第04講 拓展一 第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的新定義題（解析版）

第04講拓展一第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的新定義題目錄TOC\o"1-1"\h\u指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)新定義題（小題） 1指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)新定義題（解答題題） 8指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)新定義題（小題）1．（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知函數(shù)，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，已知函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意，恒成立，參變分離可得，恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可得解.【詳解】依題意，恒成立，即，恒成立，所以，恒成立，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，所以，即的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得到，恒成立，再參變分離得到，恒成立.2．（2024·重慶九龍坡·三模）正整數(shù)的倒數(shù)的和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)很大時(shí)，.其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，，至今為止都不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù).設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，用上式計(jì)算的值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】設(shè)，分析可知數(shù)列為遞增數(shù)列，結(jié)合題中數(shù)據(jù)估算可知，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋芍獢?shù)列為遞增數(shù)列，且，，可知，所以.故選：C.3．（23-24高二下·山東濱州·期末）已知表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：，，若函數(shù)其中，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求函數(shù)的的值域，再根據(jù)的定義，即可求解.【詳解】，，，，所以，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以的值域?yàn)?故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的新定義.4．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，定義：若在上恒成立，則稱為函數(shù)在上的“面積”.函數(shù)在上的“面積”之和與下面哪個(gè)數(shù)最接近（

）（注①：“面積不重復(fù)計(jì)算”；②）A．7.3 B．7.7 C．8.7 D．9.3【答案】C【分析】分段求出時(shí)的函數(shù)值，然后根據(jù)“面積”的定義得出S，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合已知數(shù)值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，根據(jù)“面積”的定義可知，函數(shù)在上的“面積”之和為：，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)范圍求出，再“面積”的定義得出S，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.5．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）142857被稱為世界上最神秘的數(shù)字，，所得結(jié)果是這些數(shù)字反復(fù)出現(xiàn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合可得，則；由得，進(jìn)而，即可求解.【詳解】由題意知，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以.因?yàn)椋?，得，所以，即；由，得，所以，即，所以，?綜上.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟：(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．常用的不等式：，，，，.6．（多選）（22-23高一下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）定義區(qū)間的長(zhǎng)度為，記函數(shù)（其中）的定義域的長(zhǎng)度為，則下列說法正確的有（）A．B．的最大值為C．在上單調(diào)遞增D．給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ABD【分析】求函數(shù)的定義域，得判斷選項(xiàng)A；利用單調(diào)性定義證明單調(diào)性判斷選項(xiàng)C，由單調(diào)性求判斷函數(shù)的最值判斷BD選項(xiàng)．【詳解】由，得，，，A選項(xiàng)正確；設(shè)，則，，，，，在上是增函數(shù)，同理可證，在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；為最大值，B選項(xiàng)正確；，，，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，的最小值為和中較小者，．的最小值為，D選項(xiàng)正確．故選：．7．（多選）（23-24高一上·山東日照·期末）對(duì)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，，通常把，叫做取整函數(shù)，也稱之為高斯（Gaussian）函數(shù)．下列說法正確的是（

）A．，B．，C．，若，則D．，使成立【答案】BCD【分析】舉出反例可判斷A，舉例可判斷B，設(shè)，則，，求出的范圍可判斷C；根據(jù)取值特征可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，則，所以，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，可得時(shí)，成立，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)新定義的理解.8．（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）定義：二階行列式；三階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的元素按原來的順序組成的二階行列式.現(xiàn)有三階行列式，若元素1的余子式，則；記元素2的余子式為函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】//【分析】由，根據(jù)余子式定義轉(zhuǎn)化為二階行列式列方程可解出；利用余子式定義將轉(zhuǎn)化為二階行列式經(jīng)過運(yùn)算化簡(jiǎn)得解析式，再借助復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求解減區(qū)間即可.【詳解】由三階行列式根據(jù)題意得，元素的余子式，解得；元素2的余子式則函數(shù)由解得，則定義域?yàn)椋?，則當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，又單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減；故單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：；（填也正確）.9．（23-24高一上·江蘇南通·期末）若閉區(qū)間滿足：①函數(shù)在上單調(diào)；②函數(shù)在上的值域?yàn)?，，則稱區(qū)間為函數(shù)的次方膨脹區(qū)間.函數(shù)的2次方膨脹區(qū)間為；若函數(shù)存在4次方膨脹區(qū)間，則的取值范圍是.【答案】且，【分析】根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合2次方膨脹區(qū)間的定義即可列方程求解空1，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，結(jié)合4次方膨脹區(qū)間的定義，由二次方程根的分布即可求解空2.【詳解】設(shè)函數(shù)的2次方膨脹區(qū)間為，由于函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以且，由于，解得，故的2次方膨脹區(qū)間為，由于為開口向上的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，設(shè)存在4次方膨脹區(qū)為，若，則為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以且，相減可得，這與矛盾，故不符合題意舍去，若，則為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以且，因此是方程的兩個(gè)不相等非負(fù)實(shí)數(shù)根，令，則有兩個(gè)不相等非負(fù)實(shí)數(shù)根，記，所以，解得且，故答案為：，且，【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：主要是利用函數(shù)滿足的兩個(gè)條件①和②，利用條件①，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解函數(shù)的值域，根據(jù)條件②列出滿足的方程，結(jié)合二次方程根的分布，即可找到求解途徑.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)新定義題（解答題題）1．（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)，對(duì)任意，有成立．(1)函數(shù)，其中，判斷是否屬于集合？說明理由；(2)設(shè)函數(shù)，其中（且），若函數(shù)的圖像與的圖像有公共點(diǎn)，證明：．(3)求證函數(shù)（且）不屬于集合．【答案】(1)，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)集合的定義及性質(zhì)直接判斷；（2）根據(jù)集合的定義直接證明；（3）根據(jù)集合的定義直接證明.【詳解】（1）對(duì)于非零常數(shù)，，，因?yàn)閷?duì)任意，不能恒成立，所以.（2）因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖像與函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，所以方程組：有解，消去得，顯然不是方程的解，所以存在非零常數(shù)，使．于是對(duì)于有，故；（3）假設(shè)屬于集合，則存在非零常數(shù)使得對(duì)一切，恒成立取時(shí)，此時(shí)矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論成立．2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)的反函數(shù)為．定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“和性質(zhì)”．(1)判斷函數(shù)是否滿足“和性質(zhì)”，并說明理由；(2)求所有滿“和性質(zhì)”的一次函數(shù)．【答案】(1)不滿足，理由見解析；(2)．【分析】（1）分別求出的反函數(shù)和，然后對(duì)照，如果解析式相同，就滿足“1和性質(zhì)”，否則，不滿足；（2）知道函數(shù)的類型為一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，因?yàn)闈M足“2和性質(zhì)”，建立方程，求出參數(shù)的值．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)椋桑靡驗(yàn)樗运院瘮?shù)的反函數(shù)是，所以，而，其反函數(shù)為，因?yàn)?，故函?shù)不滿足“和性質(zhì)”；（2）設(shè)函數(shù)滿足“和性質(zhì)”，，所以，所以．而，其反函數(shù)為，由“2和性質(zhì)”定義可知對(duì)恒成立，解得，，即滿足題意的一次函數(shù)為．3．（23-24高一下·甘肅·期末）定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，那么稱為A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.(1)已知A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，如果它們之間的曼哈頓距離不大于5，那么的取值范圍是多少？(2)已知A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，如果它們之間的曼哈頓距離恒大于3，那么的取值范圍是多少？(3)若點(diǎn)在函數(shù)圖象上且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值并說明理由.【答案】(1)(2)(3)最小值為3，理由見解析【分析】（1）根據(jù)曼哈頓距離的定義可得，解絕對(duì)值不等式可得答案；（2）根據(jù)曼哈頓距離的定義可得恒成立，結(jié)合絕對(duì)值不等式的意義求出其最小值，解不等式即可求得答案；（3）根據(jù)曼哈頓距離的定義可得的解析式，分段討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得每段上的最小值，綜合可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，故，由曼哈頓距離不大于5，得，①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，的取值范圍是.（2）因?yàn)椋?，由題意可得恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，所以，則或，解得或.故的取值范圍是.（3）點(diǎn)在函數(shù)圖象上且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).當(dāng)時(shí)，.令，由于，故，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上可知，的最小值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于理解曼哈頓距離或絕對(duì)值距離的定義，并根據(jù)此定義去解答問題，特別是第三問的解答，要注意分段討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最值.4．（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖谡龑?shí)數(shù)，對(duì)任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由.①；②.(2)已知，為給定的正實(shí)數(shù)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍.（用含字母的式子表示）【答案】(1)①具有性質(zhì)，理由見解析；②不具有性質(zhì)，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義對(duì)函數(shù)與函數(shù)進(jìn)行判斷，從而確定正確答案.（2）性質(zhì)的定義列不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的知識(shí)求解的取值范圍.【詳解】（1）①對(duì)任意，，所以具有性質(zhì).②對(duì)任意，得，取，則，所以不具有性質(zhì).（2）由于，函數(shù)的定義域?yàn)椋?若函數(shù)具有性質(zhì)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，即，即.由于函數(shù)在上遞增，得，即.當(dāng)時(shí)，得，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；當(dāng)時(shí)，易得，由，得，得，得，由題意得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以解得.當(dāng)時(shí)，易得，由，得，得，得.由題意得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以解得.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）的關(guān)鍵是對(duì)于性質(zhì)的定義的理解和應(yīng)用；（2）的關(guān)鍵是通過性質(zhì)的定義列不等式，然后對(duì)參數(shù)分類討論求解.5．（23-24高一下·貴州貴陽(yáng)·期中）對(duì)于在區(qū)間上有意義的函數(shù)，若滿足對(duì)任意的，，有恒成立，則稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的.現(xiàn)有函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上是否“友好”；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是“友好”的，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上“友好”(2)【分析】（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值，即可判斷；（2）根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得到，參變分離得到，換元，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以，即，有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是“友好”的.（2）依題意可得在上單調(diào)遞減，則，，則有，即，即，可得，即，令，因?yàn)椋瑒t且，則，令，，令，令任意的且，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，同理可得在上單調(diào)遞增，又，，當(dāng)或時(shí)，取最大值，此時(shí)，于是當(dāng)或時(shí)，取最大值，依題意，又對(duì)于任意的，恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，即，所以，此時(shí)，綜上可得的取值范圍是.6．（23-24高一上·廣西賀州·期末）設(shè)區(qū)間是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，例如的“不動(dòng)點(diǎn)”滿足，即的“不動(dòng)點(diǎn)”是.設(shè)函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若函數(shù)在上存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，即可得到，解得，從而求出即可；（2）依題意可得在上有解，令，，則問題轉(zhuǎn)化為在上有解，令，，根據(jù)單調(diào)性求出的取值范圍，從而求出的取值范圍.【詳解】（1）由“不動(dòng)點(diǎn)”定義知：當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得或（舍去），所以，且所以函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)為.（2）根據(jù)已知，得在上有解，所以在上有解，令，，所以，即在上有解，所以在上有解，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，故，所以，可得，又在上恒成立，所以在上恒成立，則，則，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解“不動(dòng)點(diǎn)”的定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題.7．（23-24高一上·安徽安慶·期末）設(shè)為給定的實(shí)常數(shù)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．(1)若函數(shù)為“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：函數(shù)為“函數(shù)”；(3)若函數(shù)為“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見詳解；(3)【分析】（1）根據(jù)新定義函數(shù)的性質(zhì)，寫出f(x)滿足的等式進(jìn)而求解出