湖北省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

湖北省學(xué)年秋季學(xué)期高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題單位：荊州市教科院審題單位：恩施州教科院本試卷共4頁，題，全卷滿分分考試用時(shí)分鐘.★祝考試順利★注意事項(xiàng)：題卡上的指定位置.選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.題卡上的非答題區(qū)域均無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.（0,2）B.（0,1）C.（2,0）D.（1,0）【答案】D【解析】【詳解】試題分析：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是我們要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握．2.已知，，且，則（）A.0.5B.0.4C.0.9D.0.2【答案】B【解析】第1頁/共16頁【分析】由A與B之間的包含關(guān)系可直接得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.3.設(shè)數(shù)列，都是等比數(shù)列，則在4個(gè)數(shù)列，，，中，一定是等比數(shù)列的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】取，可判斷；取，可判斷；利用等比數(shù)列的定義可判斷，.【詳解】對(duì)于，不妨取，則數(shù)列、都是等比數(shù)列，但對(duì)任意的，，故數(shù)列不是等比數(shù)列；對(duì)于，不妨取，則數(shù)列、都是等比數(shù)列，但當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列不是等比數(shù)列；設(shè)等比數(shù)列、的公比分別為，其中，對(duì)任意的，，對(duì)于，，即數(shù)列為等比數(shù)列；對(duì)于，，故為等比數(shù)列，故，一定是等比數(shù)列.故選：B.4.直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)且與垂直，則的方程為（）第2頁/共16頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意得直線的方向向量為直線的法向量，列出點(diǎn)法式方程即可求解.【詳解】由題意得直線的方向向量為直線的法向量，由點(diǎn)法式方程可得，所以.故選：A.5.已知是等差數(shù)列，，，則的前10項(xiàng)和為（）A.90B.100C.D.120【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出的公差和首項(xiàng)，代入前項(xiàng)和公式可得答案.【詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，則的前10項(xiàng)和為.故選：D.6.已知正三棱柱的中點(diǎn)為與直線所成的角的余弦值為（）A.0B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，計(jì)算二者的第3頁/共16頁數(shù)量積，即可得答案.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由正三棱柱性質(zhì)知底面，底面，則，，又底面是等邊三角形，是中點(diǎn)，則．以為原點(diǎn)，，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長都為2，則，，，，∴，，則∴，即異面直線和成角的余弦值為0,故選：A.7.柜子里有紅、黃、藍(lán)三種顏色的鞋子各一雙，從6只鞋子中隨機(jī)地取出3只，則取出的3只鞋子顏色均不相同的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出從6只鞋子中隨機(jī)地取出3只的取法，求出取出的3只鞋子顏色均不相同的取法即可求解.詳解】從6只鞋子中隨機(jī)地取出3只有種取法，要使取出的3只鞋子顏色均不相同，第4頁/共16頁則每種顏色都要取一只，共有種取法，所以取出的3只鞋子顏色均不相同的概率為.故選：C.8.圓與橢圓有密切聯(lián)系，將圓在同一方向等比例“壓縮”或者“拉伸”，圓會(huì)變形為橢圓；同樣的，將橢圓在同一方向等比例“壓縮”或者“拉伸”，橢圓會(huì)變形為不同的橢圓或圓.已知二面角的大小為，半平面內(nèi)的圓在半平面上的投影是橢圓，在半平面上的投影是橢圓，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】不妨設(shè)圓與二面角的棱切于點(diǎn)，過作與垂直的平面分別交半平面，于射線，，的中心分別為，，，，平面幾何知識(shí)可求得，進(jìn)而可求得離心率.【詳解】不妨設(shè)圓與二面角棱切于點(diǎn)，過作與垂直的平面分別交半平面，于射線，（如圖）.設(shè)圓的半徑為，橢圓，的中心分別為，，長短半軸分別為，，，，則，，，由平面幾何知識(shí)易得，，故橢圓的離心率.故選：36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目第5頁/共16頁要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.“點(diǎn)數(shù)不大于2”；“點(diǎn)數(shù)大于2”；“點(diǎn)數(shù)大于5”；“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”.則下列說法正確的有（）A.B.，為對(duì)立事件C.與互斥D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件，并事件，積事件的概念及事件之間的關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，“點(diǎn)數(shù)大于2”“點(diǎn)數(shù)大于5”“點(diǎn)數(shù)大于2”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)不大于2不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，即為對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)大于2可能同時(shí)發(fā)生，即與不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)大于5不可能同時(shí)發(fā)生，故，故D正確.故選：BD.10.已知，交點(diǎn)的軌跡為曲線的有（）A.當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓的一部分，且橢圓焦點(diǎn)在軸上B.當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓的一部分，且橢圓焦點(diǎn)在軸上C.當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓的一部分D.當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線的一部分【答案】ABD【解析】【分析】先聯(lián)立兩直線方程消去參數(shù)，得到曲線C的方程為，再根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的條件逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與的方程，此時(shí)無解，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與的方程，第6頁/共16頁可得，所以，兩式平方相加可得,選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)曲線C的方程，這是橢圓去掉時(shí)的點(diǎn)，且橢圓焦點(diǎn)在x軸上，所以該選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，這是橢圓去掉時(shí)的點(diǎn)，且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以該選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，假設(shè),曲線C的方程為，表示圓去掉時(shí)的點(diǎn)，不表示橢圓的一部分，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，曲線C的方程是焦點(diǎn)在x軸的雙曲線的一部分，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.已知正方體的棱長為4在面；點(diǎn)在面到直線的距離與其到平面的距離相等.若平面，則下列說法正確的有（）A.B.直線不可能與平面垂直C.的軌跡為拋物線的一部分D.線段長度的取值范圍為【答案】ACD【解析】A的中點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，得到在坐標(biāo)平面內(nèi)的方程；進(jìn)而得到的軌跡為拋物線的一部分，得到在第7頁/共16頁坐標(biāo)平面內(nèi)的方程判定C；設(shè)，求出判定D；當(dāng)即，時(shí)直線與平面垂直判定B.【詳解】由于平面，根據(jù)正方體性質(zhì)，知道，A選項(xiàng)顯然正確；以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由橢圓定義，P的軌跡為橢圓的一部分，其在坐標(biāo)平面內(nèi)的方程為；到直線的距離即為的長，到平面的距離即為到直線的距離，由此的軌跡為拋物線的一部分，其在坐標(biāo)平面內(nèi)的方程為，故C選項(xiàng)正確；由平面知，，橫坐標(biāo)相等，設(shè)為，設(shè)，，，，，故D選項(xiàng)正確；當(dāng)即，時(shí)直線與平面垂直.故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：立體幾何中，計(jì)算和證明比較難時(shí)，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，結(jié)合圓錐曲線，函數(shù)等知識(shí)解決即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，，且，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)求出，由求出坐標(biāo)，再利用向量模長公式計(jì)算可得答案.第8頁/共16頁【詳解】因?yàn)?，，且，所以，可得，解得，所以，又，則.故答案為：.13.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則_____.【答案】【解析】間的距離公式結(jié)合，可得，求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，兩焦點(diǎn)為，以線段為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，消去，得，整理得，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以取，代入，得，所以點(diǎn)，由，得，所以，整理得，所以，所以，兩邊平方得，所以，解得.第9頁/共16頁故答案為：.14.數(shù)列中，且滿足，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，，，以及，，，分別是公比為的等比數(shù)列，再分奇偶討論，結(jié)合分組求和計(jì)算即可.【詳解】解析：由，，得，，得所以，，，以及，，，分別是公比為的等比數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，且，設(shè).（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）結(jié)合已知等式構(gòu)造后應(yīng)用等比數(shù)列定義證明即可；第10頁/共16頁（2）應(yīng)用分組求和再分別應(yīng)用等差數(shù)列求和公式及等比數(shù)列求和公式計(jì)算.【小問1詳解】由已知，，且，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，，，所以，.16.已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過作直線與圓交于，兩點(diǎn).（1）若弦被點(diǎn)平分，求直線的方程.（2）若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1被點(diǎn)與直線得到直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線的方程.（2）已知弦長，先根據(jù)圓的半徑和半弦長以及圓心到直線的距離的關(guān)系求出圓心到直線的距離，然后分直線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，分別求出直線的方程.【小問1詳解】圓的方程為，圓心，已知.根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式，可得.第11頁/共16頁弦被點(diǎn)平分時(shí)，，設(shè)直線斜率為，則，所以.已知直線過點(diǎn)，斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式方程，可得直線的方程為，即.【小問2詳解】設(shè)圓心到直線的距離：圓的半徑，已知.根據(jù)圓的弦長計(jì)算公式，可得，所以.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：直線的方程為.此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足圓心到直線的距離，所以是直線一個(gè)方程.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線的方程為，即.圓心到直線的距離.即，兩邊平方得.展開得，移項(xiàng)，解得.所以直線的方程為.綜上所得，線的方程為或.17.如圖，平行六面體的所有棱長均相等，，，平面平面，點(diǎn)，滿足，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析第12頁/共16頁（2）【解析】1）取的中點(diǎn)，連接交于，證得，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；（2為原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】證明如圖，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，因?yàn)椋?，所以，又，所以由于，，所以，從而有又平面，平面，所以平面；【小?詳解】設(shè)平行六面體各條棱長為6.因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，由于，所以，，，由余弦定理得，，所以，以為原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由得，從而設(shè)平面的一個(gè)法向量為，第13頁/共16頁則，可取，故.18.已知橢圓軸上且焦距為2的直線（不與軸重合）交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線，的斜率之積為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，即可求解；（2）設(shè)，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立和消元求出韋達(dá)定理，求出.【小問1詳解】設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，,由，解得，，因此橢圓C的方程為；【小問2詳解】第14頁/共16頁證明：因?yàn)橹本€不與軸重合，設(shè)，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，消元得，得（*恒成立，所以，將（*）代入化簡得，所以直線，的斜率之積為.19.已知，兩個(gè)盒子里分別有，.重復(fù)進(jìn)行次如下操作：每次從，中隨機(jī)選取一個(gè)盒子，向里面放入1個(gè)球或放入2個(gè)球，從剩下的另一個(gè)盒子里取出1個(gè)球或取出2個(gè)球.每一次操作中某個(gè)盒子里“放入1個(gè)球”“放入2個(gè)球”及“取出1個(gè)球”“取出2個(gè)球”均是等可能的，這次操作結(jié)果均相互獨(dú)立.（1）若，，求第一次操作后，盒子里球的個(gè)數(shù)多于盒子里球的個(gè)數(shù)的概率；（2）求完成