2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升卷：函數(shù)

單元提升卷03函數(shù)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

【答案】D

【分析】求出函數(shù)“X)的定義域，探討其奇偶性，再結(jié)合X>O時(shí)函數(shù)值為正即可判斷作答.

【詳解】由e功-1片0,得xwO,即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+s),

顯然/(x)=—J二，/(-X)=—F=-/(X),即函數(shù)“幻是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，AB不滿足;

e-ee--e

當(dāng)x>0時(shí)，e2，>l,e、>l,于是〃x)>0,其圖象在第一象限，C不滿足，D滿足.

故選：D

2.下列函數(shù)中，值域?yàn)?。,+⑹的是(

【答案】B

【分析】分別求出每個(gè)函數(shù)的值域，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A：定義域?yàn)?Y,2)52,4W),值域(f,0)U(0,+8),故A錯(cuò)誤,

1-X

對(duì)于B：定義域?yàn)镽,因?yàn)?-XER,所以歹IG(0,+oo),故B正確;

對(duì)于C：定義域?yàn)镽,因?yàn)?；)、e(0,+s),所以

G（0,+00）,

所以y=-16（-1,+00）,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：因?yàn)?W1-2，<1,所以>="萬(wàn)e[0,l)，故D錯(cuò)誤，

故選：B.

3.已知函數(shù)〃x-l)=x2-2x,且/(。)=3,則實(shí)數(shù)。的值等于()

A.V2B.±72C.2D.±2

【答案】D

【分析】利用抽象函數(shù)定義域求法求解即可；

【詳解】令x-l=a,x?—2x=3,解得x=—l或x=3由止匕解得。=±2,

故選：D

4.(2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且滿足

?卜g[〃a)+/(3b)]j(l)=5,〃3)=9.則/(2023)的值為()

A.5B.9C.4023D.4049

【答案】D

【分析】令a=x+4,36=x,代入原式可得/(x+4)-/(x+2)=/(x+2)-/(x)=4,列出等式/⑶一/(1)=4,

/(5)-/(3)=4,…，7(2023)-/(2021)=4,再利用累加法計(jì)算即可.

【詳解】令a=x+4,3b=x,因?yàn)榈?=；[/(")+〃3即，

“F|T=/(X+4)+〃X)],

得2/(x+2)=/(x+4)+/(x),即/(x+4)-〃x+2)=/(x+2)_/(x),

因?yàn)?1）=5,/（3）=9,.-./（3）-/（1）=4,/（5）-/（3）=4,

/（7）-/（5）=4,…，7（2021）-/（2019）=4,/（2023）-/（2021）=4,

將上述1011個(gè)式子累加得，“2023)-/(1)=4x1011,

7（2023）=4x1011+5=4049.

故選：D

【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是通過(guò)賦值法，令。=x+4,3b=x,將原式轉(zhuǎn)化為

/（x+4）-/（x+2）=/（x+2）-/（x）,列出等式，利用累加法計(jì)算即可.

117

5.已知方程|log2司+l工2=0有兩個(gè)不同的解玉,尤2，貝U（）

A.=1

B.國(guó)入2=1

C.0<xxx2<；

D.0<xxx2<1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，將方程解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=|bg2x|及y=-；（x+l『+2的圖像交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖像列出

1）2+2,在同一坐標(biāo)系下做出函數(shù)歹=|log2%|及

1

歹=-1（%+1）9+2的圖像，如圖所不：

由圖知y=-；（x+l『+2在（0,+8）上是減函數(shù)，故|log2xj>|log2尤21，由圖知

所以一10g2再>10g2%2，即10g2%i+10g212<0，化簡(jiǎn)得1。82(再12)<。，BP0<X^2<1,

故選：D.

6.已知定義域?yàn)锳的函數(shù)/（、），若對(duì)任意的冬、x2eAf都有/（再+/）-/（再）</（%），則稱函數(shù)/（'）為"定

義域上的M函數(shù)”，給出以下五個(gè)函數(shù):

①/(%)=2x+3,xeR；

O.2「1廠

②/(x)=x，XG~2,2

③/(x)=x2+l,xe-p

IT

?/(x)=sinx,xe0

J)/(x)=log2x,xe[2,+oo),

其中是“定義域上的M函數(shù)”的有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【解析】本題首先可以根據(jù)題意得出〃為+%)4/區(qū))+/(%)，然后對(duì)題目中給出五個(gè)函數(shù)依次進(jìn)行研究,

得出它們的/(再+%)和〃xJ+/(%)并進(jìn)行比較，即可得出結(jié)果.

【詳解】/(%!+x2)-/(%1)</(%2),即/(玉+々)4/&)+/(々),

①：因?yàn)?(x)=2x+3,xeR,

所以/(X]+無(wú)2)=2(毛+%)+3,/(X1)+/(x2)=2xt+2X2+6,

易知f{xA+3)4/(%)+/(%)恒成立，①滿足；

②：因?yàn)?0)=心,

2222

所以/(X[+x2)=X1++x2,/(Xj)+/(X2)=X1+X2,

當(dāng)92>0時(shí)，f(xx+x2)>f(xl)+/(x2),②不滿足;

③：因?yàn)?(x)=/+l,

2

所以f{xx+x2)=x；+2X1X2+x2+1,/(XJ+/(x2)=x：+x?2+2,

因?yàn)閤e,所以2再工2+1<2,/(%+/)4/(國(guó))+/(>2)恒成立，③滿足；

@：因?yàn)?(x)=sinx,

所以/(再+/)=sin(%i+%2)=sin%[cosx2+sinx2cos^,

/(再)+/(x2)=sin'i+sinx2,

兀

因?yàn)閤e0,—,所以0?cosX]Kl,0<cosx2<1,

故/(再+%)4/(占)+/每)恒成立,④滿足;

⑤：因?yàn)?(x)=log2X,

所以,(國(guó)+工2)=log?(占+%),/(%1)+/(x2)=log2X]+log2X2=log2再尤2,

因?yàn)閤e[2,+oo),所以七+X24網(wǎng)工2,

故/(x,+x2)</(XJ+/區(qū))恒成立，⑤滿足，

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義，能否根據(jù)題意明確“定義域上的M函數(shù)”的含義是解決本題的

關(guān)鍵，可通過(guò)求出函數(shù)〃x)的〃占+工2)和〃西)+〃尤2)并進(jìn)行比較來(lái)判斷函數(shù)是否是“定義域上的M函數(shù)”,

考查計(jì)算能力，是中檔題.

7.定義在R上的函數(shù)/㈤的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,且當(dāng)尤21時(shí)，f(x)=3x-l,有()

A。嗎)(小</0B.一

【答案】B

【分析】函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱可得了匕)=/佶]，再根據(jù)當(dāng)X<1時(shí)，/(X)單調(diào)遞減可得答

案.

【詳解】定義在R上的函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

所以=+所以

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，/(x)=3,-1為單調(diào)遞增函數(shù)，

定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

所以當(dāng)X<1時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，

因?yàn)樗詥璨穯岵穯?，即4md

故選：B.

8.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且"2)=2,若對(duì)任意的不，x2e(O,+?),均有成

玉-x2

立，則不等式/(x-l)+l>x的解集為()

A.(-2,0)U(2,+co)B.(-8,-2)U(0,2)

C.(-8,-l)U(l,3)D.(-1,1)U(3,+⑹

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-x,則g(x)=/(x)-尤在(0,+8)上遞增，判斷g(x)=/(x)r也是是定義在

R上的奇函數(shù)，可得g(”=〃x)-x在(-8,0)上遞增，分類討論列不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的多，/e(O,+⑹，均有〃演)一/(電)>1成立,

X]-x2

不妨設(shè)%>XI>0,則X]-々<0,

所以/(%)-/(々)<&72=/(再)-占</(%2)72，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)—X,則g(x)=/(x)-x在(0,+8)上遞增，

因?yàn)?(X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以g(x)=/(x)-X也是是定義在R上的奇函數(shù),

所以g(x)=/(x)-x在(-8,0)上遞增，

不等式〃x7)+l>x化為〃x-l)-(x-l)>0ng(x-l)>0,

因?yàn)椤?)=2=>/⑵-2=0=>g⑵=0=>g(-2)=-g⑵=0,

g(x-l)>g⑵nx—1>2

則=>x>3,

x-1>0x-l>0

g(x-l)>g(-2)^x—1〉—2

或=>—1<x<1?

x—1<0x-l<0

x-l=0時(shí)，g(0)=0,不合題意;

綜上不等式/(x-l)+l>x的解集為(-l,l)U(3,+8),

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知函數(shù)&+l)=2x+￡-l,貝IJ()

A."3)=9B./(X)=2X2-3X(X>0)

C.的最小值為-1D.的圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn)

【答案】ACD

【分析】利用換元法求出/(x)的解析式，然后逐一判斷即可.

【詳解】令:&+121,得?=”1,貝曦=(7-1)2,得八6+1)=〃。=2〃一%，

故/(x)=2尤2_3X,xe[l,+e),/⑶=9,A正確，B錯(cuò)誤.

/(x)=2/-3x=21-：，所以〃x)在[1,+⑹上單調(diào)遞增，

/(x)mm=/(l)=-l,〃無(wú))的圖象與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，C正確，D正確.

故選：ACD

io.某同學(xué)根據(jù)著名數(shù)學(xué)家牛頓的物體冷卻模型：若物體原來(lái)的溫度為4(單位：℃),環(huán)境溫度為4

(仇<穌,單位。c),物體的溫度冷卻到e(。>4，單位：℃)需用時(shí)t(單位：分鐘)，推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為

=左為正的常數(shù).現(xiàn)有一壺開(kāi)水(100。0放在室溫為20。(2的房間里，

根據(jù)該同學(xué)推出的函數(shù)關(guān)系研究這壺開(kāi)水冷卻的情況，貝U()(參考數(shù)據(jù)：In220.7)

A.函數(shù)關(guān)系。=4+(%-4也可作為這壺外水的冷卻模型

B.當(dāng)后='時(shí)，這壺開(kāi)水冷卻到4(TC大約需要28分鐘

C.若〃60)=10,則〃30)=30

D.這壺水從100。(2冷卻到70。(2所需時(shí)間比從70。(2冷卻到4(FC所需時(shí)間短

【答案】BCD

【分析】對(duì)A,利用指對(duì)互化即可判斷A；對(duì)B,將數(shù)據(jù)代入公式即得到八對(duì)C,根據(jù)/(60)=10,解出左

值，再代入數(shù)據(jù)即可判斷；對(duì)D,分別代入公式計(jì)算冷卻時(shí)間，作差比價(jià)大小即可.

【詳解】對(duì)A,由/=〃d)=[ln(4-dj-ln(。-4)],得"=ln￡^,

0_01

所以有才=心,整理得。=4+"-4)萌.A項(xiàng)錯(cuò)誤；

11QQQQ

對(duì)B,由題意可知，=/(<9)=7[ln(100-20)-ln((9-20)]=71n^^.?=201n^-^=201n4=401n2?28,

B項(xiàng)正確;

對(duì)C,由〃60)=10,得口nM=10,即左=萼，貝卜=普/11*^=普1118=30.C項(xiàng)正確；

k4010m230-20m2

對(duì)D,設(shè)這壺水從100。(3冷卻到7(FC所需時(shí)間為％分鐘，則4=，ln而矽而=：(ln8-ln5),

設(shè)這壺水從7(TC冷卻到40。(2所需時(shí)間為4分鐘，

貝“右=—In---------=—(in5-In2),

2k40-20k'7

因?yàn)樨皑D%2=—(in8+In2—2In5)=—In—<0,所以4<%2，D項(xiàng)正確.

kk25

故選：BCD.

11.已知幕函數(shù)〃x)=(小一2加-2卜內(nèi)L9對(duì)任意再，工2€(0,+8)且玉片工2,都滿足>0,若

/(幻+/(6)>0,則()

(a+b\f(?)+f(^)(a+by/(fl)+/(^)

VV

A.a+b<0B.a+b>0C.2D./'

【答案】BD

【分析】由已知函數(shù)為基函數(shù)可得蘇-2加-2=1,再由已知可得此函數(shù)在(。,+到上遞增，貝U/+加一9>0,

從而可求出函數(shù)解析式，然后判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，從而可判斷選項(xiàng)AB,對(duì)于CD,作差比較即可.

【詳解】因?yàn)?(尤)=(蘇-2加-2)/+”9為幕函數(shù),

所以蘇-2加-2=1,解得加=-1或加=3,

因?yàn)閷?duì)任意無(wú)1，X2e(0,+8),|=|.X|WX?,都滿足>°，

所以函數(shù)/(x)在(0,+功上遞增，

所以機(jī)2+加一9>0

當(dāng)加=一1時(shí)，(一Ip+(—1)一9二一9<0,不合題意，

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，32+3-9=3>0,

所以/(x)=/

因?yàn)?(-X)=(-=—X3>

所以/(X)為奇函數(shù)，

所以由/(〃)+/⑸>0,得/(?)>—f(b)=/(-&),

因?yàn)?(%)=%3在R上為增函數(shù),

所以a>—b,所以a+b>0,

所以A錯(cuò)誤，B正確，

對(duì)于CD,因?yàn)閍+6>0,

所以/⑷+/（6）/3+1o'+b3（a+b>\

~2.-一〔亍J

4。3+4/-（。3+3/6+3仍2+/）

-8

3（/+/-/6一?。?/p>

一8

3[/（4一6）-62（4-6）]

-1

_3（a-6）2（a+6）、c

一之U,

8

所以所以c錯(cuò)誤，D正確,

故選：BD

12.在一條筆直的公路上有/、B、C三地，C地位于/、2兩地之間，甲車從/地沿這條公路勻速駛向C

地，乙車從8地沿這條公路勻速駛向/地.在甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過(guò)程中，甲、乙兩車各自與C地

的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間f(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列結(jié)論正確的是()

A.甲車出發(fā)2h時(shí)，兩車相遇

B.乙車出發(fā)1.5h時(shí)，兩車相距170km

C.乙車出發(fā)2mh時(shí)，兩車相遇

D.甲車到達(dá)C地時(shí)，兩車相距40km

【答案】BCD

【分析】觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)1=2時(shí)，兩函數(shù)圖象相交，結(jié)合交點(diǎn)代表的意義，即可得出結(jié)論A錯(cuò)誤;

根據(jù)速度=路程+時(shí)間分別求出甲、乙兩車的速度，再根據(jù)時(shí)間=路程+速度和可求出乙車出發(fā)L5h時(shí)，兩

車相距170km,結(jié)論B正確；據(jù)時(shí)間=路程+速度和可求出乙車出發(fā)2mh時(shí)，兩車相遇，結(jié)論C正確；結(jié)

合函數(shù)圖象可知當(dāng)甲到C地時(shí)，乙車離開(kāi)C地0.5小時(shí)，根據(jù)路程=速度*時(shí)間，即可得出結(jié)論D正確.

【詳解】觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t=2時(shí)，兩函數(shù)圖象相交，

地位于/、8兩地之間，

交點(diǎn)代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結(jié)論A錯(cuò)誤；

甲車的速度為240+4=60(km/h),

乙車的速度為200+(3.5-1)=80(km/h),

(240+200-60-170)-(60+80)=1.5(h),

.?.乙車出發(fā)1.5h時(shí)，兩車相距170kln,結(jié)論B正確；

V(240+200-60)(60+80)=21(h),

，乙車出發(fā)2(h時(shí)，兩車相遇，結(jié)論C正確；

V80x(4-3.5)=40(km),

.?.甲車到達(dá)C地時(shí)，兩車相距40km,結(jié)論D正確；

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.有下列說(shuō)法：

①W-125=5;②16的4次方根是±2；

③呵=±3；④J(x+y)2=|x+川.

其中，正確的有(填序號(hào)).

【答案】②④

【分析】根據(jù)〃次方根的定義求解.

【詳解】〃為奇數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，^125=-5,故①錯(cuò)誤；

16的4次方根有兩個(gè)，為±2,故②正確；

因?yàn)榘B=3,故③錯(cuò)誤；

因?yàn)镴(x+y)2是正數(shù)，故J(x+y)2=|x+y|,故④正確.

故答案為：②④

14.已知函數(shù)>=2◎-a+3在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】(-s,-3)u(l,+co)

【分析】分。=0和兩種情況，根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合分式不等式運(yùn)算求解.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)y=3,無(wú)零點(diǎn)，不合題意；

a—3

當(dāng)Qw0時(shí)，由2ax-(2+3=0,解得x=----,

2a

a—3

------<11

所以一即2a,解得3或a>l；

2aa-31

------>-1

、2a

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-叫-3)。(1,+8).

故答案為：(-%-3)u(l,+oo).

.+2

15.已知函數(shù)〃x)是二次函數(shù)又是塞函數(shù)，函數(shù)g(x)=ln(后7+函數(shù)”x)=則

“20)+人(19)+…+〃⑴+〃(0)+"-1)+…+人(-19)+〃(-20)的值為.

【答案】82

【分析】根據(jù)已知得出〃x)=/,在根據(jù)函數(shù)g(x)的解析式得出其定義域，并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算得出

g(-x)+g(x)=O,即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，即可根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出

g(0)=0,根據(jù)已知“X)結(jié)合函數(shù)〃X)的解析式與g(x)的奇偶性得出〃(T)+〃(X)=4,且〃(0)=2,即可

根據(jù)所求式子的規(guī)律得出答案.

【詳解】?：函數(shù)/(x)是二次函數(shù)又是幕函數(shù)，

?■?/3=犬,

|+—+X>0,廣1、?、

?-",在R上恒成立，

(^1+x2>0

二函數(shù)g(x)=ln(Jl+—+x),定義域?yàn)镽,

g(-x)+g(x)=+-x]+ln(jl+x2+x),

=In(Jl+x?-尤)+In(Jl+x?+x),

=In(1+/一/)=］口i=o,

，函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

，g(o)=o

g(-x)+2+5二-g(x)+g(%”4

/./z(-x)+/z(x)=

(-X)2+2無(wú)2+2

且“0)=4^+2=2

v702+2

貝|］力(20)+〃(19)+—+〃(1)+〃(0)+力(一1)+-+〃(一19)+〃(-20)=20乂4+2=82,

故答案為：82.

16.已知/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，且對(duì)任意的％,,x2e(O,2),x產(chǎn)乙，都有

〃上*)<o，試寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)解析式.

【答案】-sin：x(答案不唯一)

4

【分析】根據(jù)給定的奇偶性，推理計(jì)算得函數(shù)的周期性，再結(jié)合單調(diào)性求解作答.

【詳解】因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),則/(-無(wú))=-/(無(wú))，且/(0)=0,

又/(x+2)為偶函數(shù),則/(-x+2)=/(x+2),gp/(x+4)=/(-%),

于是/'(x+4)=-/(x),則/(x+8)=-/(x+4)=/(x),即〃x)是以8為周期的周期函數(shù),

對(duì)任意M，x2e(O,2),x尸超,都有“再)一""2)<0,可得/(x)在(0,2)單調(diào)遞減,

Xj—X1

不妨設(shè)/(》)=/sinox,由題意，7=」27r=8,所以。=T：T,則/(x)=/sin7rTx,

co44

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，

因?yàn)?X)=/si小在(0,2)上單調(diào)遞減，且y=sinx在(0,3上單調(diào)遞增，

JT

所以Z<0,不妨取4=一1,此時(shí)/(%)=—sin：x.

4

7T

故符合上述條件的一個(gè)函數(shù)解析式/(%)=-sin：x,(答案不唯一).

4

jr

故答案為：-sin-x（答案不唯一）

4

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.（1）已知logi89=a,186=5,求log*45.（用a,b表示）

（2）已知Iog94=a,9“=5,求叫3645.（用。力表示）

【答案】（1）a+b；（2）----

a+\

【分析】（1）由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系可得1。&85=6,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算公式化簡(jiǎn)即可；

（2）由指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系可得logg5=6,利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算公式化簡(jiǎn)可得結(jié)論.

【詳解】（1）因?yàn)?8〃=5,所以logQS,

45

所以=log189+log185=a+Z）.

（2）因?yàn)?"=5，所以bg95=6,

所以45=地竺=3駕=1°^5±2=

log36log9（4x9）log94+log99a+\

18.已知函數(shù)〃尤）=,_4x+3].

（1）作出函數(shù)〃x）的圖象；

⑵就。的取值范圍討論函數(shù)了=/（x）-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析

（2）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）先作出夕=尤—4x+3的圖象，然后將其在x軸下方的部分翻折到x軸上方；

（2）數(shù)形集結(jié)合，函數(shù)y=/（x）-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)了=/（x）的圖象與直線歹=。的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】（1）先作出—4x+3的圖象，然后將其在x軸下方的部分翻折到x軸上方，原X軸上及其上

方的圖象及翻折上來(lái)的圖象便是所要作的圖象.

y>

u

o\47

(2)由圖象易知，函數(shù)V=/(x)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)了=/(x)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)./(2)=|22-8+3|=1.

當(dāng)a<。時(shí)，函數(shù)》=/(x)-。的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)。=0與。>1時(shí)，函數(shù)了=/(x)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)y=/(x)-。的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；

當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)了=/(x)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.

19.已知/(x)="2-1是定義在R上的奇函數(shù).

2+1

⑴求實(shí)數(shù)加的值；

(2)若不等式/(x-3)+/(a+/)>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)加=1

⑵?1

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)"0)=0即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)/(x)的奇偶性和單調(diào)性即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以八0)=耍=0,所以m=l.

止匕時(shí)/(無(wú))=泉?,經(jīng)驗(yàn)證，/(-%)=-/?,故加=1.

-12

(2)由(1)可知/(x)=^Y~--1一一—,

2'+12*+1

任取再<9，

222(2為一2%)

則/⑷")=(「罰)-(1-罰)下二)(2二)‘

因?yàn)樵?lt;々，則2』<24，/(^)-/(%2)<0

所以

所以/(X)是R上的增函數(shù).

由/(x-3)+/(a+x2)＞0恒成立，

得〃X-3)＞/(-“-巧恒成立，

貝1JX-3＞一。-,

所以。＞一一一％+3恒成立，

2,(1?1313

因?yàn)?x-工+3=-x+—+—＜一，

(2)44

13

所以〃〉了.

4

實(shí)數(shù)0的取值范圍為：

20.已知函數(shù)〃x)=6-*■①＞0,且awl),當(dāng)〃x)的定義域是［0,1］時(shí)，此時(shí)值域也是［0』.

⑴求6的值；

⑵若歷W1,證明〃x)為奇函數(shù)，并求不等式〃2x-l)+/(x-4)＞0的解集.

【答案】(1)。=；,6=3或a=3,b=2

(2)證明見(jiàn)解析，，,+口

【分析】(1)分0＜。＜1以及。＞1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，列出方程組，即可求出答案；

(2)根據(jù)已知得出〃x)=2-2，求出化簡(jiǎn)〃r)+/(x)即可得出證明；根據(jù)函數(shù)的奇偶性以

及函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求解即可得出答案.

【詳解】(1)當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)了=優(yōu)+1單調(diào)遞減，且屋+1＞0.

又＞=-工在(0,+。)上單調(diào)遞增,

X

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/(X)在［0,1］上單調(diào)遞減,

〃0)=6-2=11

,,CL=一

所以/\4,解得3；

/⑴=6——-=0

6Z+16=3

當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)了=優(yōu)+1單調(diào)遞增，且a，+l＞0.

又y=-1在僅,+8)上單調(diào)遞增，

X

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/(X)在[0』上單調(diào)遞增，

[〃。)32=0小3

所以，小A4]，解得八T

["A"刀=i匠2

綜上，a=-,6=3或a=3,b=2.

3

(2)因?yàn)閍bwl,所以a=3,b=2,

則/(x)=2-舟，定義域?yàn)镽,且函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增.

44-44守4[3+1)「0

因?yàn)椤╮)+/(x)=2-三1+2-鏟7T

y+i3x+ir+i

所以/(x)為奇函數(shù).

則不等式/(2x-l)+/(x-4)>0,可化為/(2x—l)>/(4-x).

又函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，則2x-l>4-x,即x>g,

所以不等式〃21)+/(1)>0的解集為已+6.

21.已知函數(shù)是定義在(T4)上的奇函數(shù)，且當(dāng)xe(O,4)時(shí)，/(x)=|log2^|.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間;

(2)若關(guān)于龍的方程/(x)=機(jī)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

|log2x|,0<x<4

【答案】(1)〃X)=-0,x=0；單調(diào)增區(qū)間為(-4,-1),(1,4)；單調(diào)減區(qū)間為(0,1)

-|log2(-x)|,-4<x<0

⑵(一2,0)。(0,2)

【分析】(1)由奇函數(shù)求解函數(shù)的解析式，并求解單調(diào)區(qū)間即可；

(2)方程/(》)=加有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為/(x)與了="的圖象有兩個(gè)不同的