2025年新高考數(shù)學(xué)重難點專項復(fù)習(xí)：函數(shù)易錯題九大題型（解析版）

重難點10函數(shù)易錯題九大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.不理解函數(shù)的定義

理解函數(shù)的定義，一定要抓住的要點事一對一，或者多對一.

技巧二.忽略定義域的函數(shù)

在求解定義域問題時，主要定義域代表的是X的范圍.

技巧三.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則

研究與函數(shù)有關(guān)的問題時，一定要先明確函數(shù)的定義域是什么，才能進行下一步工作。

技巧四.處理二次型函數(shù)忽略討論系數(shù)是否為零

處理二次型函數(shù)需要優(yōu)先要論二次項的系數(shù)是否為零

技巧五.判斷函數(shù)奇偶性時，易忽略檢驗函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱

判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根據(jù)f(-x)與f(x)的關(guān)系得到結(jié)論;

技巧六.抽象不等式忽略函數(shù)的定義域

在解決抽象不等式的問題時，需要注意函數(shù)的定義域

技巧七解決分段函數(shù)的單調(diào)性時忽略端點值

在解決分段函數(shù)別的單調(diào)性時，注意端點值大小的討論

技巧八.復(fù)合函數(shù)忽略討論根號里的范圍

在解決復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值問題時，注意小球定義域

13*題型提分練

題型1不理解函數(shù)的定義

【例題1]（2023秋?江蘇常州?高一常州市北郊高級中學(xué)校考期末）已知集合A=[0,+8）,B=[1,+8）,下

列對應(yīng)關(guān)系中從A到B的函數(shù)為（）

A.x-?y=xB.f-.x->y=x2

C.f:xy—2xD.f-.xy-2x+2

【答案】D

【分析】結(jié)合函數(shù)的值域和定義域之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的定義分別進行判斷即可.

【詳解】對于A,在對于關(guān)系-y=%中，當(dāng)x=0時，y=0,則集合B中沒有元素和x對應(yīng)，不是從集

合4到集合B的函數(shù)，故A錯誤，

對于B,在對于關(guān)系Ty=M中，當(dāng)％=0時，y=0,則集合B中沒有元素和%對應(yīng)，不是從集合4到集

合B的函數(shù)，故B錯誤，

對于C,在對于關(guān)系-y=2久中，當(dāng)％=0時，y=0,則集合B中沒有元素和x對應(yīng)，不是從集合4到集

合B的函數(shù)，故C錯誤，

對于D,在對于關(guān)系f：%-?y=2%中，因為xe[0,+00）,所以ye[2,+oo）[1,+oo）,且則集合4中任意一

個元素X在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，是從集合4到集合B的函數(shù)，故D正確，

故選：D.

【變式1-1】1.（2022秋?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期中）已知A={x|l<x<2},B={y|l<y<4},下列對

應(yīng)法則不可以作為從4到B的函數(shù)的是（）

A.尤7y=2%B.%fy=%2

C.f:xy=D.%y=|x—4|

【答案】C

【分析】求出每個選項中對應(yīng)法則中y的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的定義逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，當(dāng)1WxW2時，y=2xe[2,4],且[2,4]QB,A中的對應(yīng)法則可以作為從4到8的

函數(shù)；

對于B選項，當(dāng)UW2時，y=/e[1,4],且B=[1,4],B中的對應(yīng)法則可以作為從4到B的函數(shù)；

對于C選項，當(dāng)1WxW2時，y=（6原1],且[%1]S,C中的對應(yīng)法則不能作為從4到B的函數(shù)；

對于D選項，當(dāng)1WxW2時，一3Wx—4W-2,則y=|x—4|e[2,3],且[2,3]￡B,

D中的對應(yīng)法則可以作為從4到B的函數(shù).

故選：C.

【變式1-112.（2020?浙江杭州?高一期末）若函數(shù)y=f（x）的定義域為{x|-3VxW8,xH5},值域為

{y|-1WyW2,yK0},則、=/（比）的圖象可能是（）

【分析】利用函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合即可對選項進行判斷.

【詳解】選項A中，當(dāng)x=8時，y=0,不符合題意，排除A；選項C中，存在一個x對應(yīng)多個y值，不

是函數(shù)的圖象，排除C；選項D中，x取不到0,不符合題意，排除D.

故選：B.

)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，進行分析判斷即可得解一

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個x只有一個y和它對應(yīng),

因此不能出現(xiàn)一對多的情況，所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象.

故選：ABD.

【變式1-U4.（2023秋?上海徐匯?高一上海中學(xué)?？计谀┫铝羞M口車的車標(biāo)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后可以看成函數(shù)圖

像的是（）.

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)自變量與因變量一對一或多對一的特征判斷.

【詳解】函數(shù)圖像滿足：自變量在它的允許范圍內(nèi)取定一個值時，在圖像上都有唯一確定的點與它對應(yīng).

選項D的進口車的車標(biāo)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后可以看成函數(shù)圖像，其它三個選項都不滿足條件.

故選：D

題型2忽略定義域的含義

【例題2]（2023秋?吉林?高一長春市第二實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）若函婁好（切的定義域為[0,4],則函數(shù)gQ）=

/（%+2）的定義域為（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【分析】由函數(shù)f（%）的定義域，可得。<%+2<4,求出久的范圍，即可得到函數(shù)g（x）的定義域.

【詳解】因為函數(shù)f（x）的定義域為[0,4],

所以0<%+2<4,解得-2<x<2,

所以函數(shù)9（%）=/（%+2）的定義域為[-2,2].

故選：A.

【變式2-1J1.（2022秋?山東威海?高一山東省文登第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)y=f（行的定義域為,

則函數(shù)g（久）=與詈2的定義域（）

A.卜1,_2)U(-2,0]B.[—8,—2)u(-2,1]

C.(-8,—2)U(—2,3]D.-2]

【答案】A

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)的定義域可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得函數(shù)g(x)的定義域.

【詳解】因為函數(shù)y=f(x)的定義域為,對于函數(shù)g(“)=與歲,

則有「8W魯：手1,解得-注X<一2或一2<%<0.

I%+2W。2

因此,函數(shù)g⑺的定義域為卜[,-2)U(-2,0].

故選：A.

【變式2-1]2.(2023秋?遼寧本溪?高一?？计谀?若函數(shù)y=f(x)的定義域是[1,2023],則函數(shù)g(x)=

力的定義域是()

X—1

A.[0,2022]B.[-1,1)U(1,2022]

C.(1,2024]D.[0,1)u(1,2022]

【答案】D

【分析】由抽象函數(shù)定義域相關(guān)概念可得答案.

【詳解】Sy=f(x)的定義域是[1,2023],

則由g(x)="可得：尸“*；]20230<%<2022

%】IX—_L羊U%W1

則g(x)定義域為：[0,1)U(1,2022].

故選：D

【變式2-1]3.(2022秋?甘肅蘭州?高一?？计谀?若函數(shù)f⑺的定義域為[0,4],則函數(shù)以久)=/(%+2)+

盤的定義域為()

A.(1,2)B.(1,4)C.(1,2]D.(1,4]

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于X的不等式組，由此可解得函數(shù)g(x)的定義域.

【詳解】解：因為函數(shù)/(X)的定義域為[0,4],

對于函數(shù)g(x)=f(x+2)+溫,則m算4，解得1<XW2,

即函數(shù)g(x)=/(%+2)+盤的定義域為(1,2].

故選：C

【變式2-1]4.(2023秋?山東威海?高一統(tǒng)考期末)已知函婁好0)的定義域為(1,2),則/(x+1)的定義域

為

【答案】(0,1)

【分析】通過函數(shù)f(%)的定義域可得f(%+1)中1<x+1<2,解出即可.

【詳解】由函數(shù)f(x)的定義域為(1,2)得1<x<2,

對于/'(x+1)有1<x+1<2,

0<%<1,BP/(r+1)的定義域為(0,1).

故答案為：(0,1).

【變式2-1J5.(2023秋?江蘇揚州?高一期末)已知函婁好(2x-3)的定義域為[-1,4]設(shè)函數(shù)/(久)=7gg,

則函數(shù)F(x)的定義域是

【答案】(1,3]

【分析】由f(2x-3)的定義域得出一5<2%-3<5,進而由當(dāng)及得出所求.

【詳解】因為函數(shù)f(2x-3)的定義域為[—1,4],所以—1<x<4,-5<2%-3<5

即｛二篇/解得3

故函數(shù)尸(X)=-7==,則函數(shù)/(X)的定義域是(1,3]

voX-X—7

故答案為：(1,3]

題型3求函數(shù)解析式忽略函數(shù)的定義域

[例題3]2023秋?四川成都?高一?？计谀?已知"叮-1)=%,則f(x)=

【答案】(x+iy,x>-i

【分析】用換元法求解函數(shù)解析式.

【詳解】令t=忘-1,其中te[1,+oo),則久=Q+l)2,即/'(t)=(t+I)2

故答案為：(尤+1尸，x2-1.

【變式3-1]1.(多選)(2022秋?吉林長春?高一?？计谀?已知函數(shù)f(x)滿足/(￡)=言，則關(guān)于函數(shù)

f(為正確的說法是()

A.不等式f。)>2的解集為(—1,0)B.f(x)值域為｛y|yH1且yH2｝

C./(2)D.f(久)的定義域為｛如久豐-1｝

【答案】ABC

【分析】換元法求得/(%)=1+士且比比豐。且x豐-1｝即知D正誤，解分式不等式判斷A,根據(jù)分式型函

數(shù)的性質(zhì)求值域并求外2)的值.

2

【詳解】令力=：H。則％=,故/?)=J=三，即/(%)=1+占且｛%|%W0且％W-1｝,D錯誤；

XL—+1ITC±iX

所以f(x)=1+>2,即—>0,故X(Y+1)<0,得—1<x<0,A正確；

由/'(x)=1+上且｛x|x豐。且％豐-1),則值域為｛y|y豐1且y*2),B正確；

/2)=1+a=1C正確.

故選：ABC

【變式3-1]2.(2022秋河北石家莊?高一統(tǒng)考期末)已知;"(GT)=X+1，則函數(shù)/W.

【答案】x2+2,x>0

【分析】采用換元法，令應(yīng)K-t,(t>0),即可得/⑹=/+2,即可求得函數(shù)解析式.

【詳解】令7x-1=t,(t>0),貝k=t2+1,

故/'(t)=t2+l+l=t2+2,即/(x)=x2+2,x>0,

故答案為：/+2,x20.

【變式3-1J3.(2022秋?黑龍江大慶?高一大慶外國語學(xué)校?？计谀└垡匝?1)=x+?，則f(3)=

【答案】6

【分析】首先求函數(shù)/(%),再求;"(3)的值.

【詳解】設(shè)《+1=t>1,則a=t-1

所以/⑹=(c-I)2+t-1=t2-t,即/'(X)=x2-x,(x>1),

f(3)=32-3=6.

故答案為：6

【變式3-1]4.(2022春?云南曲靖?高一?？计谀?已知函數(shù)g(F+2)=久+2代+1.

(1)求函數(shù)儀久)的解析式；

⑵設(shè)/(無)=喏2,若存在xG[2,3]使/0)-質(zhì)三0成立,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】Q)gO)=(x—1)2(XN2);

(2)[-|,+oo)

【分析】(1)由配湊法得g(?+2)=(代+2-以，再結(jié)合五+2>2,即可求出g(x)的解析式；

(2)先求出f(幻，將題設(shè)轉(zhuǎn)化為k2?！?+1在％e[2,3]上有解，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值

即可求解.

【詳解】(1)5(Vx+2)=x+2y+1=(Vx+l)2=(Vx+2-l)2，則g(x)=(x-1尸，又百+2>2,

則g(x)=(x-1)2(x>2)；

(2)/(%)=若三==%+；4(尤22),又存在xe[2,3]使a%)-kx<0成立，即k22一打

1在x6[2,3]上有解,

令t=￡[I,|j,設(shè)h(t)=t2—4t+1=(t—2)2—3,易得九(t)在單減，貝Uh(t)min=%0=一|，

即k>-9,故實數(shù)k的取值范圍為[-9,+8).

【變式3-1]5.(2023秋?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊101中學(xué)?？计谀?若函數(shù)f1+￡)=產(chǎn)+妥，且

/(m)=4,則實數(shù)m的值為()

A.V6B.或-C.—V6D.3

【答案】B

【分析】令％~配湊可得/⑴=t2-2,再根據(jù)/(6)=4求解即可

【詳解】令％+^=t(t>2或tW-2),/+點=(%+：)—2=t2—2，:./(t)=t2—2,f(m)=m2—2=4,

???m=±V6.

故選；B

題型4二次函數(shù)相關(guān)問題忽略討論二次項系數(shù)為“0”

【例題4](2023秋?寧夏銀川?高一校考期中)若函數(shù)y=嬴等3的定義域是一切實數(shù)，則實數(shù)k的取值

范圍是()

A.(0,+8)B.(-8,0]C.[0,|)D.(0,^)

【答案】C

【分析】由題意可知，對任意的XeR,k/+4k尤+3片0恒成立，分k=0、k*0兩種情況討論，結(jié)合已

知條件可求得實數(shù)k的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/'(￡)=心暴+3的定義域為R，

所以,對任意的％wR,fcx2+4kx+3H0恒成立.

①當(dāng)憶=0時，則有3W0,合乎題意；

②當(dāng)kW0時，由題意可得A=16k2-12k<0,解得0Vk<

綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是[o,3).

故選：C.

【變式4-1】1.(2022秋?河南洛陽?高一校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)f(x)=J(a—1)%2—a”+1的定義域為R,

則a的取值范圍為()

A.{2}B.[1,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

【答案】A

【分析】先驗證a=1時的情況，再當(dāng)a豐1時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解.

【詳解】當(dāng)a=1時，/'(x)=V-x+1,定義域不為R；

當(dāng)a*1時，若函數(shù)/(x)=J(a-I)/一a久+1的定義域為R,

貝必=(-最]泮1)<0>解得。=2

故選：A.

+2%x之一1

n2、"一"1滿足Wxi/zeR,

(_L-DU)X――,X<一1

X1豐X2,都有①3>0，則實數(shù)a的取值范圍為

xr—x2

【答案】[0,;]

【分析】由題意得到外力的單調(diào)性，從而利用分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】因為eR,%力冷，都有色紅四>0,

%1—％2

所以人力在R上為增函數(shù)，

2%xZ—1

X_3_1，易知函婁好(力在R上為增函數(shù)；

2’

(a>0

--<-11

{113a>0-解得。<a4'

(1—3ct)x(―1)—1<a-2

綜上，04aW1則a的取值范圍為[O,1，

故答案為：[。,;].

【變式4-1]3.(2023春?上海金山?高一統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)f(久)=a%2-(a+1)%+1,%e，若函

數(shù)y=〃久)在定義域上滿足：①是非奇非偶函數(shù)；②既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；③有最大值，則實數(shù)a

的取值范圍是

【答案】(―°°,—1)u

【分析】對①：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得a力-1；對②：分類討論可得二次項系數(shù)小于零，且對稱軸為X=

等e(-14),求出a的取值范圍；對③：結(jié)合②中所求的范圍驗證即可.

【詳解】對①：-f(x)+f(—x)—[ax?—(a+l)x+1]+[G(—%)?—(a+1)(—x)+1]=2(ax2+1)H0,

即/(%)豐-/(-x),

故/O)不是奇函數(shù)；

若f0)是偶函數(shù)，則/■(X)-/(-x)=[ax2-(a+l)x+1]-[a(-x)z-(a+l)(-x)+1]=-2(a+l)x=0,

可■彳導(dǎo)a+1=0,即a=—1

故若是非奇非偶函數(shù)，貝必豐-1；

對③：若f(x)在(后J)上有最大值，則有：

當(dāng)a=。時，則/O)=-x+1在(-3|)上單調(diào)遞減，無最值，不合題意；

當(dāng)a牛。時，貝!|/(x)=ax2-(a4-l)x+1為二次函數(shù)且對稱軸為x=答,

由題意可得，_工v,解得a<—~,

I22a2

故若f(x)在(-U)上有最大值，貝必<一J

對②：若a<—J貝好(x)=ax2-(a+l)x+1開口向下，且對稱軸為x=鬻e,

故f(x)在(-3鄉(xiāng)上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為(一%-1)

故答案為：(―0°,—1)U(—1,一》

【變式4-1】4.(2023秋?上海浦東新?高一華師大二附中校考期末)若二次函數(shù)f(久)=a%2+2(a-l)x+2

在區(qū)間(-%4]上為嚴格減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】(0,才

(a>0

【分析】由題知_2(a-l)>4,再解不等式組即可得答案.

I2a-

【詳解】解：因為二次函數(shù)/(%)=a%2+2(a-l)x+2在區(qū)間(—8,4]上為嚴格減函數(shù)，

(a>0(a>01

<a

所以一2(a-1)>彳，叫0<aW；解得°-?

12aI5

所以，實數(shù)a的取值范圍是(0周

故答案為:(0.|]

【變式4-1]5.(2023秋?上海松江?高一上海市松江二中?？计谀?已知函數(shù)f(x)=%,g(x)=ax2-x,

其中a>0,若對任意的Xi6[1,3],總存在比2e[1,4],使得/(/)/(>2)=g(xi)g(>2)成立，則實數(shù)a的取值

范圍是

【答案】圖

【分析】根據(jù)題意可得a-工=-,分別求兩邊的范圍，利用子集關(guān)系，得到結(jié)果.

%2

222222

【詳解】由f(%i)/(%2)=g(%i)g(%2)可得%1%2=(axt-%i)(ax2-x2)，化簡得：ax1x2-ax1x2-

2

axrx2—0,

因為a>0,xrE[1,3],x2E[14],所以-％1-％2=0，即。=紅出=—+—,

%1%2X1x2

所以，a=~/因為=eL1],且a--1,a一寸，

%2L3J%2L4」

因為對任意的%i€[1/3],總存在%2E[1,4],有a——=工成立,

%2

fl>a—1

所以，旦[a—l,a—討，所以3—

13」L4」1<a-l

l-4

所以，：WaW￡即實數(shù)a的取值范圍是由才

故答案為m

題型5由奇偶性求解析式忽略“x”的范圍

【例題512023秋福建福州?高一福建省福州格致中學(xué)?？计谥?已知/⑴是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)％<0

時，/(%)=%2+2%;貝！]當(dāng)%>0時，/(%)=

【答案】X2-2X

【分析】當(dāng)X>0時，-X<0,先寫出函數(shù)y=，(-X)的解析式，再利用函數(shù)為偶函數(shù)，即可寫出分段函數(shù)的

解析式.

【詳解】由已知可得，當(dāng)%20時，-xW0,f(-x)=x2-2%=f(x),

即當(dāng)x>0時，/(%)-x2-2x；

故答案為：X2-2X

【變式5-1J1.(2022秋?海南?？?高一?？谝恢行？计谥性轮瘮?shù)y=/O)為奇函數(shù)目當(dāng)%>0時f0)=

%2-2%+3,則當(dāng)x<0時，f(x)=.

【答案】—%?—2萬—3

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】因為函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，

所以當(dāng)x<。時，/'(%)=-/(-x)=-(x2+2%+3)=-x2-2x-3,

故答案為：—/—2x—3

【變式5-1】2.(多選)(2023秋?廣西桂林?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xW0

時/'(乃=一/一2%,則()

A./(久)的最大值為1B.八久)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增

C./(%)>。的解集為［-2,2］D.當(dāng)％>0時，/(無)=x2-2x

【答案】AC

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義以及部分解析式可求得函蜘O)=；；；：梵，畫出函數(shù)圖象即可求得

其值域及單調(diào)性，結(jié)合圖象進行不等式求解.

［詳解］根據(jù)題意可知當(dāng)久>0時，_久W0,所以/(-X)=-(-X)2-2(-x)=-%24-2x；

又因為/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f0)=/(-%)=-x2+2%；

因此/?(%)=反力二,飛,易知選項D錯誤；

畫出函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示：

由圖可知，八%)的最大值為1,即A正確；

易知,0)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，即B錯誤；

結(jié)合圖像可知/0)>0的解集代表的是函數(shù)圖象在x軸上方部分對應(yīng)的自變量的取值范圍，即x￡[-2,2],

所以/(%)>0的解集為[-2,2],即C正確.

故選：AC

【變式5-1]3.(2023秋?北京?高一?？计谥?已知了⑺是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)久e[0,+8州寸,/(%)=

x2+2x,則/'(一1)=，當(dāng)久e(—8,。)時，/(無)=.

【答案】-3-/+2比

【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義分析求解.

【詳解】由題意可得：/(-I)=一/⑴=-3；

當(dāng)xe(-00,o)時，則一%>o,

所以yo)=-f(-x)=-[(-X)2+2(-x)]=-%2+2x；

故答案為：-3；—%2+2x.

【變式5-1]4.(2023秋?陜西西安?高一統(tǒng)考期末)已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=

x2+2x.

⑴求函數(shù)f(x)在R上的解析式;

⑵若函婁好(久)在區(qū)間[-1,爪-1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)小的取值范圍.

【答案】⑴制=｛工遍2。。；

⑵(0,2]

【分析】(1)由奇函數(shù)的定義和已知區(qū)間上的解析式，可得所求解析式；

(2)作出函數(shù)y="%)的圖象，從而得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由題意列不等式求解,即可得答案.

【詳解】(1)設(shè)x>0,則-x<0,所以f(-x)=%2-2%,

因為函數(shù)y="x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(X)=-f(-x)=-X2+2x,

所以函數(shù)/(x)在R上的解析式為/(x)=P2+2^X.

(2)作出函數(shù)y=f(久)的圖象，如圖所示，

由函數(shù)圖象可知，y=f(久)在[-1,1]上單調(diào)遞增，

根據(jù)題意得，一1<小一141,解得。<mW2,

所以實數(shù)小的取值范圍為(00.

【變式5-1]5.(2022秋?安徽蕪湖?高一安徽省無為襄安中學(xué)?？计谥?已知y=/(x)是定義在R上的奇函

數(shù),當(dāng)％>0時，f(x)=x2-2x；

(1)求/⑴，/(—2)的值；

(2)求f(x)的解析式.

【答案】(1)/(1)=-I,K-2)=0

⑵/⑴=巴二黑土

【分析】(1)根據(jù)題意，求出f(1)的值，由奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得答案；

(2)令x<0,則r>0,利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)的表達式，綜合可得答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意，當(dāng)x20,f(x)=%2一2x,則/⑴=I2-2=-1,

f0)是奇函數(shù)，W(-2)=V⑵=0.

(2)令x<0,貝!|一%>0,由已知/(-X)=(-%)2-2(-x)=x2+2x,

,"(X)是奇函數(shù)，

.,.當(dāng)x<0時,/(x)=-/(-%)=-X2—2x,

：.f(x)=尸2-2久,(：>0)

I—x2—2x,(x<0)

題型6判斷函數(shù)奇偶性忽略求定義域

【例題6](2023秋?湖南婁底?高一?？计谀?已知f(x-1)=久+吃.

X—L

(1)求/(久)的解析式及定義域；

(2)求f(x)的值域，單調(diào)區(qū)間并判斷奇偶性.(不要求寫理由，只寫結(jié)果)

【答案】(l)/(x)=x+:+1,定義域為｛x|x豐0);

(2)詳見解析.

【分析】(1)利用配湊法求/(x)的解析式，根據(jù)解析式求定義域；

(2)由定義法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得函數(shù)值域；由定義法判斷函數(shù)奇偶性.

【詳解】(1)因為/(%—1)=%+=%—14----+1,

X—1X—1

所以/'(X)=x+^+1.

函數(shù)/Xx)有意義，貝1k大。，

所以/'(X)的定義域為｛x|x豐0).

因為，任取

(2))(x)=x+j+10<%!<x2,

所以〃XI)_/%)=5+1+1_+叱+1)=「譽1),

由0<久1V久2/可得%1—%2V0，X1X2>07

xx

當(dāng)0<xr<x2<1時,XtX2-1<0；當(dāng)1<xt<%2時!l2-1>o,

所以當(dāng)0<XX<X2<1時，/(X1)-/(%2)>0,/(%!)>/(%2),

當(dāng)1</<久2時，/01)-/(%2)<0,/(%1)</(X2),

所以/(%)在(。,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，/⑴=3；

同理)(X)在上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減,/(-I)=-1；

所以/'CO值域為(一8,-1]U[3,+OO)；

又/(%)—f(—x)=%+1+1—(—%"I----1-1)2x+或力0,即/(x)小f(—x),

f(x)+fx)=%+—+1+(一萬—~+1)=2H0,SPf(x)*—fx),

所以/(無)為非奇非偶函數(shù)；

所以函數(shù)的值域為(一8,—1]U[3,+8)；單調(diào)增區(qū)間為(一8,—1),(1,+8)，單調(diào)減區(qū)間為(—1,0),(0,1)；

f(x)為非奇非偶函數(shù).

【變式6-1]1.(2022秋?江蘇連云港?高一統(tǒng)考期中)已知/(切=x\x-2m\+x,meR.

⑴判斷f(久)的奇偶性并說明理由；

(2)當(dāng)xG[0,1]時，/'(無)的最大值為2,求小的值.

【答案】Q)當(dāng)巾=0時，f(乃是奇函數(shù)；當(dāng)山中0時，f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，理由見解析

(2)m=?；騧=1.

【分析】(1)分巾=0與小豐0兩種情況分別判斷即可；

(2)去絕對值將函數(shù)改為分段函數(shù)，再分情況討論二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,

當(dāng)m=0時,/(x)=x\x\+x,因為/'(—x)=—x\—x\—x=-x\x\—x=—/(%),

所以八支)是奇函數(shù).

當(dāng)m牛。時,/(—1)=-|1+2m|-1,/(I)=|1-2m|+1,

可知〃-1)豐/(I),/(-I)豐-/⑴，所以f0)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)由題意得f(x)=｛:2

v—x+(1+2rn)x,x<2m,

當(dāng)?n—|<2m<m+1,即一|<m<1時,

/(x)在R上是增函數(shù)，

當(dāng)2zn<m—|,即巾<-1時，

f(x)在(巾-I，+8)上是增函數(shù)；

因為m-|<0,所以f(%)在［0,1］上是增函數(shù)；

當(dāng)2m>m+1,即m>之時，

/(%)在(-8,爪+｝上是增函數(shù)；

因為爪+［>1,所以在［0,1］上是增函數(shù)；

故當(dāng)x￡［0,1］時，/(%)的最大值為f(1)=|1-2詞+1=2,

解得m=0或1.

【變式6-1］2.(2022秋?上海浦東新?高一?？计谥?已知函數(shù)f(x)=久+f其中a,beR.

⑴討論函數(shù)f(x)=久+溫7的奇偶性，并說明理由；

(2)若a<1，b=0,判斷函數(shù)y=/⑺在［1,+8)上的單調(diào)性，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)單調(diào)遞增，證明見解析

【分析】(1)由奇偶性的定義求解，

(2)由單調(diào)性的定義證明，

【詳解】(1)/(x)的定義域為｛x|x豐U,

當(dāng)b豐。時，f(X)為非奇非偶函數(shù),

當(dāng)b=0時，f(x)=x+^,f(-x)=-x+蓑，

令/(一%)=-f(x),解得a=0,令f(-x)=f(x),得a無解,

綜上，當(dāng)a=6=0時，/(x)為奇函數(shù),

當(dāng)a豐0或b豐0時，/'(尤)為非奇非偶函數(shù)，

(2)/(x)=x+^,設(shè)6x2e［1,+oo),且久i<久2，

則/(g)-/(均)=必+合一%+黃)=-^1)(1-號:尸),

42X1Ao

由菱詈=~1+言<2,a<捐1-專著)>o,而不一%>0,

人［人241人2人［兒24人［人2

故/(冷)一，(/)>0,y=f(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增

【變式6-1］3.(2022秋浙江?高一舟山中學(xué)校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)/⑴=奈,aeR.

⑴討論函數(shù)f(X)的奇偶性(寫出結(jié)論，不需要證明)；

(2)是否存在實數(shù)a，使得關(guān)于x的方程/(六)=1有唯一解？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍：若不存在,

請說明理由.

【答案】⑴a=0時,/(案為奇函數(shù)；a力。時，/(x)為非奇非偶函數(shù)

⑵存在，卜1,一：)u(—：,2)U{-日

【分析】(1)討論a的取值，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)利用換元法，設(shè)t=/,將關(guān)于%的方程/(品)=1有唯一解轉(zhuǎn)化為g(t)=4/-t-l,y=a的圖象

在te(0,|)U(|,1)上只有一個交點，數(shù)形結(jié)合，可得答案案.

【詳解】(1)a=0時，f(x)=4T，滿足f(~x)=-/(%)，/'(%)為奇函數(shù)；

74X—1

aK0時，/1(-X)=/笠豐-/(x),/(-x)=。f(x)，/'(x)為非奇非偶函數(shù).

4X-±—±

(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使得關(guān)于久的方程/(舟)=1有唯一解，即品+。1

4,島Yr

不妨設(shè)t=看,由題意可得，te(0，)u(|,1),

整理可得：a=4/一t一1在t￡(0,0U1)上有一個根，

設(shè)g(t)=4產(chǎn)一t一1,作出其在te(o,|)uQ,1)內(nèi)的圖象，

如下圖所示,若X的方程/(六)=1有唯一解，則g(t)=4產(chǎn)_t_i,y=a的圖象在te(0,0uQ.1)上只

有一個交點，

則a的取值范圍是卜1,_,)UU{—葛},

故存在a6[-1,-j)U(-Q)U{-總，使得關(guān)于x的方程/(六)=1有唯一解.

【變式6-1]4.(2022秋?廣東東莞?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)人久)=籌.

⑴判斷函數(shù)f(x)是否具有奇偶性？并說明理由；

(2)試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：/(x)在(-1,+oo)上是增函數(shù)；

⑶求函數(shù)/'(%)在區(qū)間[1,4]上的值域.

【答案】(1)函數(shù)/(%)不具有奇偶性；理由見解析；

⑵證明見解析；

⑶[.

【分析】(1)通過定義域不關(guān)于原點對稱來判斷奇偶性；

(2)任取xl,x2w(-1,+8),且xl<x2,通過計算f(xl)-f(x2)的正負來判斷單調(diào)性；

(3)通過函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,4］上的單調(diào)性求得最值即可.

【詳解】(1)由已知尤+1^0,故x豐-1

函數(shù)/'(%)定義域為(一8,-1)u(-l,+oo),

因為定義域不關(guān)于原點對稱，

所以函數(shù)f(x)不具有奇偶性；

(2)證明：f(x)=巴三=2(X+1)-5=2_2

\八,%+1X+1%+1，

任取xl,X2G(-1z+OO)，且xl<x2

f(xl)d(x2)=(2-搐)-(2-云)

55

_5(X1+1)-5(X2+1)

x+lXi+1

2(X1+1)(X24-1)

=5(%1一汽2)

一(Xi+l)(%2+l)，

又由-1<xl<x2,貝！］xl-x2<0zxl+l>0rx2+l>0z

故f(xl)-f(x2)<0,即f(xl)<f(x2),

所以f(x)在(-1,+8)是增函數(shù)；

(3)由(2)知，f(x)在［1,4］上單調(diào)遞增,

所以f(x)min=f(l)=,f(x)max=f(4)=1,

故f(x)在［1,4］上的值域是［-11］.

【變式6-1］5.(2023秋?北京?高一?？计谥?已知f0)=頭.

(1)判斷函數(shù)“乃的奇偶性，并說明理由；

(2)求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1+VX+8)上單調(diào)遞增.

【答案】(1)/0)是非奇非偶函數(shù),證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)“X)的定義域，即可得出結(jié)論；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.

【詳解】(1)解：由久一1K0,可得函數(shù)/⑺的定義域為(—8,1)U(1,+8).

因為(-8,1)U(1,+8)不關(guān)于原點對稱，

所以函婁好0)不具有奇偶性，即/(%)是非奇非偶函數(shù).

(2)證明：V/、x2e(1+V2,4-00),且久1<久2,

?[1「,、%2+1—1+22

由"%)=F=k=x+l+』，

可得f(修)-f(&)=(/+1+卷)一(冷+1+云)=01-冷)[1一(xd)]

__（汽1-％2）[（汽1-1）（工2-1）-2]

（x1-l）（x2-l），

因為尤2>>1+V2,所以乂2-—1>V2,且刀1-%2<0,

即/(尤1)>〃乂2)，亦即函數(shù)f(X)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增.

題型7抽象不等式忽略函數(shù)的定義域

【例題7](2023秋?寧夏銀川?高一寧夏育才中學(xué)校考期中)函數(shù)f⑺的定義域為[-3,4],且在定義域內(nèi)是

增函數(shù)，若f(2爪-1)-/(I-m)>0,則小的取值范圍是

【答案】^<m<^

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逆用解抽象不等式.

【詳解】由f(2巾-1)-/(I-m)>0得f(26-1)>/(I-m),

因為函數(shù)/(x)的定義域為[-3,4],且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，

2m—1>1—m

所以—3<2m—1<4,解得:<m<|,

,—3<1—m<4

所以小的取值范圍是;<m<1.

故答案為：；

【變式7-1］1.(2021秋?云南昆明?高一昆明八中校考期中)已知函數(shù)〃久)是定義域為［-2,2］的偶函數(shù)，

且函數(shù)f。)在區(qū)間［-2,0］上單調(diào)遞增，若f(1-m)-f(m)<0,則實數(shù)小的取值范圍是()

A.&+8)B,(-oo,j)C,［-1,0D.(-1,0

【答案】C

【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可知f(x)在［0,2］上單調(diào)遞減；根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系可得不等式口-詞>\m\,

又自變量需符合定義域要求，可得不等式組，解不等式組求得結(jié)果.

【詳解】「f(久)是定義在［-2,2］上的偶函數(shù)且在［-2,0］上單調(diào)遞增

“X)在［0,2］上單調(diào)遞減,

由f(1—m)—/(m)<0,

|1-m|>\m\

則/(I-2m)</(m)得：-2<1-m<2

、—2<m<2

解得：-1Wm<(

故選：c

【變式7-1］2.(2023秋?寧夏銀川?高一銀川二中?？计谥?已知函數(shù)y=/(x),xe［-2,2］,對任意的xI、

X2e［-2,2］且X1豐%2,總有八川力加>0,若外爪+1)>/(2m),則實數(shù)小的取值范圍是

%］一X?

【答案】［-1,1)

【分析】分析可知，函數(shù)/(%)是定義在［-2,2］上的增函數(shù)，根據(jù)f(巾+1)>〃2巾)可得出關(guān)于實數(shù)小的不等

式組，由此可解得實數(shù)6的取值范圍.

【詳解】對對任意的修、X2￡［-2,2］且X1豐%2,總有生上3>0,

%1—比2

不妨設(shè)久1>%2，則妨小)-不了2)>0,即f(%1)>不外)，

所以，函數(shù)f(X)是定義在［-2,2］上的增函數(shù)，

(—2<2m<2

因為/'(加+1)>f(2m)，貝一2W巾+1W2,解得一1<m<1.

、2m<m+1

因此，實數(shù)小的取值范圍是［-1,1).

故答案為：［-1,1).

【變式7-1］3.(2022秋?黑龍江佳木斯?高一佳木斯市第二中學(xué)?？计谥?已知定義域為［-2,刀的函數(shù)“X)

在［-2⑼上單調(diào)遞增，且/(久)+/(-%)=0,若f(-1)=-J則不等式/(2x-1)<前勺解集為.

［答案】［-i,i］

【分析】先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，得到函數(shù)"%)在［-2,2］上單調(diào)遞增，再利用單調(diào)性的定義求解.

【詳解】解：因為定義域為［-2,2］的函數(shù)f(x)在［-2,0］上單調(diào)遞增，H/(x)+/(-%)=0,

所以函數(shù)人制在［-2,2］上為奇函數(shù)，且在［-2,2］上單調(diào)遞增,

又八—1)=一］所以f⑴=|,

又不等式『(2%-1)<(等價于/(2%-1)</(I),

所以-2<2x—1<1,解得-1<x<1,

所以不等式f3-1)<決勺解集為卜I，斗

故答案為：［―^,1］

【變式7-1］4.(2022秋?江蘇南京?高一南京師大附中?？计谥?已知函婁好⑺是定義域為區(qū)間［-1,3］,

且圖象關(guān)于點(1,1)中心對稱.當(dāng)1<久<3時，f(久)=%+1-i,則滿足f(久-1)+/(%)<2的x的取值范

圍是()

A-1,1］B.［|,+8］C.［O,|］D,［|,3］

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的條件，可得小(2-尤)+“X)=2,再與已知聯(lián)立結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式作答.

【詳解】因函數(shù)了(%)的圖象關(guān)于點(1,1)中心對稱,則有/(2—久)+/(x)=2,而f(x-1)+/(x)<2,

于是得“X-1)+f(x)<弓(2-%)+/(%),即f(x-1)<f(2-%),

又當(dāng)1<xW3時，/(x)=x+1—］有f(x)在(1,3］上單調(diào)遞增，則/(%)在［-1,1)上單調(diào)遞增，

而八1)=1,因此函數(shù)“X)在［—1,3］上單調(diào)遞增，于是得—1<%-1<2-%<3,解得0<x<|,

所以滿足f0-1)+/(%)<2的X的取值范圍是［0,|］.

故選：C

【變式7-1】5(2021秋?四川自貢?高一校聯(lián)考期中塔奇函數(shù)f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù)若-1<x<0

時，以x)=-x2-2%,

(1)求/⑺的解析式；

(2)求滿足f(1一6)+/(I-m2)<0的實數(shù)m的取值范圍

—X2—2%,-1<x<0

【答案】(1)/0)=

X2—2x,0<%<1

(2)0<m<1

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解；

(2)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性建立不等式組即可求解.

【詳解】(1)因為/⑶是定義域(-1,1)上的奇函數(shù)，

所以對于任意％e(-1,1),則/1(t)=-/(x),且/'(0)=0.

設(shè)0<x<1,則一1<一x<0,

由已知得/'(%)=-/(-%)=-[-(-x)2-2(-%)]=x2-2x,

而/'(0)=。滿足上式，

所以f⑺=尸：一紜匕<：：°.

Ixz—2%,0<x<1

(2)由于/(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù)，目為奇函數(shù)，

所以,(1—m)+/(I—m2)<0,即/'(1—m)<—/(I-m2)=>/(I—m)<f(rn2—1),

[-1<1-m<1

所以有,-1<巾2一i<i0<m<1,

.1—m>m2—1

所以m的取值范圍為