中考數(shù)學(xué)-幾何壓軸題（一）全等模型(16種模型題型合集+專題訓(xùn)練+13種模型解析)(含答案)

Page第四章三角形重難點(diǎn)11幾何壓軸題一全等模型（16種模型題型匯總+專題訓(xùn)練+13種模型解析）【題型匯總】類型一構(gòu)造輔助線題型01倍長(zhǎng)中線法模型倍長(zhǎng)中線模型倍長(zhǎng)類中線模型條件延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)圖示方法延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E，使FD=DE，連接CE結(jié)論,AC=BE且AC∥BE,BF=CE且BF∥CE【總結(jié)】1）口決：見(jiàn)中線（或中點(diǎn)），可倍長(zhǎng)，得全等，轉(zhuǎn)邊、角；2）倍長(zhǎng)中線后，具體連接哪兩點(diǎn)，可根據(jù)需要轉(zhuǎn)化的邊、角來(lái)判斷；3）倍長(zhǎng)中線后，將兩邊都連接可構(gòu)成平行四邊形，可將三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問(wèn)題，再借助平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)解題.1．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD為△ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上(不與端點(diǎn)重合)，BE與CD交于點(diǎn)F，若EC=EF，則DF=．2．（2024·山東菏澤·二模）【方法回顧】如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形（1）上述證明過(guò)程中：①證明△ADE≌△CFE的依據(jù)是（_____）A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS②證明四邊形DBCF是平行四邊形的依據(jù)是_______；【類比遷移】（2）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE=EF，求證：AC=BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使GD=FD，連接GC，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程；【理解運(yùn)用】（3）如圖3，四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，連接DE、BG，點(diǎn)P是BG的中點(diǎn)，連接CP．請(qǐng)判斷線段CP與3．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）[問(wèn)題背景]在△ABC中，AB=8，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍，小組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD，再連接BE，把AB，(1)利用上述方法求出AD的取值范圍是_________；(2)[探究]如圖2，在△ABC中，CE為AB邊上的中線，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且BC=2BD，AD與CE相交于點(diǎn)O，若四邊形ODBE的面積為20，求△ABC的面積；(3)[拓展]如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=4，DF=224．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）輔助線是解決幾何圖形問(wèn)題的利劍，合理添加輔助線，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，下表給出了三角形中幾個(gè)常見(jiàn)利用中點(diǎn)添加輔助線的模型，請(qǐng)根據(jù)要求解決問(wèn)題．題眼1．普通三角形+中點(diǎn)2．等腰三角形+底邊中點(diǎn)3．直角三角形+斜邊中點(diǎn)4．兩個(gè)中點(diǎn)大致圖形輔助線名稱倍長(zhǎng)中線三線合一斜邊中線中位線具體做法延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E，使DE=BD，連接AE連接AD連接CD連接DE產(chǎn)生效果

△AED≌△CBDAE∥BCAD⊥BC∠BAD=∠CAD①②(1)請(qǐng)?jiān)冖伲谥腥芜x擇一個(gè)填空：你選擇的是_______，產(chǎn)生效果是_______．（產(chǎn)生效果寫(xiě)一個(gè)或兩個(gè)）(2)如圖①，在三角形中，AD是△ABC的一條中線，AB=5,AC=3,AD=2，求BC的長(zhǎng)．(3)如圖②，在△ABC中，∠A=30°,∠C=90°,AB=4，點(diǎn)M，N是邊AC上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊在△ABC內(nèi)部（包括邊界）作等邊三角形△PMN，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AM，PM的中點(diǎn)，當(dāng)題型02截長(zhǎng)補(bǔ)短法方法截長(zhǎng)法補(bǔ)短法條件在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求證：AB=AC+CD圖示方法在AB上截取AE=AC,連接DE延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使CD=CE,連接DE結(jié)論△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形【總結(jié)】1）“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種靠略，截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題.2）截長(zhǎng)或補(bǔ)短后，如果出現(xiàn)的全等三角形或特殊三角形能推動(dòng)證明，那么輔助線是成功的，否則，就應(yīng)該換一個(gè)截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方式，甚至換一種解題思路.1．（2020·安徽·中考真題）如圖1．已知四邊形ABCD是矩形．點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上．AE=AD.EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F,AF=AB.1求證：BD⊥EC；2若AB=1，求AE的長(zhǎng)；3如圖2，連接AG，求證：EG?DG=22．（2020九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）在菱形ABCD中，射線BM從對(duì)角線BD所在的位置開(kāi)始繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<180°，點(diǎn)E在射線BM上，∠DEB=∠DAB（1）當(dāng)∠DAB=60°時(shí)，BM旋轉(zhuǎn)到圖①的位置，線段BE，DE，AE之間的數(shù)量關(guān)系是______；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)BM旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，探究線段BE，DE，AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）將圖②中的∠DAB=60°改為∠DAB=90°，如圖③，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE，DE，AE之間的數(shù)量關(guān)系．

3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們探究．在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°，點(diǎn)D在直線BC上，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交直線AB（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF=AB；分析問(wèn)題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用AD=AE構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM=EF，連接DM，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：推理證明：寫(xiě)出圖①的證明過(guò)程：探究問(wèn)題：（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接寫(xiě)出線段BD，EF，AB之間的數(shù)量關(guān)系；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若AC=63，CD=2BD，則EF=題型03作平行線法1．（2023貴州黔西模擬）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.52．（2024齊齊哈爾模擬）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E為邊AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC．

(1)當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），則有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；(2)猜想如圖2，AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題探究】（1）如圖①，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E為DC上的點(diǎn)，DE=2CE，連接BE，點(diǎn)O為BE上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作MN⊥BE交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，求MN的長(zhǎng)度．【類比遷移】（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，連接BD，過(guò)BD的中點(diǎn)O作MN⊥BD交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，求MN的長(zhǎng)度．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，李大爺家有一塊平行四邊形的菜地，記作平行四邊形ABCD．測(cè)得AB=72米，BC=17米，∠ABC=45°．為了管理方便，李大爺沿著對(duì)角線BD開(kāi)一條小路，過(guò)這條小路的正中間，開(kāi)了另一條垂直于它的小路MN題型04作垂線法1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形ABCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到四邊形A'B'C'D'A．?1,?2 B．?2,?1 C．2,1 D．1,22．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y=?x2+4上，點(diǎn)D在y軸上．若A，CA．m+n=1 B．m?n=1 C．mn=1 D．m3．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，連接CF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．則FGCE的值為（

A．2 B．3 C．322 4．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC，CD上運(yùn)動(dòng)（不與正方形頂點(diǎn)重合）．作射線AE，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交射線CD于點(diǎn)F．∵

(1)如圖，點(diǎn)E在邊BC上，BE=DF，則圖中與線段AE相等的線段是___________；(2)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AF，垂足為G，連接DG，求∠GDC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)F在邊CD延長(zhǎng)線上且DF=DG時(shí)，求FGAG類型二角平分線模型方法角平分線+垂一邊角平分線+分垂線條件已知BD平分∠ABC，PE⊥BC已知BD平分∠ABC，PE⊥BD圖示方法過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F(作垂法)延長(zhǎng)PE,交AB于點(diǎn)F(延長(zhǎng)法)結(jié)論題型01角平分線+垂一邊1．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BC，BA于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線BP交AC于點(diǎn)F．已知CF=3，AF=5，則BF2．（2023·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(0,?3)，點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC=13，則點(diǎn)C

3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，若CB=AF，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形BGED的形狀．題型02角平分線+分垂線1．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于A(a,0),B(0,b)兩點(diǎn)，且a,b滿足(a?b)2+|a?4t|=0，且t>0,t是常數(shù)，直線BD平分∠OBA，交（1）若AB的中點(diǎn)為M，連接OM交BD于點(diǎn)N，求證：ON=OD；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，猜想AE與BD間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．2．（24-25八年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Ax,0，B0,y，且x，y滿足(1)求△AOB的面積；(2)如圖1，以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角△ABC，當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上方時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是腰AC上的一點(diǎn)（不與A，C重合），連接BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E．①若BD是∠ABC的角平分線，求證：BD=2AE；②探究：如圖3，連接CE，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A，C重合），∠BEC的大小是否發(fā)生變化？若改變，求出它的最大值；若不改變，求出這個(gè)定值．方法角平分線+截線角平分線+平行線條件已知BD平分∠ABC，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)已知BD平分∠ABC，點(diǎn)P在BD上圖示方法在BC上截取BF=BE,連接PF(截取法)過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AB于點(diǎn)E(平行法)結(jié)論題型03角平分線+截線1．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）【實(shí)際情境】手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．AM=AN，DM=DN．求證：∠AMD=∠AND．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點(diǎn)D．請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫(xiě)出結(jié)論成立的證明過(guò)程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，AC為⊙O的直徑，AB=BC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．求證：2．（2024·河南信陽(yáng)·一模）數(shù)學(xué)興趣小組利用角平分線構(gòu)造全等模型開(kāi)展探究活動(dòng)，請(qǐng)仔細(xì)閱讀完成相應(yīng)的任務(wù)．活動(dòng)1：用尺規(guī)作已知角的平分線、如圖1所示，則由△ADF≌△ADE，可得∠DAC=∠DAB．活動(dòng)2：如圖2，在△ABC中，AB<AC，AD是△ABC的平分線，在AC上截取AE=AB，則△ADB≌完成以下任務(wù)：(1)在活動(dòng)1和2中，判定三角形全等的依據(jù)分別是________（填序號(hào)）；①SAS

②AAS

③ASA

④SSS

⑤HL(2)如圖3，在△ABC中，∠C=60°，AE，BF是△ABC的兩條角平分線，且AE，BF交于點(diǎn)P，試猜想(3)如圖4，在四邊形ABCD中，AB∥CE，BC=AB+CE，∠ABC的平分線和∠BCE的平分線恰好交于AE邊上的點(diǎn)P，若BC=10，tan∠ABP=13，當(dāng)△PCE題型04角平分線+平行線1．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長(zhǎng)為（）A．2 B．23 C．4 D．4+232．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE//AB，交AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，DE=5,DF=3，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=93．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，已知AD=DC=4，AB=7，∠ABC=90°，AB∥CD，則BC=（

）A．7 B．5 C．33 D．24．（2023·山東·中考真題）已知：射線OP平分∠MON,A為OP上一點(diǎn)，⊙A交射線OM于點(diǎn)B,C，交射線ON于點(diǎn)D,E，連接AB,AC,AD．

(1)如圖1，若AD∥OM，試判斷四邊形OBAD的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OM，交OP于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)D作DG⊥ON，交OP于點(diǎn)G．求證：AG=AF．【大招總結(jié)】遇到角平分線問(wèn)題時(shí)，牢記以下做輔助線的口訣:1）圖中有角平分線，可向兩邊做垂直；2）圖中有角平分線，對(duì)折一看關(guān)系現(xiàn)；3）角平分線加垂線，三線合一試試看；4）角平分線平行線，可得等腰三角形.類型三一線三等角模型題型01一線三垂直模型已知∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE圖示結(jié)論1．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為直線BC上任意一點(diǎn)，連接AD．將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得線段ED，連接BE．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；【類比探究】（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若AC=BC=1，CD=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出sin∠ECD2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐：如圖1，這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在△ABC中，∠A=90°，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，作DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)【觀察感知】如圖2，通過(guò)觀察，線段AB與DE的數(shù)量關(guān)系是______；(2)【問(wèn)題解決】如圖3，連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面積；(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交BD于點(diǎn)N，則BNBC(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線AB上找點(diǎn)P，使tan∠BCP=233．（2023·河南周口·三模）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠ABC=α，將邊AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段CE，在射線BC上取點(diǎn)D，使得∠CDE=α，線段BC與DE的數(shù)量關(guān)系是______；（2）類比探究：如圖2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他條件不變，寫(xiě)出變化后線段BC（3）拓展延伸：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2，把線段CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接BF，直接寫(xiě)出線段BF的長(zhǎng)．4．（21-22九年級(jí)上·黑龍江佳木斯·期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試問(wèn)：DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，DE、AD、BE之間的等量關(guān)系是___（直接寫(xiě)出答案，不需證明）．5．（2023洛陽(yáng)市模擬）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．小華分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證△ABD≌△CAE，此時(shí)，線段DE、BD、CE(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)．請(qǐng)利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)：；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個(gè)等腰△ABC，AB=AC，且∠BAC≠90°，她在直線l上取兩點(diǎn)D、E，使得∠BAC=∠BDA=∠AEC，請(qǐng)你幫助小華判斷（1）中線段DE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請(qǐng)證明；若變化，寫(xiě)出它們的關(guān)系式并說(shuō)明理由；②如圖丁，△ABC中，AB=2AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D、E在直線l上，且∠BAC=∠BDA=∠AEC，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系．題型02一線三等角模型已知∠D=∠ACB=∠E，AC=BC圖示結(jié)論1．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C．

(1)求證：∠EAD=∠EDA；(2)若∠C=60°，DE=4時(shí)，求△AED的面積．2．（2023·廣西·中考真題）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運(yùn)動(dòng)，滿足AD=BE=CF．

(1)求證：△ADF≌△BED；(2)設(shè)AD的長(zhǎng)為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化．3．（2024江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線

(1)如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與4．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖1，點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A，點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以A，P，B為頂點(diǎn)作∠1=∠2=∠3，其中∠1與∠3的一邊分別是射線AB和射線BA，∠2的兩邊不在直線AB上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)，線段AB為等聯(lián)線．(1)如圖2，在5×3個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長(zhǎng)均為1，AB為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段．請(qǐng)用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段AB為等聯(lián)線、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延長(zhǎng)AP至點(diǎn)B，使AB=AC，作∠A的等聯(lián)角∠CPD和∠PBD．將△APC沿PC折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，得到△MPC，再延長(zhǎng)PM交BD的延長(zhǎng)線于E，連接CE并延長(zhǎng)交PD的延長(zhǎng)線于F①確定△PCF的形狀，并說(shuō)明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等聯(lián)線AB和線段PE的長(zhǎng)（用含類型四手拉手模型常見(jiàn)模型種類：等腰三角形

手拉手模型等邊三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小結(jié)】1）頭頂頭，左手拉左手，右手拉右手，那么，頭左左≌頭右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.1．（2020·湖北鄂州·中考真題）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°．連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出BDCE(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．連接BD①求BDCE②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：______，∠BDC=______°；(2)類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D．請(qǐng)猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)在一條直線上，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BF，垂足為點(diǎn)M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB=2，若平面內(nèi)存在點(diǎn)P滿足∠BPD=90°，PD=1，則S△ABP4．（2023·湖北黃岡·中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，連接AD，BE，探究AD，BE的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)m=1時(shí)，直接寫(xiě)出AD，BE的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)m≠1時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)m=3,AB=47,DE=4時(shí)，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使類型五夾半角模型解題方法：1）過(guò)公共點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)，2）截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等解題.常見(jiàn)類型：類型正方形內(nèi)含型半角等腰直角三角形內(nèi)含型半角條件正方形ABCD，∠EAF=45°∠BAC=90°,AB=AC，∠EAF=45°圖示輔助線作法延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使DE=GB,連接AG過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC,且BD=EC,連接AD,DF結(jié)論1）旋轉(zhuǎn)全等2）對(duì)稱全等3）EF=DE+BF1）旋轉(zhuǎn)全等2）對(duì)稱全等3）在Rt△DBF中，即【說(shuō)明】1)“半角”模型的核心識(shí)別條件是“共端點(diǎn)的等線段”和“共頂點(diǎn)的倍、半角”，也可以拓展到鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形中.2)“半角”模型結(jié)論在證明過(guò)程中有兩次重要全等:一次是旋轉(zhuǎn)型全等:一次是對(duì)稱型全等.只有將兩次全等證明完畢，才能繼續(xù)向下推進(jìn).1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M、N是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)．若∠MAN=45°，則MN的最小值為．2．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：【問(wèn)題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的長(zhǎng)．解：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD'，連接由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變．【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對(duì)角線BD交于M、N兩點(diǎn)．探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明．

【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．

【問(wèn)題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D、E在邊AC上，且∠DBE=45°．設(shè)AD=x，CE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

類型六夾半角模型3．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)M在點(diǎn)N

（1）如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，探究如下：由∠BAC=90°，AB=AC可知，將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN=BP且∠PBM=90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP=MN，在Rt△PBM中，BM2（2）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，如圖②：當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，如圖③，分別寫(xiě)出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖4．（20-21九年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且∠MAN=45°，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，連接AM、AN、MN．(1)試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長(zhǎng)線上，∠MAN=45°，連接MN，請(qǐng)寫(xiě)出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上，∠MAN=60°，請(qǐng)直接寫(xiě)出BN，DM，MN之間數(shù)量關(guān)系．5．（2024南京市模擬預(yù)測(cè)）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)QL=(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．

類型六對(duì)角互補(bǔ)模型模型1兩90°的等鄰邊對(duì)角互補(bǔ)模型1.基礎(chǔ)類型條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.【注意】已知角平分線、鄰邊相等（非對(duì)稱）和對(duì)角互補(bǔ)中的兩個(gè)，可推導(dǎo)出第三個(gè).2.模型引申條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③.模型2.含120°、60°的等鄰邊對(duì)角互補(bǔ)模型1.基礎(chǔ)類型條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.2.模型引申條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③.1．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式寫(xiě)出線段AE，DE，CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線BD和邊CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式寫(xiě)出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線上，AE⊥EF，AE=EF．用等式寫(xiě)出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（20-21九年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且∠MAN=45°，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，連接AM、AN、MN．(1)試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長(zhǎng)線上，∠MAN=45°，連接MN，請(qǐng)寫(xiě)出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上，∠MAN=60°，請(qǐng)直接寫(xiě)出BN，DM，MN之間數(shù)量關(guān)系．3．（2024·江蘇揚(yáng)州·二模）當(dāng)幾何圖形中，兩個(gè)共頂點(diǎn)的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為“半角模型”，通常用“旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)”看待圖形的幾何變換，使得兩個(gè)分散的角變換成為一個(gè)三角形，相當(dāng)于構(gòu)造出兩個(gè)三角形全等．【問(wèn)題初探】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°，求出圖中線段EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系．①如圖1，從條件出發(fā)：將△ADE繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CDM位置，根據(jù)“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”分析CM與AE之間的關(guān)系，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，可證得結(jié)論．【類比分析】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，且BC=7，DC=13，CF=5，求BE的長(zhǎng)．【學(xué)以致用】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上，且∠EAF=12∠BAD．當(dāng)BC=4，DC=7，CF=14．（23-24年級(jí)上·湖北黃石·期中）（1）特例探究：如圖①，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，探究BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．小明是這么思考的：延長(zhǎng)FD，截取DG=BE，連接AG，易證△ADG≌△ABE，從而得到AG=AE，再由“SAS”證明△AGF≌△AEF，從而得出結(jié)論：__________________________．（2）一般探究：如圖②，在四邊形ABCD中，AD=AB，∠B與∠D互補(bǔ)，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=12∠BAD，探究BE，EF（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC=6，∠DAB=∠DCB=90°，則四邊形ABCD的面積為．

類型七其它模型題型01等邊三角形雞爪模型條件等邊?ABC，點(diǎn)D在?ABC內(nèi)部等邊?ABC，點(diǎn)D在?ABC外部圖示作法將?ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到?AEC，連接DE將?ACD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到?AEC，連接DE結(jié)論1．（2024連云港市模擬預(yù)測(cè)）實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)特殊三角形外一點(diǎn)與該三角形三個(gè)頂點(diǎn)所形成的線段數(shù)量關(guān)系展開(kāi)探究：(1)如圖①，已知等邊三角形ABC邊CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P，且滿足∠APB=30°，求線段PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系，馬超同學(xué)一眼看出結(jié)果為，PA(2)在探究過(guò)程中，小組同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P不在任意邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，所形成的圖形形似“雞爪”，于是興趣小組同學(xué)們對(duì)“雞爪”圖形的特點(diǎn)展開(kāi)深入探究：如圖②，△ABC為等邊三角形，∠APB=30°，（1）中的結(jié)論是否仍成立？小孫同學(xué)是這樣做的：首先將線段AP朝外作等邊三角形APD，連接BD，PC……，請(qǐng)沿著小孫同學(xué)的思路嘗試著走下去看看結(jié)論是否符合（1）中的結(jié)論；(3)如圖③，“雞爪”圖形PACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，請(qǐng)簡(jiǎn)述線段PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系；(4)如圖④，“雞爪”圖形PACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，若PB=1，PC=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA的長(zhǎng)．題型02婆羅摩及多模型題目特征共直角頂點(diǎn)的正方形或等腰直角三角形，出現(xiàn)中點(diǎn).共直角頂點(diǎn)的正方形或等腰直角三角形，出現(xiàn)垂直.條件四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點(diǎn)共線,點(diǎn)I為DG中點(diǎn)四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點(diǎn)共線,CH⊥BE圖示作法延長(zhǎng)IC到點(diǎn)P，使PI=IC，連接PG分別過(guò)點(diǎn)D、G作DM⊥CI與點(diǎn)M，NG⊥CI于點(diǎn)N結(jié)論CH⊥BE(知中點(diǎn)得垂直)BE=2ICDI=IG(知垂直得中點(diǎn))BE=2IC1．（2023滁州市模擬預(yù)測(cè)）婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所成就．婆羅摩笈多是印度印多爾北部烏賈因地方人，原籍可能為巴基斯坦的信德．婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．例如下列模型就被稱為“婆羅摩笈多模型”：如圖1，2，3，△ABC中，分別以AB，AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，則有下列結(jié)論：①圖1中S△ABC＝S△ADE；②如圖2中，若AM是邊BC上的中線，則ED＝2AM；

③如圖3中，若AM⊥BC，則MA的延長(zhǎng)線平分ED于點(diǎn)N．（1）上述三個(gè)結(jié)論中請(qǐng)你選擇一個(gè)感興趣的結(jié)論進(jìn)行證明，寫(xiě)出證明過(guò)程；（2）能力拓展：將上述圖形中的某一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)到如圖4所示的位置：△ABC與△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，若F為BD的中點(diǎn)，連接AF，求證：2AF＝CE．題型03平行8字模型1．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）【閱讀材料】教材習(xí)題如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，O是AB中點(diǎn)，AC∥BD，求證：O是CD中點(diǎn)．問(wèn)題分析由條件易證△AOC≌△BOD，從而得到OC=OD，即點(diǎn)O是CD的中點(diǎn)方法提取構(gòu)造“平行8字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法

請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中獲取的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題．【基礎(chǔ)應(yīng)用】已知△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC的延長(zhǎng)線上，連接EF交AC于點(diǎn)D．(1)如圖1，若AB=BC，AE=CF，求證：點(diǎn)D是EF的中點(diǎn)；(2)如圖2，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系；【靈活應(yīng)用】如圖3，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，AB=8，AE=2，AECF=ABBC，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)2．（2023·吉林長(zhǎng)春·三模）【閱讀理解】構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問(wèn)題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則易證E是線段

【經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用】請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題．

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE=CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．求證：①G是EF的中點(diǎn)；②CG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；【拓展延伸】如圖2，在矩形ABCD中，AB=2BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE=2CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；第四章三角形重難點(diǎn)11幾何壓軸題一全等模型（16種模型題型匯總+專題訓(xùn)練+13種模型解析）【題型匯總】類型一構(gòu)造輔助線題型01倍長(zhǎng)中線法模型倍長(zhǎng)中線模型倍長(zhǎng)類中線模型條件延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)圖示方法延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E，使FD=DE，連接CE結(jié)論,AC=BE且AC∥BE,BF=CE且BF∥CE【總結(jié)】1）口決：見(jiàn)中線（或中點(diǎn)），可倍長(zhǎng)，得全等，轉(zhuǎn)邊、角；2）倍長(zhǎng)中線后，具體連接哪兩點(diǎn)，可根據(jù)需要轉(zhuǎn)化的邊、角來(lái)判斷；3）倍長(zhǎng)中線后，將兩邊都連接可構(gòu)成平行四邊形，可將三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問(wèn)題，再借助平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)解題.1．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD為△ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上(不與端點(diǎn)重合)，BE與CD交于點(diǎn)F，若EC=EF，則DF=．【答案】11【分析】如圖，倍長(zhǎng)CD至G，使CD=DG，連接BG，易證BF=BG=AC=6，設(shè)EC=EF=x，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，則(x+6)2=x2【詳解】解：如圖，倍長(zhǎng)CD至G，使CD=DG，連接BG，∵CD為△ABC的中線，∴BD=AD，而∠ADC=∠BDG，∴△ADC≌△BDG，∴BG=AC，∠ACD=∠G，∴AC∥∵EC=EF，∴∠ACD=∠CFE，而∠CFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BF=BG，∴BF=BG=AC=6，設(shè)CE=EF=x，在Rt△BCE中，B則(x+6)2解得：x=7∵∠BCA=90°，BC=8，AC=6，AD為△ABC的中線，∴AB=62+∵∠ACD=∠G，∴AC∥∴∠CBG=180°?∠ACB=90°，∵AC=BG,BC=BC，∴△ACB≌∴CG=AB=10，設(shè)CF=y，∵AC∥∴△CEF∽△GBF，∴CFFG∴y10?y解得y=14∵CD=1∴DF=CD?CF=故答案為：115【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的中線，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形與相似三角形．2．（2024·山東菏澤·二模）【方法回顧】如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形（1）上述證明過(guò)程中：①證明△ADE≌△CFE的依據(jù)是（_____）A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS②證明四邊形DBCF是平行四邊形的依據(jù)是_______；【類比遷移】（2）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE=EF，求證：AC=BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使GD=FD，連接GC，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程；【理解運(yùn)用】（3）如圖3，四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，連接DE、BG，點(diǎn)P是BG的中點(diǎn)，連接CP．請(qǐng)判斷線段CP與【答案】（1）①A；②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）見(jiàn)解析；（3）CP=12【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)判斷全等三角形的方法，證明△ADE≌△CFESAS②利用全等三角形的性質(zhì)，得到∠A=∠ECF，AD=CF，可得AB∥CF，（2）證明△FDB≌△GDCSAS（3）延長(zhǎng)CP交DE于點(diǎn)N，延長(zhǎng)CP使得PM=PC，證明△BCP≌△GMPSAS，再利用全等三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證明△DCE≌△MGCSAS，利用角度轉(zhuǎn)換即可得到CP=1【詳解】（1）①解：∵D，E分別是邊AB，∴EA=EC，在△ADE與△CFE中，EA=EC∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFESAS故選：A；②∵△ADE≌△CFESAS∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴AB∥∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DB=AD=CF，∴四邊形DBCF是平行四邊形，故答案為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）證明：在△FDB和△GDC中，BD=CD∠BDF=∠CDG∴△FDB≌△GDCSAS∴BF=CG，∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA=∠BFD=∠G,∴AC=GC=BF；（3）如圖，延長(zhǎng)CP交DE于點(diǎn)N，延長(zhǎng)CP使得PM=PC，根據(jù)（2）中原理，可得△BCP≌△GMPSAS∴BC=GM，∠BCP=∠PMG，∵四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，∴CD=CB=GM，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，∴∠DCE=360°?∠BCD?∠GCE?∠BCP?∠MCG=180°?∠M?∠MCG=∠MGC，∴△DCE≌△MGCSAS∴CP=12MC=∵∠DCN+∠BCM=90°，∴∠M+∠DCN=∠EDC+∠DCN=90°，∴∠DNC=90°∴CP=12DE3．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）[問(wèn)題背景]在△ABC中，AB=8，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍，小組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD，再連接BE，把AB，(1)利用上述方法求出AD的取值范圍是_________；(2)[探究]如圖2，在△ABC中，CE為AB邊上的中線，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且BC=2BD，AD與CE相交于點(diǎn)O，若四邊形ODBE的面積為20，求△ABC的面積；(3)[拓展]如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=4，DF=22【答案】(1)2<AD<6(2)50(3)2【分析】（1）證明△DAC≌△DEB得AC=EB，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求得（2）連接OB．過(guò)點(diǎn)A作AT∥CD交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．證明△AET≌△BECAAS得出AT=BC，證出OD（3）延長(zhǎng)GE至點(diǎn)M，使得EM=EG，連接MD，MF，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明△AEG≌△DEM，得到∠EDM=∠EAG=105°，MD=AG=4，求出∠MDF=135°，則∠MDN=45°，繼而證明△MDN為等腰直角三角形，得到MN=DN=22，則NF=4【詳解】（1）解：根據(jù)題意：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，再連接BE，∴AD=1∵AD是BC邊上的中線，∴CD=BD，在△DAC和△DEB中，AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD，∴△DAC≌∴AC=EB=4，∵AB?BE<AE<AB+BE，∴4<AE<12，∴2<AD<6，故答案為：2<AD<6．（2）解：如圖：連接OB．過(guò)點(diǎn)A作AT∥CD交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∴∠T=∠ECB，∵CE為AB邊上的中線，∴AE=BE，∴△AET≌∴AT=BC，∵CB=2BD，∴CD：∵AT∥∴ODAO設(shè)△ABC的面積為x,∵BC=2BD，∴△ADB的面積為12∵OD：∴△OBD的面積為310x,△AOB的面積為∵AE=EB，∴△AOE的面積=△BOE的面積=110∴四邊形ODBE的面積=△ODB的面積+△OBE的面積=3∴x=50．∴△ABC的面積為50．（3）解：如圖，延長(zhǎng)GE至點(diǎn)M，使得EM=EG，連接MD，MF，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∵E為AD中點(diǎn)，∴EA=ED，在△AEG和△DEM中，AE=DE∴△AEG≌∴∠EDM=∠EAG=105°，∵∠EDF=120°，∴∠MDF=135°，∴∠MDN=45°，∴△MDN為等腰直角三角形，∴MN=DN=2∴NF=ND+FD=22∴.MF=N∵GE=EM，∴EF垂直平分GH，∴MF=GF，∴GF=210【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）輔助線是解決幾何圖形問(wèn)題的利劍，合理添加輔助線，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，下表給出了三角形中幾個(gè)常見(jiàn)利用中點(diǎn)添加輔助線的模型，請(qǐng)根據(jù)要求解決問(wèn)題．題眼1．普通三角形+中點(diǎn)2．等腰三角形+底邊中點(diǎn)3．直角三角形+斜邊中點(diǎn)4．兩個(gè)中點(diǎn)大致圖形輔助線名稱倍長(zhǎng)中線三線合一斜邊中線中位線具體做法延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E，使DE=BD，連接AE連接AD連接CD連接DE產(chǎn)生效果

△AED≌△CBDAE∥BCAD⊥BC∠BAD=∠CAD①②(1)請(qǐng)?jiān)冖?，②中任選擇一個(gè)填空：你選擇的是_______，產(chǎn)生效果是_______．（產(chǎn)生效果寫(xiě)一個(gè)或兩個(gè)）(2)如圖①，在三角形中，AD是△ABC的一條中線，AB=5,AC=3,AD=2，求BC的長(zhǎng)．(3)如圖②，在△ABC中，∠A=30°,∠C=90°,AB=4，點(diǎn)M，N是邊AC上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊在△ABC內(nèi)部（包括邊界）作等邊三角形△PMN，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AM，PM的中點(diǎn)，當(dāng)【答案】(1)①，CD=12AB或②，(2)BC=2(3)EF=【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及三角形的中位線定理即可求解；（2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE=AD=2，可得△BDE≌△CDA，則BE=AC=3，可證明AE2+BE2=AB2，則（3）當(dāng)點(diǎn)P落在邊AB上時(shí)，等邊三角形的邊長(zhǎng)最大，即周長(zhǎng)最大，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及三角形的中位線定理即可求解．【詳解】（1）解：選擇①，CD=1選擇②，DE∥BC，DE=1（2）解：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE=AD=2，在△BDE和△CDA中，DE=AD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA，∴BE=AC=3，∵AB即：AE∴∠AEB=90°，在Rt△BDE中，BD=∴BC=2BD=213（3）解：平移△PMN，使得點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵△PMN是等邊三角形，∴∠ANP=60°，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴∠ACD=60°，∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，NP與CD重合，∴當(dāng)點(diǎn)P落在邊AB上時(shí)，等邊三角形的邊長(zhǎng)最大，即周長(zhǎng)最大，如圖：∵∠A=30°,∠ACB=90°，∴∠B=60°,BC=1∵∠PNM=60°，∴∠BPN=90°，∠BNP=30°，∴BP=1∴AP=AB?BP=4?1=3，又∵E,F分別為AM,PM的中點(diǎn)，∴EF為△APM的中位線，∴EF=1【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型02截長(zhǎng)補(bǔ)短法方法截長(zhǎng)法補(bǔ)短法條件在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求證：AB=AC+CD圖示方法在AB上截取AE=AC,連接DE延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使CD=CE,連接DE結(jié)論△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形【總結(jié)】1）“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種靠略，截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題.2）截長(zhǎng)或補(bǔ)短后，如果出現(xiàn)的全等三角形或特殊三角形能推動(dòng)證明，那么輔助線是成功的，否則，就應(yīng)該換一個(gè)截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方式，甚至換一種解題思路.1．（2020·安徽·中考真題）如圖1．已知四邊形ABCD是矩形．點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上．AE=AD.EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F,AF=AB.1求證：BD⊥EC；2若AB=1，求AE的長(zhǎng)；3如圖2，連接AG，求證：EG?DG=2【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1+5【分析】（1）由矩形的形及已知證得△EAF≌△DAB，則有∠E=∠ADB，進(jìn)而證得∠EGB=90o即可證得結(jié)論；（2）設(shè)AE=x，利用矩形性質(zhì)知AF∥BC，則有EAEB（3）在EF上截取EH=DG，進(jìn)而證明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，則證得△HAG為等腰直角三角形，即可得證結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠EAD=90o，AO=BC，AD∥BC，在△EAF和△DAB，AE=AD∠EAF=∠DAB∴△EAF≌△DAB(SAS)，∴∠E=∠BDA，∵∠BDA+∠ABD=90o，∴∠E+∠ABD=90o，∴∠EGB=90o，∴BG⊥EC；（2）設(shè)AE=x，則EB=1+x，BC=AD=AE=x，∵AF∥BC，∠E=∠E，∴△EAF∽△EBC，∴EAEB∴x1+x=1解得：x=1+52即AE=1+5（3）在EG上截取EH=DG，連接AH，在△EAH和△DAG，AE=AD∠HEA=∠GDA∴△EAH≌△DAG(SAS)，∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，∵∠EAH+∠DAH=90o，∴∠DAG+∠DAH=90o，∴∠HAG=90o，∴△GAH是等腰直角三角形，∴AH2+A∴GH=2AG，∵GH=EG-EH=EG-DG，∴EG?DG=2【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，涉及知識(shí)面廣，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，提取相關(guān)信息，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短等解題方法確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．2．（2020九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）在菱形ABCD中，射線BM從對(duì)角線BD所在的位置開(kāi)始繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<180°，點(diǎn)E在射線BM上，∠DEB=∠DAB（1）當(dāng)∠DAB=60°時(shí)，BM旋轉(zhuǎn)到圖①的位置，線段BE，DE，AE之間的數(shù)量關(guān)系是______；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)BM旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，探究線段BE，DE，AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）將圖②中的∠DAB=60°改為∠DAB=90°，如圖③，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE，DE，AE之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）BE=DE+AE；（2）BE=DE?AE，證明見(jiàn)解析；（3）BE=DE?【分析】（1）在射線BM上截取BF=DE，連接AF，首先利用菱形的性質(zhì)證明△ADE≌△ABF，然后利用全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得出EF=AE，從而可得出結(jié)論BE=DE+AE；（2）在DE上截取DG=BE，連接AG，首先利用菱形的性質(zhì)證明△ADG≌△ABE，然后利用全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得出EG=AE，從而可得出結(jié)論BE=DE?AE；（3）在DE上截取DH=BE，連接AH，首先利用正方形的性質(zhì)證明△ADH≌△ABE，然后利用全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=2AE，從而可得出結(jié)論【詳解】（1）解：BE=DE+AE；如圖①，在射線BM上截取BF=DE，連接AF，∵∠DEB=∠DAB=60°，∴∠EDA=∠ABE．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD．∴△ADE≌△ABFSAS∴AE=AF，∠EAD=∠BAF．∴∠DAB=∠DAF+∠BAF=∠DAF+∠EAD=∠EAF=60°．∴△AEF是等邊三角形，∴EF=AE．∵BE=BF+EF，∴BE=DE+AE．

（2）BE=DE?AE．證明：如圖②，在DE上截取DG=BE，連接AG，∵∠DEB=∠DAB=60°，∴∠EDA=∠ABE．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD．∴△ADG≌△ABESAS∴AE=AG，∠DAG=∠BAE．∴∠DAB=∠DAG+∠BAG=∠BAE+∠BAG=∠EAG=60°．∴△AEG是等邊三角形．∴EG=AE．∵DG=DE?EG，∴BE=DE?AE；

（3）BE=DE?2如圖③，在DE上截取DH=BE，連接AH，∵∠DEB=∠DAB=90°，∴∠EDA=∠ABE．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD．∴△ADH≌△ABESAS∴AE=AH，∠HAD=∠BAE．∴∠DAB=∠DAH+∠BAH=∠BAE+∠BAH=∠EAH=90°．∴△AEH是等腰直角三角形．∴EH=2∵DH=DE?EH，∴BE=DE?2

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，正方形和菱形的性質(zhì)，合理的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們探究．在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°，點(diǎn)D在直線BC上，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交直線AB（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF=AB；分析問(wèn)題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用AD=AE構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM=EF，連接DM，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：推理證明：寫(xiě)出圖①的證明過(guò)程：探究問(wèn)題：（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接寫(xiě)出線段BD，EF，AB之間的數(shù)量關(guān)系；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若AC=63，CD=2BD，則EF=【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）圖②：AB=BD?EF，圖③：AB=EF?BD；（3）10或18【分析】（1）在AB邊上截取AM=EF，連接DM，根據(jù)題意證明出△DAM≌△AEFSAS，得到AF=DM，然后證明出△BMD是等邊三角形，得到BD=BM=DM（2）圖②：在BD上取點(diǎn)H，使BH=AB，連接AH并延長(zhǎng)到點(diǎn)G使AG=AF，連接DG，首先證明出△ABH是等邊三角形，得到∠BAH=60°，然后求出∠BAH=∠DAE，然后證明出△FAE≌△GADSAS，得到EF=DG，∠AFE=∠G，然后證明出△DHG是等邊三角形，得到DH=DG=EF圖③：在EF上取點(diǎn)H使AH=AF，同理證明出△EAH≌△ADBAAS，得到BD=AH，AB=EH（3）根據(jù)勾股定理和含30°角直角三角形的性質(zhì)求出BC=6，AB=12，然后結(jié)合CD=2BD，分別（1）（2）的條件下求出BD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）證明：在AB邊上截取AM=EF，連接DM．在Rt△ABC中，∠B=90°?∠BAC=90°?30°=60°∵EF∥BC，∴∠EFB=∠B=60°．又∵∠EAD=60°，∴∠EFB=∠EAD．又∵∠BAD=∠EAD?∠EAF，∠AEF=∠EFB?∠EAF，∴∠BAD=∠AEF．又∵AD=AE,AM=EF，∴△DAM≌△AEFSAS∴AF=DM．∴∠AMD=∠EFA=180°?∠EFB=180°?60°=120°．∴∠BMD=180°?∠AMD=180°?120°=60°．∵∠B=60°，∴∠BMD=∠B=∠BDM．∴△BMD是等邊三角形．∴BD=BM=DM，∵AB=AM+BM，∴AB=EF+BD；（2）圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AB=BD?EF，證明如下：如圖所示，在BD上取點(diǎn)H，使BH=AB，連接AH并延長(zhǎng)到點(diǎn)G使AG=AF，連接DG，∵∠ABC=60°，∴△ABH是等邊三角形，∴∠BAH=60°，∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD，∴∠BAH=∠DAE，∴∠BAH?∠EAH=∠DAE?∠EAH，即∠BAE=∠HAD，又∵AG=AF，∴△FAE≌△GADSAS∴EF=DG，∠AFE=∠G，∵BD∥EF，∴∠ABC=∠F=∠G=60°，∵∠DHG=∠AHB=60°，∴△DHG是等邊三角形，∴DH=DG=EF，∴AB=BH=BD?DH=BD?EF；圖③：當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AB=EF?BD，證明如下∶如圖所示，在EF上取點(diǎn)H使AH=AF，∵EF∥BC，∴∠F=∠ABC=60°，∵AH=AF，∴△AHF是等邊三角形，∴∠AHF=∠HAF=60°，∴∠AHE=120°，∵將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠DAB+∠EAH=180°?∠EAD?∠HAF=60°，∵∠D+∠DAB=∠ABC=60°，∴∠D=∠EAH，∵∠DBA=180°?∠ABC=120°=∠EHA，又∵AD=AE，∴△EAH≌△ADBAAS∴BD=AH，AB=EH，∵AH=FH，∴BD=HF，∴AB=EH=EF?FH=EF?BD；（3）如圖所示，∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴AB=2BC，AB∴2BC2∴BC=6，∴AB=2BC=12，∵CD=2BD，BC=BD+CD，∴CD=1由（1）可知，BD+EF=AB，∴EF=AB?BD=12?2=10；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵CD<BD，與CD=2BD矛盾，∴不符合題意；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵CD=2BD=BD+BC，BC=6，∴BD=BC=6，由（2）可知，AB=EF?BD，∵AB=2BC=12，∴EF=AB+BD=12+6=18．綜上所述，EF=10或18．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．題型03作平行線法1．（2023貴州黔西模擬）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【答案】C【分析】過(guò)P作BC的平行線交AC于F，通過(guò)AAS證明△PFD≌△QCD，得FD=CD，再由△APF是等邊三角形，即可得出DE=1【詳解】解：過(guò)P作BC的平行線交AC于F，∴∠Q=∠FPD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF，∵CQ＝PA，∴PF=CQ在△PFD中和△QCD中，∠FPD=∠Q∠PDF=∠QDC∴△PFD≌△QCDAAS∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE=EF，∴AE+DC=EF+FD=∴DE=1∵AC=4，∴DE=2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2024齊齊哈爾模擬）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E為邊AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC．

(1)當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），則有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；(2)猜想如圖2，AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)=(2)AE=DB，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，得到∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，由三線合一得到AE=BE，∠BCE=12∠ACB=30°，由ED=EC，得∠D=∠BCE=30°（2）過(guò)E作EF∥BC交AC于F，先證明△AEF是等邊三角形，得到AE=EF=AF，再用AAS證明△DEB≌△ECF，得到BD=EF=AE，進(jìn)而證得猜想【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∠BCE=12∵ED=EC，∴△CDE是等腰三角形，∴∠D=∵∠ABC=∴∠BED=30°∴∠D=∴BD=BE，∴AE=DB．故答案為：=（2）解：AE=DB．理由如下：過(guò)E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC．∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°．∴△AEF是等邊三角形．∴AE=EF=AF．∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°．∵DE=EC，∴∠D=∠ECD．∴∠BED=∠ECF．在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF,∴△DEB≌△ECFAAS∴BD=EF=AE，即AE=BD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，在等邊三角形中通過(guò)作平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題探究】（1）如圖①，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E為DC上的點(diǎn)，DE=2CE，連接BE，點(diǎn)O為BE上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作MN⊥BE交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，求MN的長(zhǎng)度．【類比遷移】（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，連接BD，過(guò)BD的中點(diǎn)O作MN⊥BD交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，求MN的長(zhǎng)度．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，李大爺家有一塊平行四邊形的菜地，記作平行四邊形ABCD．測(cè)得AB=72米，BC=17米，∠ABC=45°．為了管理方便，李大爺沿著對(duì)角線BD開(kāi)一條小路，過(guò)這條小路的正中間，開(kāi)了另一條垂直于它的小路MN【答案】【問(wèn)題探究】MN=210；【類比遷移】152【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BC于G，交BE于H，證明△MGN≌△BCEAAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得MN=BE（2）過(guò)點(diǎn)M作MK⊥BC于K，交BD于L，證明△MKN∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得MNBD（3）過(guò)點(diǎn)M作MP⊥BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，解直角三角形DQC求得DQ，CQ，進(jìn)而求得BQ，再根據(jù)勾股定理求得BD，再證明△DBQ∽△NMP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BC于G，交BE于H，∴∠MGN=90°，∵M(jìn)N⊥BE，∴∠MOH=90°，∵∠HMO+∠MHO=90°，∠HBG+∠BHG=90°，∠BHG=∠MHO，∴∠HBG=∠HMO，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠BCE=90°，∵AB=MG，∴MG=BC，在△MGN和△BCE中，∠HBG=∠HMO∠MGN=∠BCE∴△MGN≌△BCEAAS∴MN=BE，∵AB=6，DE=2CE，∴CE=1在Rt△BCE中，BE=∴MN=210（2）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MK⊥BC于K，交BD于L，∴∠MKN=90°，∵M(jìn)N⊥BD，∴∠MOL=90°，∵∠LMO+∠MLO=90°，∠LBK+∠BLK=90°，∠BLG=∠MLO，∴∠LBK=∠LMO，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠BCD=90°，∵AB=MG，∴MG=BC，在△MKN和△BCD中，∠LBK=∠LMO∠MKN=∠BCD∴△MKN∽△BCD，∴MNBD∵在Rt△BCD中，BD=∴MN=6（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∵CD=AB=72，∠DCQ=∠ABC=45°，∴DP=CD?sin∴CQ=DQ=7，∵BC=17，∴BQ=24，∴BD=B∵M(jìn)N⊥BD，MP⊥BQ，∴∠DBQ+∠MNP=90°，∠MNP+∠NMP=90°，∴∠DBQ=∠NMP，∴△DBQ∽△NMP，∴MPBQ=解得：MN=175【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．題型04作垂線法1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形ABCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到四邊形A'B'C'D'A．?1,?2 B．?2,?1 C．2,1 D．1,2【答案】A【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)和平移，全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)題意得到平移方式為向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則可得平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為2,?1；如圖所示，設(shè)E2,?1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，分別過(guò)E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，證明△HFO≌△GOEAAS，得到OH=GE=1，HF=OG=2，則F?1,?2，即點(diǎn)A【詳解】解：由題意得，平移前B?3,0∵將正方形ABCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，∴平移方式為向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為2,?1，如圖所示，設(shè)E2,?1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，分別過(guò)E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H∴∠OHF=∠OGE=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EOF=90°，∴∠HOF+∠HFO=∠GOE+∠HOF，∴∠HFO=∠GOE，∴△HFO≌△GOEAAS∴OH=GE，∵E2,?1∴OH=GE=1，∴F?1,?2∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是?1,?2故選：A．2．（2024·內(nèi)蒙古赤