明加?）＞°，〃?）＞°即可.

19.【正確答案】（1）證明見解析

n-1.

----,〃=2s/*\

3333222-n(5GN)

,,，，-=2s+l

⑵①""一333-;②1

mm

￡聞-n=0

【分析】（1）假設(shè)為2°或《4°,根據(jù)新定義可得

j=li=\即可證明;

（2）①根據(jù)新定義直接寫出結(jié)果即可;

②設(shè)…，4-°，4+i，°左+2，…，%＜。，其中］?左＜〃,z=ii=k+\

n-1n-\n-1,,…n-1一

y=----,x>--------=y<(n-k)A.------<x<kA

根據(jù)新定義可得22；由2、2和不等式的性質(zhì)

可得人\\分類討論〃為奇、偶數(shù)即可.

【詳解】（1）因?yàn)椋?/p>