2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：解直角三角形模型之12345模型解讀與提分訓(xùn)練

專題30解直角三角形模型之12345模型

初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、

特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”

模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟?，F(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的

獨(dú)特魅力。

1

1

3

例題講模型|]

模型1.“12345”模型及衍生模型

模型解讀

（19年北京市中考）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，貝°（點(diǎn)A,B,尸是網(wǎng)格交點(diǎn)）。

0

I-----r—?-----r—?-----1

:p：!

r—rr~~n

i|I

一

--------------------------

該類問題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一個等腰直角三角形。

如圖，即：ZPAB+ZPBA=ZBPQ=45°o

上面的/尸AB和/P8A便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45。之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看:

tanZPAB=-,tanZPBA=~,對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。

23

模型證明

12345基礎(chǔ)模型模型還可變式為

1a

tana=—tana=一a1

;tana二二八b-a

2.(Z+夕=45。；變式1：b-^a+J3=45°變式2：<bftan/?=------

a+b

tan/?=-tan/3=---[a+4n=4A5C°O

a+b

證明：（基礎(chǔ)模型）如圖，作矩形ABC。，S.AB=CD=3,AD=BC=A,在BC上取一點(diǎn)E使得B￡=l,在。C

上取一點(diǎn)/使得DF=2,根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=3,CF=1,故tanZDAF=~,tanZBAE=-,tanZFEC=-,

233

易證：AABE^AECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

證明：（模型變式D如圖，作矩形ABC。，且AB=CZ）=a,AD=BC=a+b,在BC上取一點(diǎn)E使得BE=a,在

。。上取一點(diǎn)尸使得Z)F=b-a,根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=b,CF=a,

,,b-a,a,a

故fa”NDAF=------,tanNBAE=一，tanZ.FEC=—,

a+bbb

易證：AABE^/\ECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

ZBAE+ZAEB=90°,：,ZCEF+ZAEB=90°,：.ZAEF=90°,：.ZEAF=45°

模型變式2可借鑒變式1證明方法，自行證明即可。

(5)Za+Zp=90°；(6)/ADB+NDBA=NBAC；(6)/ADB+/DBA=NBAC；

上面的這些補(bǔ)充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學(xué)可借助網(wǎng)格圖或構(gòu)造圖形自行進(jìn)行證明。

切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來

解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的,

但至少可以成為一種通性通法，可在短時間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時候時間是非常寶貴的。

模型運(yùn)用

例1.（2022?四川樂山?中考真題）如圖，在RfABC中，NC=90。，=，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連接

BD.若tan/A=」，tanZABD=-,則C￡>的長為（）

23

A.2逐B(yǎng).3C.75D.2

例2.（2024吉林長春.?？级＃┤鐖D，正方形ABC。中，AB=8,G是8C的中點(diǎn).將AABG沿AG對折至

△AFG,延長GF交。。于點(diǎn)E,則DE的長是（）

A.-B.2D.3

3

例3.（23-24八年級下?江蘇南京?期中）如圖，在四邊形ABCZ）中，ZA=Zfi=90°,AB=BC=4,AD=3,

E是43上一點(diǎn)，且“CE=45。，則DE的長度是（）

A.3.2B.3.4C.3.6D.4

例4.（2023?山西晉城?模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,歹分別為BC,A3的中點(diǎn)，連接AE,

點(diǎn)G是線段AE上一點(diǎn)，連接G/，延長尸G交CO于點(diǎn)若AB=4,NAG尸=45。，則CM的長為.

例5.（2023.成都市九年級期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,點(diǎn)、E、尸分別在3C、CD±,若

AE=MZ￡AF-45°,則AF的長為.

例6.（23-24九年級上?福建泉州?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+機(jī)分別交X軸，y軸于AB

兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2,0）,點(diǎn)尸為線段08的中點(diǎn)，連結(jié)弘PC,若NCPA=ZABO,則用的值為.

例7.（2023?龍華區(qū)九年級上期末）如圖，已知正方形42a）的邊長為6,E為BC的中點(diǎn)，將AABE沿直

線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處，AF交對角線8。于點(diǎn)G,則FG的長是.

BEC

8.（2024九年級上?浙江?專題練習(xí)）如圖，將已知矩形紙片ABC。的邊BC斜著向AD邊對折，使點(diǎn)8落在AD

上，記為？，折痕為CE；再將C。邊斜向下對折，使點(diǎn)￡＞落在3'C邊上，記為以，折痕為CP,B'D'=2,

BE=；BC.則矩形紙片ABC。的面積為.

例9.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半

徑畫弧，分別交BC,BD于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,F為圓心，大于工后廠長為半徑畫弧交于點(diǎn)P,作射線

2

BP,過點(diǎn)C作3P的垂線分別交82Ao于點(diǎn)M,N,則CN的長為（）

A.VioB.V1TC.2A/3D.4

例10.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2百，點(diǎn)后是。。的中點(diǎn)，8E與AC交于點(diǎn)

M,P是AD上一點(diǎn)，連接跖分別交AC,AE于點(diǎn)G,H,且M_LAE,連接MH,則AH=,

MH=.

習(xí)題練模型

1.（23-24廣東汕頭?模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD中，AB=6,G是BC的中點(diǎn).將AABG沿AG對折至MFG,

延長GF交DC于點(diǎn)E,則GE的長是（）

B.4C.3D.2

2.（2024.山東淄博.校考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為9,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上，若E是

則CF的長為（）

A.12B.3C.35D.36

3.（23-24九年級下.江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZB=90°,AB=BC=8,AD=6,

E是邊A3上一點(diǎn)，且4>CE=45。，則DE的長度是（）

A.8B.7.4C.7D.6.8

4.（23-24九年級上?貴州銅仁?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，直線y=-尤+機(jī)。*0）分別交無軸,

y軸于4,2兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（3,0）.點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，連接B4,PC,若/CB4=45。，則m的值是.

5.（2024?遼寧葫蘆島?二模）如圖3,在矩形MCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CO上，將矩形A3C少沿AE,

AF折疊,點(diǎn)2落在點(diǎn)M處,點(diǎn)。落在點(diǎn)G處,點(diǎn)G恰好在同一直線上,若。尸=2CF,=6,AD=10,

則線段BE的長為.

6.（2024?廣東?模擬預(yù)測）在正方形ABC。中，邊長為6,BE=2AE,連接。E,在AD、BC上分別存在點(diǎn)G、

F,連接GP交。E于五點(diǎn)，且NGHZA45。，求線段FG=.

7.（2023?山東?中考模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,A￡）=6,點(diǎn)、E,尸分別在邊BC,CD

上，ZEAF=45°,BE=2,則。尸的長為.

7.（23-24九年級?江蘇無錫?期末）如圖,在正方形ABCD中,P是8C的中點(diǎn)，把△BAB沿著PA翻折得到△加E,

過C作CF_LDE于E若CF=2,則DF=

8.（2017無錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、。都在

格點(diǎn)處，與CD相交于。，貝卜加/8。。的值等于

9.（2016甘肅天水中考真題）如圖，把矩形紙片0ABe放入平面直角坐標(biāo)系中，使04、0c分別落在x軸、

y軸上，連接。2,將紙片O48C沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'位置，0B<,tan/B0C=g,則點(diǎn)，的

坐標(biāo)為?

10.（2023.廣東九年級期中）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABC。，折痕是DM,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,

分別延長ME,DE交AB于點(diǎn)F,G,若點(diǎn)M是8C邊的中點(diǎn)，則FG=cm.

AGB

11.（23-24九年級上?重慶?階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為JI5,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,

點(diǎn)E在BC上，且CE=2BE,過B點(diǎn)作BFLAE于點(diǎn)F,連接OF,則線段OF的長度為.

12.（2024.寧夏銀川?三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,將矩形ABC。沿8E折疊，點(diǎn)A落

在4處，若RT的延長線恰好過點(diǎn)C,則sinNABE的值為.

BC

13.（23-24九年級?天津河西?期末）正方形ABC。的邊長48=2,E是的中點(diǎn)，尸是3c的中點(diǎn)，AF分

別與DE,BD相交于點(diǎn)N,則的長為.

14.（23-24八年級上?江蘇南京?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=—2x+4的圖像與x軸、y

軸分別交于點(diǎn)A、B,將直線AB繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)45。，交x軸于點(diǎn)C,則直線8c的函數(shù)表達(dá)式為.

15.（23-24.深圳?模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)8（0,2）,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=，

x

的圖象上.作射線A3,再將射線A8繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。，交y軸于C點(diǎn)，則AABC面積為.

16.（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）閱讀理解題：

閱讀材料:如圖1,四邊形ABCD是矩形，是等腰直角三角形，記NBAE為a、NE4D為夕，若tana=g,

則tan,=j.

證明：設(shè)BE=k,*.*tantz=；,AB=2k,

易證人4￡8名△￡FC（AAS）

DFk1

EC=2k,CF=k,：.FD=k,AD=3k：.tan^=—

若a+/=45。時，當(dāng)tana=；,貝Utan/=；.

同理：若二+/?=45°時，當(dāng)tana=g,貝=

根據(jù)上述材料，完成下列問題：

rri

如圖2,直線y=3x-9與反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖象交于點(diǎn)A,與1軸交于點(diǎn)兒將直線繞點(diǎn)A順

x

時針旋轉(zhuǎn)45。后的直線與y軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AAf_L%軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AN_Ly軸于點(diǎn)N,已知

04=5.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直接寫出tanNBAM、tanNM4E的值；（3）求直線AE■的解析式.

專題30解直角三角形模型之12345模型

初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、

特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”

模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟。現(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的

獨(dú)特魅力。

1

1

3

例題講模型|]

模型1.“12345”模型及衍生模型

模型解讀

（19年北京市中考）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，貝°（點(diǎn)A,B,尸是網(wǎng)格交點(diǎn)）。

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I-----r—?-----r—?-----1

:p：!

r—rr~~n

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一

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該類問題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一個等腰直角三角形。

如圖，即：ZPAB+ZPBA=ZBPQ=45°o

上面的/尸AB和/P8A便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45。之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看:

tanZPAB=-,tanZPBA=~,對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。

23

模型證明

12345基礎(chǔ)模型模型還可變式為

1a

tana=—tana=一a1

;tana二二八b-a

2.(Z+夕=45。；變式1：b-^a+J3=45°變式2：<bftan/?=------

a+b

tan/?=-tan/3=---[a+4n=4A5C°O

a+b

證明：（基礎(chǔ)模型）如圖，作矩形ABC。，S.AB=CD=3,AD=BC=A,在BC上取一點(diǎn)E使得B￡=l,在。C

上取一點(diǎn)/使得DF=2,根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=3,CF=1,故tanZDAF=~,tanZBAE=-,tanZFEC=-,

233

易證：AABE^AECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

證明：（模型變式D如圖，作矩形ABC。，且AB=CZ）=a,AD=BC=a+b,在BC上取一點(diǎn)E使得BE=a,在

。。上取一點(diǎn)尸使得Z)F=b-a,根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=b,CF=a,

,,b-a,a,a

故fa”NDAF=------,tanNBAE=一，tanZ.FEC=—,

a+bbb

易證：AABE^/\ECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

ZBAE+ZAEB=90°,：,ZCEF+ZAEB=90°,：.ZAEF=90°,：.ZEAF=45°

模型變式2可借鑒變式1證明方法，自行證明即可。

(5)Za+Zp=90°；(6)/ADB+NDBA=NBAC；(6)/ADB+/DBA=NBAC；

上面的這些補(bǔ)充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學(xué)可借助網(wǎng)格圖或構(gòu)造圖形自行進(jìn)行證明。

切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來

解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的,

但至少可以成為一種通性通法，可在短時間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時候時間是非常寶貴的。

模型運(yùn)用

例1.（2022?四川樂山?中考真題）如圖，在RfABC中，NC=90。，=，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連接

BD.若tan/A=」，tanZABD=-,則C￡>的長為（）

23

A.2逐B(yǎng).3C.75D.2

【答案】C

【分析】法1：先根據(jù)tan/A=；,tanZABO=1,再由12345模型知：ZB￡）C=45°,從而可求出CD

法2：先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出AC=26,再由勾股定理求出超=5,過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,依據(jù)三角

113

函數(shù)值可得==從而得再由AE+3E=5得AE=2,DE=l,由勾股定理得A￡>=

書,從而可求出CD.

【詳解】法1：；tan/A=；,tanZA8D=g,.?.根據(jù)12345模型知：ZBDC=45°,

VZC=90°,...三角形BCD為等腰直角三角形，?.?8C=6，...CD=BC=^

Be]

法2：在RfABC中，ZC=90°,BC=45,：.tanZA=——=一AC=2BC=2如，

AC2

由勾股定理得,AB==J（2百4+（逐）2=5過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,如圖，

?匹_

*.*tanZA=—,tanZABD=—J_DE_1

23*AE-25BE-3

ADE=-AE,DE=-BE,：.-AE=-BE：.BE=-AE

23232

3

VAE+BE=5,：.AE+-AE=5：.AE=2,:.DE=T,

在RfAADEAD=y/AE2+DE2=A/22+12=45

VAD+CD=AC=145,:.CD=AC-AD=2亞-亞=卮故選:C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出。E的長是解答本題的關(guān)鍵.

例2.（2024?吉林長春??？级＃┤鐖D，正方形A8CD中，AB=8,G是BC的中點(diǎn).將A/IBG沿AG對折至

XAFG,延長GF交0c于點(diǎn)E,則DE的長是（）

D.3

【答案】C

【分析】法1：連接AE,由折疊的性質(zhì)可得AP=A2=A。，BG=GF,易證RfAADEgRfAAFE,得到DE=EF,

設(shè)。E=x,在放ACEG中利用勾股定理建立方程求解.法2：先求出/GAE=45。，再利用12345模型的變式,

求解即可。

【詳解】解：法1：如圖所示，連接AE,：?四邊形ABC。為正方形，

AB=BC=CD=AD=8,ZB=ZC=ZD=90°：G為3c的中點(diǎn)BG=GC=4

由折疊的性質(zhì)可得AF=4B=8,BG=GF=4,在和放AAFE中,

'：AE=AE,AF=AD=S,:.RmADE^RMAFE(HL)：.DE=EF

設(shè)DE=EF=x,貝ijEC=8-x在RaCEG中，G(?+EC2=GE2,即4?+(8-尤)2=(4+尤?解得x=|故選：C.

法2：由法1知：RmADE迫Rt^AFE,：.ZDAE=ZFAE,由翻折知：ZBAG=ZFAG,

?：ZDAB=90°,/.ZGA￡=45°,VAB=8,G是BC的中點(diǎn)，/.tanZBAG=~,

2

1o

由12345模型變式知：tanZDA￡=-,VAD=8,：.DE=~,故選：C.

33

【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的折疊問題，利用正方形的性質(zhì)證明。E=ER然后利用勾股定理建立方程是解

題的關(guān)鍵.

例3.（23-24八年級下?江蘇南京?期中）如圖，在四邊形ABC。中，ZA=Zfi=90°,AB=BC=4,AD=3,

E是AB上一點(diǎn)，且"CE=45。，則DE的長度是（）

A.3.2B.3.4C.3.6D.4

【答案】B

【分析】法1：過點(diǎn)C作CfUAD,交AD延長線于月利用12345模型變式求解即可。

法2：如圖，過點(diǎn)C作CFLA。，交A。延長線于憶CG±CD,交AB延長線于G,可證明四邊形ABCF是

正方形，可得的長，根據(jù)角的和差關(guān)系可得NDb=NGCB,利用ASA可證明之△GCB,可得C￡>=CG,

BG=DF,根據(jù)/OCE=45?？芍狽ECG=NOCE=45。，利用S4s可證明AOCE四△GCE,可得DE=GE,根據(jù)S

正方彩ABCF=S&AED+2SAGCE列方程可求出AE的長，進(jìn)而求出GE的長即可得答案.

【詳解】法1：如圖，過點(diǎn)C作CPLA。，交AD延長線于R

VZA=ZB=90°,AB=BC=4,AD=3,四邊形ABCP是正方形，DF=1,CF=4,tanZDCF=~,

4

由12345模型變式（即：Jan&=￡=tanZBCE=-

a+￡=45°a+b

12817

'：BC=4,：.BE=—,AE=-,\'AF=4,DF=1,：.AD=3,：.DE=—,故選：B.

法2：如圖，過點(diǎn)C作CfUAD,交A￡>延長線于F,CG±CD,交AB延長線于G,

VZA=ZB=90°,AB=BC=4,AD=3,四邊形ABC尸是正方形，DF=1,

,/ZDCF+ZBCD=90°,ZGCB+ZBCD=9Q°,：.ZDCF=ZGCB,

ZGBC=ZCFD=9Q°

在AOCP和AGCB中，\BC^CF,.?.△OCF也ZxGCB,：.CG=CD,BG=DF=\,

ZGCB=ZDCF

VZDCE=45°,CG±CD,:.NECG=/DCE=45°,

CD=CG

在△￡>(7￡1和AGCE中，］ZDCE=ZECG,:.ADCE會4GCE,

CE=CE

：.SAGCE=SADCE,DE=GE,工S正方形ABCF=SAAED+2SAGCE,

：.^AEAD+2x^GEBC=AB2,即:x3A￡+4(5-AE)=42,解得：AE=1.6,：.DE=GE=5-AE=3A.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題

關(guān)鍵.

例4.（2023?山西晉城?模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)、E,尸分別為3C,A3的中點(diǎn)，連接AE,

點(diǎn)G是線段AE上一點(diǎn)，連接GF,延長FG交CO于點(diǎn)若AB=4,NAGF=45。，則CM的長為

【答案】|2

【分析工法1：過點(diǎn)作A/WM,交DC于點(diǎn)H,先求出NH4E=45。，再用12345模型的變式，求解即可。

法2：連接AC交于N,過點(diǎn)尸作于H,由正方形的性質(zhì)得？390?,AB=BC=4,AB//CD,

AC1AJ-fFJ_f

ZACM=ZBAC=45。，由勾股定理得AC=^ABr+BC2=40，再證明，得==

VYAEABBE

從而求得AHFH=^~,繼而求得G"=FH=拽,AG=AH+GH=-,FG=^FH2+GH2

55555

FC6君2\/10

然后證明..AG尸得煞=片，即可—，從而求得AN=30，繼而求得CN=A7V-4V=后，

ANAF-----=------

AN2

最后證明.4VFS3以，得.?.葛=言，即方=等，從而可求得CM=g.

【詳解】法1：過點(diǎn)作AWFM,交DC于點(diǎn)H,

?.?正方形ABC。，/.AB//CD,；.四邊形AFM”為平行四邊形。VZAGF=45°,：.ZEAH=45°

；點(diǎn)E,尸分別為3C,AB的中點(diǎn)，AB=4,：.BE=AF=HM=2,：.tanZBAE=1,

142

ZEAH=45。，由12345模型變式知：tanNDAH=丁AO=4,DH=一,：.CM=-,

CBE'C

法2：連接AC交MF于N,過點(diǎn)/作FHLAE于H,如圖，

?.,正方形ABCD,：.1B90?,AB=BC=4,AB//CD,ZACM=ABAC=45°,

AC=y/AB2+BC2=472-:點(diǎn)E，歹分別為2C，AB的中點(diǎn),

11,------------「

?*-AF^-AB^2,BE=3BC=2,：.AE=\JAB2+BE2=2-45>

VFH1AE,NAGF=45°,/.Z.HFG=ZAGF=45°,:.FH=GH,

AFAHFHan2AHFH

?:ZAHF=ZB=90°，；.△AHFS^E，.；獲=漏=而，即法=丁=三，

ABA￡?LJLJ"乙

22

:.AH,FH=^~,：.GH=FH=-,AG=AH+GH=—fFG=^FH+GH,

55555

6A/52M

*：ZAGF=ZFAN=45°,ZAFG=ZNFA：.AGF^NAF,—即工工

fANAF

AN2

:.AN=3五,，CN=A2V-4V=40-3叔=0,VAF//CMf：..ANF^,CNM,

.AF22

：.CM=~,故答案為:

「CMM即2送3

【點(diǎn)睛】本題詞考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，熟練掌握相似

三角形判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例5.（2023.成都市九年級期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,點(diǎn)、E、尸分別在3C、CD±,若

AE=45Z￡AF=45°,則AF的長為.

【答案］勺?

3

【解析】根據(jù)A8=2,AE=^5,/2=90。得到：BE=2,可得tanZBAE=-,

2

???NFA￡=45。，ZBAD=90°,：.ZBAE+ZDAF=45°f

14

根據(jù)12345模型知：tanZDAF=-f：.DF=-,

33

再根據(jù)勾股定理求得：AF=也，故答案為：回

33

例6.（23-24九年級上?福建泉州?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線V=-X+M分別交x軸，y軸于AB

兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2,0）,點(diǎn)尸為線段。B的中點(diǎn)，連結(jié)弘PC,若NCPA=ZABO,則優(yōu)的值為.

【答案】12

【分析】法1：由12345模型求解；法2：構(gòu)造相似三角形，PCQS/APB,對俄的取值分析進(jìn)行討

論，在〃z<0時，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，而此時，ZAPC>ZOBA=45°,不合題意；故加>0.由相似比求得

邊的相應(yīng)關(guān)系.

【詳解】法1：,/一次函數(shù)丁=-％+根的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B。

A(m,0)B(0,m),AO=m,BO=m,NABO=45°,

ZC^ZABO,：.ZAPC=45°,設(shè)ZPAO=a,ZOPC=p,

VZa+Zp+ZAPC=90°,/APC=45°,Na+Np=45°,

mrriI

,點(diǎn)尸為線段。2的中點(diǎn)，，尸（0,—）,尸。=—,可得—，

222

根據(jù)12345模型知：ranp=1,/.3OC=OP,VC（2,0）：.OP=6,：.OB=OA=12,m=12.

法2：作OD=OC=2,連接CD.則NPDC=45。，CD=2夜,如圖，

由丫=-*+機(jī)可得4〃7,0），B（o,m）.：,OA=OB,AB=y/2mZOBA=Z.OAB=45°.

當(dāng)機(jī)<0時，ZAPC>ZOBA=45°,

所以，此時NC7V1>45。，故不合題意.m>0.

ZCPA=ZABO=45°,NBPA+ZOPC=NBAP+Z.BPA=135°,即NOPC=ZBAP，，一PCD^_APB,

??,點(diǎn)尸為線段QB的中點(diǎn)，???OP=BP=U，w,PD=-m+2：.—=—,即2^=早_解得根=口.

22ABPBy/2mLm

2

故答案是：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形.

例7.（2023?龍華區(qū)九年級上期末）如圖，已知正方形A8CD的邊長為6,E為8C的中點(diǎn)，將AABE沿直

線AE折疊后，點(diǎn)8落在點(diǎn)F處，AF交對角線于點(diǎn)G,則尸G的長是.

【答案】上

7

【解析】為BC的中點(diǎn)，AB=6,；.BE=3,可得由翻折知：tanZFAE=-,

22

3

根據(jù)12345模型知：tanZGAD=-,過點(diǎn)G作G8_LA￡）,是正方形，ADH=GH

設(shè)A4=4x,JKJGH=DH=3x,AG=5x,AD=1x,AB=AF=lx,GF=2x。

'：AB=6,；.7x=6,x=9,GH=]1,故答案為：上。

777

8.（2024九年級上?浙江?專題練習(xí)）如圖，將已知矩形紙片ABC￡＞的邊BC斜著向AD邊對折，使點(diǎn)8落在AO

上，記為8,折痕為CE；再將C。邊斜向下對折，使點(diǎn)。落在EC邊上，記為折痕為CF,877=2,

【答案】15

【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)和勾股定理求得BC和A3的長，或者利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出相應(yīng)線段長,

再由勾股定理解方程，然后根據(jù)矩形的面積公式代值求解即可得到答案.

【詳解】解：方法1：由題意，BC=BC,CD=CD,ZBCE=ZB'CE,ZDCF=ZD'CF.

?.?ZBCD=90°,JNECF=NB'CE+ZD*CF=45°.

ii13

VBE=-BC,AtanZBCE=-,由12345模型變式知???tanND'CF=—,tan/BCB=—.

3324

3

???AD〃BC,???NFB'D'=NB'CB,???tanNFB'D'=—,

4

33

???DF=D'F=—BD'=—,.?.CD=CD'=2D'F=3,

42

???BC=BC=B'D'+CD'=2+3=5,JS矩形ABCD=BCCD=5x3=15.

解：方法2：設(shè)=則5。=3々，由題意可得C8=C?,CD=CDf,BE=BfE=a,

B'D'=2,:.CD'=3a—2,CD=3〃-2,二.AE=3a—2—a=2〃一2,

DB'=y]CB,2-CD2=J(3a)2-(3a-2)2=Jl2a-4=2巧-1,/.ABf=3a-2,3〃-1,

____225

B,A1+AE1-B'E1?..0a-2J3a-1)+(2a—2)2=a2,解得〃或〃=§,

22

當(dāng)Q=§時，BC=2,AB=CD=3a-2=0,，〃=§時不符合題意，舍去；

當(dāng)。=：時，BC=5,AB=CD=3a-2=3,.?.矩形紙片ABCD的面積為5x3=15,故答案為：15；

AR'EB'

方法3：設(shè)CD=%，則CD'=x,CB'=x+2,CB=x+2,由題意可得△AB'￡SADCB',——,

BE=-BC,AB'=-x,B'D=x+2--x=-x+2,

3B'C3x3333

在Rt_CDB'中，由勾股定理可得8'。2+°2=5匕2,

22

即（gx+2）+x=（x+2）,解得無i=3,x2=0（舍去），；.矩形紙片ABCD的面積為5義3=15,故答案：15.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變化、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用翻折的性質(zhì)和矩形的面積公式解答.

例9.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形A5CD中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半

徑畫弧，分別交8C,于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于工石/長為半徑畫弧交于點(diǎn)P,作射線

2

BP,過點(diǎn)C作8尸的垂線分別交于點(diǎn)M,N,則CN的長為（）

A.V10B.VTTC.2卡＞D.4

【答案】A

【簡證】易知tana=」，故CN=MND=^CD=回

33

【詳解】解：如圖，設(shè)族與CN交于點(diǎn)O,與C。交于點(diǎn)K,作火Q_L8D于點(diǎn)。,

矩形ABCZ)中，AB=3,BC=4,：.CD=AB=3,BD^^BC1+CEr=5.

由作圖過程可知，BP平分NCBD,四邊形A3CD是矩形，CDLBC,

又-RQLBD,：?RQ=RC,在RtBCRRt8QR中，[RQ=RC

RtBCR=RtBQR(HL)，

~'[BR=BR

BC=BQ=4,QD=BD-BQ=5-4=1,設(shè)RQ=RC=x,貝！JDR=CD—CR=3-x,

在Rt.DQR中，由勾股定理得。爐=OQ2+RQ2,即（3_"2=12+工2,

解得x=3,，CR=3.BR=yjBC2+CR2=-VlO.

333

SBCR=；CRBC=gBROC，..農(nóng)=生些=^^=2阿

22BR4^5

,ZCOR=ZCDN=90°fZOCR=ZDCNf:_OCRs_DCN,

—=即1——=^-,解得CN=M.

DCCN3CN

例10.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2逐，點(diǎn)后是8的中點(diǎn)，班與AC交于點(diǎn)

M,尸是AD上一點(diǎn)，連接8尸分別交AC,AE于點(diǎn)G,H,且班'_