2025年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：統(tǒng)計(jì)與概率（六大題型）（原卷版）

熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題04統(tǒng)計(jì)與概率(六大題型)

?>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01統(tǒng)計(jì)估計(jì)與概率.........................................................................1

題型02統(tǒng)計(jì)圖表與概率.........................................................................4

題型03隨機(jī)變量的分布與特征...................................................................5

題型04線性回歸及其綜合應(yīng)用...................................................................7

題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表.....................................................................11

題型06函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與統(tǒng)計(jì)概率綜合........................................................15

?>----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

工一商敵私廊變靜希利而須函應(yīng)再

(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.

(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和“求某些特定事件的概率.

(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

2、求離散型隨機(jī)變量自的均值與方差的步驟

(1)理解自的意義，寫(xiě)出自可能的全部值.

(2)求自取每個(gè)值的概率.

⑶寫(xiě)出自的分布列.

(4)由均值、方差的定義求E&),D?.

3、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表.

⑵根據(jù)公式/2=計(jì)算.

(3)比較必與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.

題型。丁統(tǒng)訐估訐寫(xiě)新軍

【典例1-1].(24-25高三上?上海金山?期末)某高中舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽.為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，

從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).將成績(jī)進(jìn)行整理后，依次分為五組

([50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項(xiàng).請(qǐng)根

據(jù)下面的頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問(wèn)題：

⑴求a、b的值；

（2）從樣本數(shù)據(jù)在60,60）,[70,80）兩個(gè)小組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再?gòu)倪@7名學(xué)生

中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來(lái)自不同小組的概率；

（3）某老師在此次競(jìng)賽成績(jī)中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：%,尤2，尤3廣、再。，己知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)元=88,方

差s'=25,若剔除其中的95和81兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差.

【典例1-2】.（2024?上海青浦?一模）第七屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2024年11月5日至10日在上海

舉辦，某公司生產(chǎn)的A.B,C三款產(chǎn)品在博覽會(huì)上亮相，每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式，

該公司每天產(chǎn)量如下表：（單位:個(gè)）

產(chǎn)品A產(chǎn)品B產(chǎn)品C

普通裝n180400

精品裝300420600

現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個(gè)，其中B款產(chǎn)品有30個(gè).

⑴求"的值；

（2）用分層抽樣的方法在C款產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為5的樣本，從樣本中任取2個(gè)產(chǎn)品，求其中至少有一

個(gè)精品裝產(chǎn)品的概率；

（3）對(duì)抽取到的B款產(chǎn)品樣本中某種指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10,方差為2,精品裝產(chǎn)品的

平均數(shù)為12,方差為1.8,試估計(jì)這天生產(chǎn)的B款產(chǎn)品的某種指標(biāo)的總體方差（精確到0.01）.

【變式1-11.（2024?上海嘉定?一模）在一場(chǎng)盛大的電競(jìng)比賽中，有兩支實(shí)力強(qiáng)勁的隊(duì)伍甲和乙進(jìn)行對(duì)決.

比賽采用5局3勝制，最終的勝者將贏得10萬(wàn)元獎(jiǎng)金，比賽過(guò)程中，每局比賽雙方獲勝的概率相互獨(dú)立且

甲隊(duì)每局獲勝概率為0.4,乙隊(duì)每局獲勝概率為0.6.比賽開(kāi)始后，甲隊(duì)先連勝兩局，此時(shí)，主辦方記錄了兩

隊(duì)隊(duì)員在這兩局比賽中的一些數(shù)據(jù).甲隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)（單位：個(gè)）數(shù)據(jù)如下：

24,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)（單位;個(gè)）數(shù)據(jù)如下：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39.

然而此時(shí)比賽場(chǎng)地突發(fā)技術(shù)故障，比賽不得不中止.請(qǐng)回答以下問(wèn)題：

⑴根據(jù)目前情況（甲隊(duì)已連勝兩局），寫(xiě)出甲、乙兩隊(duì)”采用5局3勝制”的比賽結(jié)果的樣本空間；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，繪制甲、乙兩隊(duì)隊(duì)員的擊殺數(shù)分布的莖葉圖；

（3）在目前情況下（甲隊(duì)已連勝兩局），估算甲乙兩隊(duì)獲勝概率，并據(jù)此分配10萬(wàn)元獎(jiǎng)金.

【變式1-2】.（2024?上海虹口?一模）2024年法國(guó)奧運(yùn)會(huì)落下帷幕.某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)本次奧運(yùn)會(huì)的滿

意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對(duì)本屆奧運(yùn)會(huì)的滿意度評(píng)分（滿分100分），平臺(tái)將評(píng)分分

為［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）.并在這些評(píng)分

中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評(píng)分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到

⑴求圖2中這20名觀眾的滿意度評(píng)分的第35百分位數(shù)；

（2）若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分的概

率；

（3）已知這1000名觀眾的評(píng)分位于［50,80）上的均值為67,方差為64.7,位于［50,100］上的均值為73,方差

為134.6,求這1000名觀眾的評(píng)分位于［80,100］上的均值與方差.

【變式1-3】.（24-25高三上?上海?期中）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生

產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20

人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式，完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間不超過(guò)70分

鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：

（1）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的第75百分位數(shù)；

（2）獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個(gè)人，求選出的兩個(gè)人均為優(yōu)秀的概率;

(3)為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個(gè)職工的體重?cái)?shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)全部介于45公斤到75公

斤之間，現(xiàn)將100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)分為6組：第一組[45,50),第二組[50,55),…，第六組[70,75),得到如圖

所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人，第二組有13人.求與。的值.

C

題型02統(tǒng)計(jì)圖表與概率

【典例2-1】.(2024?上海長(zhǎng)寧?一模)2024年第七屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)(簡(jiǎn)稱進(jìn)博會(huì))于11月5日至10

日在上海國(guó)家會(huì)展中心舉行.為了解進(jìn)博會(huì)參會(huì)者的年齡結(jié)構(gòu)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的200

名參會(huì)者進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區(qū)間為

[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75].把年齡落在區(qū)間[15,35)內(nèi)的人稱為“青年人”，把年齡落在

區(qū)間[35,65)內(nèi)的人稱為“中年人”，把年齡落在[65,75]內(nèi)的人稱為“老年人”.

200名參會(huì)者的頻率分布直方圖

(1)求所抽取的“青年人”的人數(shù)；

(2)以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會(huì)者做進(jìn)一步訪談，發(fā)現(xiàn)其中女性共4人,

這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會(huì)者中任選2人.

①簡(jiǎn)述如何采用抽簽法任選2人；

②設(shè)事件42人均為“中年人”，事件8：2人中至少有1人為男性，判斷事件N與事件8是否獨(dú)立，并說(shuō)

明理由.

【變式2-1】.(2024?上海奉賢?一模)某芯片代工廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo),

從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行檢測(cè)，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：

頻率

頻率

乙型芯片

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計(jì)乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表)；

(2)已知甲型芯片指標(biāo)在［80,100)為航天級(jí)芯片，乙型芯片指標(biāo)在［60,70)為航天為航天級(jí)芯片.現(xiàn)分別采用

分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在［70,90)內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在［50,70)內(nèi)取4件，再?gòu)倪@6件中任

取2件，求至少有一件為航天級(jí)芯片的概率.

【變式2-2】.(24-25高三上?上海松江?期末)某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為

1、2、3、4、5,現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下:

X12345

fa0.20.45bc

(1)若所抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，求°、6、c的值；

⑵在(1)的條件下，將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為多、尤2、%,等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為必、

%,現(xiàn)從多、%、%、乂、為這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫(xiě)出所

有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率.

題型03隨機(jī)變量的分布與特征

【典例3-1】.(2024?上海松江?二模)某素質(zhì)訓(xùn)練營(yíng)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派

一個(gè)人，且每人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視

作比賽勝利，無(wú)需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為百、2、2,

假定B、0、烏互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.

321

(1)計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若Pi=z，P2=j-P3=］，求該小組比賽勝利的概率；

(2)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫(xiě)出所需派出的人員數(shù)目X的分布，并求X的期望E(X)；

(3)己知若乙只能安排在第二個(gè)派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰(shuí)先派

出.

【典例3-2】?(24-25高三上?上海奉賢?期中)某市數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽結(jié)束后，為了解競(jìng)賽成績(jī)情況，從所有學(xué)

生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，得到他們的成績(jī)，將數(shù)據(jù)分成五組：［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),

［90,100］,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)若只有前35%的學(xué)生能進(jìn)決賽，則入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分?

(2)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?yōu)閇80,100]的學(xué)生中抽取容量為6的樣本，再?gòu)脑摌颖局须S機(jī)抽取2名學(xué)

生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)X為其中達(dá)到90分及以上的學(xué)生的人數(shù)，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

【變式3-1】.(24-25高三上?上海?開(kāi)學(xué)考試)為了緩解高三學(xué)生學(xué)業(yè)壓力，學(xué)校開(kāi)展健美操活動(dòng)，高三某

班文藝委員調(diào)查班級(jí)學(xué)生是否愿意參加健美操，得到如下的2x2列聯(lián)表.

性別愿意不愿意

男生610

女生186

(1)根據(jù)該2x2列聯(lián)表，并依據(jù)顯著水平a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為“學(xué)生性別與是否愿意參加健

美操有關(guān)”；

(2)在愿意參加的所有學(xué)生中，根據(jù)性別，分層抽樣選取8位學(xué)生組織班級(jí)健美操隊(duì)，并從中隨機(jī)選取2人

作為領(lǐng)隊(duì)，記這2人中女生人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布及期望E[X].

2

附：P(Z>3,841)^0.05.

【變式3-2】.(2023?上海閔行?三模)某學(xué)校有48兩個(gè)餐廳為學(xué)生提供午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生

每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)(仙)(4為(民⑷(B,B)

甲30天20天40天10天

乙20天25天15天40天

為了吸引學(xué)生就餐，A餐廳推出就餐抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獲獎(jiǎng)的概率為g,而3餐廳推出就餐送貼紙活動(dòng)，每次就餐

送一張.

假設(shè)甲、乙選擇餐廳就餐相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

(1)分別估計(jì)一天中甲午餐和晚餐都選擇/餐廳就餐的概率，乙午餐和晚餐都選擇8餐廳就餐的概率；

(2)記X為學(xué)生乙在一天中獲得貼紙的數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)A餐廳推出活動(dòng)當(dāng)天學(xué)生甲就參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知如果學(xué)生甲抽中獎(jiǎng)品，則第二天午餐再次去A餐廳

2

就餐的概率為如果學(xué)生甲并沒(méi)有抽中獎(jiǎng)品，第二天午餐依然在A餐廳就餐的概率為夕，若A餐廳推出

活動(dòng)的第二天學(xué)生甲午餐去A餐廳就餐的概率是:，求。.

【變式3-3】.(24-25高三上?上海松江?階段練習(xí))某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，

從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為04萬(wàn)元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司

賠償0.6萬(wàn)元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

（2）一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

（i）記X為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E[X]；

（ii）如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中E[X]估計(jì)值的大小.

【變式3-4].（23-24高三下?上海青浦?階段練習(xí)）中國(guó)首個(gè)海外高鐵項(xiàng)目——雅萬(wàn)高鐵全線長(zhǎng)142.3千米,

共設(shè)有哈利姆站、卡拉旺站、帕達(dá)拉朗站、德卡伯爾站4個(gè)車(chē)站.在運(yùn)營(yíng)期間，鐵路公司隨機(jī)選取了100名

乘客的乘車(chē)記錄，統(tǒng)計(jì)分析，得到下表（單位：人）：

下車(chē)站上車(chē)站卡拉旺站帕達(dá)拉朗站德卡魯爾站總計(jì)

哈利姆站5201540

卡拉旺站102030

帕達(dá)拉朗站3030

總計(jì)53065100

用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問(wèn)題:

（1）在運(yùn)營(yíng)期間，從卡拉旺站上車(chē)的乘客中任選3人，設(shè)這3人到德卡魯爾站下車(chē)的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X

的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

（2）己知A地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，A地居民到哈利姆站乘車(chē)的概率為0.4,到卡拉旺站乘車(chē)的概率

為0.6（A地居民不可能在卡拉旺站下車(chē)）.在高鐵離開(kāi)卡拉旺站時(shí)，求從哈利姆站上車(chē)的乘客來(lái)自A地的概

率與從卡拉旺站上車(chē)的乘客來(lái)自A地的概率的比值.

題型04線性回歸及其綜合應(yīng)用

【典例4-1].（2024?上海?一模）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了

平均金屬含量了（單位：克每立方米）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離x（單位：米）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到

[19

了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表中%=一,7=%￡%）.

Xj9tr

9_9_9_9__9__

Z（%-"）2￡（其一

XyUE（%-"）（％一）

i=\Z=1i=lZ=1Z=1

697.900.212400.1414.1226.13-1.40

（1）利用相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷y=。與y=C+@哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量y關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距

離X的回歸方程類型；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果建立了關(guān)于x的回歸方程，并估計(jì)樣本對(duì)原點(diǎn)的距離x=20米時(shí)，平均金屬含量是多

少？

【典例4-21.（2023?上海楊浦?模擬預(yù)測(cè)）某科技公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)，需了解年研

發(fā)費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單位：百件）和年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的影響，現(xiàn)對(duì)近6年的年研發(fā)

費(fèi)為和年銷(xiāo)售量％（，=1，2,…，6）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

2t(y.-y)2

Xy為”)火仇-力

Z=1Z=1i=li=lZ=1

12.52223.5157.5168004.51254270

表中=lnx,?，〃=

6z=i

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷i=Z+與i=Z+21nx哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（給出判斷即可，

不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

⑶已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z=0.5y-x,根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年研發(fā)費(fèi)為多少時(shí)，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（叱，匕），（也,％）,…，（叱,V”），其回歸直線￡=3+/w的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)

1=1

【變式4-11.（2023?上海奉賢?一模）某連鎖便利店從2014年到2018年銷(xiāo)售商品品種為2000種，從2019

年開(kāi)始，該便利店進(jìn)行了全面升級(jí)，銷(xiāo)售商品品種為3000種.下表中列出了從2014年到2023年的利潤(rùn)額.

年份X2014201520162017201820192020202120222023

利潤(rùn)額

27.642.038.448.063.663.772.880.160.599.3

力萬(wàn)元

（1）若某年的利潤(rùn)額超過(guò)45.0萬(wàn)元，則該便利店當(dāng)年會(huì)被評(píng)選為示范店；若利潤(rùn)額不超過(guò)45.0萬(wàn)元，則該便

利店當(dāng)年不會(huì)被評(píng)選為示范店.試完成2x2列聯(lián)表，并判斷商品品種數(shù)量與便利店是否為示范店有關(guān)？（顯

著性水平a=0.05,P（72>3.841）?0.05）

品種為2000種品種為3000種總計(jì)

被評(píng)為示范店次數(shù)

未被評(píng)為示范店次數(shù)

總計(jì)

⑵請(qǐng)根據(jù)2014年至2023年（剔除2022年的數(shù)據(jù)）的數(shù)據(jù)建立丁與x的線性回歸模型①；根據(jù)2019年至2023

年的數(shù)據(jù)建立丁與x的線性回歸模型②.分別用這兩個(gè)模型，預(yù)測(cè)2024年該便利店的利潤(rùn)額并說(shuō)明這樣的預(yù)

測(cè)值是否可靠？（回歸系數(shù)精確到0.001,利潤(rùn)精確到0.1萬(wàn)元）

回歸系數(shù)&與g的公式如下：

Sx^-rixy人Z%-匯天

2=-----------------=-------------tb=y-ax=---------

￡（占-可2￡x；一而2"

z=li=l

【變式4-2】.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測(cè)試其性能，對(duì)推進(jìn)器飛行距

離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下:

飛行距離x（kkm）5663717990102110117

損壞零件數(shù)了（個(gè)）617390105119136149163

（1）建立y關(guān)于x的回歸模型步=八+6,根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求回歸方程及相關(guān)系數(shù)（B精確到

0.1,4精確到1,r精確到0.0001）

（2）該公司進(jìn)行了第二次測(cè)試，從所有同型號(hào)推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺(tái)進(jìn)行等距離飛行測(cè)試，對(duì)其中60臺(tái)進(jìn)

行飛行前保養(yǎng)，測(cè)試結(jié)束后，有20臺(tái)報(bào)廢，其中保養(yǎng)過(guò)的推進(jìn)器占比30%,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)

表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)?

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢20

未報(bào)廢

合計(jì)60100

附：八_______Mad-bcf_______

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(X>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【變式4-3】.（23-24高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)為調(diào)研汽車(chē)流量對(duì)空氣質(zhì)量的影響，在

某監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)每日過(guò)往的汽車(chē)流量x（單位：輛）和空氣中的PM2.5的平均濃度?。▎挝唬篻g/m3）.調(diào)

研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于（%,入改=1,2,3,…,50）的散點(diǎn)圖，并用直線x=1500與y=100將散

點(diǎn)圖分成如圖所示的四個(gè)區(qū)域I、II、HI、IV,落入對(duì)應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為6,20,16,8.

斗

200?[4：?；

100W息聲三

,*v**HI：IV,

O15002000X

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“PM2.5平均濃度不小于100照/m3與“汽車(chē)日流量不

小于1500輛”有關(guān);

汽車(chē)日流量x<1500汽車(chē)日流量X21500合計(jì)

PM2.5的平均濃度了<100

PM2.5的平均濃度>2100

合計(jì)

⑵經(jīng)計(jì)算得回歸方程為]=012X-73.36,且這50天的汽車(chē)日流量x的標(biāo)準(zhǔn)差工=252,PM2.5的平均濃度

了的標(biāo)準(zhǔn)差s”=36.

①求相關(guān)系數(shù)/，并判斷該回歸方程是否有價(jià)值；

50

②若這50天的汽車(chē)日流量x滿足￡X；=1.2X108,試推算這50天的PM2.5日均濃度了的平均數(shù)歹.（精確

Z=1

到0.1）

n(ad-兒丫

參考公式：r2=其中n=a+b+c+d

q+b)(c+d)(Q+c)(6+d)'

尸（/源）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

￡（七一可（乂一刃

回歸方程/=0+公，其中右=J------------.

可2

1=1

￡（苞-可（乂-刃

相關(guān)系數(shù)，=.若卜|20.75,則認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.

J￡（x,-可2t包一刃2

VZ=1Z=1

題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表

【典例5-1】?（24-25高三上?上海?期中）學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，

題目分為必答題和選答題.其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩

共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中4道題目回答即可.現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個(gè)題目中至少選

答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：

選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道

人數(shù)20303020

⑴現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人.學(xué)校還調(diào)查了這100位學(xué)生的性別情況,

研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：

性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗''達(dá)人總計(jì)

男性30

女性7

總計(jì)100

P(x2>左)0.10.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

請(qǐng)完成上述2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān).

（2）從這100名學(xué)生中任選2名，記X表示這2名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)

變量X的分布和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

參考公式:其中〃=a+b+c+d.附表見(jiàn)上圖.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【典例5-2】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）為了了解廣大消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)意向與年齡是否具有相

關(guān)性，某汽車(chē)APP采用問(wèn)卷調(diào)查形式對(duì)400名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人,

且愿意購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)的人數(shù)是愿意購(gòu)買(mǎi)燃油車(chē)的2倍；青年中愿意購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)的人數(shù)是愿意購(gòu)買(mǎi)燃油車(chē)

的4倍.

購(gòu)車(chē)意向

年齡段合計(jì)

愿意購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)愿意購(gòu)買(mǎi)燃油車(chē)

青年

中老年

合計(jì)

⑴完善2x2列聯(lián)表，請(qǐng)根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對(duì)新能源車(chē)和燃油車(chē)的意向購(gòu)買(mǎi)

與年齡是否有關(guān)；

(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)的消費(fèi)者中抽取9人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取5人，求這5人中

青年人數(shù)的分布和期望.

2n(ad-bcY

附:V=---------------------------------------------------n=a+b+c+d.

(a+6)(c+4)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【變式5-1】.(24-25高三上?上海?階段練習(xí))某校體育鍛煉時(shí)間準(zhǔn)備提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.為了

解該校學(xué)生是否同意“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，數(shù)據(jù)如表:

男生女生合計(jì)

同意7050120

不同意305080

合計(jì)100100200

(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)?

(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學(xué)生選擇.若甲、乙兩學(xué)生從三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種(他們的選擇相互獨(dú)

2

立).若在甲學(xué)生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為記事件A為“甲學(xué)生選擇足球”，事件8

為“甲、乙兩名學(xué)生的選擇不同”，判斷事件48是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由.

(3)經(jīng)觀察，該校學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)X?N085,169),由往年經(jīng)驗(yàn)，訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開(kāi)始時(shí)

增加10個(gè)，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù)).

2n^ad-bcy

參考公式和數(shù)據(jù):,(a+6)(c+d)(a+c)(6+4)其中〃=a+6+c+d；

尸（/工）0.0230.0100.005

%5.0246.6357.879

若X?N(〃口?)，則尸■b0.6827,尸(國(guó)一“<2o■卜0.9545,尸(|X-“<3o■卜0.9973.

【變式5-2].（24-25高三上?上海?期中）2024年某瓷器公司計(jì)劃向市場(chǎng)推出兩種高檔中國(guó)紅瓷杯/和3,

己知/和8燒制成功率分別為80%和90%,燒制成功一個(gè)/,盈利30元，否則虧損10元；燒制成功一個(gè)

B,盈利80元，否則虧損20元.

（1）設(shè)X為燒制一個(gè)/和一個(gè)3所得的利潤(rùn)之和，求隨機(jī)變量X的分布和數(shù)學(xué)期望；

（2）求燒制4個(gè)/所得的利潤(rùn)不少于80元的概率；

（3）公司將用戶對(duì)中國(guó)紅瓷器的喜歡程度分為“非常滿意”（得分不低于85分）和“滿意”（得分低于85分）

兩類，通過(guò)調(diào)查完成下表.

[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

年齡低于45歲61442317

年齡不低于45歲4647358

根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成下列2x2列聯(lián)表，并依據(jù)顯著性水平a=0.05的獨(dú)立，性檢驗(yàn)，判斷居民對(duì)瓷器的喜歡程度

是否與年齡有關(guān)聯(lián)?

非常滿意滿意合計(jì)

年齡低于45歲

年齡不低于45歲

合計(jì)

2

%”2_n(ad-be)

n=a+b+c+d,P(/>k)^a,a與k的若干對(duì)應(yīng)數(shù)值見(jiàn)下表

?"(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.250.050.005

k1.3233.8417.879

【變式5-3】.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)上買(mǎi)菜迅速進(jìn)入了我們的

生活?，F(xiàn)將一周網(wǎng)上買(mǎi)菜次數(shù)超過(guò)3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買(mǎi)菜的市

民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”.某市M社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買(mǎi)菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民,

得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜合計(jì)

年齡不超過(guò)45歲的市民401050

年齡超過(guò)45歲的市民203050

合計(jì)6040100

（1）能否有95%的把握認(rèn)為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上頭菜與年齡有關(guān)？

（2）M社區(qū)的市民小張周一、二均在網(wǎng)上買(mǎi)菜，且周一等可能地從兩個(gè)買(mǎi)菜平臺(tái)隨機(jī)選擇一個(gè)下單買(mǎi)菜如果

4

周一選擇A平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇A平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為），如果周一選每8平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇A

平合買(mǎi)菜的概率為:，求小張周二選擇8平臺(tái)買(mǎi)菜的概率；

⑶用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從M社區(qū)隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的市民人數(shù)為隨機(jī)變量X,并

記隨機(jī)變量￥=2丫+3,求X、丫的期望和方差.

其中〃=

參考公式：?+6黑就…）a+6+c+d.

pg>h)0.10.050.010.0050.001

*2.7063.8416.6357.87910.828

【變式5-4].（24-25高三?上海?課堂例題）“日行萬(wàn)步”正成為健康生活的代名詞.某地一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了

該地區(qū)1000位居民的日行步數(shù)，得到如下表格:

日行步數(shù)（單位：千步）[0,2]僅4](4,6]（6用(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)（人）206017020030020050

（1）為研究日行步數(shù)與居民年齡的關(guān)系，以日行步數(shù)是否超過(guò)8千步為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000位居

民中抽取200人,得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)2x2列聯(lián)表判斷是否有95%把握認(rèn)為

日行步數(shù)與居民年齡超過(guò)40歲有關(guān);

日行步數(shù)48千步日行步數(shù)＞8千步總計(jì)

40歲以上（人）100

40歲以下（含40歲）（人）50

總計(jì)200

2

P(K>k0)0.500.400.250.150.0100.050.0250.010

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

⑵以這1000位居民日行步數(shù)超過(guò)8千步的頻率，代替該地區(qū)1位居民日行步數(shù)超過(guò)8千的概率，每位居民

日行步數(shù)是否超過(guò)8千相互獨(dú)立.為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20位居民，其中日行步數(shù)超過(guò)8

千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？

【變式5-5】.（2024?上海徐匯?二模）為了解中草藥甲對(duì)某疾病的預(yù)防效果，研究人員隨機(jī)調(diào)查了100名人

員，調(diào)查數(shù)據(jù)如表.（單位：個(gè)）

未患病者患病者合計(jì)

未服用

291645

中草藥甲

服用

46955

中草藥甲

合計(jì)7525100

（1）若規(guī)定顯著性水平a=0.05，試分析中草藥甲對(duì)預(yù)防此疾病是否有效；

（2）已知中草藥乙對(duì)該疾病的治療有效率數(shù)據(jù)如下：對(duì)未服用過(guò)中草藥甲的患者治療有效率為對(duì)服用過(guò)

3

中草藥甲的患者治療有效率為二.若用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從患此疾病的人員中隨機(jī)選取2人（分兩次選取，

每次1人，兩次選取的結(jié)果獨(dú)立）使用中草藥乙進(jìn)行治療，記治療有效的人數(shù)為X,求X的分布和數(shù)學(xué)期

望.

n^ad-bc^

附:n=a+b+c+d.

(〃+6)(c+d)(a+c)(6+a)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

題型06函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與統(tǒng)計(jì)概率綜合

【典例6-1].（2023?上海金山?二模）某網(wǎng)站計(jì)劃4月份訂購(gòu)草莓在網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售，每天的進(jìn)貨量相同，成本價(jià)

為每盒15元.假設(shè)當(dāng)天進(jìn)貨能全部售完，決定每晚七點(diǎn)前（含七點(diǎn)）售價(jià)為每盒20元，每晚七點(diǎn)后售價(jià)為

每盒10元.根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天晚七點(diǎn)前的購(gòu)買(mǎi)量與網(wǎng)站每天的瀏覽量（單位：萬(wàn)次）有關(guān).為確定草莓的

進(jìn)貨量，相關(guān)人員統(tǒng)計(jì)了前兩年4月份（共60天）網(wǎng)站每天的瀏覽量（單位：萬(wàn)次）、晚七點(diǎn)前購(gòu)買(mǎi)草莓

的數(shù)量（單位：盒）以及達(dá)到該流量的天數(shù)，如下表所示：

每天的瀏覽量(0,1)[1,+°°)

每天晚七點(diǎn)前的購(gòu)買(mǎi)量300900

天數(shù)3624

以每天的瀏覽量位于各區(qū)間的頻率代替瀏覽量位于該區(qū)間的概率.

（1）求4月份草莓一天晚七點(diǎn)前的購(gòu)買(mǎi)量X（單位：盒）的分布；

⑵設(shè)4月份銷(xiāo)售草莓一天的利潤(rùn)為y（單位：元），一天的進(jìn)貨量為"（單位：盒），〃為正整數(shù)且

[600,900],當(dāng)“為多少時(shí)，y的期望達(dá)到最大值，并求此最大值.

【變式6-1】.（2023?上海長(zhǎng)寧?二模）某地新能源汽車(chē)保有量符合阻沛型增長(zhǎng)模型X?）=「k，其中X”）

為自統(tǒng)計(jì)之日起，經(jīng)過(guò)t年后該地新能源汽車(chē)保有量、2和r為增長(zhǎng)系數(shù)、M為飽和量.

下表是該地近6年年底的新能源汽車(chē)的保有量（萬(wàn)輛）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

年份20182019202020212022

t01234

保有量X”）9.612.917.123.231.4

假設(shè)該地新能源汽車(chē)飽和量M=290萬(wàn)輛.

（1）若r=0.31,假設(shè)2018年數(shù)據(jù)滿足公式工?）=1之/，計(jì)算彳的值（精確到0.01）并估算2023年年底該

地新能源汽車(chē)保有量（精確到0.1萬(wàn)輛）；

M

⑵設(shè)尸工-1,則Iny與/線性相關(guān).請(qǐng)依據(jù)以上表格中相關(guān)數(shù)據(jù)，利用線性回歸分析確定彳和r的值（精

確到0.01）.

附：線性回歸方程了=公+3中回歸系數(shù)計(jì)算公式如下：-----------,b=y-ax.

i=\

【變式6-2】.（2023?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè)）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情

況，測(cè)得了平均金屬含量了（單位：g/m3）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離x（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理,

1]9

得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表中%=一）

再9I

9.9999

力(再-可￡(%-才￡（》一刃2

XyU￡(為-元)(乂-刃2(%-))(%-歹)

Z=1Z=11=1Z=1i=l

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷歹=。+區(qū)與y=c+@哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量了關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)

的距離X的回歸方程類型？

⑵根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

（i）建立了關(guān)于X的回歸方程；

（ii）樣本對(duì)原點(diǎn)的距離X=2O時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？

⑶已知該金屬在距離原點(diǎn)x米時(shí)的平均開(kāi)采成本印（單位：元）與X4關(guān)系為少=100（j-lnx）（14xW100）,

根據(jù)（2）的結(jié)果回答，x為何值時(shí)，開(kāi)采成本最大？

【變式6-3】.（2023?上海松江?二模）某城市響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，積極調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，推出多種價(jià)位的新能源電

動(dòng)汽車(chē).根據(jù)前期市場(chǎng)調(diào)研，有購(gòu)買(mǎi)新能源車(chē)需求的約有2萬(wàn)人，他們的選擇意向統(tǒng)計(jì)如下：

車(chē)型ABCDEF

價(jià)格9萬(wàn)元12萬(wàn)元18萬(wàn)元24萬(wàn)元30萬(wàn)元40萬(wàn)元

占比5%15%25%35%15%5%

（1）如果有購(gòu)車(chē)需求的這些人今年都購(gòu)買(mǎi)了新能源車(chē)，今年新能源車(chē)的銷(xiāo)售額預(yù)計(jì)約為多少億元？

（2）車(chē)企推出兩種付款方式：

全款購(gòu)車(chē)：購(gòu)車(chē)時(shí)一次性付款可優(yōu)惠車(chē)價(jià)的3%；

分期付款：無(wú)價(jià)格優(yōu)惠，購(gòu)車(chē)時(shí)先付車(chē)價(jià)的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付車(chē)價(jià)的!.

O

①某位顧客現(xiàn)有。萬(wàn)元現(xiàn)金，欲購(gòu)買(mǎi)價(jià)值。萬(wàn)元的某款車(chē)，付款后剩余的資金全部用于購(gòu)買(mǎi)半年期的理財(cái)

產(chǎn)品（該理財(cái)產(chǎn)品半年期到期收益率為1.8%）,到期后，可用資金（含理財(cái)收益）繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)半年期的理財(cái)產(chǎn)

品，問(wèn)：顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）

②為了激勵(lì)購(gòu)買(mǎi)理財(cái)產(chǎn)品，銀行對(duì)采用分期付款方式的顧客，贈(zèng)送價(jià)值1888元的大禮包，試問(wèn)：這一措施

對(duì)哪些車(chē)型有效？（計(jì)算結(jié)果精確到0.0001）

O---------------題型通關(guān)?沖高考----------*

一、解答題

1.（2023?上海普陀?一模）我國(guó)隨著人口老齡化程度的加劇，勞動(dòng)力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公

眾關(guān)注的熱點(diǎn)話題之一，為了了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)屬地所在的一社區(qū)進(jìn)行了調(diào)查,

并將隨機(jī)抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.

女男

67789278

123358323344567

01368994023344589

2385234578

24604

（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；

（2）經(jīng)統(tǒng)計(jì)年齡在［50,59）的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機(jī)選

取男女各2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

2.（2024?上海徐匯?一模）某企業(yè)招聘員工，指定“英語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)”、“信息技術(shù)”、“邏輯推理”作為三門(mén)考試課程，

有兩種考試方案.

方案一：參加三門(mén)課程的考試，至少有兩門(mén)及格為通過(guò)；

方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，并參加這兩門(mén)課程的考試，兩門(mén)都及格為通過(guò).

假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是.Pi，P2，P3（Pi￡（04）』=123）,且三門(mén)課程考試是否

及格相互之間沒(méi)有影響.

⑴分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過(guò)的概率（和選方案二考試通過(guò)的概率T2；

⑵試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小，并說(shuō)明理由.

3.（2024?上海奉賢?三模）在剛剛結(jié)束的杭州亞運(yùn)會(huì)上，中國(guó)羽毛球隊(duì)延續(xù)了傳統(tǒng)優(yōu)勢(shì)項(xiàng)目，以4金3銀2

銅的成績(jī)傲視亞洲.在舊制的羽毛球賽中，只有發(fā)球方贏得這一球才可以得分，即如果發(fā)球方在此回合的

爭(zhēng)奪中輸球，則雙方均不得分.但發(fā)球方輸?shù)舸嘶睾虾螅乱换睾细臑閷?duì)方發(fā)球.

.3

（1）在舊制羽毛球賽中，中國(guó)隊(duì)某運(yùn)動(dòng)員每一回合比賽贏球的概率均為a，且各回合相互獨(dú)立.若第一回合

該中國(guó)隊(duì)運(yùn)動(dòng)員發(fā)球，求第二回合比賽有運(yùn)動(dòng)員得分的概率；

（2）羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊(duì)員往往會(huì)更加占據(jù)心理上的優(yōu)勢(shì)，給出以下假設(shè)：

假設(shè)1：各回合比賽相互獨(dú)立；

假設(shè)2：比賽雙方運(yùn)動(dòng)員甲和乙的實(shí)力相當(dāng)，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為十；

求第一回合發(fā)球者在整場(chǎng)比賽中先得第一分的概率，并說(shuō)明舊制是否合理？

4.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中

抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范