2025屆高三數(shù)學(xué)解三角形十類題型（解析版）

解三角形十類題整樂總

近4年考情(2021-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年/卷第15題，13分

年〃卷第題，分高考對本節(jié)的考查不會有大的

20241513(1)正弦定理、余弦定理及其變形

變化，仍將以考查正余弦定理的

2024年甲卷第11題，5分

基本使用、面積公式的應(yīng)用為(2)三角形的面積公式并能應(yīng)用

2023年/卷〃卷第17題，10分主.從近五年的全國卷的考查

2023年甲卷第16題，5分情況來看，本節(jié)是高考的熱點，(3)實際應(yīng)用

主要以考查正余弦定理的應(yīng)用

2023年乙卷第18題，12分(4)三角恒等變換

和面積公式為主.

2022年/卷〃卷第18題，12分

2021年/卷〃卷第20題，12分

熱點題型解讀

題型一拆角與決角.........................................................................2

類型一出現(xiàn)了3個角(拆角).............................................................2

類型二類角............................................................................3

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角...................................................5

類型可通過誘導(dǎo)公式統(tǒng)一語數(shù)名.........................................................6

題型二利用余費定理化俺等式..............................................................7

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方.............................................................7

美型二出現(xiàn)角的余強(正弦走不通).......................................................9

題型三周長與面積相關(guān)計算...............................................................11

類型一面積相關(guān)計算...................................................................11

類型二周長的相關(guān)計算................................................................13

題型四倍角關(guān)系..........................................................................16

類型一倍角關(guān)系的證明和應(yīng)用..........................................................16

類型二擴角降搴.......................................................................19

類型三圉形中二倍角的處理............................................................19

題型五角平分假相關(guān)計算.................................................................22

題型六中畿相關(guān)計算.....................................................................26

題型七方得假相關(guān)計算....................................................................31

題型人其它中間線........................................................................33

題型九三角形解的個數(shù)問題...............................................................39

題型十解三角形的實際應(yīng)用...............................................................42

類型一距離問題......................................................................43

類型二高度問題......................................................................45

題型匯編

題型一拆角與湊角

知織點

（1）正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊<=>a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大邊對大角大角對大邊

Q>boA>RQsinA>sinBQcosA<cosB

Q+6+Ca+bb+cQCabc

③合分比:+=2R

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinGsinA+sinCsinAsinBsin。

（2）AABC內(nèi)角和定理（結(jié)合誘導(dǎo)公式）：A+B+。=兀

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

(2)—cos。=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)=tanA}‘、"義=tanA+tanB+tan。=tanA?tanB?tan。

1—tanA-tanB

A±B\_.C

④sin(^)=cosf;coS12^-Sm2

類型一出現(xiàn)了3個角（拆角）

［在△AB。中，2匕二求4的值

V3acosA

【答案吟

【詳解】因為"一四=空岑，所以由正弦定理可得2sinq二cosC

V3acosAV3sinAcosA

2sinBcosA=V3sin?lcosC+V3sinCcosA=A/3sin(A+C)=V3sinB

因為sinBW0,所以cosA=，因為Ae(0,兀)，所以A=看.

_____________眇

2./\ABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,b,c,且b=2csin(A+哼)，求C.

【答案】？

0

解：因為b=2csin(A+3),在△ABC中，由正弦定理得，

\0f

sirLB=2sinCsin(_A+~^),又因為sin_B=sin(兀-A—C)=sin(A+C),

所以sin(A+C)=2sinCsin(A+~^),

展開得sinAcosC+cosAsinC=2sinCsinA+cosA

sinAcosC—V3sinCsinA=0

因為sinAW0,故cosC=VSsinC,tanC=

又因為Ce(o,兀)，所以。=年

0

3.(湛江一模)在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知[■=2cos管—，

求4

【答案】4=3

0

【詳解】2cos—C)=2cos*cosC+2sin^-sinC=cosC+V3sinC,

ooo

所以々=cosC+，^sin。，故b=V3asinC+acosC.

a

由正弦定理得sinB=V3sinAsinC+sinAcosC,又_B=兀一(A+C),

所以sinB=sin[7r—(A+C)]=sin(A+C)=A/3sinAsinC+sinAcosC,

故sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+VSsinAsinC,

CE(0,7r),sinCW0,所以cosA=V3sin>l,即tanA=,AE(0,兀)，故>1=咚.

3o

類型二湊角

4.在4ABe中，角48,。的對邊分別為a,b,c,已知2acosA,cosB+6cos2A=V3c—b,求角A

【答案】(1)4=《

6

【詳解】因為2acosA?cosB+bcos2A=V3c—b,

所以2acosAcosB+b(cos2A+1)=V3c,

即2QCOSACOSB+2bcos2A=V3c,

由正弦定理得2sin4cos24cos_B+2sinBcos2A=J^sinC,

2cosA(sinAcosB+sinBeosA)=，^sinC,

2cosAsin(A+B)=V3sinC,即2cosAsinC=J^sinC,且sinC>0,

所以cosA=,AE(0,兀)，則A=哼

26

5.(2024屆?廣州?階段練習(xí))已知△4BC中角48,。的對邊分別為a,b,c,滿足CcosB+2cosc=

aa

3cosc，求sin。的值

【答案】當(dāng)2

o

【分析】已知等式利用正弦定理邊化角，或利用余弦定理角化邊，化簡可求sin。的值;

【詳解】（1）解法一：由—cosB+—cosC=3cosc，得ccosB+bcosC—3acosC.

aa

abc

由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosC,

sinAsinBsinC

所以sin(B+0=SsinAcosC,

由于A+6+。=兀，所以sin(B+C)=sin(7r-A)=sinA,則sinA=3sinAcosC.

因為0VA〈兀，所以sinAWO,cosC=.

o

因為OVCV兀，所以sinC=Vl—cos2C=.

o

解法二：由—cosB+—cosC=3cosc，得ccosB+bcosC=3acosC.

aa

a2+c2—62,,a2+b2—c2「

所以由余弦定理得c?-----o----------1-b-----...二3QacosC,

2acZab

化簡得a=3acosC,即cosC=；,

因為OVCVTT,所以sinC=Vl—cos2C=

o

6.在中，角所對的邊分別為a,b,c,且上+ca□求

cosCcosAcosBcosC'

tanBtanC.

【答案】tanBtanC=

【詳解】因為b+ca+3a

cosBcosCcosAcosBcosC'

bcosC+ccosB_acosBcosC+3acosA

所以,即(bcosC+ccos_B)cosA=a(cosBcosC+3cosA),

cosBcosCcosAcosBcosC

由正弦定理得(sin_BcosC+sinCcos_B)cosA=sinA(cosBcosC+3cosA),

所以sin(B+C)cosA=sinA(cosBcosC+3cosA),

即sinAcosA=sinA(cosBcosC+3cosA),

:0VAV兀，則sinA>0,故cosBcosC+2cos4=0,

即cosBcosC—2cos(B+C)=0,也即cosBcosC—2cosBcosC+2sinBsinC=0,2sinBsinC=

cosBcosC,

所以tan_BtanC=.

7.V5asin*=csinA,求角。的大小.

【答案】穹

o

兀C

V^asin幺；B=csinAoA/3sinAsincos-^-=sinC

22

V3cos-y=2sin今cos冬n遍=2sin§nsin與=卓=4=*=°=等

.已知△的內(nèi)角的對邊分別為且產(chǎn)

8ABCA,B,CQ,b,c,bcos/csinB,求C

【答案】⑴。=看

o

【詳解】由正弦定理「°=c,得心sinBcos"之"=sinCsinB,

smBsmC2

因為_Be(0,7L),則sinBW0,所以V5cos石=sinC,

因為4+石+（7=兀，所以（：0$（，,，）=cos（￡■—苧）=sin孝■.

所以V3sin-^-=2sin-y-cos-^-.

因為。e（o,兀），則苧e，可得sin亨W0,所以cos亨=~^~

則今=看，所以。二吉?

2o3

9.在△AB。中，內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別為Q,b,c,且滿足bcos。=QsinB,求4

【答案】A=等

O

，二B~\~C(7T4、."A

【評斛】cos---=cos一--y=sin-,

所以bsing=asinB,

由正弦定理得：sinBsin?=sinAsinB,

4

*.*sinB#0,sin—=sinA,

sin。=2sin^-cos^-,9：AE(0,兀),。e(0,y)sin等WO,

［日A.1日門/?兀?A

付8、萬=萬，即5=3=

"3

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角

10.(深圳一模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b+c=2asi,求4

【答案】A=看點評:拆角+輔助角公式

【解析】(1)由已知得，b+c=V3asinC+acosC,

由正弦定理可得，sinB+sinC=V3sinAsinC+sinAcosC,

因為4+6+。=兀，所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.代入上式，整理得cosAsinC+sinC

=A/3sinAsinC,

又因為CE(0,7U),5111。#0,所以，5^11/.—(30$71=1,即sin(A—=].

而一襲＜4—強〈萼，所以A—專=強，4=看.

ooooo3

11.在△ABC中sinC+cosC=sinB+：inC，求人

smA

【答案】A=手

o

【詳解】在AABC中sinC+cosC=smB+*C,

smA

整理得A/3sinCsinA+sir14cosc=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,即

A/SsinCsinA+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,于是

所以VSsinCsinA=cosAsinC+sinC,

因為sinCW0,所以VSsinA—cosA=1,即

WsinA-yCOsA=y,

所以sin(/.—聿)=；,又因為OVAVTT,所以。A-6(715兀

所以A—5=9,解得。A=g.點評:拆角+輔助角公式

o63

12.銳角△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知acosC+V3csinA=b+c,求4

【答案】A=當(dāng)

o

【詳解】acosC+VScsinA=b+c=>sinAcosC+V3sinCsin?l=sinB+sinC

nsinAcosC+V3sinCsinA=sin(A+C)+sinCA/3sinCsinA=sinC(cosA+l)

VA>(o,5),‘sinC#0=>VSsinA—cosA=1=2sin(4—看),

而A—2e工6=>AA=~—3,

o

13.已知a,b,c分別為△AB。三個內(nèi)角A,B,。的對邊，且QCOSC+〃^asinC=b+c,求角A的大小;

【答案】A=5

o

【詳解】由acosC+A/3asinC=b+c及正弦定理，

得sinAcosC+V3sinAsinC=sinB+sinC

即sinAcosC+A/3sinAsinC=sin[兀一(A+C)]+sinC,

VSsinAsinC=cosAsinC+sinC,

因為sinCW0

所以VSsinA=cosA+1,即sin（A—=].

由于。5＜兄,弋＜*所以聯(lián)行氤人二手

類型四通過誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名

14.在△4BC中，內(nèi)角AB,。所對的邊分別為a,b,c.已知asmB=bcos（A-j）,求A的值

【答案】手

O

【詳解】因為asirkB=bcos（A—專），所以由正弦定理可得:sinAsinB=sin_Bcos（A—,

在三角形△ABC中，4B、CG（0,兀），顯然sin_B#0,所以sinA=cos（_A—看），

所以cos居_I）=COS（/一專），又因為叫一AC（-y,yG（一/庠）'

所以與一A=A-工或二—A+A—￥=。（顯然不成立），所以人=當(dāng)

26263

15.已知叢ABC中，角4B,。所對邊分別為a,b,c,若滿足

Q（sin2A—cosBcosC）+bsinAsinC=0,求角A的大小.

【答案】5

【詳解】（1）由正弦定理知，sinA（sin2A—cosBcosC）+sinBsinAsinC=0,

_________F

■:AE（0,兀），?，.sinA#0,

/.sin2A—cosBcosC+sinBsinC=0,

化簡得sin2>l=cosBcosC—sinBsinC=cos（B+C）=cos（?！狝）=sin—多）,

?.??。?,兀），.12人+人一方=兀（其中2人=4—方舍去）,即人=母.

16.在△ABC中，內(nèi)角ABC所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=bcos（人一看），bcosC=ccosB，求A的

值.

【答案】合

O

【詳解】因為asinB=fecos（A—1），所以由正弦定理可得:sinAsiikB=sinBcos（A-,

在三角形AABC中，4B、CE（0,兀），顯然sinBW0,所以sinA=cos（A—看）,

所以cos（5_A）=COS（A—專）,又因為專一AC（-y,y）,A-ye（一專窄），

所以三一A=A—5或+A—告=0（顯然不成立），所以A=9

26263

題型二利用余弦定理化簡等式

余弦定理

Q2=匕2+—26CCOSJ4;

公式》2=《2+Q2—2accosB;

c2=a2+62—2abeosC

62+c2—a2

COSAA=2bc；

“c2+a2-62

常見變形cosB=0；

Zac

ca2+52-c2

2ab

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方

17.已知△4B。內(nèi)角所對的邊長分別為Q,b,c,2，^Q2cos_B+b2=2abcosC+a2+c?,求_B.

222

解:（1）由余弦定理得2V2acosB+〃=。2+〃一。2十稼十。2,即2V2acosB=2a,

所以cosB=W，又Be（0,兀），則B=￡.

18.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在△ABC中，內(nèi)角48,。所對的邊分別為d6。若3=看，〃=

O

~1"QC,則sin_A+sinC=（）

A2V39V39「?n3V13

BR-c.^d-nr-

【答案】。

【解析】因為_B=看,〃=]_QC,則由正弦定理得sinAsinC=^-sin2B=

j4yo

由余弦定理可得:〃=a?+/—ac=~|"ac,

即:a?+0?=普碇，根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C=-j-sinAsinC^,

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=~,

因為AC為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0,則sinA+sinC=—^~.

19.記△48。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a?=3b2+c?,則也嗎=

tanG----------

【答案】-2

【解析】因為a2=3〃+c2,所以&2+〃一。2=4〃,所以尤土蚱貯=地，

2aba

即cos。=次~，由正弦定理可得cosC=：sin號,

asmA

所以sinAcosC=2sinB,所以sinAcosC=2sin(A+C),

所以sinAcosC=2sinAcosC+2sinCcosA,

即sinAcosC=—2sinCcosA,

因為cos24coscW0,所以tanA=—2tan。,所以‘a(chǎn)11m=-2.

tanC

20.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)在△ABC中，(a+c)(sinA—sinC)=b(sinA—sin8),則/C=()

R兀c2兀D

A花BTC-T-t

【答案】B

【解析】因為(a+c)(sinA-sin。)=b(sinA—sinB),

222

所以由正弦定理得(Q+c)(a—c)=b(Q—b)/pa-c=ab-bf

貝Ia2+b2—c2=ab,故cosC="rJ°=,

2ab2ab2

又OVCV兀，所以。=看.

o

21.在AABC中，角的對邊分別為a,b,c,已知c=2A/52asinCcosB=asinA—bsinB+^-bsinC,

求b;

【答案】4

解：⑴因為2QsinCcos_B=asinA—bsinB+^y-bsinC由正弦定理得2accosB=a2—b2+-^-bc

由余弦定理得2ac-02r2—,=@2—〃+冬be

所以c=b

a

又因為c=2A/5,所以b=4

22.（2024屆?湖南四大名校團隊模擬沖刺卷（一））在△ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,已知

△ABC的面積為S,

且2S（包呼+包吟）=3+b2）sin4求。的值

\smBsmCf

【答案】⑴專;

【詳解】在/\ABC中，由三角形面積公式得:S=-^-bcsinA,

由正弦定理得：2x-^-bcsinAf-y-+—)=(a2+fe2)sinA,

2'be，

整理得：/+62-。2=而，由余弦定理得：cosC=，甘22=［又ovcv兀，故c=g.

2ab23

23.(2024廣東省六校高三第四次聯(lián)考)已知△48。的角4B,。的對邊分別為Q,b,c,且

sinA(ccosB+bcosC)—csinB=csinC+bsin8,求角A

【答案】4=日兀

o

01

【詳解】由余弦定理得ccos_B+bcosC=c1甘——+bx甘7一=a,

Zac2ab

所以sinA(ccosB+bcosC)—csinB=csinC+fesinB,

可化為asinA—csinB=csinC+bsinB,

再由正弦定理得〃一刈=。2+62,得。2+62一，=一兒，

所以cosA=°——=—，因為AG(0,兀)，所以4=與兀

2bc23

24.記kABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知〃—a?=2c?,求包吟的值

tanA

【答案】更吟=—3

tanA

【詳解】由余弦定理可得&2=c2+a2-2accosB,

代入〃—稼=2c2,得至1J(c?+a2—2accosB)—a?—2c之，化簡得c?+2accosB=0,

即c+2acos_B=0.由正弦定理可得sinC+2sinAcosB=0,

即sin(A+B)+2$11171(：00_8=0,展開得$111？1(：0$_8+以無71$111_8+2$1]17180_8=0,

即3sin24cos8=—cosAsinB,所以‘a(chǎn)nf=—3

tanA

類型二出現(xiàn)角的余弦(正弦走不通)

25.記△4B。的內(nèi)角A>8、。的對邊分別為a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c,求4

【解答】人=看

O

解：因為bcosA—acosB=b—c,

由余弦定理可得a?一〈.a?彳c2一心二b—c,

2bcZac

b2+c2-a2_1

化簡可得〃+。2—Q2=be,由余弦定理可得COSA=

2bc2

因為ovAv兀，所以

o

26.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角ABC的對邊，且sin(A—B)=2sinC,證明:Q2=〃+2C2.

【詳解】(1)由sin(A-B)=2sinC=2sin(A+B),

得sinAcosB—cosAsinB=2sinAcosB+2cosAsinB,

貝|JsinAcosB+3cosAsinB=0,

由正弦定理和余弦定理得a-a±c?―/+3力[+[―a2=0,

2ac2bc

化簡得/=〃+2。2

27.在△4BC中，內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,°=26,2$111>1=3$山12。,求5111。.

【答案】平

4

【詳解】因為2sinA=3sin2C,

所以2sinA=6sinCcosC,

所以2a=6ccosC,

即Q=3ccosC,

所以cosC=,

由余弦定理及c=2b得：

0a2+b2-c2a2+b2-4b2a2-3fe2

cosC=----——：------=-------：-------=———：—

2ab2ab2ab

28.記△48。的內(nèi)角AB。的對邊分別為Q,b,c,8?，且(sinA+sin_B)sinC+cos2C=1,求證5a=3c

o

【詳解】證明：:(sinu4+sinB)sinC+cos2C=1

/.(sinA+sinB)sinC+1—2sin2C=1

(sinA+sinB)sinC=2sin2C

???sin。#。

sinA+sinB=2sinC,即Q+b=2c

由余弦定理得cosB=W甘2—〃，即-g=屋為二”

2ac22ac

1_a2+c2—(2c—a)2

整理可得5a=3c.

29.已知△ABC的內(nèi)角A、B、。的對邊分別為Q、b、c,sin（已一8）tanC=siriylsin_B,求°.

【答案】3

【詳解】因為sin(A—B)tanC=sinAsinB,

所以sin(A—B)-s,n，=sinAsinB,所以sin(A—B)sinC=sinAsinBcosC,

R)3sinAcosBsinC—cosAsinBsinC=sinAsinBcosC,

由正弦定理可得accosB—bccosA=abcosC,

由余弦定理可得ac-居并「萬—beW+f—a?=如a??丁c2,

所以02+。2—匕2—〃—+稼=02+匕2—,

即a2+c2=3b2,

所以量士Q=3.

b2

30.ZVIBC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為Q,b,c.已知(b—c)sin8=bsin(Z—。)，求角A.

【答案】4=看

o

【詳解】

(b—c)sin_B=bsin(4—C),所以(fe—c)sinB=b(sinAcosC-cosAsinC),

所以〃—be=abcosC—bccosA=。十；-。-。+j—。=a2—c2,

又出二〃+—2bccosA,所以cosA=方,

因為Ae(0,兀)，所以＞1=*,

O

題型三周長與面積相關(guān)計算

知織點

設(shè)計周長和面積的相關(guān)計算一般會用到余弦定理還有可能需要用到完全平方公式

對于完全平方公式：（a+b）2=稼+/+2ab,其中兩邊之和Q+b對應(yīng)周長，兩邊平方和Q?+〃在余弦定理中，兩

邊之積ab在面積公式和余弦定理中都會出現(xiàn)

類型一面積相關(guān)計算

31.已知△4BC中角4,3,。的對邊分別為a,b,c,sinC=當(dāng)2，a=b+c=,求△ABC的面積.

【答案】

【分析】已知條件結(jié)合余弦定理求出ab,由公式S=；absinC求△ABC的面積.

【詳解】由余弦定理c2=a2+2abcosC,及c=3^2,cosC=/，得a?+〃一■|~ab=18,

oo

即（a—bp+-1-ab=18,又a=b+A/2，得2+^-ab=18,所以ab=12.

oo

所以△ABC的面積S=JabsinC=-yX12X當(dāng)2=4握

乙ZD

32.（2024新高考一卷?真題）記△48。的內(nèi)角48、C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=V2cosB,a2+b2

—c2=V2ab

⑴求B；（2）若△ABC的面積為3+四,求c.

【答案】⑴

o

（2）272

【分析】⑴由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cost7,sin（7,最后結(jié)合已知sinC=J^cosB得cosB的值即可;

⑵首先求出然后由正弦定理可將a,6均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.

【詳解】（1）由余弦定理有a2+&2-c2=2abeosC,對比已知a2+fe2-c2=V2ab,

可得cosC==學(xué)普=卓,

足2之a(chǎn)b一2ab2

因為CG（0,兀），所以sinO0,

從而sinC=V1-cos2C=J1-\~2~)=~2~，

又因為sinC=V2cosB,即cosB=,

注意到BE(0,7L),

所以B=看.

o

(2)由⑴可得"B=1■,cosC=,CE(0,7t)，從而C=A=K--^-----^-=,

f噂z嗚+小岑得+#安=%名

由正弦定理有a=」—=—^,

sin-j^sin-^-sin-^-

n7-V6+V2-用-\/3+1rV3?A/6

從而a=--------V2c=--—c,o=—^―?V2c=—^―c,

由三角形面積公式可知，△AB。的面積可表示為

17.x-71V3+1V6A/23+A/32

ScAABC=工absmC=5------c--c--=---

由已知AABC的面積為3+JS,可得注亙c2=3+，S

O

33.記△ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為f1,6,G3=誓，且5a=3c,若△ABC的面積為15四,求c

O

【答案】10.

2

【詳解】由a=~~c,故△4BC的面積為S^ABC=acsinB=XXcX-=15V3

得c2=100,解得c=10或c=—10(舍)，故c=10.

34.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知A=亭，ZVIBC的面積為返鼻，b=2,求a.

【答案】a=63

SMBC—ybcsinA=方x2cx/=3f，所以。=3A/3.

由余弦定理可得&2=62+02一2灰：854=4+27-2義2乂3，^*乎=13,

所以Q=A/13

35.記△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知B=24當(dāng)a=4,b=6時，求△ABC的面積S.

【答案】誓

【詳解】由題意可得:

Q_b4=6

7L>A>0,sinAW0,

sinAsinBsinAsin2A

.3.V7.3V71

..cosA4=—,smA4=——,smBD=---,cosBD=--,

4488

..C?/4,mV7135V7

..smC=sm(A+B)=-v,3A/7v

則SA^BC=basinC=X6X4X5%=.j

22lb4

36.（2024屆廣東省六校第二次聯(lián)考）已知△ABC中角A,B,。的對邊分別為a,b,c,sinC=^^,a=&

o

+方，c=32,求△48。的面積.

【答案】

【分析】已知條件結(jié)合余弦定理求出質(zhì)，由公式S=]absinC求△46。的面積.

【詳解】由余弦定理，=Q2+〃_2Q6COSC,及c—3V2,cosC=；，得Q?+〃—|_而—

OO

即（Q—6）2+-^-ab=18,又a=b+得2+-^-ab=18,所以質(zhì)=12.

OO

所以△ABC的面積S=JabsinC=X12X岑2=472

//J

37.記△ABC的內(nèi)角。的對邊分別為a,b,c,已知口=24當(dāng)a=4,b=6時，求△ABC的面積S.

【答案】唐上

4

【詳解】由題意可得：

ab46

7L>A>0,sinAW0,

sinAsinB-sinAsin2A'

.3.V7.3/1

..cosA=4—,smA4=―—,sm±>D=---,cos±>D=—,

4488

??

..smcC=?s/4m,D(\AV7+Bv)1=-.xM-H+^7x3-=5^—-

則SA^BC=basinC=X6X4X5%=.J

22lb4

類型二周長的相關(guān)計算

38.已知在4ABC中，角AB,。的對邊分別是a,b,c,且人=。,若6=亭，AABC的面積為4,求4ABC的

6

周長.

【答案】8+2通-22

【詳解】4=。,.，.。二。，

丁_B=咚，且△48。的面積為4,?，.《acsinB=4,解得a=c=4,

62

所以〃=Q2+。2—2accosB=32—16V3,

解得6=4V2-V3=出乎-^7=276-272,

故4ABC的周長為a+b+c=8+2^/6—2V2.

39.在△ABC中，內(nèi)角A,。所對的邊分別為a,b,c,且（b+c）（sin_B