2025年高一職高數(shù)學(xué)試題及答案

高一職高數(shù)學(xué)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[5]分，共[25]分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$，其圖像的對稱軸為

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$y=1$

D.$y=2$

2.在$\triangleABC$中，若$a=3$,$b=4$,$c=5$，則$\angleA$的度數(shù)為

A.$30^\circ$

B.$45^\circ$

C.$60^\circ$

D.$90^\circ$

3.下列哪個不等式組無解？

A.$\begin{cases}x+y\leq5\\y\leq3\end{cases}$

B.$\begin{cases}x+y\geq5\\y\geq3\end{cases}$

C.$\begin{cases}x+y\leq5\\y\geq3\end{cases}$

D.$\begin{cases}x+y\geq5\\y\leq3\end{cases}$

4.已知$log_2(3x-1)=3$，則$x$的值為

A.$\frac{1}{2}$

B.1

C.2

D.3

5.已知向量$\vec{a}=(1,-2)$，$\vec=(3,4)$，則$|\vec{a}+\vec|$的值為

A.1

B.2

C.5

D.10

二、填空題（每題[5]分，共[25]分）

6.函數(shù)$f(x)=2x+3$在$x=-1$處的導(dǎo)數(shù)為___________。

7.已知$sin\alpha=\frac{1}{2}$，則$cos^2\alpha$的值為___________。

8.若$|x-1|+|x-2|=3$，則$x$的值為___________。

9.在直角坐標(biāo)系中，點$A(2,3)$關(guān)于$x$軸的對稱點坐標(biāo)為___________。

10.若$a,b,c$為等差數(shù)列，且$a+b+c=9$，則$a^2+b^2+c^2$的值為___________。

三、解答題（每題[15]分，共[45]分）

11.（15分）解下列方程組：

$$

\begin{cases}

x+2y=5\\

3x-4y=1

\end{cases}

$$

12.（15分）求函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+2x+1$在$x=-1$處的導(dǎo)數(shù)。

13.（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$，求證：$f(x)+f(2-x)=5$。

14.（15分）在$\triangleABC$中，若$a=4$,$b=5$,$c=6$，求$\angleA$、$\angleB$、$\angleC$的度數(shù)。

四、解答題（每題[15]分，共[45]分）

15.（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的極值點。

16.（15分）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，求該數(shù)列的通項公式。

17.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點$A(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點為$B$，求點$B$的坐標(biāo)。

18.（15分）已知$log_2(x-1)+log_2(x+1)=3$，求$x$的值。

五、解答題（每題[15]分，共[45]分）

19.（15分）證明：若$a,b,c$是等差數(shù)列，則$a^3+b^3+c^3-3abc$是$3$的倍數(shù)。

20.（15分）已知$sin\alpha=\frac{3}{5}$，$cos\alpha>0$，求$tan\alpha$的值。

21.（15分）在$\triangleABC$中，若$a=3$,$b=4$,$c=5$，求$\triangleABC$的面積。

22.（15分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f(x)$的反函數(shù)。

六、解答題（每題[15]分，共[45]分）

23.（15分）解下列不等式組：

$$

\begin{cases}

2x-3y\geq6\\

x+4y\leq8

\end{cases}

$$

24.（15分）已知$log_3(x+2)-log_3(x-1)=1$，求$x$的值。

25.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=25$相交于$A$、$B$兩點，求線段$AB$的長度。

26.（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$，求$f(x)$的零點。

試卷答案如下：

一、選擇題答案：

1.B

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$是一個標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)，其圖像是一個開口向上的拋物線。對稱軸的公式是$x=-\frac{2a}$，其中$a$和$b$是二次函數(shù)的系數(shù)。這里$a=1$，$b=-4$，所以對稱軸是$x=-\frac{-4}{2\cdot1}=2$。

2.D

解析思路：根據(jù)勾股定理，如果一個三角形的邊長滿足$a^2+b^2=c^2$，那么這個三角形是直角三角形，其中$c$是斜邊。這里$a=3$，$b=4$，$c=5$，滿足$3^2+4^2=5^2$，因此$\triangleABC$是直角三角形，$\angleA$是直角。

3.B

解析思路：不等式組無解的情況通常出現(xiàn)在兩個不等式的約束條件相互矛盾時。選項B中，$x+y\geq5$和$y\geq3$兩個條件相互兼容，但它們與$x+y\leq5$和$y\leq3$矛盾，因此無解。

4.D

解析思路：將$log_2(3x-1)=3$轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式得到$2^3=3x-1$，即$8=3x-1$。解得$x=\frac{8+1}{3}=3$。

5.C

解析思路：向量的和的模等于各向量模的和，即$|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}|+|\vec|$。計算得$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$，$|\vec|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，所以$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{5}+5=5$。

二、填空題答案：

6.2

解析思路：函數(shù)$f(x)=2x+3$是一次函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是常數(shù)，即$f'(x)=2$。在$x=-1$處，導(dǎo)數(shù)仍然是$2$。

7.$\frac{1}{4}$

解析思路：由于$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$，所以$cos^2\alpha=1-sin^2\alpha$。代入$sin\alpha=\frac{1}{2}$得到$cos^2\alpha=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}$。

8.2或3

解析思路：將$|x-1|+|x-2|=3$分為兩部分考慮，當(dāng)$x\geq2$時，$|x-1|=x-1$，$|x-2|=x-2$，解得$x=2$；當(dāng)$1\leqx<2$時，$|x-1|=x-1$，$|x-2|=2-x$，解得$x=3$（無解，因為$x$不能同時大于等于2和小于2）。

9.(2,-3)

解析思路：點$A(2,3)$關(guān)于$x$軸的對稱點$B$的$y$坐標(biāo)取相反數(shù)，$x$坐標(biāo)保持不變，所以$B(2,-3)$。

10.21

解析思路：等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。由于$a+b+c=9$，且$a,b,c$是等差數(shù)列，所以$b=a+d$，$c=a+2d$。代入$a+b+c=3a+3d=9$得到$a+d=3$。由于$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$，代入$a+b+c=9$和$a+d=3$得到$a^2+b^2+c^2=21$。

三、解答題答案：

11.$x=2,y=1$

解析思路：使用消元法解方程組。將第一個方程乘以3，第二個方程乘以2，然后相減消去$y$，得到$5y=7$，解得$y=1$。將$y=1$代入第一個方程解得$x=2$。

12.$f'(x)=6x^2-6x+2$

解析思路：對函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+2x+1$使用求導(dǎo)法則，得到$f'(x)=6x^2-6x+2$。

13.$f(x)+f(2-x)=5$

解析思路：代入$f(x)$和$f(2-x)$的表達(dá)式，得到$x^2-2x+3+(2-x)^2-2(2-x)+3=5$?；喓蟮玫?2x^2-6x+10=5$，即$2x^2-6x+5=0$。這是一個完全平方公式，解得$x=1$或$x=\frac{5}{2}$。

14.$\angleA=90^\circ,\angleB=36^\circ,\angleC=54^\circ$

解析思路：由于$\triangleABC$是直角三角形，$\angleA=90^\circ$。使用余弦定理計算$\angleB$和$\angleC$，得到$\cosB=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+6^2-5^2}{2\cdot4\cdot6}=\frac{1}{2}$，所以$\angleB=60^\circ$。由于$\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ$，所以$\angleC=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$。

四、解答題答案：

15.極值點為$x=-\frac{1}{2}$和$x=1$

解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=-\frac{1}{2}$和$x=1$。檢查這兩個點處的二階導(dǎo)數(shù)，確定它們是極大值點還是極小值點。

16.通項公式為$a_n=3n-1$

解析思路：由等差數(shù)列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$S_n=3n^2+2n$和$a_1=1$，得到$a_n=3n-1$。

17.點$B$的坐標(biāo)為$(-3,2)$

解析思路：點$A$關(guān)于$y=x$的對稱點$B$的坐標(biāo)可以通過交換$A$的$x$和$y$坐標(biāo)得到，所以$B$的坐標(biāo)是$(-3,2)$。

18.$x=\frac{3}{2}$

解析思路：將$log_2(x+2)-log_2(x-1)=1$轉(zhuǎn)化為$log_2\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=1$，得到$\frac{x+2}{x-1}=2^1$，解得$x=\frac{3}{2}$。

19.$a^3+b^3+c^3-3abc$是$3$的倍數(shù)

解析思路：使用等差數(shù)列的性質(zhì)$a+b+c=3d$，其中$d$是公差。代入$a^3+b^3+c^3-3abc$得到$3d^3-3abc$，由于$d^3$和$abc$都是$3$的倍數(shù)，所以整個表達(dá)式是$3$的倍數(shù)。

20.$tan\alpha=\frac{3}{4}$

解析思路：由于$sin\alpha=\frac{3}{5}$，$cos\alpha>0$，可以使用勾股定理得到$cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}=\frac{4}{5}$。因此$tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{3}{4}$。

21.$\triangleABC$的面積為$6$

解析思路：使用海倫公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$得到$S=6$。

22.反函數(shù)為$x=\frac{1}{2y^2+1}$

解析思路：交換$x$和$y$的位置，解