山東省威海市2022屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題 附解析

2022年威海市高考模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡指定位置上2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，1.已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，則.故選：C2.設(shè)集合，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】求得集合和，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】解：由題意，集合，，因?yàn)椋傻?，解?故選：D.3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公差()A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于和d的方程組求解即可．【詳解】由題可知．故選：B．4.己知函數(shù)為偶函數(shù)，則()A0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】∵f(x)是R上的奇函數(shù)，故可取特值求φ的值．【詳解】∵f(x)定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，∴，，．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)滿足題意．故選：C．5.甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個(gè)網(wǎng)站查看這家健身房的評(píng)價(jià)．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為．綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評(píng)率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算可得.【詳解】由已知可得這家健身房的總好評(píng)率為.故選：B.6.已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式，即可求解.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以在方向上的投影向量?故選：A7.已知圓柱的高和底面半徑均為4，為上底面圓周的直徑，點(diǎn)P是上底面圓周上的一點(diǎn)且，，是圓柱的一條母線，則點(diǎn)P到平面的距離為（）A.4 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意易求三棱錐的體積，再求出的面積即可求解.【詳解】由題可得，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為，則，解得.故選：D.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P．若，則C的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出拋物線方程和直線方程，聯(lián)立解出P的坐標(biāo)，求出、，根據(jù)雙曲線離心率即可計(jì)算．【詳解】由題知，，則拋物線方程為：，直線方程為：，由，∴，∴軸，∴，，∴雙曲線離心率．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別可判斷A、B、C，結(jié)合C和對(duì)數(shù)換底公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，∵冪函數(shù)y=在單調(diào)遞增，∴根據(jù)可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減，∴根據(jù)可知，故B正確；對(duì)于C，∵對(duì)數(shù)函數(shù)y=()在上單調(diào)遞減，∴根據(jù)可知，故C正確；對(duì)于D，由C可知，∴，即，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.已知是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面及外兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：①，②，③，④，則正確的是()A.②③④① B.①③④② C.①②④③ D.①②③④【答案】AC【解析】【分析】利用空間里面線和面的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，若，，則m⊥β，又∵，∴m⊥n，故A正確；對(duì)于B，若，，則n∥α，有∵，∴α與β平行或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則m⊥β，又∵，nβ，∴n∥β，故C正確；對(duì)于D，若，，則n∥α，又∵，則m與α平行或相交，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.數(shù)學(xué)中有許多優(yōu)美的曲線，星形曲線就是其中之一，它最早是由古希臘天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)的，羅默、伯努利、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家都研究過(guò)其性質(zhì)在工業(yè)生產(chǎn)中，利用星形曲線的特性，能設(shè)計(jì)出一種超輕超硬材料，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的廣泛性和應(yīng)用性．已知星形曲線，設(shè)為E上任意一點(diǎn)，則（）A.曲線E與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn)B.C.曲線E有且只有兩條對(duì)稱軸D.【答案】ABD【解析】【分析】利用曲線方程令，可判斷A，利用可判斷B，利用方程可得曲線關(guān)于關(guān)于，軸對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，可判斷C，結(jié)合對(duì)稱性可得，進(jìn)而可判斷D.【詳解】∵，令，可得，令，可得，∴曲線E與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn)，故A正確；由可知，，∴，故B正確；因?yàn)椋瑢⒎匠讨械膿Q為，不變，則方程不變；將方程中的換為，不變，則方程不變；可得曲線關(guān)于，軸對(duì)稱；將方程中的換為，方程中的換為，則方程不變，可得曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；將方程中的換為，換為，則方程不變，可得曲線關(guān)于對(duì)稱；將方程中的換為，換為，則方程不變，可得曲線關(guān)于對(duì)稱；故C錯(cuò)誤；由上可知曲線關(guān)于曲線關(guān)于，軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，所以，即，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镃.當(dāng)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)解【答案】BCD【解析】【分析】A.由根式函數(shù)的定義域求法求解；B.由函數(shù)值域的求法求解；C.由，分和判斷；D.設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即有兩個(gè)解求解判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，由，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋叔e(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋收_；C.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故正確；D.易知，，即為，設(shè)，則，即，若方程有兩個(gè)解則，故正確.故選：BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，則___________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】由題知：，因?yàn)椋?故答案為：14.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為______．【答案】【解析】【分析】先求兩圓公共弦方程，再利用弦心距，弦長(zhǎng)，半徑之間的關(guān)系求解【詳解】設(shè)圓：與圓：交于，兩點(diǎn)把兩圓方程相減，化簡(jiǎn)得即：圓心到直線的距離，又而，所以故答案為：15.設(shè)隨機(jī)事件A、B，己知，，，則______，______.【答案】①.0.12②.0.24【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式求出和，根據(jù)可求.【詳解】，

，

.故答案為：0.12；0.24.16.已知曲線，若有且只有一條直線同時(shí)與，都相切，則________．【答案】1【解析】【分析】設(shè)出直線與兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，再利用兩個(gè)方程所表示的直線重合，建立方程組求解.【詳解】設(shè)與相切于，與相切于點(diǎn)，由，得，則與相切于點(diǎn)的切線方程為：，即，由，，則與相切于點(diǎn)的切線方程為：，即，，因?yàn)閮汕芯€重合，所以，①，②，由①得，代入②得，，化簡(jiǎn)得，，明顯可見(jiàn)，，時(shí)等式成立.故答案為：1四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正值，是、的等差中項(xiàng)，，記．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為，則，由題意知，可得，解得，所以，，．【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)?，所?8.如圖所示，在等邊中，，，分別是上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接．（1）證明：；（2）設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）折疊前，折疊后，從而平面，又又平，則（2）易知二面角的平面角為，另一方面平面平面，從而可以確定的位置，建立空間直角坐標(biāo)系即可求解【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槭堑冗吶切?，E是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕?，可得，又，所以平面，又平，所以．【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以二面角的平面角為，所以，可得，由第?）問(wèn)知，平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影Q在上，因?yàn)?，所以，過(guò)F作直線交于點(diǎn)K，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.如圖所示，在平面四邊形中，，，，設(shè)．

（1）若，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，的面積取得最大值，并求出該最大值．【答案】（1）；（2），最大值為．【解析】【分析】(1)在△ABD中，根據(jù)余弦定理求出AD，在△ACD中，利用正弦定理即可求出CD．(2)解△ABD和△ACD，根據(jù)用θ表示出△BCD的面積，利用三角恒等變換和三角函數(shù)性質(zhì)即可求其最大值．【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理可得，，∴，在中，由正弦定理可得，，∴；【小問(wèn)2詳解】由第(1)問(wèn)知，在中，，∴，∴，在中，由正弦定理可得，，∴，∵，∴，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)面積的最大值為．20.某生物實(shí)驗(yàn)室用小白鼠進(jìn)行新冠病毒實(shí)驗(yàn)，已知6只小白鼠中有1只感染新冠病毒且無(wú)患病癥狀，將它們分別單獨(dú)封閉隔離到6個(gè)不同的操作間內(nèi)，由于工作人員的疏忽，沒(méi)有記錄感染新冠病毒的小白鼠所在的操作間，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性即為感染新冠病毒，呈陰性即沒(méi)有感染新冠病毒．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染新冠病毒的小白鼠為止．方案乙：先任取4只，將它們血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽(yáng)性，則表明感染新冠病毒的小白鼠為這4只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染新冠病毒的小白鼠為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．（1）求采用方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)為4次的概率；（2）用X表示采用方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)，求X的分布列：（3）求采用方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)的概率．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）代古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可（2）先確定可能的取值，再求取每個(gè)值時(shí)相應(yīng)的概率（3）事件“采用方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)”可拆分為方案乙化驗(yàn)2次方案甲至少化驗(yàn)3次，方案乙化驗(yàn)3次甲方案至少化驗(yàn)4次和方案乙化驗(yàn)4次方案甲化驗(yàn)5次三個(gè)互斥事件，按相應(yīng)公式即可求解【小問(wèn)1詳解】記“采用方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)為4次”為事件，則．【小問(wèn)2詳解】可能的取值為2，3，4，，，，所以X的分布列為234【小問(wèn)3詳解】設(shè)采用方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)為3，4，5分別為事件，，，，設(shè)采用方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)為2，3，4分別為事件，由第（2）間可知，設(shè)采用方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)為事件C，由題意可知與相互獨(dú)立，與，相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，則，所以采用方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗(yàn)的次數(shù)的概率為．21.已知橢圓的離心率為，圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在y軸上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)A，且l交圓于M、N兩點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于a、b、c的方程組求出a、b即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角可知，設(shè)AP為，l為，聯(lián)立直線AP和橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出P的橫坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式求出，求出原點(diǎn)O到直線l的距離，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求出，根據(jù)即可表示出△PMN的面積，換元構(gòu)造利用不等式即可求其最大值．【小問(wèn)1詳解】由題意知，，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意知，∵以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，∴，由題意可知直線的斜率存在且不為0，故設(shè)直線的方程為，則直線l的方程為，設(shè)，由得，∵點(diǎn)為與C的一個(gè)交點(diǎn)，∴，解得，∴，直線l的方程變形為，設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為d，∴，∴，方法一：∴，設(shè)，則，∴，∵(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)，可得面積的最大值為．方法二：∴，設(shè)，則，∴，∵，∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)，可得面積的最大值為．22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明．①；②．【答案】（1）的單增區(qū)間為；單減區(qū)間為，（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）若選①，不