2024-2025學年湖南省懷化市高一上冊10月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年湖南省懷化市高一上學期10月月考數(shù)學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列各圖中，不能表示是的函數(shù)的是（）A. B.C. D.2.已知：，且，下列不等關(guān)系一定成立的是（）A. B.C. D.3.已知集合，，，若，則的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.7 D.84.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.5.已知是定義在上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.為了加強家校聯(lián)系，王老師組建了一個由學生?家長和教師組成的群.已知該群中男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)，女學生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).則該群人數(shù)的最小值為（）A.20 B.22 C.26 D.287.若，且，則的最小值為（）A B. C. D.8.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，①等式對恒成立；②函數(shù)的值域為；③若，則一定有；④存在無數(shù)個，滿足其中正確結(jié)論個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.命題，．命題q：任意兩個等邊三角形都相似．關(guān)于這兩個命題，下列判斷正確的是（

）A.p是真命題 B.，C.q是真命題 D.：存在兩個等邊三角形，它們不相似10.已知集合,,且．集合為的取值組成的集合，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.11.德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著，以其命名函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)滿足：B.函數(shù)的值域是C.對于任意的，都有D.在圖象上不存在不同的三個點，使得為等邊三角形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的取值范圍是__________.13.在，，設(shè)全集，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_____14.設(shè)函數(shù)定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是___________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．16.已知函數(shù)．（1）若，求在或上的值域；（2）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．17.已知上有意義，單調(diào)遞增且滿足．（1）求證：；（2）求不等式的的解集．18.我們知道，當時，如果把按照從大到小的順序排成一列的話，一個美麗、大方、優(yōu)雅的均值不等式鏈便款款的、含情脈脈的降臨在我們面前.這個均值不等式鏈神通巨大，可以解決很多很多的由定值求最值問題.（1）填空寫出補充完整的該均值不等式鏈；（2）如果定義：當時，為間的“縫隙”.記與間的“縫隙”為，與間的縫隙為，請問、誰大？給出你的結(jié)論并證明.19.對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點．（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的不動點；（2）若對于任意的，二次函數(shù)（）恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一不動點，求實數(shù)m的取值范圍．2024-2025學年湖南省懷化市高一上學期10月月考數(shù)學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列各圖中，不能表示是的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用函數(shù)的定義，對各個選項逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.【詳解】由函數(shù)的定義知，每一個的取值，有且僅有一個值與之對應(yīng)，由選項A，C和D的圖象可知，每一個的取值，有且僅有一個值與之對應(yīng)，所以選項A，C和D錯誤，由選項B的圖象知，存在的取值，一個的取值，有兩個值與之對應(yīng)，所以不能表示是的函數(shù)，故選：B.2.已知：，且，下列不等關(guān)系一定成立的是（）A B.C. D.【正確答案】D【分析】通過賦值法舉反例排除A,B,C項，對于D項，則可尋找條件成立的充要條件，再用作差法判斷即得.【詳解】對于A，可取，滿足，但得不到，故A錯誤；對于B，可取，滿足，但不滿足，故B錯誤；對于C，可取，滿足，但，故C錯誤；對于D，因，而，故必有成立，即D正確.故選：D.3.已知集合，，，若，則的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.7 D.8【正確答案】B【分析】本題根據(jù)B、C兩集合相等，則元素相同，然后分類討論求出參數(shù)m，進而求出兩個集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的個數(shù).【詳解】由題意得，，又集合，若，則，此時，則，故子集個數(shù)為；若，則，此時顯然集合不成立，舍去；若，，同理舍去.綜上得：時，子集個數(shù)為4個；故選：B.4.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域和具體函數(shù)定義域求法直接構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】的定義域為，，解得：，的定義域為.故選：B.5.已知是定義在上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由函數(shù)是上的減函數(shù)，可得，求解即可.【詳解】∵函數(shù)是上的減函數(shù)，∴，解得.故選：A6.為了加強家校聯(lián)系，王老師組建了一個由學生?家長和教師組成的群.已知該群中男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)，女學生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).則該群人數(shù)的最小值為（）A.20 B.22 C.26 D.28【正確答案】B【分析】設(shè)教師人數(shù)為x，家長人數(shù)為，女學生人數(shù)為，男學生人數(shù)為，由題意得到，再由教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)得到x的范圍求解.【詳解】設(shè)教師人數(shù)為x，家長人數(shù)為y，女學生人數(shù)為z，男學生人數(shù)為t，x、y、z、t∈Z，則，，則，又教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)，，解得，當時，，此時總?cè)藬?shù)最少為22.故選:B.7.若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】首先利用條件等式將表達式變形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等條件否成立.【詳解】因為，所以由題意，因為，所以，所以由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，即當且僅當或時等號成立，綜上所述，的最小值為.故選：D.關(guān)鍵點點睛，解決本題的關(guān)鍵是要利用條件等式對已知表達式變形，利用基本不等式后要注意到取等條件的成立與否.8.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，①等式對恒成立；②函數(shù)的值域為；③若，則一定有；④存在無數(shù)個，滿足其中正確結(jié)論個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式先判斷函數(shù)奇偶性得①正確；再將定義域分段去掉絕對值，化簡函數(shù)式后利用不等式性質(zhì)分析判斷②；利用函數(shù)的奇偶性和局部單調(diào)性得出函數(shù)為R上的增函數(shù)即可判斷③；分析發(fā)現(xiàn)函數(shù)在時即滿足條件，故可判斷④正確.【詳解】對于①，由可得對恒成立，故①正確；對于②，當時，，因為，所以，所以，所以，所以，所以，當時，，因為，則，則，故得，即，當時，，綜上，的值域為?1,1，所以②正確；對于③，當時，為增函數(shù)，由①知為奇函數(shù)，因為的圖象在R上連續(xù)，所以在R上為增函數(shù)，所以當，則一定有，所以③正確；對于④，當時，，，則，所以存在無數(shù)個，滿足，所以④正確，即正確的結(jié)論共有4個，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.命題，．命題q：任意兩個等邊三角形都相似．關(guān)于這兩個命題，下列判斷正確的是（

）A.p是真命題 B.，C.q是真命題 D.：存在兩個等邊三角形，它們不相似【正確答案】BCD【分析】根據(jù)根的判別式可判斷命題的真假，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷命題的真假，從而判斷AC，根據(jù)命題的否定可判斷BD.【詳解】對于方程，,所以，無解，故p是假命題，故A錯誤；，，故B正確；任意兩個等邊三角形都相似，故q是真命題，故C正確；：存在兩個等邊三角形，它們不相似，故D正確.故選:BCD.10.已知集合,,且．集合為的取值組成的集合，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件得出，再得出集合D，最后結(jié)合元素和集合的關(guān)系判斷各個選項.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以且，所以，，所以.故選：ACD.11.德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)滿足：B.函數(shù)的值域是C.對于任意的，都有D.在圖象上不存在不同的三個點，使得為等邊三角形【正確答案】AC【分析】利用，對選項A，B和C逐一分析判斷，即可得出選項A，B和C的正誤，選項D，通過取特殊點，此時為等邊三角形，即可求解.【詳解】由于，對于選項A，設(shè)任意，則；設(shè)任意，則，總之，對于任意實數(shù)恒成立，所以選項A正確，對于選項B，的值域為，又，所以選項B錯誤，對于選項C，當，則，當，則，所以選項C正確，對于選項D，取，此時，得到為等邊三角形，所以選項D錯誤，故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】利用不等式性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，故，因為，則，故即，故答案為.13.在，，設(shè)全集，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_____【正確答案】或【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，對進行分類討論，可得答案.【詳解】解不等式，即，得，得，，“”是“”充分不必要條件，A為B的真子集，分類討論如下：①，即時，，不符題意；②，即時，，此時需滿足，（等號不同時成立），解得，滿足題意，③，即時，，此時，，（等號不同時成立），解得，滿足題意，綜上，或時，滿足“”是“”的充分不必要條件.故或14.設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】求得在區(qū)間上的解析式，畫出的圖象，結(jié)合圖象列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】時，，而時，所以，又，所以當時，，當時，，作出示意圖如下圖所示：要使，則需，結(jié)合上圖，由，解得，所以.關(guān)鍵點點睛：所給的抽象函數(shù)關(guān)系式，如本題中的，然后要關(guān)注題目所給的已知區(qū)間的函數(shù)解析式，結(jié)合這兩個條件來求得其它區(qū)間的函數(shù)解析式.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)條件，得到，，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件得到，再分、和三種情況進行討論，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當時，，，所以．【小問2詳解】）因為，則，當時，，有，符合題意，當時，，由，則，解得，所以，當時，，由，則，解得，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．16.已知函數(shù)．（1）若，求在或上的值域；（2）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）直接利用基本不等式計算即可求解；（2）直接利用定義法即可判斷函數(shù)的單調(diào)性.【小問1詳解】當，若，則，等號當且僅當時成立；若，則，等號當且僅當時成立．所以在或上的值域為：．【小問2詳解】，且，有．由得：．所以，又由，得．于是：，即．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．17.已知在上有意義，單調(diào)遞增且滿足．（1）求證：；（2）求不等式的的解集．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)條件，通過令，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件得到，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，令，得到，所以.【小問2詳解】，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以不等式的的解集為.18.我們知道，當時，如果把按照從大到小的順序排成一列的話，一個美麗、大方、優(yōu)雅的均值不等式鏈便款款的、含情脈脈的降臨在我們面前.這個均值不等式鏈神通巨大，可以解決很多很多的由定值求最值問題.（1）填空寫出補充完整的該均值不等式鏈；（2）如果定義：當時，為間的“縫隙”.記與間的“縫隙”為，與間的縫隙為，請問、誰大？給出你的結(jié)論并證明.【正確答案】（1）（2），見解析【分析】（1）由題得；（2）（當且僅當時取等號），再利用作差比較法證明即可.【詳解】（1）（2）（當且僅當時取等號）證明：∵又∵（當且僅當時取=號）.∴，∴∴（當且僅當時取=號）.本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查作差比較法證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點．（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的不動點；（2）若對于任意的，二次函數(shù)（）恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的不動點，求實數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）求函數(shù)的不動點，即求方程的根，即求方程的解；（2）二次函數(shù)（）恒有兩個相異的不動點，等價于方程有兩個不等實根，對于任意的恒成立，只需要不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍即可；（3）在區(qū)間0,2上，函數(shù)有唯一零點，應(yīng)用零點存在性定理即可，同時還要關(guān)注區(qū)間邊