第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

考試要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)，理解單調(diào)性是數(shù)列的一項(xiàng)重要性質(zhì)，可用來(lái)求最值．【知識(shí)梳理】1．?dāng)?shù)列的定義按照________________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)________無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)________項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1____an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1____an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法．4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的________之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))【診斷自測(cè)】1．思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列．()(2)1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．()(3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．()(4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()2．(選修二P8T3改編)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2)，則a5＝________，猜想an＝________．3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________．4．已知an＝n2－3n＋1，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為_(kāi)_______．考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)例1(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n，則an＝________．(2)已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________遷移在本例(1)中，若Sn＝n2＋2n＋1，求an.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式．2．Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．訓(xùn)練1(1)(2024·山西名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，n∈N*，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________．(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________．考點(diǎn)二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an例2(2024·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2累乘法——形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an例3(2023·重慶育才中學(xué)調(diào)研)已知a1＝2，an＝n(an＋1－an)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝()A．n B．n＋1C．2n D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))eq\s\up12(n)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式，可利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng)．2．形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng)．訓(xùn)練2(1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，則an等于()A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn(2)已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2（n＋1）,n)，則an＝________．考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)角度1數(shù)列的周期性例4(2024·廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，a1＝2，n∈N*，若Tn＝a1a2…an，n∈N*，則T10＝________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2數(shù)列的單調(diào)性例5(多選)(2024·湖南六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝an＋eq\f(1,an)，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)n＋1≥2an B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))是遞增數(shù)列C．{an＋1－4an}是遞增數(shù)列 D．a(chǎn)n≥n2－2n＋2________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度3數(shù)列的最值例6(2024·合肥質(zhì)檢)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積bn＝1－eq\f(2,7)n，則an的最大值與最小值之和為()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(5,7)C．2 D．eq\f(7,3)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的三種方法(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或常數(shù)列．(2)用作商比較法，根據(jù)eq\f(an＋1,an)(an＞0或an＜0)與“1”的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．2．求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng)