2025年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（解析版）

第03講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）標(biāo)系，更應(yīng)該學(xué)會(huì)用基底表示平面向量

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.會(huì)利用坐標(biāo)法，理解和掌握兩個(gè)向量是否共線(xiàn)

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)的判斷.

3.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面

向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；

加模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理

知識(shí)點(diǎn)1平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果，，可是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量Z,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4，

使a=44+%02.

若只不共線(xiàn)，我們把，｛1,￡｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

知識(shí)點(diǎn)2平面向量基本定理的有關(guān)結(jié)論

(1)設(shè)1是平面內(nèi)一組基底，若當(dāng)4=0時(shí)，￡與1共線(xiàn)；當(dāng)4=。時(shí)，Z與［共

線(xiàn)；當(dāng)4=4=0時(shí)，a=0,同樣的a=。時(shí)，4=%=0,

Y—X

(2)設(shè)a,B是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若不。+%1=9。+%B，貝！P「_:.

知識(shí)點(diǎn)3平面向量的正交分解

(1)把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)在不共線(xiàn)的兩個(gè)向量中，垂直是一種特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一種分解.

在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,會(huì)給問(wèn)題的研究帶來(lái)方便.'J

知識(shí)點(diǎn)4平面向量的坐標(biāo)表示

(1)向量的坐標(biāo)表示\\

在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)不共線(xiàn)單位向量7、］?作為基底，。1，’

對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量Z，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得

a=xi+yj,則把有序數(shù)對(duì)(x,y),叫做向量Z的坐標(biāo).記作Z=(x,y),此式叫做向.'j

ylA(x,y)/

量z的坐標(biāo)表示，其中X叫做￡在X軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，|；■."

注意：①對(duì)于Z，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y)與之對(duì)應(yīng)—*

②兩向量相等時(shí)，坐標(biāo)一樣

③7=(1,0)，］=(o,i),6=(o,o)

④從原點(diǎn)引出的向量05的坐標(biāo)(x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)

(2)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系

區(qū)別：①表示形式不同向量￡=(x,y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(X,y)中間沒(méi)有等號(hào)

②意義不同點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示

向量的大小，也表示向量的方向.另夕卜(x,y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向

量(x,y).

聯(lián)系：當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.

知識(shí)點(diǎn)5平面向量的坐標(biāo)表示

(1)兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)表示

兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).

坐標(biāo)表示：a=(%,%),b=(9,%)則:

a+b=(%+x2,%+%)；a-b=(xl-x2,yl-%)

(2)任一向量的坐標(biāo)

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)

B(x2,y2),則荏=(/一%,為一%)?

(3)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).

坐標(biāo)表示:tz=(x,y),貝UAa=(Ax,Ay).

知識(shí)點(diǎn)6平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(%,%),B=(%,%),其中BH。，則。B=當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù)2,使得￡=4；

用坐標(biāo)表示,可寫(xiě)為a||Bo(%,%)=丸(%2,%)，即：

消去％得到：%%-%%=0.

這就是說(shuō),向量3,方(BH。)共線(xiàn)的充要條件是石％-々%=0.

知識(shí)點(diǎn)7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)7，7?分別是％軸，y軸上的單位向量.向量坂=(9,%)分別等

價(jià)于Z=+b=x2i+y2j,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，有：

a-b=(x；z+^]j)-(x2z+y2j)=xxx2i+xxy2i-j+x2yxj-i+yxy2j由于i，J為正交單位向量，故,1=1，

『=1，7-7=0,從而。啰=石為2+X%.即。4=百馬+X%，其含義是：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們

對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.

知識(shí)點(diǎn)8兩個(gè)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示

已知非零向量0=(菁,%),)=(/,為)'

(1)a_L.B<=>a-B=0o.《x,+yry2=0.

(2)a||bo玉%-彳2>1=。

知識(shí)點(diǎn)9向量模的坐標(biāo)表示

(1)向量模的坐標(biāo)表示

若向量a=(x,y),由于|￡|=JU，所以+/.

其含義是：向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.

(2)兩點(diǎn)間的距離公式

已知原點(diǎn)。(0,0)，點(diǎn)4(石，%),3(々，為)，則48=05-。4=(打％)一(%，乂)=(/一%，為一,于是

IAB|=%>+(%-MP-

其含義是：向量荏的模等于A,B兩點(diǎn)之間的距離.

(3)向量￡的單位向量的坐標(biāo)表示

設(shè)Z=(x,y),烏表示￡方向上的單位向量

\a\

知識(shí)點(diǎn)10兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示

已知非零向量。=(玉,％)]=(9,%)，。是￡與B的夾角，則cos6=f222

\a\\b\+城?+

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：用基底表示向量

1.(24?25高三上?陜西漢中?期中)如圖，在VABC中，BD=^DC,則而=()

1—.3—?

B.-AB+-AC

2244

1>22?1

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、向量加法的法則、向量減法的法則、向量的線(xiàn)性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

【分析】根據(jù)向量加減、數(shù)乘的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】因?yàn)辂?：況,

11Q1

所以15=15+彷=+§而+蔗—通)=1通

故選：D

【變式(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))在△A5C中，點(diǎn)。為A5的中點(diǎn)，記演=味，CB=n,則①=()

1一1-

A.m+nB?m-nC.—m+—nD.-m--n

2222

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量加法法則的幾何應(yīng)用、向量的線(xiàn)性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、向量減法法則的幾何應(yīng)用、用基底表

示向量

【分析】利用向量線(xiàn)性運(yùn)算的幾何表示即得.

UUU1UUUUI

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。為AB中點(diǎn)，CA=m,CB=n,

^f^a)=CA+Ab=CA+-AB=CA+-[CB-CA)=-CA+-CB=-m+-n.

222222

故選：c.

【變式1-2](23-24高一下?福建福州?期末)在平行四邊形ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，則詼=()

A.AB+-ADB.-AB+-ADC.AB--ADD.-AB--AD

2222

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線(xiàn)性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、用基底表示向量

【分析】直接根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分解向量即可.

【詳解】

故選：C

【變式1-3](23-24高一下?湖北武漢?期末)平行四邊形ABC。中，點(diǎn)M是線(xiàn)段5c的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段C。

的中點(diǎn)，則向量麗為（）

—.1--1—.___.1—.3―-

A.MN=-AB——ADB.MN=-AD+-AB

2244

--1一1一___.1一3一

C.MN=-AD——ABD.MN=-AD——AB

2244

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用

【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)性質(zhì)和向量線(xiàn)性運(yùn)算即可.

【詳解】根據(jù)三角形中位線(xiàn)知：MN=^BD=^AD-7^）=^AD-^AB

故選：C.

考點(diǎn)二：根據(jù)平面向量基本定理求參數(shù)

.例2.（23-24高一下?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）在VABC中，。為邊BC的中點(diǎn)，E,F分別為邊48,AC

上的點(diǎn)，且通=3淳，AC=4AF,若而=4通+〃/,/L,〃eR,則〃值為（）

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求參數(shù)、平面向量基本定理的應(yīng)用

【分析】由向量的線(xiàn)性運(yùn)算分別求出九〃的值即可.

【詳解】Ab=AAE+^iAF=^AB+^AC,因?yàn)?。為邊BC的中點(diǎn)，

所以=所以幾=|，〃=2,從而”一〃=1.

故選：A.

【變式2?1】（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在VABC中，點(diǎn)。，￡分別在邊A5,BC±,且均為靠近

5的四等分點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)尸,若麗=乂而+y/，則3x+y=（）

A.-1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用、利用平面向量基本定理求參數(shù)

DFDF1__?，3—>一?2一?1.

【分析】作出輔助線(xiàn)，得到O石//AC,二=蕓=從而OC=AC—=A3,BF=~AB+^AC9得到

FCAC455

21

x==得到答案.

【詳解】連接?！?

“BDBE1miDEBD1

由題意可知，-=—=->所以DE//AC,則二大==7=:，

BABC4ACBA4

DFDE1—?I—.—.—.—?—.3--

所以——=——=-,所以50=--AB,DC=AC-AD=AC一一AB,

FCAC444

uumiuumiuum3uim

貝（IDF=-DC=-AC——AB,

5520

uimuunuum1uun1uum3uun9uun1uum

故BF=BD+DF=——AB+-AC——AB=一一AB+-AC.

452055

__._,2i

JLBF=xAB+yAC,所以％=則3%+y=-L.

故選：A

【變式2-2］（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在三角形Q4b中，點(diǎn)?為邊A5上的一點(diǎn)，且Q=2而，點(diǎn)。為

直線(xiàn)”上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)。和點(diǎn)尸不重合），且滿(mǎn)足而=4函+4礪，則年=.

【答案】1/0.5

【知識(shí)點(diǎn)】已知向量共線(xiàn)（平行）求參數(shù)、平面向量基本定理的應(yīng)用

【分析】以礪，礪為基底，其他向量用基底表示后，結(jié)合。，P,。共線(xiàn)列式可解.

［詳解］由已知無(wú)=函+而=函+：通=函+|（而一函）=g函+g加，

__,_A_A；1

OQ=\OA+^OB9因?yàn)辂?，而共線(xiàn)，所以1-2,所以/=

———/Lj乙

33

故答案為：;

【變式2-3］（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在VABC中，點(diǎn)。,E分別在BC,AC上，S.BD=DC,

AE=2EC,^DE=xAB+yAC,貝1jx+y=.

A

BDC

【答案】-j

【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、平面向量基本定理的應(yīng)用、向量的線(xiàn)性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

【分析】根據(jù)已知條件知。C=；8C,CE=-：AC,再根據(jù)平面向量基本定理，把向量通與向量次作為

一組基底表示出向量成即可

【詳解】因?yàn)锽D=DC,AE=2EC,

所以詼=成+在=；就_(/二函一碉一正二一；通+[宿

所以x=_g,y=J,則x+y=_^.

263

故答案為：--.

考點(diǎn)三：平面向量正交分解及坐標(biāo)表示

\?例3.(2024高一下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))如圖，向量入b，Z的坐標(biāo)分別是,

【答案】(-4,0)(0,6)(-2,-5)

【知識(shí)點(diǎn)】用坐標(biāo)表示平面向量

【分析】結(jié)合圖象運(yùn)用平面向量坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】如圖，

將各向量分別向單位正交基底7=(1,0),]=(o,i)所在直線(xiàn)分解，

貝！|￡=-4：+07，/.?=(-4,0),

石=07+6],B=(0,6),

c=-2i-5j,Ac=(-2,-5),

故答案為:(-4,0)；(0,6)；(-2,-5).

【變式3-1](23-24高二上?上海虹口?階段練習(xí))若向量通=27+3亍,初=1-2]，則工對(duì)應(yīng)的位置向量

的終點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】(3,1)

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量有關(guān)概念的坐標(biāo)表示

【分析】利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

【詳解】AC=AB+BC=2i+3j+i-2j=3i+j,所以正對(duì)應(yīng)的位置向量的終點(diǎn)坐標(biāo)是(3,1).

故答案為：(3,1)

【變式3-2](24-25高一下?全國(guó)?課堂例題)如圖，設(shè)憶了｝為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，用這組標(biāo)準(zhǔn)正交基分別表

示向量“，b，c，d,并求出它們的坐標(biāo).

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、用坐標(biāo)表示平面向量

【分析】根據(jù)各向量在水平和豎直方向上的分解向量，將其分別用7,7表示，即得其坐標(biāo).

【詳解】由圖可知￡=27+2”(2,2)；^=-27+37=(-2,3)；

c=—3i—2j=(—3,—2)；d=i—2j=(1,—2).

考點(diǎn)四：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

.例4.(2024?山東一模)已知向量1=(1,-3)3=(-2,4),若43+(3方-2耳+0=0,則向量％的坐標(biāo)為

()

A.(1,-1)B.(-1,1)

C.(-4,6)D.(4,-6)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】向量。=(1,-3)3=(-2,4),若4々+傍-2耳+八0,

貝(11_(3石-2日)=-2a-35=-2一3)-3(-2,4)=(4,-6).

故選：D.

【變式4-1](2024高二上嘿龍江佳木斯?學(xué)業(yè)考試)若力=(2,1)出=(-1,0),則N-5的坐標(biāo)是()

A.(1,-1)B.(-3,-1)C.(3,1)D.(2,0)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)減法的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.

【詳解】?-5=(2+1,1-0)=(3,1),

故選：C

【變式4-2](23-24高一下?新疆?期中)已知向量方=(2,1)3=(1,3),則,+3萬(wàn)=()

A.(10,5)B.(1,8)C.(5,10)D.(7,6)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?=(2,1)3=(1,3),

所以方+35=(2,1)+3(1,3)=(5,10).

故選：C

【變式4-3](23-24高一下?廣西南寧?期末)已知向量益=(3,1),B=(-l,3),若e滿(mǎn)足"2石+>=0,則

【答案】(一5,5)

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【分析】依題意可得^=25-Z,根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)樯?（3,1）,5=（-1,3）且汽-2=+^=0,

所以々=需_之=2（_1,3）_（3,1）=（_5,5）.

故答案為：（-5,5）

考點(diǎn)五：根據(jù)坐標(biāo)求模運(yùn)算

|'例5.（23-24高一?上海?課堂例題）已知向量）=（-2,3）,5=（2,-5）,求31各的坐標(biāo)及弧-4

［答案］3a—b=（-8,14）,卜4-可=2,65

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，模長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，

3a-b=3（-2,3）-（2,-5）=（-8,14）,

|3a-5|=7（-8）2+142=A/260=25/65.

【變式5-1］（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知向量二=（2,1）,3=（-2,4）,貝“>'=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】由平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，利用摸長(zhǎng)公式，可得答案.

【詳解】因?yàn)?（2,1）-（一2,4）=（4,-3）,所以，一q=#2+（-3）2=5.

故選：D.

【變式5-2］（24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試）平面內(nèi)給定兩個(gè)向量乙=（3,2）石=（-1,2）.

（1）求cosl,方；

⑵求國(guó)一日.

【答案】（1）晅

65

⑵屈

【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)計(jì)算向量的模、向量夾角的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】（1）先求出小6、同和忖，接著由向量夾角余弦公式coso,5=3,即可得解.

（2）由坐標(biāo)形式的向量模長(zhǎng)公式即可計(jì)算得解.

【詳解】(1)由題無(wú)5=3X(-1)+2X2=1,同="+2?=相,W=J(-+2?=君,

1V65

_r日，6

所以8肛八所

屈乂亞-65,

(2)由題得2"9=(7,2),

所以忸_司=|(7,2)|=，72+22=后.

【變式5-3](23-24高一下?江蘇徐州?期末)已知向量2=(3,2),&=(-2,-1),貝！]|￡+2司=

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】利用向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量模的坐標(biāo)表示求解即得.

【詳解】向量2=(3,2),b=(-2,-V),則Z+2B=(3,2)+2(-2,-l)=(-l,0),

所以|Z+2昨J(-l)2+()2=1.

故答案為：1

考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

|\?例6.(24-25高三上?廣東深圳?期中)設(shè)2=(2,-1),^=(-3,1),"=(1,-2),則(￡+242=()

A.-2B.1C.-6D.-7

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)向量相加的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相乘的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)=(2,-1),5=(-3,1),

所以。+2石=(-4,1),又己=(1,一2),

所以R+25)?乙=-4x1+1x(-2)=-6,

故選：C.

【變式6-1](24-25高三上?黑龍江?階段練習(xí))向量Z=(L-1),^=(-1,2),貝!!(22+4￡=()

A.-1B.0C.-2D.1

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】用坐標(biāo)表示出正+以再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出結(jié)果.

【詳解】由題可知2商+B=(1,0),

/.(2n+Bja=i+o=i.

故選：D.

【變式6-2］（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）已知平面向量口=卜6,-1）,5=卜26,4）,則（）

A.2B.10C.-2右D.2-J3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.

【詳解】?.2=卜嶼,一1）為=卜2也,4）,

.?.那5=卜⑹乂卜2@+（-1*4=2.

故選：A.

【變式6-3］（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知向量商=（U）,6=（2,0）,貝！|,+5y（2"5）=.

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)題意先求2+方，2a-b，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)橐?（1,1）,1=（2,0）,則江+加=（3,1）,21-方=（0,2）,

所以（商+5卜（2萬(wàn)一5）=3乂0+2乂1=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)七：向量垂直的坐標(biāo)表示

7.（24-25高三上?浙江?開(kāi)學(xué)考試）已知向量力=（x,l）,B=（l,x）,若+貝!|x=（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用向量垂直求參數(shù)、向量垂直的坐標(biāo)表示

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解方程即可得出結(jié)果.

【詳解】易知。+B=（x+l,l+x）,

由可得=1x（尤+I）+X（I+尤）=o,

即X2+2X+1=0,解得x=-1

故選：C

【變式7-1］（23-24高二下?貴州六盤(pán)水?期末）已知向量3=5,-3）,b=（3m,m+2）,Kalb,則邸=（）

A.2B.-1C.2或—1D.2或-2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用向量垂直求參數(shù)、向量垂直的坐標(biāo)表示

【分析】應(yīng)用向量垂直數(shù)量積坐標(biāo)公式計(jì)算即可.

【詳解】由aZ=0n3加2—3機(jī)—6=0=＞相=2或—1,

故選:C.

【變式7?2】(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知向量Z=(m,3),&=(l,m+l).若2,人則機(jī)=.

3

【答案】/-0.75

4

【知識(shí)點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示、利用向量垂直求參數(shù)

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算得解.

_/、3

【詳解】依題意，〃?〃=機(jī)+3(m+l)=O,所以m=一“

3

故答案為：-:

4

【變式7-3](24-25高三上?安徽?期中)已知平面向量M=(T,2),B=(狐-3)滿(mǎn)足26+B),貝!!

m=.

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示

【分析】由向量垂直可得5-冽-6=0,求出m即可.

2

【詳解】由題意知a-^a+b^=a+a-b=5—m—6=0f解得根=—1.

故答案為：—1

考點(diǎn)八：向量投影

'例8.(23-24高二下?河北石家莊?期末)設(shè)向量6=(3,4),5=(1,-1),則4在5方向上的投影向量為()

A.(2,-2)B.(-2,2)C

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求投影向量

【分析】利用求投影向量的公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】△在5方向上的投影向量為

a-bb-1b1(11

口川&、&二r(「下力

故選：c.

【變式8-1](24-25高二上?陜西?期中)已知向量入B滿(mǎn)足石=(2,0),且76=-2,貝壯在B上的投影向量

的坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求出答案.

【詳解】依題意，Z在5上的投影向量為空/7?77—6=/—9—匕=（-1,0）.

聞-4

故選：A

【變式8-2］（23-24高一下?河北?期末）已知力,最是夾角為號(hào)的單位向量，則，在晟方向上的投影向量為

()

A.B.C.緊D..

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量

【分析】直接利用投影向量定義及數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)橥?s/0g=-祟.

故選：B.

【變式8-3］（24-25高三上?遼寧?期中）已知向量￡=（-3,1）,方=（2,1）,則Z在分方向的投影向量為.

【答案】（-2,-1）

【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量

【分析】根據(jù)投影向量的公式求解即可.

a-bb-3x2+lxl,.,

【詳解】2在B方向的投影向量為=.僅1）=（一2，T）.

故答案為：（-2,-1）

考點(diǎn)9：向量夾角

；例9.（23-24高一下?河北邯鄲?階段練習(xí)）已知向量益=（3,-2）,石=（4,1）.

⑴求正6與人+樂(lè)

⑵求九與B的夾角的余弦值.

【答案】⑴萬(wàn)石=10，歸+.=5后

01（）因

w----------

221

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量夾角的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式及模的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由2=（3,-2）,方=（4,1）,得無(wú)3=12-2=10,

而N+方=(7,-1),貝!|卜+1=749+1=5近；

/_r\a-b10107221

。)T

⑵cos\(a,b/)=同——Mrzj=V/——i3—xV=n=-----2--2--1------

即的夾角的余弦值為臂

【變式9-1］（24-25高二上?云南昭通?期中）若。（）（）則（）（

=2,0,5=-1,1,cosa,B=)

1

B.——

-42cI

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的坐標(biāo)表示

［分析】利用向量夾角余弦的計(jì)算公式即可求得cosa石的值.

I_r\-2__V2

【詳解】COS（6Z,^）=—7r--==7=

【詳解】\/同r忖亞父百

故選：A.

【變式9-2］（23-24高三上?貴州黔東南?開(kāi)學(xué)考試）已知向量@=。,3）,5=（-2,1）,則向量a與B夾角的余

弦值為.

【答案限

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)向量的夾角公式直接求解即可

【詳解】因?yàn)樯?（1,3）,&=（-2,1）,

所以。?！兑?左土舟

故答案沏》

【變式9-3］（23-24高一下?吉林?期末）已知向量￡=（1,2）,S=（2-A,2A）,若￡與9的夾角為銳角,則實(shí)

數(shù)X的取值范圍為

|,lL(l,+a>)

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的坐標(biāo)表示、由向量共線(xiàn)（平行）求參數(shù)、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】由題意列出關(guān)于％的不等式組即可求解.

f2—A+4-A->02

【詳解】由題可知無(wú)B>o且2與B不共線(xiàn)，即“””，得加（-1,1）U（1,+S）.

4—27tW2兒3

、2

故答案為：1）U（L+8）.

【變式9-4]（2024高二下?湖北）已知平面內(nèi)兩個(gè)向量3=（2%,1）,B=若々與6的夾角為鈍角，則

實(shí)數(shù)％的取值范圍是.

【答案】1）U（-L,O）

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的坐標(biāo)表示、向量夾角的計(jì)算

【分析】當(dāng)兩向量的夾角是鈍角時(shí)，其數(shù)量積是負(fù)數(shù)，但必須排除兩向量反向（夾角為180°）.

【詳解】由題意，a*b=2A:+—<0,<0,

2k1八

------II

當(dāng)日范反向時(shí)，有1K,解得々=一1,

2

的取值范圍是（y,-i）u（-1,0）；

故答案為：（F,-1）U（T,O）.

考點(diǎn)10：向量數(shù)量積的最值范圍問(wèn)題

10.（23-24高一下?浙江臺(tái)州?期末）已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCD所內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，M

為邊8C的中點(diǎn)，則".畫(huà)7的取值范圍是（）

A.[-2,6]B.[-1,9]C.[-2,4]D.[-1,6]

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】通過(guò)數(shù)量積定義得出P與C重合時(shí)Q.戒取得最大值，P與尸重合時(shí)，Q.麗取得最小值，然后

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法求數(shù)量積.

【詳解】如圖,過(guò)尸作PN,AM于N,則而?赤=|麗||說(shuō)卜。s/FAN=?V-|可，當(dāng)前與寂同向時(shí)4V

為正，當(dāng)麗與前反向時(shí)AN為負(fù),

分別過(guò)C,/作CK_LAM,FH±AM,K,H為垂足,

則得當(dāng)N與K重合（即尸與C重合）時(shí)，讓說(shuō)取得最大值，當(dāng)N與“重合（即尸與歹重合）時(shí)，AP-AM

取得最小值,

ABCDEF是正六邊形，因此以AB為x軸，AE為V建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則40,0),8(2,0),c⑶拓)，F(xiàn)(-1,A/3),M是BC中點(diǎn)，則〃

謝=(3,烏，AC=(3,A/3),AF=(-I,A/3),

___.一153___.-.53

AM-AC=—+-=9,AMAF=——+-=-1,

2222

所以4?謝的范圍是[T，9],

故選：B.

【變式10-1］（23-24高一下?江蘇泰州?階段練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶(hù)上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民

間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正

八邊形ABCDMC歸的邊長(zhǎng)為2,P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則Q.通的最大值為（）

A.&B.4+2應(yīng)C.2+應(yīng)D.20

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、向量與幾何最值、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】由投影向量的定義得到當(dāng)P在CD上時(shí)，Q.通取得最大值，進(jìn)而得到答案.

【詳解】由投影向量的定義可知，當(dāng)尸在。上時(shí)，方.費(fèi)取得最大值，

延長(zhǎng)DC交4B的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T,

荏的最大值為AB-AT,

其中正八邊形的外角為360。+8=45°,故A8=BC=2,/CBT=45°,

故BT=2cos45°=④,AT=AB+BT=2+y/2,

故4小47=2（2+&）=4+2立,

所以通最大值為4+2應(yīng).

【變式10-2](23-24高一下?上海?期中)如圖，這個(gè)優(yōu)美圖形由一個(gè)正方形和以各邊為直徑的四個(gè)半圓組

點(diǎn)尸在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則通的取值范圍為.

【答案】[-8,24]

【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義、求投影向量

【分析】借助于正方形建系，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義，找到使而在通方向上的投影向量的數(shù)量

最大和最小的點(diǎn)即得Q.麗的取值范圍.

如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以4民4。所在直線(xiàn)為％V軸建立坐標(biāo)系.

因Q?麗=|/|?|南|cos〈通,/初二41福|?cos〈ZA,福，

MlAPI-cos(AP.AB)表示而在通方向上的投影向量的數(shù)量,

由圖不難發(fā)現(xiàn)，設(shè)過(guò)正方形的中心作與x軸平行的直線(xiàn)與左右兩個(gè)半圓分別交于點(diǎn)用5，

則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)1重合時(shí)，投影向量的數(shù)量最大，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)鳥(niǎo)重合時(shí)，投影向量的數(shù)量最小.

易得6(6,2),￡(-2,2),貝!]|衣|.cos〈毒，麗〉的最大值為6,最小值為-2,

故一84而?通424?

故答案為：[-8,24].

3模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學(xué)業(yè)考試）設(shè)向量值=（x,2）石=（6,3）.若2〃,，貝！|x=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線(xiàn)（平行）求參數(shù)

【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】因?yàn)檐妗?,

所以3尤=12,

解得：x=4,

故選：A

2.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學(xué)業(yè)考試）若方=（2,1）3=（-1,0）,則不一分的坐標(biāo)是（）

A.（1,-1）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（2,0）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)減法的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.

【詳解】a-^=（2+l,l-0）=（3,l）,

故選：C

3.（23-24高二上?吉林?期中）已知荏=（2,1）,BC=（-l,0）,貝?。┪?（）

A.72B.2C.710D.10

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】根據(jù)須=莉+就求出衣的坐標(biāo)，再計(jì)算其模.

【詳解】因?yàn)檐?（2,1）,BC=（-l,0）,

所以*=麗+前=（2,1）+（—所以|相=#+12=應(yīng).

故選：A

4.（24-25高三上?海南?階段練習(xí)）已知向量￡=（-1,3）,5=（2,0）,"=（1,3）,若￡與"一"平行，則實(shí)數(shù)2

的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線(xiàn)（平行）求參數(shù)

【分析】由平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】因?yàn)閆=（T3）,5=（2,0）,c=（l,3）,所以"一"="2,0）-（1,3）=（2丸一1,一3）,

由Z與平行，得3（24-1）-（-1）x（-3）=0,解得與=1.

故選：C.

5.（2024高二下?安徽?學(xué)業(yè)考試）已知同=2,忖=石，萬(wàn)石=亞，貝!I苕與方的夾角為（）

A.tB.四C.&D.為

44-66

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求解.

【詳解】由已知cos（a@=i|iw=2X6=空-,又依般［0,兀］,

故選：A.

6.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知同=4,忖=3,40=_12,則向量B在d方向上的投影向量為（）

33-4--京

A.--aB.--bC.--bD.

443

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量投影向量公式直接計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)4與B的夾角為6,

則向量5在2方向上的投影向量為

a-b一一12一3一

=—z-,a——--xa=—d

同2424.

故選:A.

7.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知向量力=（x+3,4）石=（蒼一1）,^\a+B\=\a-b\,則實(shí)數(shù)x的值為（）

A.4B.T或1C.-1D.4或一1

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、利用數(shù)量積求參數(shù)

【分析】將卜+可=卜-?平方化簡(jiǎn)得無(wú)石=0,然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式列式計(jì)算即可.

【詳解】將卜+5|=卜-可兩邊平方，得無(wú)方=o,

由a=（x+3,4）,B=得（x+3）x+4x（-l）=0,

即f+3x-4=0,解得x=T或1.

故選：B.

8.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知向量N=-g],則下列關(guān)系正確的是（）

A.B.（苕+5）_1_5

C.（萬(wàn)+5）_1_（1-5）D.（a+b^La

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系的向量表示

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算并判斷.

【詳解】由題意向第=1,無(wú)5=-gx*爭(zhēng)臼=-#，

因?yàn)椋ㄡ?5）.（彳_5）=萬(wàn)2_52=0,

所以?xún)H+方）,所以C正確，A錯(cuò)誤.

???,+5）0=a2+無(wú)5=1一*/0,所以D錯(cuò)誤

；+=無(wú)5+廬=1一w0,所以B錯(cuò)誤.

故選：C.

二、多選題

9.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知點(diǎn)4（0,2）、磯2,0）、C（l,y）,其中yeR,則（）

A.若A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，貝！|，=1B.若荏_L/，貝！|>=3

C.若|通|=|向則y=2-V7D.當(dāng)y=2時(shí)，（血，衣）=巳

【答案】ABD

【知識(shí)點(diǎn)】由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、向量夾角的坐標(biāo)表示、已知向量垂直求參數(shù)

【分析】利用共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用平面

向量的模長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)公式可判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?（0,2）、3（2,0）、C（l,j）,其中yeR,則通=（2,-2）,AC=（l,y-2）,

對(duì)于A選項(xiàng)，若A、3、C三點(diǎn)共線(xiàn)，則卷〃泥，貝！|2仃-2）=-2,解得了=1,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若通，/，貝!J萬(wàn)?恁=2-2（y-2）=6-2y=0,解得y=3,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若|網(wǎng)=|明，即商+（一2）2="+（y_2『,可得（y-2）2=7,

解得y=2+?或y=2-77,C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)>=2時(shí)，AC=（1,0）,則8s（人民40=同同=顯=下-,

因?yàn)?4（荏，/）4無(wú)，故（初,衣）=：,D對(duì).

故選：ABD.

10.（2024?江西?一模）已知向量萬(wàn)=（-2,1）,b=（t,-l）,則（）

A.若&_1_5,則，=—萬(wàn)B.若日，B共線(xiàn)，則/=—2

C.方不可能是單位向量D.若，=0,則口-5卜5

【答案】AD

【知識(shí)點(diǎn)】利用向量垂直求參數(shù)、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、由向量共線(xiàn)（平行）求參數(shù)、平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的

坐標(biāo)表示

【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系、向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C,

利用向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及利用坐標(biāo)求模判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由H5，得無(wú)5=-2f-l=0，解得"-5，A正確；

對(duì)于B,由。，B共線(xiàn)，得-2x（_l）_11=0,解得7=2,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)f=O時(shí)，B是單位向量，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)/=0時(shí)，22-5=（-4,2）-（0,-1）=（-4,3）,貝!一q=5,D正確.

故選：AD

11.（24-25高二上?湖南郴州?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)向量1=（3#）,3=（2,-1）,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若萬(wàn)與B的夾角為鈍角，貝！U>6

B.同的最小值為9

C.與5共線(xiàn)的單位向量只有一個(gè)，為卜垓，一孝

D.若同=3例，貝!]%=±6

【答案】BC

【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線(xiàn)（平行）求參數(shù)、零向量與單位向量、向量夾角的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】A選項(xiàng)，7后<0且不反向共線(xiàn)，得到不等式，求出%>6；B選項(xiàng)，利用模長(zhǎng)公式得到同的最

小值為3；C選項(xiàng)，求出忖=石，從而得到利用;求出答案；D選項(xiàng)，利用模長(zhǎng)公式得到方程，求出左=±6.

【詳解】A選項(xiàng)，2與5的夾角為鈍角，故￡.石<0且日，方不反