重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題

重慶市高2025屆拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三下2月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以?故選：B2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D3.向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，，再根據(jù)投影向量定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?、，所以，，所以向量在向量上的投影向量?故選：D4.函數(shù)的圖象如圖所示，其中，，為了得到的圖象，可以將的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)過、兩點(diǎn)，設(shè)的最小正周期為，因?yàn)?，所以有，而，因此，即，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，因此，而，所以將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象.故選：C5.如圖，四邊形中，，將三角形沿著對(duì)角線翻折，使得點(diǎn)至點(diǎn)，形成三棱錐，已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定球的球心位置，求出球半徑即可.【詳解】依題意，在中，，則中點(diǎn)即為球的球心，連接，則，即球的半徑為1，所以球的表面積為.故選：B6.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，，再求出，最后根據(jù)及兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，所?故選：A7.數(shù)列對(duì)任意的有成立，若，則等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】變形給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解.【詳解】依題意，，則，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，于是，而所以.故選：C8.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意均有，且當(dāng)時(shí)，.將的圖象向左平移個(gè)單位，在該過程中，的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)共次，則的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先得到函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，即可畫出函數(shù)圖象（部分），依題意可得的圖象在區(qū)間上與直線有個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象得到的取值集合.【詳解】因?yàn)闉槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，又對(duì)任意均有，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，所以為周期為的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以的部分圖象如下所示：因?yàn)閷⒌膱D象向左平移個(gè)單位，在該過程中，的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)共次，所以的圖象在區(qū)間上與直線有個(gè)交點(diǎn)，又，結(jié)合圖象可知的取值集合為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，再數(shù)形結(jié)合.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.一個(gè)袋子中有10個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中有4個(gè)黃球，6個(gè)白球，分別采用有放回和不放回的方式，從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球作為樣本，用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，下列說法正確的有（）A.如果采用有放回地摸球，則兩次都摸到黃球的概率是B.如果采用不放回地摸球，第一次摸到黃球的條件下，則第二次也摸到黃球的概率為C.如果采用不放回地摸球，則第二次摸到黃球的概率為D.無論是采用有放回摸球還是不放回摸球，的均值都是一樣的【答案】BCD【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件求出概率判斷A；利用條件概率及全概率公式求解判斷BC；利用二項(xiàng)分布及超幾何分布均值求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，有放回地摸球，每次摸到黃球的概率為，且相互獨(dú)立，則兩次都摸到黃球的概率是，A錯(cuò)誤；對(duì)于BC，不放回地摸球，設(shè)”第一次摸到黃球”，“第二次摸到黃球”，則，，BC正確；對(duì)于D，當(dāng)分別采用有放回摸球和不放回摸球時(shí)，樣本中的黃球個(gè)數(shù)分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布，其均值均為，D正確.故選：BCD10.函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的極小值為B.為奇函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，一定有三個(gè)零點(diǎn)D若直線與有三個(gè)交點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定極值判斷A；利用奇函數(shù)的定義判斷B；由極大值、極小值的正負(fù)判斷C；利用中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為極大值，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，令的二根，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，由三次函數(shù)的圖象特征知，函數(shù)的圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，而直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)的圖象與直線的3個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，D正確.故選：BCD11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的點(diǎn)，直線的斜率為1且滿足，則（）A. B.若，則C. D.【答案】ACD【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的斜率求得，再結(jié)合拋物線定義逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】依題意，，直線的斜率，解得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，則，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，直線：與軸交于點(diǎn)，因此的面積，C正確；對(duì)于D，由對(duì)稱性知，要證，即證，即證，而，同理，由數(shù)列是等差數(shù)列知，因此，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用拋物線的對(duì)稱性，把轉(zhuǎn)化為是求證的關(guān)鍵.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用前項(xiàng)和與第的關(guān)系求出通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.故答案為：13.函數(shù)在處切線的方向向量與向量共線，則_____.【答案】1【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及方向向量的意義求出.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在處切線斜率，由切線的方向向量與向量共線，得切線斜率為2，因此，所以.故答案為：114.為激勵(lì)高三學(xué)子的學(xué)習(xí)熱情，數(shù)學(xué)老師開發(fā)了一款小游戲程序，同學(xué)們表現(xiàn)優(yōu)秀時(shí)可參與一次.游戲規(guī)則如下:第一步，在圖①所示的棋盤內(nèi)，學(xué)生點(diǎn)擊搖獎(jiǎng)，程序會(huì)隨機(jī)放上7枚黑棋;第二步，學(xué)生自行選擇空格放上2枚白棋;最終，每當(dāng)有4枚棋子在同一行、列或?qū)蔷€上時(shí)，稱為連成一條線.若未連成線，則獲安慰獎(jiǎng)；連成一、二、三條線，分別獲三、二、一等獎(jiǎng)，圖②就是一種獲一等獎(jiǎng)的情況.現(xiàn)在小明和小紅都可參與一次游戲.小明點(diǎn)擊搖獎(jiǎng)后，出現(xiàn)了圖③的情況，若他隨機(jī)地放上白棋，則他獲二等獎(jiǎng)的概率是_____；已知小紅放上白棋時(shí)總能保證獎(jiǎng)勵(lì)最大化，則在“點(diǎn)擊搖獎(jiǎng)后，7枚黑棋中恰有4枚在第一列”的條件下，她獲一等獎(jiǎng)的概率是_____.【答案】①.②.【解析】【分析】求出在圖③中再放2枚棋子形成兩條線的情況種數(shù)即可得小明獲獎(jiǎng)概率；構(gòu)建模型，結(jié)合排除法求出保證獎(jiǎng)勵(lì)最大化的結(jié)果數(shù)，再利用古典概率求解.【詳解】對(duì)于小明，在圖③的情況下，再放2枚白棋形成兩條線的不同情況有4種，而樣本空間共有種不同情況，所以小明獲二等獎(jiǎng)的概率是；對(duì)于小紅，9枚棋子形成三條線的形狀（簡(jiǎn)稱“三線”）必然由一行、一列、一對(duì)角線構(gòu)成，由于第一列已經(jīng)確定，則當(dāng)?shù)谝换虻谒男羞B上時(shí)，對(duì)角線還有1種情況；當(dāng)?shù)诙谢蛉羞B上時(shí)，對(duì)角線還有2種情況，因此“三線”共有種，由于小紅總能保證獎(jiǎng)勵(lì)最大化，則只需隨機(jī)出來的形狀恰好是“三線”去掉2枚棋子（簡(jiǎn)稱“準(zhǔn)三線”）即可，于是從第一列外的5枚棋子中去掉2枚棋子形成的“準(zhǔn)三線”共種，但是，有一些“準(zhǔn)三線”可以由多個(gè)“三線”得到：第一列和某一對(duì)角線形成的“準(zhǔn)三線”，可以由3個(gè)不同的“三線”得到，重復(fù)計(jì)算的“準(zhǔn)三線”有次；第一列和第二行或三行形成的“準(zhǔn)三線”，可以由2個(gè)不同的“三線”得到，重復(fù)計(jì)算的“準(zhǔn)三線”有次，因此，“準(zhǔn)三線”實(shí)際上只有種，第一列之外隨機(jī)放上3枚棋子的所有情況為種，所以小紅獲得一等獎(jiǎng)的概率.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在保證獎(jiǎng)勵(lì)最大化的前提下，構(gòu)造模型并結(jié)合排除法將重復(fù)計(jì)算的情況去掉是求解的關(guān)鍵.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.銳角中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，，.（1）若，求;（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出，從而求出，再由兩角和的正弦公式計(jì)算可得；（2）利用正弦定理求出的取值范圍，再結(jié)合余弦定理及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問1詳解】由正弦定理，即，解得，又為銳角三角形，所以，所以.【小問2詳解】由正弦定理可得，又為銳角三角形，所以，所以，則，所以，即，由余弦定理，則，所以.16.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是否存在直線使得(為原點(diǎn))，若存在，求直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出雙曲線的方程，利用離心率及所過的點(diǎn)求出即可.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及垂直關(guān)系的向量表示求解.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由離心率為，得，解得，于是雙曲線過點(diǎn)，則，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】依題意，直線不垂直于，且與雙曲線的漸近線不平行，設(shè)其方程為，由消去得：，設(shè)，則，，若，則，整理得，無解，所以不存在這樣的直線.17.如圖，長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別在上，.過的平面截該長(zhǎng)方體，所得的截面為正方形，平面與棱的交點(diǎn)分別為.（1）求三棱錐的體積；（2）點(diǎn)為與的交點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】（1）80；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面平行的性質(zhì)確定截面位置，再利用等體積法求出體積.（2）取中點(diǎn)，利用幾何法，結(jié)合余弦定理求出二面角的余弦.【小問1詳解】在長(zhǎng)方體中，由，得四邊形為矩形，平面平面，平面平面，平面平面，則，同理，又平面，，則平面，而平面，于是，為為矩形，而截面為正方形，因此，，則，所以.【小問2詳解】在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，平面即平面，而平面，則平面，平面，于是，是二面角的平面角，在中，，則，所以二面角的余弦值為.18.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間;（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在處取得最小值，即為極小值，所以，則，從而得到，再分、、、四種情況討論，分別得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；【小問2詳解】因?yàn)?，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以在處取得最小值，即為極小值，所以，即，所以，所以，若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，符合題意，又，，所以，解得；若，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使在處取得最小，在處取得最大值，所以應(yīng)符合，即，解得，同時(shí)，令，考慮的解，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)恒成立，所以，所以；若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不可能為最小值，故舍去；若，則時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以不可能為最小值，故舍去；綜上可得，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．19.一種特殊的單細(xì)胞生物在一個(gè)生命周期后有的概率分裂為兩個(gè)新細(xì)胞，的概率分裂為一個(gè)新細(xì)胞，隨后自身消亡.新細(xì)胞按相同的方式分裂，并且每個(gè)細(xì)胞的分裂情況相互獨(dú)立，如此繁衍下去.某實(shí)驗(yàn)人員開始觀察一個(gè)該種單細(xì)胞生物經(jīng)過個(gè)生命周期的分裂情況，將第個(gè)生命周期后的活細(xì)胞總數(shù)記為隨機(jī)變量.（1）若，（i）求隨機(jī)變量的分布列和期望;（ii）求事件“”的概率;（2）已知在的條件下，的期望稱為條件期望，其定義為，試求條件期望和的期望.【答案】（1）（i）分布列見解析，期望為；（ii）；（2）.【解析】【分析】（1）（i）求出的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望；（ii）將事件“”分拆成兩兩互斥的事件的和，利用概率的加法公式，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解.（2）求出在的條件下，的可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率及期望，再利用全概率公式求出，進(jìn)而求出的期望的遞