2025年寒假幾何思考試題及答案

寒假幾何思考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是：

A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）

2.下列命題中，正確的是：

A.對(duì)頂角相等B.相鄰角互補(bǔ)C.對(duì)角相等D.對(duì)角互補(bǔ)

3.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=50°，則∠B=：

A.60°B.70°C.80°D.90°

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-1，2）到直線y=x的距離是：

A.1B.2C.3D.4

5.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，則其面積S=：

A.(a^2)/2B.(a^2)/3C.(a^2)/4D.(a^2)/6

二、填空題（每題5分，共20分）

1.若一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6cm，腰長(zhǎng)為8cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____cm。

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（3，-2）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是______。

3.若直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則斜邊長(zhǎng)為_(kāi)_____cm。

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-2，3）到原點(diǎn)的距離是______。

5.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為10cm，則其面積S=______cm^2。

三、解答題（每題10分，共20分）

1.已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，求∠B和∠C的度數(shù)。

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）和B（-3，4），求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。

四、解答題（每題10分，共20分）

3.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，求三角形ABE的面積。

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，5），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，-2）。若點(diǎn)R在第二象限，且PR=4，QR=5，求點(diǎn)R的坐標(biāo)。

五、證明題（每題10分，共20分）

5.證明：在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且∠BAC=45°，則BC=AC√2。

6.已知直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=6cm，求BC和AC的長(zhǎng)度。

六、綜合題（每題20分，共40分）

7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，-3），點(diǎn)B（-1，4），點(diǎn)C（-3，1）。求直線AB和直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)。

8.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8cm，AC=6cm。若點(diǎn)D在AC上，且AD=3cm，求CD的長(zhǎng)度。同時(shí)，若點(diǎn)E在AB上，且AE=2cm，求BE的長(zhǎng)度。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.A

解析思路：點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，其坐標(biāo)為原點(diǎn)坐標(biāo)的相反數(shù)，即（-2，-3）。

2.A

解析思路：對(duì)頂角相等是幾何中的基本性質(zhì)，而相鄰角互補(bǔ)、對(duì)角相等和對(duì)角互補(bǔ)則不一定成立。

3.A

解析思路：在等腰三角形中，底角相等，所以∠B=∠C，由于∠BAC=50°，所以∠B=∠C=（180°-50°）/2=65°。

4.A

解析思路：點(diǎn)到直線的距離公式為d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)，其中（x0，y0）為點(diǎn)的坐標(biāo)，Ax+By+C=0為直線方程。代入點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線y=x，得到d=|(-1)+2+0|/√(1^2+1^2)=1。

5.B

解析思路：等邊三角形的面積公式為S=(a^2√3)/4，其中a為邊長(zhǎng)。

二、填空題（每題5分，共20分）

1.22

解析思路：等腰三角形的周長(zhǎng)為底邊長(zhǎng)加上兩倍的腰長(zhǎng)，即6+8+8=22cm。

2.（-3，-2）

解析思路：點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，其x坐標(biāo)取相反數(shù)，y坐標(biāo)不變。

3.5

解析思路：根據(jù)勾股定理，斜邊長(zhǎng)為√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5cm。

4.5

解析思路：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式為d=√(x^2+y^2)，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)得到d=√((-2)^2+3^2)=√(4+9)=√13。

5.50

解析思路：等邊三角形的面積公式為S=(a^2√3)/4，代入邊長(zhǎng)a=10cm得到S=(10^2√3)/4=50√3/4=50cm^2。

三、解答題（每題10分，共20分）

1.∠B=∠C=65°

解析思路：在等腰三角形中，底角相等，所以∠B=∠C，由于∠BAC=45°，所以∠B=∠C=（180°-45°）/2=65°。

2.（-1，3.5）

解析思路：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為兩點(diǎn)坐標(biāo)的平均值，即((-1+2)/2,(4+3)/2)=(-1/2,3.5)。

四、解答題（每題10分，共20分）

3.32cm^2

解析思路：三角形ABE的面積為正方形ABCD面積的一半，即S=(8cm*8cm)/2=32cm^2。

4.（-8，7）

解析思路：利用兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理，設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y），則有x^2+(y-5)^2=16和(x+6)^2+(y+2)^2=25，解得點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-8，7）。

五、證明題（每題10分，共20分）

5.證明：在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且∠BAC=45°，則BC=AC√2。

解析思路：作BC邊上的高AD，則AD垂直于BC，且∠ADB=∠ADC=90°。由于∠BAC=45°，所以∠BAD=∠CAD=45°。因此，三角形ABD和三角形ACD為等腰直角三角形，AD=BD=CD。所以BC=BD+CD=AC√2。

6.BC=10cm，AC=12cm

解析思路：在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，所以AB=AC/2=6cm。利用勾股定理，BC=√(AB^2+AC^2)=√(6^2+12^2)=√(36+144)=√180=10cm。

六、綜合題（每題20分，共40分）

7.（-5，7）

解析思路：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入點(diǎn)A和B的坐標(biāo)得到兩個(gè)方程，解得k和b，再代入第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證，得到直線方程。設(shè)直線BC的方程為y=kx+b，同理解得k和b，再代入第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證，得到直線方程。聯(lián)立兩直線方程求解交點(diǎn)坐標(biāo)。

8.CD=5cm，BE=6cm

解析思路：在直角三角形ABC中，AB=8cm，AC=6cm，∠BAC=90°。利用勾股定理，BC=√(AB^2+AC^2)=√(8^