2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 專項訓(xùn)練【含答案】

微專題33統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

［考情分析］高考對本講內(nèi)容的考查往往以實際問題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計總

體、經(jīng)驗回歸方程的求解與運用、獨立性檢驗問題，常與概率綜合考查，中等難度.

-思維導(dǎo)圖

隨機(jī)抽樣一「一利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)

統(tǒng)

頻率分布直方圖一斗醞函隨機(jī)抽樣與用樣本估計總體

計L

數(shù)字特征一"|狗識與題應(yīng)一經(jīng)驗回歸方程的求解與運用

成

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析一對—獨立性檢驗問題

數(shù)

據(jù)

的頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)誤以為是頻率

利用最小二乘法求解經(jīng)驗回歸方程—統(tǒng)

必備計常見通過經(jīng)驗回歸方程求的都是估計值，而不是真

比較X2與臨界值的大小，判斷兩類—分誤區(qū)「實值

解法析

變量的關(guān)系.

_在犯錯誤的概率不大于?的前提下認(rèn)為兩個變

一量有關(guān)，變量為a

典型例題

考點一圖表、數(shù)字特征

【典例1］（1）（多選）（2023?南京模擬）新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力

汽車、燃料電池電動汽車、氫發(fā)動機(jī)汽車等.我國的新能源汽車發(fā)展開始于21世紀(jì)初，近年

來發(fā)展迅速，連續(xù)8年產(chǎn)銷量位居世界第一.下面兩圖分別是2017年至2022年我國新能源

汽車年產(chǎn)量和占比（占我國汽車年總產(chǎn)量的比例）情況，貝1（）

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.2017?2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量逐年增加

B.2017-2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為626.4萬輛

C.2022年我國汽車年總產(chǎn)量超過2700萬輛

D.2019年我國汽車年總產(chǎn)量低于2018年我國汽車年總產(chǎn)量

答案BCD

解析對于A,由圖可知，從2018年到2019年，我國新能源汽車年產(chǎn)量在下降，故A錯誤;

對于B,2017?2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為705.8—79.4=626.4（萬輛），故B正確;

對于C,2022年我國汽車年總產(chǎn)量約為線!g2757（萬輛），故C正確；

1242

對于D,2019年我國汽車年總產(chǎn)量為5氤=2587.5（萬輛）,

127

2018年我國汽車年總產(chǎn)量為萬麗P2822.22（萬輛）,

所以2019年我國汽車年總產(chǎn)量低于2018年我國汽車年總產(chǎn)量，故D正確.

⑵（多選X2023?新高考全國I）有一組樣本數(shù)據(jù)XI，X2,…，如其中為是最小值，X6是最大值,

則（)

A.X2,13,冗4,X5的平均數(shù)等于％1，X2,?，%6的平均數(shù)

B.X2,元3,%4,%5的中位數(shù)等于陽，工2,,X6的中位數(shù)

C.%2,工3,%4,%5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于即，入2,?,，X6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%2,13,X4,X5的極差不大于,，%6的極差

答案BD

解析取為=1,%2=期=冗4=工5=2,%6=9,

22

則X2,X3,X4,X5的平均數(shù)等于2,標(biāo)準(zhǔn)差為0,XI,尤2,…，無6的平均數(shù)等于3,標(biāo)準(zhǔn)差為

哼,故A,C均不正確;

根據(jù)中位數(shù)的定義，將XI,X2,…，X6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的

算術(shù)平均數(shù)，由于即是最小值，X6是最大值，故％2,X3,%4,%5的中位數(shù)是將％2,%3,X4,%5

按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與XI,X2,…，入6的中位數(shù)相等，故B

正確;

根據(jù)極差的定義，知X2,X3,%4,%5的極差不大于Xl,X2,…，％6的極差，故D正確.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（多選）（2023?荷澤模擬）在某次數(shù)學(xué)競賽活動中，學(xué)生得分在［35,95］之間，滿

分100分，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生的成績，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則（）

A.圖中x的值為0.029

B.參賽學(xué)生分?jǐn)?shù)位于區(qū)間［45,75）上的概率約為0.85

C.樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)約為79

D.參賽學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)約為69.4

答案AC

解析對于A,i（0.005+0.015+0.016+x+0.025+0.01）X10=l,解得x=0.029,A正確；

對于B,分?jǐn)?shù)位于區(qū)間［45,75）上的頻率為（0.015+0.016+0.029）X10=0.6,估計概率為0.60,

B錯誤；

對于C,由選項B知，樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)根e（75,85）,由（小一75）X0.025=0.75—0.65,

解得加=79,C正確；

對于D,由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為0.05,0.15,0.16,0.29,0.25,0.1,

平均分?jǐn)?shù)1=40X0.05+50X0.15+60X0.16+70）<0.29+80X0.25+90X0.1=68.4,D錯誤.

（2）（多選）有一組樣本甲的數(shù)據(jù)如一組樣本乙的數(shù)據(jù)2尤其中尤&=1,2,3,4,5,6,7,8）為不完

全相等的正數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差

B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

C.若樣本甲的中位數(shù)是加，則樣本乙的中位數(shù)是2%+1

D.若樣本甲的平均數(shù)是小則樣本乙的平均數(shù)是2w+l

答案ACD

解析不妨設(shè)樣本甲的數(shù)據(jù)為CXXIWQW…（迎，且X1<X8,

則樣本乙的數(shù)據(jù)為2xi+1W2尤2+1W…W2x&+1,且23+1<21+1-

對于選項A,樣本甲的極差為X8—尤1>0,樣本乙的極差為（2x8+1）—（2為+1）=2（尤8—尤1）,

因為2（迎—Xl）一（%8—尤1）=X8—Xl>0,

即2（耶—X1）>X8一處，

所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；

對于選項B,記樣本甲的方差為另>0,則樣本乙的方差為4竟，

因為4s卷一=3s蜚>0,即4s卷,

所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯誤;

對于選項C,因為樣本甲的中位數(shù)是根=今熱，

則樣本乙的中位數(shù)是（2必+l）q（2X5+1）=X4+X5+1=2力+1,故C正確；

對于選項D,若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2〃+1,故D正確.

考點二回歸分析

【典例21（2023?遼陽模擬）2022年12月份以來，全國多個地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪

消費券，助力消費復(fù)蘇.記發(fā)放的消費券額度為x（百萬元），帶動的消費為M百萬元）?某省

隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如表所示.

X33455668

y1012131819212427

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請用樣本相關(guān)系數(shù)說明y與尤有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x

的經(jīng)驗回歸方程；

（2）①若該省A城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬元的消費券,利用（1）中求得

的線性回歸方程，預(yù)計可以帶動多少消費？

②當(dāng)實際值與估計值的差的絕對值與估計值的比值不超過10%時，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費券助

力消費復(fù)蘇是理想的.若該省A城市2023年2月份發(fā)放額度為10百萬元的消費券后，經(jīng)過

一個月的統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)實際帶動的消費為30百萬元，請問發(fā)放的該輪消費券助力消費復(fù)蘇是否

理想？若不理想，請分析可能存在的原因.

X(智―尤)8—y)E(Xi-x)(y,—y)

Z=1A尸1AA

參考公式：----/,b=-------------,".當(dāng)|廠|>0.75

A/S(x「x)2X(yi-y)2Ex尸

\/i=l產(chǎn)1尸1

時，兩個變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

參考數(shù)據(jù)：存處5.9.

3+3+4+5+5+6+6+8

解⑴x=8=5

—10+12+13+18+19+21+24+27

'=R=18.

8__

E(xt—x)(yz,—>)=16+12+5+0+0+3+6+27=69,

Z=1

8_

2(xz—x>=4+4+1+0+0+1+1+9=20,

i=l

8—

XCVz—y尸=64+36+25+°+1+9+36+81=252,

i=l

8——

E(XLX)8-y)

一69竿

8_8_^20X^2524yf35''

￡(XLx)2X8-y)2

i=l尸1

由于IM>0.75且r非常接近1,所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

E⑶一尤)8-y)

A

經(jīng)計算可得2-1------------------------=§639=3.45,

X(X,-x)2

1=1

a=y~bx=18—3.45X5=0.75.

A

所以所求經(jīng)驗回歸方程為y=3.45尤+0.75.

A

(2)①當(dāng)x=10時，＞=3.45X10+0.75=35.25,所以預(yù)計能帶動的消費達(dá)35.25百萬元.

②因為的35卷25bl5%＞10%,所以發(fā)放的該輪消費券助力消費復(fù)蘇不是理想的.

發(fā)放消費券只是影響消費的其中一個因素，還有其他重要因素.

比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收入水平直接影響了居民的消費水平；

A城市人口數(shù)量有限、商品價格水平、消費者偏好、消費者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響

了消費總量.

跟蹤訓(xùn)練2(2023?承德模擬)某公司研制了一種對人畜無害的滅草劑，為了解其效果，通過

實驗，收集到其不同濃度x(mol/L)與滅死率y的數(shù)據(jù)，得下表：

濃度x(mol/L)10-12W1010-810~610-4

滅死率y0.10.240.460.760.94

(1)以x為解釋變量，y為響應(yīng)變量，在和y=a+c21gx中選一個作為滅死率y關(guān)于濃

度x(mol/L)的經(jīng)驗回歸方程，不用說明理由；

(2)①根據(jù)(1)的選擇結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出所選經(jīng)驗回歸方程；

②依據(jù)①中所求經(jīng)驗回歸方程，要使滅死率不低于0.8,估計該滅草劑的濃度至少要達(dá)到多少

mol/L?

AAA

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(Xl,yD,(%2,J2),(xn,yn),其經(jīng)驗回歸直線＞=/?X+〃的斜率

E(XLx)(y,-y)Er/y,—nxy

=

AZ1i=lA____A____

和截距的最小二乘估計公式分別為6=-------------------------=-----------------，a=~~b~.

￡(x,—x產(chǎn)x2

尸1尸1

解(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知解釋變量X呈指數(shù)增長，而響應(yīng)變量y增長幅度不大，且相應(yīng)的增

加量大約相等，

AAA

故選y=ci+c21gx.

AAA

(2)①令%=lgXi,貝3=。1+。2〃，

所以可得如下數(shù)據(jù)：

U-12-10-8-6-4

y0.10.240.460.760.94

—1—1

則U=5義(-12—10—8—6—4)=—8,y(0.1+0.24+0.46+0.76+0.94)=0.5,

5

XM?=(-12)2+(-10)2+(-8)2+(-6)2+(-4)2=360,

i=l

5

E^=(-12)X0.H-(-10)X0.24+(-8)X0.46+(-6)X0.76+(-4)X0.94=-15.6,

i=l

匕一、J-15.6-5X(-8)X0.5A

所以。2=—360—5力/2—=0.11,ci=0.5-0.11X(-8)=1.38,

AA

所以y=1.38+0.11",即y=1.38+0.111g尤.

人58

②依題意y=1.38+Olllgx》O8,即O.lllgxM—0.58,即Igx去一五,

5858

所以即要使滅死率不低于0.8,則該滅草劑的濃度至少要達(dá)到10「五mol/L.

考點三獨立性檢驗

【典例3](2023?長春模擬)某學(xué)校號召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時”活動，為了了解學(xué)生參與

活動的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生一個月(30天)完成鍛煉活動的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布

表：

天數(shù)[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]

人數(shù)4153331116

(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(〃，/)，其中〃近

似為樣本的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值)，且。=6.1,若全校有3000名學(xué)生，求參加“每

天鍛煉1小時”活動超過21天的人數(shù)(精確到1)；

(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在［15,30］的學(xué)生中有30名男生，天

數(shù)在［0,15)的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時”活動超過15天的學(xué)生

授予“運動達(dá)人”稱號.請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：

活動天數(shù)

性別合計

[0,15)[15,30]

男生

女生

合計

并依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運動達(dá)人”稱號有關(guān)

聯(lián)？如果有關(guān)聯(lián)，請解釋它們之間如何相互影響.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布o(jì)2),

則尸5一0<XW〃+<7)-0.6827;

Pa-ZoWXW〃+2cr)-0.9545;

〃+3(7)-0.9973.

,_____n(ad-bc)2/.

X~(a+bXc+d)(a+cXb+dfn~a+b+c+d)'

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)由頻數(shù)分布表知〃=

4X2.5+15X7.5+33X12.5+31X17.5+11X22.5+6X27.5

100

=14.9,則X?N(14.9,612),

yXW〃+Q-0.6827,

,1-0.6827

.?.P(X>21)=P(X>14.9+6.1)--------------=0.15865,

.?.3000X0.15865=475.952476,

參加“每天鍛煉1小時”活動超過21天的人數(shù)約為476.

⑵由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動的天數(shù)在［0,15)的人數(shù)為4+15+33=52,

???參加”每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在［0,15)的學(xué)生中有20名男生，

.?.參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在［0,15)的學(xué)生中女生人數(shù)為52-20=32,

由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動的天數(shù)在［15,30］的人數(shù)為31+11+6=48,

?.?參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在［15,30］的學(xué)生中有30名男生，

參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在［15,30］的學(xué)生中女生人數(shù)為48-30=18.

.?.列聯(lián)表為

活動天數(shù)

性別合計

[0,15)[15,30]

男生203050

女生321850

合計5248100

零假設(shè)為豆：學(xué)生性別與獲得“運動達(dá)人”稱號無關(guān)，

,100X(20X18—30X32)2

L50X50X52X48^5,769>3.841=^o.o5-

依據(jù)a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷為不成立，即可以認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運動達(dá)人”

稱號有關(guān)，而且此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

on1o

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得至U,男生、女生中活動天數(shù)超過15天的頻率分別為第=0.6和第=0.36,

可見男生中獲得“運動達(dá)人”稱號的頻率是女生中獲得“運動達(dá)人”的稱號頻率的粽

心1.67倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認(rèn)為男生獲得“運動達(dá)人”的概率大

于女生，即男生更容易獲得“運動達(dá)人”稱號.

跟蹤訓(xùn)練3(2023?福州模擬)國內(nèi)某大學(xué)為了了解本校學(xué)生的運動狀況，采用簡單隨機(jī)抽樣

的方法從全校學(xué)生中抽取2000人，調(diào)查他們平均每天運動的時間(單位：小時)，統(tǒng)計表明該

校學(xué)生平均每天運動的時間范圍是［0,3］,記平均每天運動的時間不少于2小時的學(xué)生為“運

動達(dá)人”，少于2小時的學(xué)生為“非運動達(dá)人”.整理分析數(shù)據(jù)得到下面的列聯(lián)表：

運動時間

性別合計

運動達(dá)人非運動達(dá)人

男生11003001400

女生400200600

合/p>

零假設(shè)為Ho：運動時間與性別之間無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，算得/七31.746,根據(jù)小

概率值a=0.001的/獨立性檢驗，則認(rèn)為運動時間與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于

0.001.

(1)如果將表中所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的古，在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨立性檢驗推斷運動

時間與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請用統(tǒng)計語言解釋其中的原因；

(2)采用按樣本性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計每位同學(xué)的運動時

間，統(tǒng)計數(shù)據(jù)為：男生運動時間的平均數(shù)為2.5,方差為1；女生運動時間的平均數(shù)為1.5,

方差為0.5,求這20名同學(xué)運動時間的均值與方差.

n(ad—be)?

其中幾=〃+Z?+c+d.

(〃+Z?)(c++c)(b+4'

臨界值表:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解（1）方法一改變數(shù)據(jù)之后的列聯(lián)表為

運動時間

性別合計

運動達(dá)人非運動達(dá)人

男生11030140

女生402060

合計15050200

200X(110X20—30X40)2200

則倜整后的9140X60X150X50=63—3,175<10.828=xo.ooi-

根據(jù)小概率值Q=o.ooi的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷運動時間與性別有關(guān)，與之前結(jié)論

不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都縮小為原來的擊，相當(dāng)于樣本容量縮小為原來的導(dǎo)致推斷結(jié)

論發(fā)生了變化，當(dāng)樣本容量越大時，用樣本估計總體的準(zhǔn)確性會越高.

方法二調(diào)整后的

10(a+/?)(c+d)(a+c)(Jb+d)10

-3.175<lO.828=w.ooi,

根據(jù)小概率值。=0.001的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷運動時間與性別有關(guān)，與之前結(jié)論

不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都縮小為原來的強(qiáng)，相當(dāng)于樣本容量縮小為原來的擊，導(dǎo)致推斷結(jié)

論發(fā)生了變化，當(dāng)樣本容量越大時，用樣本估計總體的準(zhǔn)確性會越高.

（2）男生抽取另霽*20=14（人），女生抽取^^jX20=6（人）,

由已知，男生運動時間的平均數(shù)％=2.5,樣本方差4=1；

女生運動時間的平均數(shù)y=1.5,樣本方差$3=0.5.

14X2.5+6X1.5

所以樣本均值a.=2.2,

20

記樣本方差為$2,則$2=

14X[l+(2.5—2.2)2]+6X[0.5+(1.5—2.2)2]

=1.06,

20

所以這20名同學(xué)運動時間的均值為2.2,方差為1.06.

［總結(jié)提升］

1.對于回歸分析主要考查求經(jīng)驗回歸方程（非線性經(jīng)驗回歸方程）和對變量值預(yù)測，用最小二

乘法來求解經(jīng)驗回歸方程，對非線性經(jīng)驗回歸方程選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)，作恰當(dāng)?shù)淖儞Q，將

其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù).

2.對變量的預(yù)測，若已知經(jīng)驗回歸方程（方程中無參數(shù)），可以直接將數(shù)值代入求得特定要求

下的預(yù)測值；若經(jīng)驗回歸方程中有參數(shù)，則根據(jù)經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過點（x,y）,求出參

數(shù)值，得到經(jīng)驗回歸方程，進(jìn)而完成預(yù)測.

熱點突破

1.（2023?桂林模擬）某學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機(jī)器人五個社團(tuán)，全校3000名

學(xué)生每人都參加且只參加其中一個社團(tuán)，校團(tuán)委從這3000名學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生進(jìn)行

調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的兩個統(tǒng)計圖.

1人數(shù)

150----------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------?

演講舞蹈航模合唱機(jī)器人社團(tuán)

則選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為（）

A.50B.75C.100D.125

答案B

解析由題意，本次調(diào)查的人數(shù)為50勺0%=500,

其中合唱比賽所占的比例為第=0.4=40%,

所以機(jī)器人所占的比例為1一10%—20%—15%—40%=15%,

所以選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為500X15%=75.

2.(2023?濰坊質(zhì)檢)甲、乙兩名籃球運動員在8場比賽中的單場得分用莖葉圖表示(圖1),莖

葉圖中甲的得分有部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖(圖2)完好，貝|()

A.甲的單場平均得分比乙低

B.乙的60%分位數(shù)為19

C.甲、乙的極差均為H

D.乙得分的中位數(shù)是16.5

答案D

解析對于A,由莖葉圖和直方圖,甲比賽得分為9,12,13,13,15,20,26,28,平均得分為

9+12+13+13+15+20+26+28_

9=17,

..,、9+14+15+16+17+18+19+20

乙比賽得分為9,14,15,16,17,18,19,20,平均得分為--------------g-----------------------=16,甲

高于乙，故A錯誤；

對于B,由8X60%=4.8,故乙的60%分位數(shù)為17,故B錯誤；

對于C,甲的極差為28—9=19,乙的極差為20—9=11,故C錯誤；

對于D,乙得分的中位數(shù)是丹”=16.5,故D正確.

3.(2023?杭州模擬)某興趣小組研究光照時長尤(h)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系,

采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖.若去掉0(10,2)后，下列說法正確的是()

y

?￡(8,11)

B⑵6)

/?C(3,5)

么(1，4).￡>(10,2)

0|x

A.樣本相關(guān)系數(shù)r變小

B.決定系數(shù)配變小

C.殘差平方和變大

D.解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)

答案D

解析從圖中可以看出。(10,2)較其他點，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉0(10,2)后，回歸效果更好,

對于A,樣本相關(guān)系數(shù)H越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉。（10,2）后，樣本相關(guān)系

數(shù)r變大，故A錯誤；

對于B,決定系數(shù)相越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉0（10,2）后，決定系數(shù)F變

大，故B錯誤；

對于C,殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉。（10,2）后，殘差平方和變小，故C

錯誤；

對于D,若去掉0（10,2）后，解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，故D正確.

4.（2023?杭州模擬）有一組樣本數(shù)據(jù)xi，愈，…，斯，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)Xl+k,愈

+k,xn+k,左為非零常數(shù).則下列說法不正確的是（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同

答案D

解析設(shè)樣本數(shù)據(jù)制，X2,…，沏的平均數(shù)為三，方差為心

樣本數(shù)據(jù)Xl+左，X2+鼠…，斯+反左為非零常數(shù)）的平均數(shù)為X,,方差為總

對于A選項，不妨設(shè)X1WX2W…Wx”，則樣本數(shù)據(jù)打，了2,…，斯的極差為期—X1,

對于樣本數(shù)據(jù)X1+左，M+鼠…,左為非零常數(shù)）,

則/+左或&+左＜…Wx”+人，

所以樣本數(shù)據(jù)Xl+左，X2~\~k,???,X'+網(wǎng)人為非零常數(shù)）的極差為（X"+A）—（X1+A）=X"—X1,

所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同，A正確；

對于D選項，

―;—（Xl+?+（X2+Z）+…+（無”+%）

X—n

Xl+x2-\-----\-Xn,,—,,

=---------n---------+k=x+k,

所以兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相同，D錯誤；

對于B,C選項，s3=

［｛?l+Z）_（x+A：）］2+1（X2+k）-（X+左）］2

H-----H［（x?+^）—（x+^）］21

（尤1—X）2+（%2-x）2H-----h（無“-X）2

所以兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同，這兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差也相同，B,C正確.

5.（多選）（2023?廣州模擬）某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)

據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）

A.頻率分布直方圖中。的值為0.07

B.這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60

C.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為62

D.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為62.5

答案AC

解析對于A,因為5X（0.01+a+0.06+0.04+0,02）=l,解得。=0.07,故A正確；

對于B,（0.01+0.07+0.06）X5X100=70（人），故B錯誤；

對于C,因為0.01X5+0.07X5+0.06X5=0.7,

0.01X5+0,07X5+0.06X5+0.04X5=0.9,0.7<0.78<0.9,所以第78百分位數(shù)位于[60,65）之

間，

設(shè)第78百分位數(shù)為x,則0,01X5+0.07X5+0.06X5+（x—60）X0.04=0.78,解得x=62,故

C正確；

對于D,因為0.01X5X47.5+0.07X5X52.5+0.06X5X57.5+0.04X5X62.5+0.02X5X67.5

=57.25,

即估計該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為57.25,故D錯誤.

6.（多選）（2023?華南師大附中模擬）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度

有關(guān).為了建立茶水溫度y隨時間無變化的回歸模型，小明每隔1分鐘測量一次茶水溫度，

___1n___1n

得到若干組數(shù)據(jù)（即，yD，（必刈，…，%）（其中％>=[￡%），繪制了如圖所

示的散點圖.小明選擇了如下2個回歸模型來擬合茶水溫度y隨時間x的變化情況，回歸模

型一：y=kx+b（k<0,x20）；回歸模型二：y=kef+b（k>0fi<a<1,x20）,下列說法正確的是

y

90

80

W????.

4...........

o12345X

A.茶水溫度與時間這兩個變量負(fù)相關(guān)

B.由于水溫開始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度

隨時間的變化情況

C.若選擇回歸模型二，利用最小二乘法求得的圖象一定經(jīng)過點（"，7）

D.當(dāng)尤=5時，通過回歸模型二計算得y=65.1,用溫度計測得實際茶水溫度為65.2,則殘

差為一0.1

答案AB

解析由散點圖可知隨時間增加，溫度逐漸降低，且變化趨勢趨于平緩，故為負(fù)相關(guān)且模型

二擬合效果更好，故A,B正確；

根據(jù)非線性回歸模型的擬合方法，先令/=4，則/=公+乩此時擬合為一元線性回歸模型，

對應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線過點（7,7）,原曲線不一定經(jīng)過（。工，7）,故c錯誤；

殘差為觀測值減估計值，即為65.2—65.1=0.1,故D錯誤.

7.蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，蟋蟀鳴叫的頻率x（單位：次數(shù)/分鐘）與氣溫

y（單位：。C）有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某同學(xué)在當(dāng)?shù)赝ㄟ^觀測，得到如下數(shù)據(jù)，并利用最小二

乘法建立了y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程尸*二.當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫52次時，該地當(dāng)時的氣溫

預(yù)測值為.

x（次數(shù)/分鐘）24364060

M℃)2628.63035.4

答案33

——1

角翠析x=w><(24+36+40+60)=40,

——1

y=4義(26+28.6+30+35.4)=30,

人1A一一

又〃必過點(%，V)，

1AA

.?.30=wX40+〃，解得。=20,

A1

.*.y=^x+20,

A1

.?.當(dāng)x=52時，j=^X52+20=33.

8.某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.為了獲得全體高中生身高的信

息，按照比例分配分層隨機(jī)抽樣原則抽取樣本，男生樣本量為32,女生樣本量為18,通過計

算得男生身高樣本平均數(shù)為173.5cm,方差為17,女生身高樣本平均數(shù)為163.83cm,方差

為30.03,則所有數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為cm,方差為.

答案170.0243.24

__3212

解析由題意得。=5QX173.5+^OX163.83^170.02（cm）,

{[32X17+32X（173.5-170.02）2]

+[18X30.03+18X（163.83-170.02）2]}

心43.24.

9.（2023?滁州模擬）大氣污染物PM2.5（大氣中直徑小于或等于2.5（im的顆粒物）的濃度超過一

定的限度會影響人的身體健康.為了研究PM2.5的濃度是否受到汽車流量等因素的影響，研

究人員選擇了20個社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相近的城市，在每個城市選擇一個交通點建立監(jiān)測點，

統(tǒng)計每個監(jiān)測點24h內(nèi)過往的汽車流量（單位：千輛），同時在低空相同的高度測定每個監(jiān)測

點空氣中PM2.5的平均濃度（單位：[ig/m3）,得到的數(shù)據(jù)如下表：

城市編號汽車流量PM2.5濃度城市編號汽車流量PM2.5濃度

11.3066111.82135

21.4476121.4399

30.7821130.9235

41.65170141.4458

51.75156151.1029

61.75120161.84140

71.2072171.1143

81.51120181.6569

91.20100191.5387

101.47129200.9145

（1）根據(jù)上表，若24h內(nèi)過往的汽車流量大于等于1500輛屬于車流量大，PM2.5大于等于

75ng/m3屬于空氣污染.請結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為

車流量大小與空氣污染有關(guān)聯(lián)？

（2）設(shè)PM2.5濃度為y,汽車流量為尤.根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立PM2.5濃度關(guān)于汽車流量的線性回歸模

型，并求出對應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）.

n(ad-bcf

附：p=

(。+Z?)(c+4)(。+c)(Z?+的'

a0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

2020202020A

5>Z=27.8,ZM=1770,2>?=40.537,ZM=193694,5>M=2680.48,在經(jīng)驗回歸方程y=

i=\i=\i=li=lz=l

n____

E(為一無)8一y)

=

Ai\

AAb=

Zzx+o中，Vz(%j_x)2

i=l

AA__

』=y—bx.

解(1)由表格，可得如下列聯(lián)表，

車流量小車流量大合計

空氣無污染819

空氣污染4711

合計12820

零假設(shè)為%:車流量大小與空氣污染無關(guān),

,2OX(8X7-4X1)2

L-12X8X9X11--5-690>3-841>

故依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷Ho不成立，即能認(rèn)為車流量大小與空氣污

染有關(guān)聯(lián).

—12027.8—1201770

(2)由x=與》尸(o=L39,y=而工》==88.5,

i=li=l~

20—_20_____

工(XLx)(yt—>)=5>必一20%y=2680.48-20X1.39X88.5=220.18,

i=li=l

20—20—

Z(H—x)2=2>?—20x2=40.537—20X1.392=1.895,

i=li=l

A22018A

所以b=