第02講 空間向量基本定理【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊）（原卷版）

第02講空間向量基本定理【人教A版2019】·模塊一空間向量基本定理·模塊二用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間向量基本定理1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．【考點1用空間基底表示向量】【例1.1】（2023春·高二單元測試）如圖，在空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2

A．23a+C．-23a【例1.2】（2023春·江蘇常州·高二校考階段練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在BC上，且MB=2MC，A．12a-C．-12a【變式1.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，P為AD1與AA．a(chǎn)+12C．-a+1【變式1.2】（2023秋·河南許昌·高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BDA．-a+b+2c B．a(chǎn)+【考點2由空間向量基本定理求參數(shù)】【例2.1】（2023春·甘肅蘭州·高二校考期末）已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點，PA⊥平面ABCD，點M,N滿足PM=12PCA．-1 B．1 C．-12【例2.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)P-ABC是正三棱錐，G是△ABC的重心，D是PG上的一點，且PD=DG，若PDA．56,13,23 B．【變式2.1】（2022·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在三棱錐O-ABC中，點G為底面△ABC的重心，點M是線段OG上靠近點G的三等分點，過點M的平面分別交棱OA，OB，OC于點D，E，F(xiàn)，若OD=kOA，OE=A．133 B．23 C．32【變式2.2】（2022秋·河南·高二校考階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，H分別在棱BB1，BC，BA上，且滿足BM=34BB1，BNA．105 B．125 C．145【考點3正交分解】【例3.1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個單位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,-12,3 B．-3【例3.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè){i,j,k}是單位正交基底，已知a=i+j,b=A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【變式3.1】（2023·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中點為M，B1D1的中點為N，若以{DA,DC,DD1}為單位正交基底,A．(12,C．(0,12【變式3.2】（2023秋·黑龍江大慶·高二統(tǒng)考期末）a,b,c是空間的一個單位正交基底，p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為A．(-1,2,3) B．(1,-2,3) C．(1,2,-3) D．(-3,2,1)模塊二模塊二用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題1．證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.【考點4證明平行、共線、共面問題】【例4.1】（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且【例4.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G【變式4.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足OM=(1)判斷MA,(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).【變式4.2】（2022秋·湖北武漢·高二校考階段練習(xí)）在正四棱錐P-ABCD中，點M,N,S分別是棱(1)若x=1,y=12，且PD(2)若x=23,y=1【考點5幾何中的求夾角、證明垂直問題】【例5.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A【例5.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN【變式5.1】（2023·全國·校聯(lián)考一模）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設(shè)AB=a，AC=(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【變式5.2】（2022秋·天津濱海新·高二?？茧A段練習(xí)）已知平行六面體ABCD-A1B1C1（1）證明：DD（2）求異面直線CA1與AB【考點6幾何中的求距離(長度)問題】【例6.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD

【例6.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD

【變式6.1】（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，沿它的對角線AC將△ACD折起，使【變式6.2】（2022秋·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)AB?AD(2)線段AC1的長模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023春·甘肅天水·高二校考期中）已知空間向量a,b,A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．若a,C．若a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量pD．若a,b不共線，向量c=λa+μ2．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A．3a，a-b，a+2b B．C．a(chǎn)，2b，b-c D．c，3．（2023春·高二課時練習(xí)）若a,b,A．2a-b，B．2a+b，C．2a+b，D．2a-b，4．（2023春·高二課時練習(xí)）在三棱錐O-ABC中，G是△ABC的重心，M是線段OG的中點，若AM=xA．-12 B．14 C．-5．（2023秋·高二課時練習(xí)）在四面體OABC中，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC的中點，若OG=13OA+x4OBA．1 B．2 C．23 D．6．（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個有八個面的半正多面體，如圖，點P，A，B，C，D為該半正多面體的頂點，若PA=a，PB=b，PC=

A．-12aC．a(chǎn)-12b7．（2023春·高二單元測試）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點，下列條件中能確定點M與點A，B，C一定共面的是（）A．OM=OA+C．OM=128．（2023春·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）把邊長為22的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD與平面CBD所成二面角的大小為60°，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為（

A．14 B．-14 C．-9．（2023春·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱BB1和DDA．12 B．14 C．1310．（2023春·黑龍江牡丹江·高一校考期末）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長為1A．5 B．22 C．10 D．11．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知e1,e2,e3為空間的一個基底，且OA12．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)(1)證明：A、E、C1、F(2)若EF=xAB13．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC的各邊及對角線長都為2，E是AB的中點，F(xiàn)在OC上，且OF=2

（1）用{