2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷2（新高考卷）及答案

絕密★啟用前

2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷02（新高考卷）

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.定義差集"―N=且xeN},己知集合4={2,3,5},5={3,5,8},則A—（AQB）=（）

A.0B.{2}C.{8}D.{3,5}

2.已知函數(shù)=sin%x+J§sin0xcosaa（0>O）的最小正周期為兀，下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)/（%）的圖象關(guān)于x=$對(duì)稱(chēng)

6

jr?

[五+5,°?z）

JTSJT

C.函數(shù)“可在區(qū)間—上單調(diào)遞增

1JT

D.函數(shù)/（%）的圖象可以由g（x）=cos2x+]的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到

3.2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場(chǎng)，伴隨平地村足球隊(duì)在

對(duì)陣口寨村足球隊(duì)中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開(kāi)帷幕.某校足球

社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊(duì)所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠(chéng)村，已知每個(gè)村至

少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個(gè)村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須選

同一個(gè)村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

4.南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale）設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)扇

形圓心角都是相等的，半徑長(zhǎng)短表示數(shù)量大小.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國(guó)知識(shí)付費(fèi)用戶(hù)數(shù)量（單位：億人

次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說(shuō)法第族的是（）

A.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶(hù)數(shù)量逐年增加

B.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶(hù)數(shù)量逐年增加量2018年最多

C.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶(hù)數(shù)量逐年增加量逐年遞增

D.2022年知識(shí)付費(fèi)用戶(hù)數(shù)量超過(guò)2015年知識(shí)付費(fèi)用戶(hù)數(shù)量的10倍

5.在金。中，D為邊BC上一點(diǎn)、,ZDAC=—,AD=4,AB=2BD,且八4￡）。的面積為，則

sinZABD=（）

—

AA/15A/3rV15+A/3「亞-6n

A.--------D.---------C.--------D.---------------------

8844

x5,,ia”+3111%，

6.已知正項(xiàng)數(shù)列｛（4｝的前幾項(xiàng)和為S“,q=l,若二旦="一,且——+——+-??+------<〃恒成立,

則實(shí)數(shù)M的最小值為（）

144

A.-B.—C.—D.3

393

7.設(shè)方程3%?|k）g3X=l的兩根為%（%<%），則（）

1

A.0<<1,x2>3B.玉>一

C.0<xxx2<1D,七+%2>4

8.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！狝4Goi中，p,Q,R分別為棱BC,CD,CG的中點(diǎn)，平面PQR截

正方體ABC。-44GB外接球所得的截面面積為（）

8355

A.區(qū)B.一兀C.71D.一兀

3333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知zeC,彳是z的共輾復(fù)數(shù)，則（）

什l+3i_-4-3i

A.若2=:二，則nl2=---

1—315

B.若Z為純虛數(shù)，則z2<0

若z-(2+i)>0,則z>2+i

D.若“={2||2+34＜3},則集合/所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

io.已知向量Z在向量后方向上的投影向量為11,向量石=（1,6）,且￡與分夾角;■,則向量￡可以

為（）

A.(0,2)B.(2,0)C.D.(A1)

2

11.已知拋物線c：y=2Px（p＞0）的焦點(diǎn)為F,A（xvyx）,B（x2,y2）,D（x3,%）為拋物線C上的任意三點(diǎn)

（異于坐標(biāo)原點(diǎn)。），F(xiàn)A+FB+FD=Q^且|?科+|「可+|立＞|=6,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.p=4

B.若貝

C.設(shè)45到直線1=—1的距離分別為4，4,則4+出＜|^]

111c

D.若直線凡8,凡0,3￡）的斜率分別為的8此￡＞，心》，則—+7—+7—=°

化BA^AD化BQ

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2一i]展開(kāi)式中/項(xiàng)系數(shù)為.

22

13.己知橢圓。：j+2=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,尸是C上一點(diǎn)，且尸耳，￡巴，H

ab

是線段尸耳上靠近耳的三等分點(diǎn)，且而?兩=0,則c的離心率為.

14.隨著自然語(yǔ)言大模型技術(shù)的飛速發(fā)展，ChatGPT等預(yù)訓(xùn)練語(yǔ)言模型正在深刻影響和改變著各衍各業(yè).為了

解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，預(yù)訓(xùn)練模型需要在模擬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中引入激活函數(shù)，將上一層神經(jīng)元的輸出通

過(guò)非線性變化得到下一層神經(jīng)元的輸入.經(jīng)過(guò)實(shí)踐研究，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)選擇的激活函數(shù)不合適時(shí)，容易出現(xiàn)梯

度消失和梯度爆炸的問(wèn)題.某工程師在進(jìn)行新聞數(shù)據(jù)的參數(shù)訓(xùn)練時(shí)，采用/（工）=]\作為激活函數(shù)，為

了快速測(cè)試該函數(shù)的有效性，在一段代碼中自定義：若輸x的x滿(mǎn)足+1）-/（x）|<a則提示“可能出現(xiàn)

|小+1)|

梯度消失”，滿(mǎn)足〉人則提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”，其中。表示梯度消失閾值，〃表示梯度爆炸間

值.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①〃龍）是R上的增函數(shù)；

②當(dāng)。=e時(shí)，3XGR,輸入x會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”；

③當(dāng)a=e巧時(shí)，Vx>5,輸入x會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”;

@Va>0,3xeR,輸入x會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.（13分）已知函數(shù)/（x）=tzx+—.

er

（1）討論〃X）的單調(diào)性;

（2）若直線y=l與曲線y=/（x）相切，求。的值.

16.（15分）短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某

天南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對(duì)當(dāng)天前來(lái)旅游的500名游客調(diào)查得知，南方

游客有300人，因收看短視頻而來(lái)的280名游客中南方游客有200人.

（1）依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值戊=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅

游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：?jiǎn)挝唬喝?/p>

游客短視頻合計(jì)

收看未看

南方游客

北方游客

合計(jì)

(2)為了增加游客的旅游樂(lè)趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余4人

之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.

(i)求經(jīng)過(guò)i次傳遞后球回到甲的概率；

(ii)記前加次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

參考公式：/=(a+A)(c+d)(a+c)(H4其中〃=a+"c+d；

附表：

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

17.(15分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△S4D是正三角形，且平面平

面ABCD,AB=1,P為棱AD的中點(diǎn)，四棱錐S-ABCD的體積為友.

3

(1)若E為棱S3的中點(diǎn)，求證：尸￡7/平面SCD；

(2)在棱弘上是否存在點(diǎn)使得平面與平面&⑦所成夾角的余弦值為友？若存在，求出線段

5

40的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

18.(17分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)A(m,O)的距離和P到定直線彳=上的距離的比為常數(shù)絲.其中

mn

m>0,?>0,且租記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

（1）求。的方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；

（2）設(shè)點(diǎn)6（—加,0）,若曲線。上兩動(dòng)點(diǎn)均在X軸上方，AM//BN,且AN與相交于點(diǎn)Q.

L11

①當(dāng)m=2&,〃=4時(shí)，求證：同心+網(wǎng)的值及的周長(zhǎng)均為定值；

②當(dāng)〃時(shí)，記AABQ的面積為S,其內(nèi)切圓半徑為小試探究是否存在常數(shù)4,使得S=4廠恒成立？

若存在，求力（用牡〃表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

X，—QJQ+b、

19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式，①（其中。，6,c,d為常數(shù)），將點(diǎn)P（羽y）

y

變換為點(diǎn)p（x',y）的坐標(biāo)，我們稱(chēng)該變換為線性變換，也稱(chēng)①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由。，b,

（a（ab\

c,d組成的正方形數(shù)表,唯一確定，我們將,稱(chēng)為二階矩陣，矩陣通常用大寫(xiě)英文字母A,

dyd,

B9…表小.

（1）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，將點(diǎn)P（3,4）繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到點(diǎn)p（到原點(diǎn)距離不變），求

點(diǎn)P'的坐標(biāo)；

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)？（x,y）繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到點(diǎn)（到原

點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣;

（3）向量詼=（",▼我僧祈陶謫），也可僅有成㈠人這仰形我朝向量臉可向量，線性變換坐標(biāo)

公式①可以表示為：（yJ'cd人y）,則稱(chēng)（y是二階矩陣（°d）

與向量的乘積，設(shè)A是一個(gè)

二階矩陣，玩，而是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：A（〃7+"）=477+A?.

數(shù)學(xué).參考答案

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

91011

ABADBD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

13.-11514.立-也15.①③④

2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.（13分）

【解析】⑴/（%）的定義域?yàn)镽,f\x）=a-^,

當(dāng)aVO時(shí),/'（力<0,/（%）單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'（x）=0,得x=-lna,（3分）

當(dāng)xe（—8,Tna）時(shí)，〃尤）單調(diào)遞減；

當(dāng)xc（Tna,+8）時(shí)，/,（x）>0,/（%）單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/（力在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/（%）在Ina）單調(diào)遞減；在（—Ina,+。）上單調(diào)遞增.（7分）

（2）由（1）知，/'（x）=a--,

設(shè)切點(diǎn)(%,/(%)),則/(％)=a--)=0，

c

易知〃〉0,故%0=—Ina.(10分)

又/(%0)=1,即avo+；=l，將犬o=-lna代入，得a-〃lnQ-l=0.

c

設(shè)/i(x)=x-xlnx-l(x>0),則A,(x)=-lnx.

令"(x)=0,即一lnx=0,解得尤=1,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，//(x)>0,人⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，//(%)<0,&(X)單調(diào)遞減,

所以/z(x)W/z(l)=l—Ixlnl—1=0,

綜上，a—1.(15分)

16.(15分)

【解析】(1)將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：

短視頻

游客合計(jì)

收看未看

南方游客200100300

北方游客80120200

合計(jì)280220500

零假設(shè)4°：南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游與短視頻無(wú)關(guān)聯(lián).(4分)

2_500x(200x120-80x100)2

X34.632>10.828=z

"300x200x280x22023]兒u0.0u0u1i

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷“。不成立，

即認(rèn)為南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001(7分)

(2)(i)設(shè)經(jīng)過(guò)i次傳遞后回到甲的概率為C，

又P,—=—w0,

155

所以[e一是首項(xiàng)為一1,公比為一;的等比數(shù)列，

所以々=g—gx[—.（10分）

（ii）（方法一）

設(shè)第i次傳遞時(shí)甲接到球的次數(shù)為工，則工服從兩點(diǎn)分布，石（工）=片,

設(shè)前加次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為y,

（、_nt_

E（Y）=EZX=2＞化）=6+6+A+…+以

Vi=iy/=i

m

~5

4

m-E(y)

因?yàn)镋（X）=,所以石（X）=（15分）

4-

（方法二）

設(shè)第i次傳遞時(shí),乙接到球的概率和次數(shù)分別為0與X,,則X,服從兩點(diǎn)分布,

E（xJ=q,由題可知①

又％」,所以d―工=工，所以，1-是首項(xiàng)為上，公比為-工的等比數(shù)列,

4520I5J204

'mmm

E(X)=EEXi=EE(X/)=E^=7

kZ=17i=li=\°

故E（X）=（15分）

17.(15分)

【解析】（1）取SC中點(diǎn)尸，連接跖,FD,；E,尸分別為SB,SC的中點(diǎn)，

:.EF\\BC,EF=^BC,???底面四邊形ABCD是矩形，P為棱A。的中點(diǎn)，

PD//BC,PD=-BC,：.EF//PD,EF=PD,

2

故四邊形QEED是平行四邊形，.?.〃我D,

又平面SCD,PE<z平面SCO,「.PE//平面SCD.（6分）

（2）假設(shè)在棱S4上存在點(diǎn)/滿(mǎn)足題意，如圖：連接SP,MP,MB,

在等邊ASAO中，P為A。的中點(diǎn)，所以SPLAD,

又平面SA。，平面ABC。，平面S4Oc平面ABCD=A￡>,SPu平面SW,

r.SP，平面ABCD,則SP是四棱錐S-ABCD的高，

設(shè)AD=m（m>0），則立=等辦S矩形

二飛.SP=Lm義心=,所以租=2,

%棱錐S—ABC。（9分）

3小形323

以點(diǎn)p為原點(diǎn)，百，荏，麗的方向分別為羽％z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,0）,A（l,0,0）,3（1,1,0）,S（0,0,3）,

故可=（1,0,0）,麗=（1,1,0）,旃=/1,0,相），

設(shè):W==后）（0<彳<1）,

,-.W=PA+W=（1-2,0,732）.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為勺=（尤,y,z）,

77,PM=（l-2）x+V32z=0,一/廠、

則上一'）所以可取勺=gr/U—1.

7

nx-PB=x+y=0,'

易知平面&4。的一個(gè)法向量為后=（O/,O）,（12分）

——、EW卜國(guó)2/

cos（n,n）=一||一=,——=

'22/用%V7A2-22+l5

V0<2<1,.-.2=-,AM=\AM\=A-+Q+—=-,

3??\993

4

故存在點(diǎn)M,AM=—滿(mǎn)足題意.（15分）

3

18.（17分）

y］（x-m）2+y2_m

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P（羽y）,由題意可知7=%，

X-----

m

C\222

即（%—加）2+丁=生工一”,經(jīng)化簡(jiǎn)，得c的方程為5+2=L

\n）nn—m

當(dāng)mv〃時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在九軸上的橢圓；

當(dāng)根〉〃時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在％軸上的雙曲線.（3分）

（2）設(shè)點(diǎn)”（%,%）,7\^（%2，%），知'（工3，%），其中%>0，%〉0且退=一%2，%=一%，

22

（i）由（1）可知C的方程為W~=1,A（20,O），W—20,0）,

,M%一%>3

因?yàn)锳M//BN，所以玉一777=-x7+T77=777=x777，

2\/222A/2-X2-2\/23-2^2

因此，M,A,M'三點(diǎn)共線，且忸N|=,卜2+20『+￡=20『+（—=\AM'\'（6分）

（法一）設(shè)直線W的方程為x=9+20,聯(lián)立C的方程，得（/+2）;/+4及9一8=0,

468

貝U%+%=一

41M7+2

由⑴可知|3|=孚卜-奎=4-1%，忸N|=|AM[=4-'天，

11\AM\+\BN\

所以-----1---=-------

\AM\忸N||阿.忸N|

4-

_________________乙

4_"（乂+%）+/%%

11

所以函+函為定值L

\AM\20以"4

（法二）設(shè)"“，則有24Kgs廠丁，解得?收卜二^，

同理由廠一^=￥，解得=l

2V2+|AM|COS^42-V2cos^

“I11112+Vicos2-夜cos。1

所以l----r+i——r=1-----r+i------r=--------------+--------------=1,

\AM\忸N|\AM\\AMr\44

11

所以（12分）

|AM|十函為定值1;

由橢圓定義忸Q|+|QM+|阿=8,n\QM\=8-\B^-\AM\,

，…，型

\BQ\

?忸M,,(8-3bAM

解得忸Q|=同理可得AQ卜—「J??,

|AM|+忸N|'11\AM\+\BN\

(8—忸N)|AM|(8-|AM|)-|B^|S[\AM\+\BN\)-2\AM\-\BN\

所以|AQ|+忸Q|=+

|AM|+|BN||AM|+|BN|\AM\+\BN\

=8----1——-——?—=8-2=6

|AM|+|BA^|

因?yàn)閨AB|=4jL所以AABQ的周長(zhǎng)為定值6+4a-（9分）

（五）當(dāng)機(jī)〉〃時(shí)，曲線。的方程為=1,軌跡為雙曲線,

nm2—n2

根據(jù)（i）的證明，同理可得KAM'三點(diǎn)共線，且忸N|=|AM[,

（法一）設(shè)直線的方程為％=q+機(jī)，聯(lián)立C的方程,

得[(22222

m—ns—n]y2+2sm^jrr—a2),+("/-n2I=0,

2

Ismim2—n2)m2—n2

二?%+%=一——(*)

m---2-—---n-2--m2—n2s1—n2

(2A

因?yàn)?/p>

=^\-n,\BN\=\AM'\=^-x3-n,

mnn

11i_|AM|+|AM,|

所以------1--—-：------r+,?：-------r—--：------:~~:-------r

\AM\忸N|\AM\\AM'\|AM|-|AM,|

2222、

mmsmm—nsmm—n

—%)—ri+—%—n—X++—%+

nn(〃n,nn

(

mmsmm2—n2smm2—n2、

—-Tl—%3―n一必+一

nn一%+一?

nnnn7

2m2-n2

+

n

22222，

m2s2m—nm—n

nn2n2

11In

將（*）代入上式，化簡(jiǎn)得+(13分)

\AM\\BN\m2-n2'

\AM\m

m2-n2

（法二）設(shè)依條件有(n2、n,解得|AM|------------,

m----+AMcos。

Im)-mcos0

m

22

m

同理由n2、n,解得a

m------|AA/[cos8〃+〃2COS6

m)

1111n—mcos0〃+mcos02n

所以-----1----=-----+1-----""22'22（13分）

|AM|忸N||AM|\AM'\m—nm—nm2—n2?

由雙曲線的定義忸Q|+|QW|—|M4|=2m得|°閘=2〃+|4W]—忸卦

\AM\_\QM\（2n\AM\）.\BN\

根據(jù)師一西，解得畋仁|+阿+|阿，

同理根據(jù)嘯解得陷=叩羋

忸N|\QN\11|AM|+忸N|

(2n+|B2V|)-|AM|(2n+\AM\]]BN\_+2\AM\-\BN

所以|AQ|+忸Q|=2

IM+忸N|\AM\+\BN\AM+BN

2222

2m—nm+n

=2n+11=2n+

nn

\AM\+\BN\

由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，S=3（|AB|+|AQ|+忸Q|）"，

1222

當(dāng)S=2r時(shí)，A=(|AB|+|A(2|+|B(2|)=m+m+n=(m+n)(常數(shù)).

2n2n

因此，存在常數(shù)X使得s=幾廠恒成立，且此=（"?+〃）一（17分）