2025高考數學二輪復習：空間向量與立體幾何（解答題）專項訓練【含答案】

2025高考數學二輪復習-專題06空間向量與立體幾何（解答題卜專項訓練

五年考情1探規(guī)律1

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

2023甲乙卷

2022甲乙卷空間幾何體表面積體積問題一

考點01求空間幾何體

2021甲乙卷般采用等體積法或者是空間向

表面積體積

2021乙甲卷量解決，一般出現在第一問。

2020全國1II卷

2024甲II卷

2023II乙卷

二面角的正弦余弦值是高考空

20221II卷間幾何體的高頻考點，也是高

考點02求二面角

考的一盒重要的趨勢。

2021甲乙II卷

20201卷

2023甲卷

線面角問題是高考中的?？?/p>

考點03求線面角2022甲乙卷點，方法是方向向量與法向量

的夾角

20201II川卷

20241卷

求距離問題是高考I卷的一個

考點04已知二面角，20231卷重大趨勢，容易與動點問題相

結合

求點，距離20211卷

點到平面的距離問題是高考的

甲卷

考點05求點到面的距2024

一個重要題型，應加強這方面

禺20211卷

的練習

分考點?精準練

考點01求空間幾何體體積表面積

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考甲卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,AB=2,

BC=2^l2,PB=PC=6BP,AP,BC的中點分別為3E,。，點尸在AC上，

BFLAO.

A

⑴求證：〃平面ADO；

⑵若NPOF=120。，求三棱錐尸-ABC的體積.

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC1.平面

ABC,ZACB=90°.

（1）證明：平面ACG4,平面BBCC；

⑵設AB=AB,=2,求四棱錐A-BB&C的高.

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考乙卷題）如圖，四面體ABCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=NBDC,￡為NC的中點.

⑴證明：平面BED_L平面/CD；

（2）設48=3￡>=2,44（28=60。，點尸在3。上，當△ART的面積最小時，求三棱錐

E-ABC的體積.

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝

盒，包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，

AE4B,AKBC,AGCD,AHD4均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.

G

⑴證明：￡F〃平面ABCD；

⑵求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）

5.（2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面

ABCD,M為3c的中點，且尸.

（1）證明：平面RUf_L平面PBD；

（2）若PD=OC=1,求四棱錐尸-ABCD的體積.

6.（2021?全國?高考甲卷題）已知直三棱柱ABC-ABC中，側面相2內為正方形,

AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點，BF±A,B,.

⑴求三棱錐R-E3C的體積；

(2)已知。為棱4耳上的點，證明：BF±DE.

7.(2020?全國?統(tǒng)考高考I卷題)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心,

△ABC是底面的內接正三角形，尸為￡＞。上一點，乙/0。=90°.

(1)證明：平面外6_L平面PAC；

(2)設夜，圓錐的側面積為后，求三棱錐"力6。的體積.

8.(2020?全國統(tǒng)考高考II卷)如圖，已知三棱柱46G48G的底面是正三角形，側

面是矩形，M,/V分別為6C,8仁的中點，尸為力M上一點.過8c和0的平

面交力6于￡交ZC于尸.

(1)證明：44//AW,且平面4/I/U/V1■平面段&尸；

JT

(2)設O為△ZLfiG的中心，若/。=力6=6,力?！ㄆ矫鍲HGE豆人MPN二G、求四

棱錐以F8G尸的體積.

考點02求二面角

1（2024?全國?高考II）如圖，平面四邊形/BCD中，AB=8,=3,AD=5A/3,

ZAT>C=90°,/BA￡）=30°,點E,尸滿足荏==而，AF=-\將△皿沿所翻

52

折至!PEF,使得PC=4A/3.

(1)證明：EFYPD；

⑵求平面PCD與平面尸3尸所成的二面角的正弦值.

2(2024.全國.高考甲卷)如圖，在以4B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形

48C。與四邊形/。防均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,

￡￡>=V10,FB=2A/3,M為AD的中點.

⑴證明：3M//平面CDE；

⑵求二面角尸-5M-E的正弦值.

3.（2023全國?統(tǒng)考新課標II卷）如圖，三棱錐A-3CD中，DA=DB=DC,

BD1CD,ZADB=ZADC=60°,E為BC□中點.

(1)證明：BC1DA；

⑵點F滿足而=次，求二面角D-AB-尸的正弦值.

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，在三棱錐P-A5c中，ABJ.BC,AB=2,

BC=2yll,PB=PC=y[6,BP,AP,3c的中點分別為D,E,O,AD=45DO,點、F

在/C上，BFLAO.

⑴證明：EF〃平面ADO；

⑵證明：平面ADO_L平面BEF；

⑶求二面角。-AO-C的正弦值.

5.（2022?全國?新課標I卷）如圖，直三棱柱ABC-A瓦G的體積為4,的面積

為2點.

⑴求/到平面ABC的距離；

⑵設。為AC的中點，AAt=AB,平面ABC,平面,求二面角A-即一C的正

弦值.

6.（2022全國?統(tǒng)考新課標II卷）如圖，尸。是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,

AB1AC,￡是尸3的中點.

（2）若ZABO=NCBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—的正弦值.

7.（2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PDL底面

ABCD,PD=DC=LM為8C的中點，且.

(1)求BC；

（2）求二面角A-3的正弦值.

8.（2021?全國?統(tǒng)考高考甲卷）已知直三棱柱ABC-A旦G中，側面為正方形,

AB=BC=2,E,尸分別為AC和C&的中點，。為棱4耳上的點.8F，人與

(1)證明：BF±DE；

(2)當月。為何值時，面3耳GC與面OFE所成的二面角的正弦值最小?

9.(2021全國?統(tǒng)考新課標II卷)在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA==3.

(1)證明：平面平面ABC。；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

10.(2020?全國?I卷)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直

徑，AE=AD.A4BC是底面的內接正三角形，尸為。。上一點，POgDO.

6

(1)證明：如，平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

考點03求線面角

1(2023?全國?統(tǒng)考高考甲卷)如圖，在三棱柱ABC-中，4C，底面/3C,

ZACB=90°,A4t=2,A,到平面BCQ用的距離為1.

(1)證明：AtC=AC；

⑵已知AA與8月的距離為2,求A4與平面BCC4所成角的正弦值.

2.(2022?全國統(tǒng)考高考乙卷)如圖，四面體ABCD中,

ADLCD,AD=CD,ZADB=NBDC,￡為AC的中點.

⑴證明：平面BED_L平面AC。；

⑵設AB=BD=2,NACB=60。，點尸在8。上，當△人■?的面積最小時，求CF與平面

所成的角的正弦值.

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）在四棱錐P-ABCD中，即_1底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

（1）證明：BDYPA；

⑵求尸。與平面R4B所成的角的正弦值.

4.（202。全國?新課標I卷）如圖，四棱錐尸-Z5CD的底面為正方形，P/U底面

ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為I.

//D.......\......."/C

kV

⑴證明：/J~平面PZ)C

(2)已知尸D=4D=1,。為/上的點，求尸3與平面。C。所成角的正弦值的最大值.

5.(2020全國?統(tǒng)考新課標II卷)如圖，四棱錐？Z6C。的底面為正方形，2ZL底面

ABCD.設平面外。與平面陽。的交線為/.

(1)證明：/_!_平面PDC

(2)已知"。=力。=1,。為/上的點，。族應，求陽與平面QC。所成角的正弦值.

6.(2020全國?統(tǒng)考新課標II卷)如圖，已知三棱柱力6C-4員a的底面是正三角形，

側面是矩形，M,/V分別為6C,的中點，尸為4U上一點，過a仁和0的

平面交Z6于￡交ZC于月

(1)證明：且平面4Z/IWJ_四&，

(2)設。為的中心，若〃平面RAO^AB,求直線8f與平面

/L4AW所成角的正弦值.

考點04已知二面角求點距離

1(2024?全國?高考I卷)如圖，四棱錐尸-ABCD中，PAA.&ABCD,

PA=AC=2,BC=1,AB=6.

(1)若相)，PB,證明:AD〃平面P8C；

(2)若ADLOC,且二面角A-CP-。的正弦值為產，求AD.

2.(2023?全國?新課標I卷)如圖，在正四棱柱ABCD-ABCQ中,

AB=2,AA=4.點&,與6,2分別在棱44*4,C￡,DA上,

AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3

⑴證明:82c2〃42；

⑵點尸在棱B片上，當二面角尸-4G-2為150。時，求鳥尸.

3.(2021?全國?新課標I卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面BCD,

AB=AD,。為8。的中點.

(1)證明：OAVCD；

(2)若AOCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

E-BC-D的大小為45。，求三棱錐A-3CD的體積.

考點05點到面的距離

1（2024?全國?高考甲卷）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,

CD=4,AD=BC=M,A￡=2A/J,河為CD的中點.

EF

⑴證明：EM〃平面8CF；

⑵求點M到ADE的距離.

2(2021?全國?新課標I卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面BCD,

AB=AD,。為8。的中點.

(1)證明：OAA.CD；

(2)若AOCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

E-BC-D的大小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.

參考答案與詳細解析

五年考情-探規(guī)律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

2023甲乙卷

2022甲乙卷空間幾何體表面積體積問題一

考點01求空間幾何體

2021甲乙卷般采用等體積法或者是空間向

表面積體積

2021乙甲卷量解決，一般出現在第一問。

2020全國1II卷

2024甲II卷

2023II乙卷

二面角的正弦余弦值是高考空

20221II卷間幾何體的高頻考點，也是高

考點02求二面角

考的一盒重要的趨勢。

2021甲乙H卷

20201卷

2023甲卷

線面角問題是高考中的?？?/p>

考點03求線面角2022甲乙卷點，方法是方向向量與法向量

的夾角

20201II川卷

20241卷

求距離問題是高考I卷的一個

考點04已知二面角，20231卷重大趨勢，容易與動點問題相

結合

求點，距離20211卷

點到平面的距離問題是高考的

考點05求點到面的距2024甲卷

一個重要題型，應加強這方面

離20211卷

的練習

分考點?精準練

考點01求空間幾何體體積表面積

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考甲卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB_LBC,AB=2,

BC=2V2,PB=PC=46,3尸,AP,3c的中點分別為。，及。，點R在AC上，

BF1AO.

⑴求證：〃平面ADO；

(2)若/PO尸=120。，求三棱錐P-MC的體積.

【答案】(1)證明見解析(2)當

【詳解】⑴連接。E,QF,設A^=ZAC,^]BF=BA+AF=(l-t)BA+tBC,

AO=-BA+-BC,BFLAO,

2

則訪.而一灑+血(-麗+厚=1南+?而=32=。,

解得/=；,則/為AC的中點，由。,瓦0,尸分別為尸民尸ABC,AC的中點，

于是。石〃AB,DE=gAB,OF//AB,OF=^AB,即DEHOF,DE=OFt

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又EVa平面A￡?0,00u平面ADO,

所以跖〃平面ADO.

(2)過尸作PM垂直尸。的延長線交于點

因為P3=PC,O是BC中點，所以PO,3C,

在Rt△尸30中，PB=?BO=；BC=丘,

所以pdpB2-OB。=-J^.=2,

因為A3_L3C,OP//AB,

所以。尸_L3C,又POcOF=O,P。,。尸u平面尸。/，

所以8cl平面尸0￡又PMu平面尸0尸，

所以3C_LPAf,XBCn?=O,BC,FMu平面A3C,

所以PM_L平面ABC,

即三棱錐P-ABC的高為PM,

因為NPOF=120。，所以NPOW=60。，

所以PM=POsin60°=2x—=乖),

2

XSAABC=；AB-BC=gx2x2&=2垃,

所以Vp_ABC=:$摻般尸"=gx20X有

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，AC，平面

ABC,ZACB=90°.

⑴證明：平面ACGA，平面BBCC;

(2)設A8=A2,AA=2,求四棱錐A-BBCC的高.

【答案】⑴證明見解析.(2)1

【詳解】(1)證明：因為AC，平面ABC,3Cu平面ABC,

所以A℃C,

又因為NAC3=9O。，即AC13C,

ACACu平面ACGA,ACCAC=C,

所以3C1平面ACGA,

又因為BCu平面BCG%

所以平面ACG4，平面BCC4.

(2)如圖,

過點A作AQ，CC1,垂足為0.

因為平面ACGA，平面BCG4,平面Accan平面3CG4=C￡,A。u平面ACGA,

所以A。，平面BCC4,

所以四棱錐A-BBCC的高為4。.

因為AC_L平面ABC,4c,8Cu平面ABC,

所以4C_L8C,AC_LAC,

又因為A3=AB,BC為公共邊，

所以AABC與AABC全等，所以4C=AC.

設\C=AC=x,貝ljAlCl=x,

所以。為CG中點，。0=!^=1,

又因為ACLAC,所以AC2+AC2=AV,

即x2+x2=22,解得尤=后,

所以A。=QAC：_OC：=J(可一產=］

所以四棱錐瓦c。的高為1.

3.(2022.全國.統(tǒng)考高考乙卷題)如圖，四面體ABCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=NBDC,￡為/C的中點.

⑴證明：平面BED_L平面/CD；

(2)設AB=3D=2,ZACB=6O。，點尸在3。上，當△ART的面積最小時，求三棱錐

A8C的體積.

【答案】(1)證明詳見解析(2)正

4

【詳解】⑴由于AD=CD,E是AC的中點，所以ACLDE.

AD=CD

由于=BO,所以△AT?三

NADB=ZCDB

所以AB=CB,故ACL3E,

由于DEcBEnE,DEBEu平面BED,

所以AC，平面BED

由于ACu平面AC。，所以平面5ED_L平面ACZX

(2)［方法一］:判別幾何關系

依題意AB=BD=BC=2,ZACB=60°,三角形ABC是等邊三角形,

所以AC=2,AE=CE=1,BE=技

由于=所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2,所以DEI.BE,

由于ACc3E=E,AC,BEu平面ABC,所以￡>E2平面ABC.

由于八位?三△CDB,所以NFBA=N^BC,

BF=BF

由于，//B4=NFBC,所以.FBA^FBC,

AB=CB

所以AF=B,所以EF/AC,

由于S.c=^AC?所，所以當E尸最短時，三角形APC的面積最小

過后作歷上應），垂足為尸，

在RtZXBED中，-BEDE=-BDEF,解得石尸=迫，

222

所以￡>尸=^^等=1,BF=2-DF=|,

萬匚?jBF3

所以法=屋

FHBF3

過尸作陽垂足為則FH//DE,所以切，平面ABC,5.—=-=-,

DEBD4

3

所以切=J,

4

所以匕ABC=~-SABC-FH=-x-x2x>j3x-=^.

r-ADC3A^DC32'44

［方法二］:等體積轉換

-.-AB=BC,ZACB=60°,AB=2

是邊長為2的等邊三角形,

:.BE=6

連接E尸

AADB=\CDBAF=CF

EF±AC

二在ABED中，當EFJ_B￡）時，AAFC面積最小

AD±CD,AD=CD,AC=2,E為點

DE=1-.-DE2+BE1=BD2

:.BE±ED

若EF1BD,在ABED中,EF=BEDE=走

BD2

BF=y/BE2-EF2=-

2

..S.EF

22228

11

VF-ABC=VA-BEF+VC-BEF=~S^BEF,'2=

jJO4

4.（2022.全國?統(tǒng)考高考甲卷）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝

盒，包裝盒如圖所示：底面ABC。是邊長為8（單位：cm）的正方形,

均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.

G

⑴證明：￡F〃平面ABCD；

⑵求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）

【答案】⑴證明見解析；⑵?劣.

【詳解】（1）如圖所示：

分別取的中點連接MN,因為AEVOFBC為全等的正三角形，所以

EMLAB,FN工BC,EM=FN,又平面E4B_L平面A3CD,平面平面

ABCD=AB,EMu平面E4B,所以EM,平面ABCD,同理可得-V，平面ABCD,

根據線面垂直的性質定理可知㈤W//7W,而EM=FN,所以四邊形￡MVF為平行四邊

形，所以EF//MN、又歷（2平面ABCD,腦Vu平面ABCD,所以跖〃平面ABCQ.

（2）［方法一］：分割法一

如圖所示：

G

H.

分別取AO,OC中點K,L,由（1）知，EFIIMNaEF=MN、同理有，

HE//KM,HE=KM,HG//KL,HG=KL,GF//LN,GF=LN,由平面知識可知,

BD±MN,MN1MK,KM=MN=NL=LK,所以該幾何體的體積等于長方體

血"①-EFG”的體積加上四棱錐體積的4倍.

因為MN=NL=LK=KM=4五,EM=8sin60°=4A/3,點B到平面ACVFE的距離即為

點8到直線的距離d,d=2^2,所以該幾何體的體積

V=（4>/2）2X4A/3+4X1X4A/2X4V3X2A/2=128A/3+^A/3=^A/3.

［方法二］:分割法二

如圖所示：

連接AC,BD,交于O,連接OEQFQGQH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體

積加上三棱錐A-OEH的4倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍.容易求得，

。E=OF=。G=。H=8,取EH的中點P,連接APQP.則EH垂直平面APO,由圖可知，三角

形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積

7=1,473.（472）2+4---4A/2--4A/2-4^+4---4V3--4A/2-472=^^.

3',32323

5.（2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD，底面

ABCD,〃為BC的中點，且PB_L4W.

（1）證明：平面平面PBD；

（2）若PD=DC=1,求四棱錐P—ABCD的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）也.

3

【詳解】（1）因為PD，底面ABCDAMu平面A3CD,

所以又PB_LAM,PB^PD^P,

所以AM工平面PSD,而AA/u平面R4M,所以平面融M_L平面P6D.

（2）［方法一］：相似三角形法

A￡）AB

由（1）可知,于是AABZRABMA,故F=-?

ABBM

因為3M=43（?,4。=3€；人8=1,所以;BC?=1,即2C=0.

故四棱錐P-ABCD的體積V=」AB-BC.PD=走.

33

6.（2021?全國?高考甲卷題）已知直三棱柱ABC-ABG中，側面澳電為正方形,

AB=BC=2,E,9分別為AC和CG的中點，BF±^3,,

c

(1)求三棱錐b-ESC的體積；

(2)已知。為棱4耳上的點，證明：BF±DE.

【答案】(1)；；⑵證明見解析.

【詳解】⑴由于次7AB"AB\,所以產，

又ABLBBi,BBqBF=B,故AB1平面BCC內,

則AB人3C,AABC為等腰直角三角形，

S/YBCE=/S“BC=y[y2*2]=1,VF_EBC=-x5AgC￡xCF=-xlxl=-.

(2)由(1)的結論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體如圖

所示，取棱4W,8c的中點凡G,連結4//,"G,G4,

正方形BCC4中，G,尸為中點，則%G,

又3尸，4片，4qngG=4,

故■，平面A4GH,而DEu平面ABQH,

從而BF_LDE

7.(2020?全國?統(tǒng)考高考I卷題)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心,

△ABC是底面的內接正三角形，P為。。上一點，乙ZQC=90°.

(1)證明：平面外6_L平面PAC；

(2)設。。=0,圓錐的側面積為扃，求三棱錐。力6C的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)逅.

8

【詳解】⑴連接0A?.㈤為圓錐頂點，。為底面圓心，平面A3C,

?.?P在DO上，OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

?.?△ABC是圓內接正三角形，，AC=BC,AB4C^APBC,

ZAPC=ZBPC=90°,即PB_LPC,PA_LPC,

尸4口尸3=尸,;.尸。_1平面上4￡,尸。0：平面尸4。，；.平面叢5_1_平面尸4。；

(2)設圓錐的母線為/,底面半徑為L圓錐的側面積為萬〃=&,〃=豆，

OD2=l2-r2=2,解得廠=1,/=若，AC=2rsin60。=石，

在等腰直角三角形"C中，AP=&C=a

22

在必APAO中，PO=JAP2-OA?==變,

三棱錐尸一ABC的體積為LrBcMlPO-SAMcngxqxgxS：。-

J3，4o

8.（2020.全國.統(tǒng)考高考II卷）如圖，已知三棱柱力6G48G的底面是正三角形，側

面6片GC是矩形，M,/V分別為6C,的中點，。為4U上一點.過和。的平

面交力6于￡交ZC于尸.

（1）證明：Z4〃MA/,且平面44W，平面eq,

（2）設。為△480的中心，若/。=48=6,ZC//平面四且（MPN二鼻、求四

棱錐以F3G尸的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）24.

【詳解】⑴???/,%分別為BC,4G的中點，

MN//BB,又A4,//BB、：.MN//AA,

在等邊AABC中，M為BC中點，^\BCrAM

又?.?側面叫GC為矩形,

BC_LBB「MNHBB}MNJ.BC

由腦VcAM=M,平面A4MN

???BC1平面AAMN又；B\CJIBC,且qGN平面ABC,BCu平面ABC,

〃平面ABC

又;4GU平面EBCF,且平面即C/c平面ABC=￡F

:.B\CJ/EFEF//BC

又：3C_L平面AtAMNERJ,平面AiAMN?.?EFu平面EBgF

平面_L平面AAMN

(2)過M作PN垂線，交點、為H,

畫出圖形，如圖

???AO〃平面防。/

AOu平面AAMN,平面AAMNc平面EBiC/uNP

:.AO"NP叉；NO//AP

..AO=NP=6,:。為△AB|G的中心ON=^A,Clsin60°=1x6xsin60°=A/3

故：ON="=g,貝l]AM=3AP=35

平面EBgF，平面\AMN,平面EB&Fc平面A^AMN=NP,

也<=平面44削，MH_L平面E81C/

ApAPBC6x6

又?.?在等邊“SC中”=*即跖=wr=2

BCAMAM

由（1）知，四邊形E4C/為梯形

二.四邊形防。尸的面積為：端邊呵G"竺羋?沏=岑義6=24

-VB-EBGF=JS四邊形倒G尸.h,

//為M到PN的距離MH=2V3-sin60°=3,

.-.7=1x24x3=24.

3

考點02求二面角

1（2024?全國?高考II）如圖，平面四邊形4BCD中，AB=8,CD=3,AD=5?

___9________,_____

ZADC=90°,ZBA￡>=30°,點E,/滿足荏而，AF=-ABk,將AAE尸沿跖翻

折至！PEF,使得PC=473.

⑴證明：EFLPD；

⑵求平面尸CD與平面尸質所成的二面角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析⑵返

65

［詳解］⑴由AB=8,AD=5"荏=|而，而=；而，

得AE=2G,AF=4,又/BAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=JAE'+AF'-2AE-AFcosNBAD=J16+12-2?4-26-#=2,

所以AE^+E尸2=.2,則AEJ_￡F,^EF,LAD,

所以EF，PE,EF_LDE,又PECDE=E,PE、DEu平面長無，

所以EF/平面PDE,又尸￡>u平面P￡>￡;

故EF，PD；

（2）連接CE,ZADC=90r,ED=3y/3,CD=3,貝［|CE?=ED?+CD?=36,

在APEC中，PC=4&PE=2?EC=6,WEC2+PE2=PC2,

所以尸ELEC,由⑴知PE_L跖，又ECCEF=E,EC、EFu平面ABC。，

所以尸EL平面ABCD,又￡Du平面ABCD

所以PE_LED,則尸EEF,ED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系E-肛z,

貝IJE（0,0,0）,P（0,0,2退）,0（0,3百,0）,C（3,3君,0）,尸（2,0,0）,A（0,-2&,0）,

由尸是AB的中點，得3（4,2瘋0）,

所以定=（3,3后-26）,兩=（0,3瘋-2君），麗=（4,2點-2占）,而=（2,0,-2宕）,

設平面尸CD和平面上印的一個法向量分別為n=(Aj,zj,m=(x2,y2,z2),

fi-PC=3x+3石％-2班馬=0m-PB=4X+2百%-2A/3Z=0

則《l22

m-PF=2X-2A/3Z=0

n-PD=36y、-2yf3z1=022

令％=2,三=6,得玉=0,4=3,%=-1/2=1,

所以3=（0,2,3）,肩=（6,-1,1）,

慶?萬

所以|COS通司=麗=及后=蒼

設平面尸。和平面尸班1所成角為區(qū)則sine=Vl-cos20=殳叵

65

即平面PCD和平面尸所成角的正弦值為逅.

65

2（2024.全國.高考甲卷）如圖，在以4B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形

48C。與四邊形/。￡尸均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,

ED=M,FB=2瓜”為AD的中點.

⑴證明：倒1//平面。。石；

⑵求二面角尸-BW-E的正弦值.

【答案】（1）證明見詳解；化）華

【詳解】⑴因為臺以人口收二幺包二人/為仙的中點，所以BC//MD,BC=M，

四邊形3coM為平行四邊形，所以BM//CD,又因為3W平面CDE,

CDu平面CDE,所以曲〃/平面CDE；

（2）如圖所示，作3OLAD交AD于。，連接。尸，因為四邊形A3CD為等腰梯形,

BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,結合（1）3SW為平行四邊形，可得

BM=CD=2,又AM=2,

所以AABM為等邊三角形，。為AM中點，所以02=若，

又因為四邊形4）即為等腰梯形，M為AD中點，所以EF=MD,EF〃MD,四邊形

ERWD為平行四邊形，FM=ED=AF,所以為等腰三角形，與△92W底

邊上中點。重合，OFVAM,OF=VAF2-AO2=3,因為OB?+。尸=3/2,所以

OB1OF,所以尸互相垂直，

以0B方向為X軸，0D方向為y軸，。尸方向為z軸，建立。-孫z空間直角坐標系，

F（0,0,3）,B（A/3,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,W=（-A/3,1,0）,BF=（-A/3,0,3）,

屁=卜有,2,3）,設平面跳加的法向量為沆=（%,%,4）,

平面的法向量為為=（X2，%，Z2）,

m-BM=0下X、+M=

則令占=退，得X=3,Z]=1,即成=（也,3,1）,

m-BF=0#X、+3Z]=0

n-BM-0-6^2+%=0—仄/曰Q[

則即廠，令/=,3,付％=3/2=-1

n-BE=0—，3工2+2y2+3z2=0

/\__沅?萬1111,A.R,,1

即為=（6r,3,-1），cos機,"=兩同=標底=為，貝bin沅，元故二面角

F-BM-E^fy正弦值為—.

13

3.（2023全國?統(tǒng)考新課標II卷）如圖，三棱錐A-5CD中，DA=DB=DC,

BD±CD,ZADB=ZADC=60\￡為3c口中點.

(1)證明：BC1.DA；

⑵點尸滿足訪=中，求二面角D-AB-尸的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；(2)#.

【詳解】(1)連接AE,DE,因為￡為8C中點，DB=DC,所以DEL3c①，

因為ZM=D3=DC,ZADB=ZADC=60°,所以AACD與△AftD均為等邊三角形，

AC=AB,從而AE_L8C②，由①AE^DE^E,AE,￡>Eu平面AZJE,

所以，3c1平面ADE,而")u平面ADE,所以3C_LZM.

(2)不妨設ZM=r>3=DC=2,-：BDLCD,:.BC=25DE=AE=血.

AE2+DE2=4=AD2,:.AE±DE,AELBC,DE^BC=E,O瓦BCu平面BCD

.?.AE_L平面BCD.

以點E為原點，區(qū)>，班,EA所在直線分別為羽％z軸，建立空間直角坐標系，如圖所

設D(50,0),A(0,0,72),5(0,女,0),E(0,0,0),

設平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為%=（為,％,4）,%,丫2，Z2），

二面角O—AB—尸平面角為。，而荏=（0,應

因為防=麗=卜0,0,@,所以網-夜,0,0）,即有衣=卜衣0,0）,

+A/ZZJ=0

取玉=1,所以）=（1,1,1）；

K-忘為=0

取%=i,所以E=（o,i,i）,

所以，孫4=簫=耳17rg，從而sinO=「f=g

所以二面角03"勺正弦值為半.

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,AB=2,

BC=2V2,PB=PC=y[6,BP、AP,3c的中點分別為O,E,O,AD=#DO,點F

在/C上，BFLAO.

⑴證明：E產〃平面ADO；

⑵證明：平面ADO,平面8EF；

⑶求二面角。-AO-C的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）變.

【詳解】（1）連接。瓦。尸，設&尸=以。，^\BF=BA+AF=（.l-t）BA+tBC,

AO=-BA+-BC,BFLAO,

2

則訪）麗+屁］.（-麗+押）=（1）麗Wk=4"l）+4”。，

解得/=；,則/為AC的中點，由。,瓦0,尸分別為尸民尸ABC,AC的中點，

A

于是DE11AB,DE=；AB,OFUABQF=；AB,即￡>E〃。/,￡>E=O廠，則四邊形ODE尸

為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又￡Fa平面490,00u平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

（2）法一：由（1）可知所〃a>,則49=后,2）。=，1,得ADfD0=叵,

22

因此。。2+&。2=4。2="則OD_LAO,有班，AO,

2

又49,3尸,3廠口歷=尸，BEEFu平面3跖，

則有AOJL平面BEF,又AOu平面A￡>O,所以平面ADO_L平面BEF.

法二：因為AB1BC,過點A作z軸，平面BAC,建立如圖所示的空間直角坐標系，

A（2,0,0,）,B（0,0,0）,C（0,2A/2,0）,

3.15

222+4-

.,,PB.DB+AB-DA2T1

在中，8S4'=2DB-AB

2x2x—

2

在△PSA中，PA2=PB2+AB2-2PBABcosZPBA=6+4-2s/6x2x\--==14,

PA=y/14（x-2）2+y2+z2=14

設P（x,y,z）所以由<P8=#可得：<x2+y2+z2=6

PC=y/6x2+^y-2y/2^+z2=6

可得：％=-l,y=0,z=V§\所以尸（-1,"百）,

則小,q，￥］，所以a；，*，孚，川L"°)

\J\J

4。=/2,A/I,0）,AZ）=

設平面ADO的法向量為%=(x1,y1,z1),

—=0

n,-AO=0

則2一,得

幾1?AD=0~~xi+5~4=°

令%=1,則％=血，4=豆，所以加=(1,忘

BE=，麗=(L&,0)

設平面BEF的法向量為稔