天津市部分區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）

天津市部分區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、單選題1．已知向量a=(2，2)，bA．(3，0) B．(3，1) C．2．已知棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該球的表面積為（）A．π B．2π C．4π D．12π3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=1，b=2，c=7，則C=A．120° B．90° C．60° D．45°4．已知點(diǎn)P(2，0)，Q(1，1)，向量EF=(λA．12 B．?12 5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=1，b=2，B=π4A．π6 B．π3 C．5π6 D．6．已知向量a=(?1，2)，b=(1，A．22 B．(?1，2) C．(7．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中A是圓錐的頂點(diǎn)，B，C分別是圓柱的上、下底面圓的圓心，且AB=1，AC=3，底面圓的半徑為1，則該陀螺的體積是（）A．π B．2π C．7π3 D．8．已知向量a=(m，1)，b=(4，m)，若A．2m2+10m+17 B．5 C．9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積為S，2a+b=4，c(a+b?c)(sinA+sinB+sinA．2 B．223 C．3 二、填空題10．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2?i1+i=11．直線l上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，可以用符號表示為．12．若A(1，1)、B(2，?1)、C(a13．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a2+b2?c2=ab，則C=15．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AE=13AC，則DE?BE=；若F三、解答題16．已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，a與（1）求|a（2）若(2a+b17．如圖，三棱錐S?ABC的底面ABC的側(cè)面SAB都是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，SD⊥CD．（1）證明：BC∥平面SDE；（2）求三棱錐S?ABC的體積．18．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．已知a=3+3，c=6+（1）求C的值；（2）求b的值．19．如圖，在長方形ABCD?A1B1C（1）求證：B1（2）求直線AB1與平面20．在△ABC中，角A，B，C所對的分別為a，b，c．向量m=(3a，b)（1）求B的值；（2）若a=2，b=7，求△ABC

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】a故答案為：C

【分析】根據(jù)向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】設(shè)該球的半徑為R，由題意可知，該球的直徑為棱長為2的正方體的體對角線，則2R=22+則該球的表面積S=4πR故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意可知，球直徑為正方體的體對角線，求出球半徑，代入球的表面積公式即可求解出該球的表面積.3．【答案】A【解析】【解答】由余弦定理可得cosC=由于0°<C<180故答案為：A

【分析】利用余弦定理可求出答案.4．【答案】C【解析】【解答】由P(2，0)，Q(1，1)，可得所以PQ?所以λ=2．故答案為：C．

【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解，可得答案.5．【答案】A【解析】【解答】∵a=1，∴由正弦定理可得：sinA=∵a<b，∴A<B=π4，故答案為：A．

【分析】直接利用正弦定理和三角函數(shù)的值求出答案.6．【答案】D【解析】【解答】由題意向量a=(?1，2)，b則a在b上的投影向量為a?故答案為：D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量定義，即可求解出答案.7．【答案】C【解析】【解答】已知底面圓的半徑r=1，由AB=1，AC=3，則故該陀螺的體積V=BC?πr故答案為：C.

【分析】根據(jù)圓錐與圓柱的體積公式可求出答案.8．【答案】B【解析】【解答】由題意向量a=(m，1)，b=(4，則m2?4=0且m<0，故所以a=(?2，1)，b故答案為：B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，求出m，再結(jié)合平面向量模公式，即可求解出答案.9．【答案】D【解析】【解答】∵S=12bc?由正弦定理得(a+b?c∴(a+b)∴cos∵C∈(0，∵2a+b=4≥22ab，∴ab≤2，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=2∵3CD∴9=b∴|CD故答案為：D

【分析】由正弦定理得a2+b2?10．【答案】1【解析】【解答】復(fù)數(shù)2?i1+i故答案為：12

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡可得答案.11．【答案】l?α【解析】【解答】由題意直線l上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，則直線l在平面α內(nèi)，故用符號表示為l?α，故答案為：l?α

【分析】根據(jù)點(diǎn)線關(guān)系和點(diǎn)面關(guān)系判定可得答案.12．【答案】3【解析】【解答】因?yàn)锳(1，1)、B(2，?1)、且AB=(1，?2)，AC=(a?1，故答案為：3.

【分析】利用坐標(biāo)表示向量AB→13．【答案】2【解析】【解答】如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)、D1則AD1=(?1，0，因此，異面直線A1C1與A故答案為：210

【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用向量法可求出異面直線A114．【答案】π3；【解析】【解答】因?yàn)閍2+bcosC=a2+b若c=2，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，在△ABC中，由正弦定理可得，csinC=故答案為：π3；2

【分析】利用余弦定理和正弦定理求出答案.15．【答案】?49【解析】【解答】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(∴AC=∵E是對角線AC上一點(diǎn)，且AE=13∴DE=(1∴DE?因?yàn)辄c(diǎn)F為線段BD（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，則設(shè)DF=λ故F(所以FE=(13故FE?由于0≤λ≤1，所以λ=34時(shí)，2（λ?3即FE?FB的最小值為故答案為：?49

【分析】以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法求解出FE?16．【答案】（1）解：∵a∴|∴|a（2）解：由(2a(2a解得：k=3【解析】【分析】(1)可進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算，從而可求出|a→+b→|2的值，進(jìn)而即可求出|17．【答案】（1）證明：因?yàn)镈，E分別是AB，因?yàn)锽C?平面SDE，DE?平面SDE，所以BC∥平面SDE；（2）解：因?yàn)椤鱏AB是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，所以SD⊥AB，因?yàn)镾D⊥CD，又AB∩CD=D，AB，所以SD⊥平面ABC，因?yàn)榈酌鍭BC和側(cè)面SAB都是邊長為2的等邊三角形，所以SD=2×sin60所以VS?ABC【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明出BC∥平面SDE；

(2)證明SD⊥平面ABC，求得SD的長，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求出三棱錐S?ABC的體積．18．【答案】（1）解：在△ABC中，a=3+3，c=6+由正弦定理asinA=因?yàn)锳=2π3，則C為銳角，故（2）解：由（1）可知，B=π?A?C=π?2π所以，sinB=由正弦定理asinA=【解析】【分析】(1)由已知利用正弦定理可得sinC的值，結(jié)合C為銳角，可得C的值；

(2)由題意利用兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式，三角形內(nèi)角和定理可求sinB的值，進(jìn)而利用正弦定理即可求解b的值.19．【答案】（1）證明：在長方體ABCD?A1B1C1D1中，∵D∴D1C1⊥平面BCC1又AD=AA1=1，可得B1C⊥BC1∴B1C⊥∵BD1?平面AB（2）解：記B1C交BC1于點(diǎn)由（1）得B1C⊥平面所以AO為斜線AB1在平面∠B1AO為A在長方體ABCD?A1B1C在RtΔB1AO中，Asin∠∴直線AB1與平面ABC【解析】【分析】(1)在長方體ABCD?A1B1C1D1中推出D1C1⊥平面BCC1B1，得B1C⊥D1C1，推出B1C⊥平面20．【答案】（1）解：因?yàn)閙=(3a，所以3a由正弦定理，得3sin又A∈(0，π)，sin因?yàn)?<B<π，所以B=π（2）解：由余弦定理，得b2而a=2，b=7，B=