2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：4.4 銳角三角函數(shù) （教師版）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第四章三角形及四邊形

4.4銳角三角函數(shù)

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1特珠角的三角函數(shù)值☆數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)銳角三角函數(shù)的部分，

每年考查道題分值為分，通常

考點(diǎn)2直角三角形的邊角關(guān)系☆☆1~2,3~10

以選擇題、填空題、解答題的形式考查。

銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用屬于全國各省市

考點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用☆☆☆

必考題，希望復(fù)習(xí)時(shí)強(qiáng)化訓(xùn)練。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1特珠角的三角函數(shù)值

1.銳角∠A的正弦、余弦、正切的定義

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°。

（1）我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA即

的對邊a

sinA=A=，

斜邊c

（2）我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，

A的鄰邊b

cosA==，

斜邊c

（3）我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即

A的對邊

tanA==a．

A的鄰邊b

2.銳角三角函數(shù)的定義

sinA、cosA、tanA分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切，統(tǒng)稱為銳角∠A的三角函數(shù)．

3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

4.通過三角函數(shù)值求角度

考點(diǎn)2直角三角形的邊角關(guān)系

1.解直角三角形

由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫作解直角三角形。

注意：在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至

少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素。

2.直角三角形中邊角關(guān)系

在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么

（1）三邊之間的關(guān)系為a2b2c2（勾股定理）

（2）銳角之間的關(guān)系為∠A+∠B=90°

（3）30°角所對直角邊等于斜邊的一半。

（4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

（5）邊角之間的關(guān)系為：（三角函數(shù)定義）

3.其他有關(guān)公式

111

（1）SabsinC=bcsinA=acsinB

222

11

（2）Rt△面積公式：Sabch

22

cabc

（3）直角三角形外接圓的半徑R，內(nèi)切圓半徑r

22

ab

（4）直角三角形斜邊上的高h(yuǎn)

c

【方法總結(jié)1】解直角三角形的常見類型及一般解法

只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出余下的三個(gè)未知元素.

Rt△ABC中的已知條件一般解法

(1)ca2b2；

a

兩直角邊a，b(2)由tanA求出∠A；

b

(3)∠B=90?∠A.

兩邊

(1)bc2a2；

a

一直角邊a，斜邊c(2)由sinA求出∠A；

c

(3)∠B=90?∠A.

(1)∠B=90?∠A；

a

(2)b；

一直角邊a，銳角AtanA

a

一邊一銳角(3)c.

sinA

(1)∠B=90?∠A；

斜邊c，銳角A(2)a=c·sinA；

(3)b=c·cosA.

【方法總結(jié)2】當(dāng)用三角函數(shù)定義求角的三角函數(shù)值時(shí)，首先要判斷這個(gè)三角形是否為直角三角形，

若是，還應(yīng)明確哪個(gè)角是直角，切忌硬套定義式．對于復(fù)雜問題，需要構(gòu)造直角三角形，將所考查的

角置身在這個(gè)直角三角形中．

方法總結(jié)1：結(jié)合平面直角坐標(biāo)系求某角的正弦、余弦、正切，函數(shù)值，一般過已知點(diǎn)向x軸或y軸

作垂線，構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解。

方法總結(jié)2：已知一邊及其鄰角的正弦、余弦、正切，函數(shù)值時(shí)，一般需結(jié)合方程思想和勾股定理，

解決問題。

方法總結(jié)3：在沒有明確三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明確

三角形是直角三角形的條件下，再使用銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行解證，否則，通過分割或補(bǔ)形法轉(zhuǎn)換成

直角三角形。

方法總結(jié)4：依據(jù)同角或等角的三角函數(shù)值相等的性質(zhì)，將一個(gè)的三角函數(shù)值用另一個(gè)等角的三角函

數(shù)值替換。

考點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.仰角和俯角：在進(jìn)行測量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與

水平線的夾角叫做俯角。

2.方位角：以正南或正北方向?yàn)闇?zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于90°的角，叫做方

位角。如圖所示：

3.坡度，坡角

圖19.4.5

（1）如圖：坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度.記作i，即i=h/l

（2）坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i=tanα.

坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.

顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.

4.利用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題的一般過程是：

①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；

②根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；

③得到數(shù)學(xué)問題的答案；

④得到實(shí)際問題的答案．

5.利用三角函數(shù)測高

(1)測量底部可以到達(dá)的物體的高度步驟：

①在測點(diǎn)A安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α；

②量出測點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=l；

③量出測傾器的高度AC=a，可求出

MN=ME+EN=l·tanα+a.

(2)測量東方明珠的高度的步驟是怎么樣的呢？

①在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得此時(shí)M的仰角∠MCE=α；

②在測點(diǎn)A與物體之間的B處安置測傾器，測得此時(shí)M的仰角∠MDE=β；

③量出測傾器的高度AC=BD=a，以及測點(diǎn)A，B之間的距離AB=b.根據(jù)測量數(shù)據(jù)，求出物體MN的高度.

考點(diǎn)1特珠角的三角函數(shù)值

【例題1】（2024天津市）2cos451的值等于（）

2

A.0B.1C.1D.21

2

【答案】A

2

【解析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；根據(jù)cos45°代

2

入即可求解.

2

【詳解】2cos451210，故選：A.

2

【變式練1】（2024大連一模）2sin45°的值等于（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】B

2

【解析】2sin45°=2×2故選B

2

【變式練2】（2024大慶一模）計(jì)算：cos245°+sin245°=（）

A．B．1C．D．

【答案】B

【解析】考點(diǎn)是特殊角的三角函數(shù)值．首先根據(jù)cos45°=sin45°=，分別求出cos245°、

sin245°的值是多少；然后把它們求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．

∵cos45°=sin45°=，

∴cos245°+sin245°

=

==1．故選：B．

【變式練3】（2024沈陽一模）已知α、β均為銳角，且滿足|sinα﹣|+=0，

則α+β=．

【答案】75°．

【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出sinα、tanβ的值，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出兩個(gè)角的度

數(shù)。

∵|sinα﹣|+=0，

∴sinα=，tanβ=1，

∴α=30°，β=45°，

則α+β=30°+45°=75°．

考點(diǎn)2直角三角形的邊角關(guān)系

4

【例題2】（2024甘肅臨夏）如圖，在ABC中，ABAC5，sinB，則BC的長是（）

5

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)

1AD4

A作ADBC于點(diǎn)D．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BDCDBC．根據(jù)sinB，

2AB5

可求出AD4，最后根據(jù)勾股定理可求出BD3，即得出BC2BD6．

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D．

∵ABAC5，

1

∴BDCDBC．

2

AD4

在Rt△ABD中，sinB，

AB5

44

∴ADAB54，

55

∴BDAB2AD252423，

∴BC2BD6．故選B．

【變式練1】（2024云南一模）如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，tanBcosDAC，

(1)求證：AC=BD；

12

(2)若sinC，BC=12，求AD的長．

13

【答案】見解析。

【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

ADAD

∵tanB=，cosDAC=

BDAC

又已知tanBcosDAC

ADAD

∴=．∴AC=BD．

BDAC

12

(2)在Rt△ADC中，sinC，故可設(shè)AD=12k，AC=13k．

13

DCAC2AD25k

ADAD

BD13k

tanBcosDAC

BC13k5k12

2

k,AD8.

3

【變式練2】（2024廣西一模）如圖，在RtABC中，∠C=90°，∠B=56°，則∠A的度數(shù)為（）

△

A.34B.44C.124D.134

【答案】A

【解析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可得出∠A的度數(shù)．

∵RtABC中，∠C=90°，∠B=56°，

∴∠△A=90°-∠B=90°-56°=34°．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，

并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【例題3】（2024福建省）無動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，

已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角PDA為70，帆與航行方向的夾角PDQ為30，風(fēng)對

帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解為兩個(gè)力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起

作用，與帆垂直的力F2儀可以分解為兩個(gè)力f1與f2,f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航

行方向一致，是真正推動(dòng)帆船前行的動(dòng)力．在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)

學(xué)模型：FAD400，則f2CD______．（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin400.64,cos400.77）

【答案】128

【解析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出ADQ40，1PDQ30，由AB∥QD

得到BADADQ40，求出F2BDADsinBAD256，求出

BDC90160在RtBCD中，根據(jù)f2CDBDcosBDC即可求出答案．

【詳解】如圖，

∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角PDA為70，帆與航行方向的夾角PDQ為30，

∴ADQPDAPDQ703040，1PDQ30，

∵AB∥QD，

∴BADADQ40，

在Rt△ABD中，F(xiàn)AD400，DABD=90°，

∴F2BDADsinBAD400sin404000.64256，

由題意可知，BDDQ，

∴BDC190，

∴BDC90160

在RtBCD中，BD256,BCD90，

1

∴fCDBDcosBDC256cos60256128，

22

故答案為：128

【變式練1】（2024長春一模）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，

該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BCAD，

垂足為點(diǎn)C．設(shè)ABC，下列關(guān)系式正確的是（）

ABBCABAC

A.sinB.sinC.sinD.sin

BCABACAB

【答案】D

【解析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．

∵BC⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∵∠ABC=α，

AC

∴sin．

AB

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A

的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．

【變式練2】（2024湖北武漢一模）如圖，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓CD底部

D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52′．已知山高BE為56m，樓的底部D

與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE．(參考數(shù)據(jù)：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)

【答案】該鐵塔的高AE為52米．

【解析】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F．

設(shè)塔高AE=x，由題意得：

EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)，

在Rt△AFC中，

∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)，

AFx29116

∴CF===x+，

tan36520.753

在Rt△ABD中，

∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.

116

∵CF=BD，∴x+56=x+.解得：x=52.

3

答：該鐵塔的高AE為52米．

【變式練3】（2024山東煙臺(tái)一模）如圖，某海域中有A，B，C三個(gè)小島，其中A在B的南偏西40°

方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（）

A.北偏東70°B.北偏東75°C.南偏西70°D.南偏西20°

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝

∠C＝75°，從而求出∠BAC的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠DAB＝∠ABE＝40°，從而求出

∠DAC的度數(shù)，即可解答．

如圖：由題意得：

∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝75°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，

∵AD∥BE，

∴∠DAB＝∠ABE＝40°，

∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，

∴小島C相對于小島A的方向是北偏東70°．

．

【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式練4】（2024江蘇揚(yáng)州一模）如圖，垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖

邊B點(diǎn)處，某測量員從山腳C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行78米到D點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C在同一直線上），

再沿斜坡DE方向前行78米到E點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)E處測得5G信號塔

頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，則信號塔AB

的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米B．24米C．24.5米D．25米

【答案】D

【分析】過點(diǎn)E作EF⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)斜坡DE的坡

度（或坡比）i＝1：2.4可設(shè)EF＝x，則DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出EF與DF

的長，故可得出CF的長．由矩形的判定定理得出四邊形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝

EF，再由銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，進(jìn)而可得出答案．

【解析】過點(diǎn)E作EF⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，

∴設(shè)EF＝x，則DF＝2.4x．

在Rt△DEF中，

∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，

解得x＝30，

∴EF＝30米，DF＝72米，

∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．

∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，

∴四邊形EFCM是矩形，

∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．

在Rt△AEM中，

∵∠AEM＝43°，

∴AM＝EM?tan43°≈150×0.93＝139.5米，

∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．

∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．

考點(diǎn)1.特珠角的三角函數(shù)值

1

01

1.（2024深圳）計(jì)算：2cos453.1412．

4

【答案】4

【解析】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．先將各項(xiàng)化簡，再算

乘法，最后從左往右計(jì)算即可得

1

01

【詳解】2cos453.1412

4

2

21214

2

21214

4．

考點(diǎn)2.直角三角形的邊角關(guān)系

1.（2024云南?。┰赗t△ABC中，∠B=90°，已知AB3，BC4，則tanA的值為（）

4343

A.B.C.D.

5534

【答案】C

【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．

∵∠B=90°，AB3，BC4，

BC4

∴tanA=，故選：C．

AB3

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的求法，解題關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的意義，明確是直角三角形中哪兩條

邊的比．

2.（2024四川達(dá)州）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長均為2，ABD120，

其中點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則tanBCD的值為（）

3

A.2B.23C.D.3

2

【答案】B

【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長BC交格點(diǎn)于點(diǎn)F，連接AF，E,G分別在

格點(diǎn)上，根據(jù)菱形的性質(zhì)，進(jìn)而得出AFC90，解直角三角形求得AF,FC的長，根據(jù)對頂角相

等，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．

【詳解】如圖所示，延長BC交格點(diǎn)于點(diǎn)F，連接AF，E,G分別在格點(diǎn)上，

依題意，EGF120,EGGF，GFGC,FGC60

∴CEF30,ECF60

∴AFC90

又FC2，

3

∴AF2EF4EGcos304243

2

AF43

∴tanBCDtanACF23故選：B．

FC2

3.（2024湖南?。┤鐖D，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”

的結(jié)構(gòu)簡圖，右圖為其平面示意圖，已知ABCD于點(diǎn)B，AB與水平線l相交于點(diǎn)O，OEl．若

BC4分米，OB12分米．BOE60，則點(diǎn)C到水平線l的距離CF為________分米（結(jié)果

用含根號的式子表示）．

【答案】623##236

【解析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長DC交l于點(diǎn)H，連接OC，根據(jù)

題意及解三角形確定BH43，OH83，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關(guān)鍵．

【詳解】解：延長DC交l于點(diǎn)H，連接OC，如圖所示：

在Rt△OBH中，BOH906030，OB12dm

BH12tan3043，OH83

S△OBHS△OCHS△OBC

111

OBBHOHCFOBBC

222

111

即431283CF124，

222

解得：CF623．

5BD8

4.（2024深圳）如圖，在ABC中，ABBC，tanB，D為BC上一點(diǎn)，且滿足，

12CD5

CE

過D作DEAD交AC延長線于點(diǎn)E，則________．

AC

20

【答案】

21

【解析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設(shè)ABBC13x，根據(jù)

5

tanB，AHCB，得出AH5x，BH12x，再分別用勾股定理求出

12

DH441

AD41x，AC26x，故cosADC，再運(yùn)用解直角三角形得出

AD41

20412141CEMD

DMx，AMx，代入，化簡即可作答．

4141ACAM

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AHCB垂足為H,

BD8

∵，ABBC，

DC5

設(shè)ABBC13x，

∴BD8x，DC5x，

5

∵tanB，AHCB，

12

AH5

∴，

BH12

∵ABBC13x，

∴AH2BH2AB2169x2，

解得AH5x，BH12x，

∴DH12x8x4x，HC5x4xx，

∴ADAH2DH241x，ACAH2CH226x，

DH441

∴cosADC，

AD41

過點(diǎn)C作CMAD垂足為M，

20412141

∴DMCDcosADCx，AMADDMx，

4141

∵DEAD,CMAD，

∴MC∥DE，

2041

x

CEDM20

∴41

ACAM214121

x

41

考點(diǎn)3.銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.（2024深圳）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀EF測得的仰角為45，

小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得的仰角為53，則電子廠AB的高度為（）

434

（參考數(shù)據(jù)：sin53，cos53，tan53）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【解析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形EFDG、

EFBM、CDBN是矩形，再設(shè)GMxm，表示EMx5m，然后在

AMAN

RtAEM，tanAEM，以及RtACN，tanACN，運(yùn)用線段和差關(guān)系，即

EMCN

4

MNANAMxx50.3，再求出x15.9m，即可作答．

3

【詳解】如圖：延長DC交EM于一點(diǎn)G，

∵M(jìn)EFEFBCDF90

∴四邊形EFDG是矩形

∵M(jìn)EFEFBB90

∴四邊形EFBM是矩形

同理得四邊形CDBN是矩形

依題意，得EFMB1.8m，CD1.5m，AEM45，ACN53

∴CG1.81.5m0.3m，F(xiàn)DEG5m

∴CGMN0.3m

∴設(shè)GMxm，則EMx5m

AM

在RtAEM，tanAEM，

EM

∴EM1AM

即AMx5m

AN

在RtACN，tanACN，

CN

4

∴CNtan53xAN

3

4

即ANxm

3

4

∴MNANAMxx50.3

3

∴x15.9m

∴AM15.9520.9m

∴ABAMEFAMMB20.91.822.7m故選：A

2.（2024黑龍江綏化）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點(diǎn)A測得該樓頂部

點(diǎn)C的仰角為60，測得底部點(diǎn)B的俯角為45，點(diǎn)A與樓BC的水平距離AD50m，則這棟樓的

高度為______m（結(jié)果保留根號）．

【答案】50503##50350

【解析】本題考查解直角三角形—仰角俯角問題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)

題意得BAD45，CAD60，AD50m，然后利用三角函數(shù)求解即可．

【詳解】依題意，BAD45，CAD60，AD50m．

在Rt△ABD中，BDADtan4550150m，

在Rt△ACD中，CDADtan60503503m，

∴BCBDCD50503m．

3.（2024江蘇鹽城）如圖，小明用無人機(jī)測量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升距地面30m的點(diǎn)P

處，測得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)Q處，測得

教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為45，則教學(xué)樓AB的高度約為________m．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：

sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】17

【解析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，延長AB交直線PQ于點(diǎn)H，先用三角函數(shù)解

Rt△PHA求出PH，進(jìn)而求出QH，再證QHBH，最后根據(jù)ABAHBH即可求解．

【詳解】解：如圖，延長AB交直線PQ于點(diǎn)H，則PHA90，

由題意知AH30m，

AH30

在Rt△PHA中，tanPHA，即tan370.75，

PHPH

解得PH40m，

QHPHPQ4026.613.4m，

PHA90，QHB45，

QBHQHB45，

QHBH13.4m，

ABAHBH3013.416.617m．

4.（2024廣州）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功

著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，

該模擬裝置在緩速下降階段從A點(diǎn)垂直下降到B點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)C，從B點(diǎn)測得地面D點(diǎn)

的俯角為36.87，AD17米，BD10米．

（1）求CD的長；

（2）若模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，求模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間．（參

考數(shù)據(jù)：sin36.870.60，cos36.870.80，tan36.870.75）

【答案】（1）CD的長約為8米；（2）模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為4.5秒．

【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰俯角問題，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)求邊長是

解題關(guān)鍵．

（1）過點(diǎn)B作BE∥CD交AD于點(diǎn)E，根據(jù)余弦值求出CD的長即可；

（2）先由勾股定理，求出AC的長，再利用正弦值求出BC的長，進(jìn)而得到AB的長，然后除以速

度，即可求出下降時(shí)間．

【小問1詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BE∥CD交AD于點(diǎn)E，

由題意可知，DBE36.87，

BDC36.87，

在△BCD中，C90，BD10米，

CD

cosBDC，

BD

CDBDcos36.87100.808米，

即CD的長約為8米；

【小問2詳解】解：QAD17米，CD8米，

ACAD2CD215米，

在△BCD中，C90，BD10米，

BC

sinBDC，

BD

BCBDsin36.87100.606米，

ABACBC1569米，

模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，

模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為924.5秒，

即模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為4.5秒．

5.（2024重慶市A）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到

達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏

東60方向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的北偏東60方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南

偏東30方向航行一定距離到達(dá)C港．（參考數(shù)據(jù)：21.41，31.73，62.45）

（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？緽、D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請通過

計(jì)算說明．

【答案】（1）A，C兩港之間的距離77.2海里；

（2）甲貨輪先到達(dá)C港．

【解析】【分析】（1）過B作BEAC于點(diǎn)E，由題意可知：GAB45，EBC60，求

出AEABcosBAE202，CEBEtanEBC206即可求解；

（2）通過三角函數(shù)求出甲行駛路程為：ABBC4056.496.4，乙行駛路程為：

ADCD66.838.6105.4，然后比較即可；

本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．

【小問1詳解】

如圖，過B作BEAC于點(diǎn)E，

∴AEBCEB90，

由題意可知：GAB45，EBC60，

∴BAE45，

∴AEABcosBAE40cos45202，

∴CEBEtanEBC202tan602023206，

∴ACAECE202206201.41202.4577.2（海里），

∴A，C兩港之間的距離77.2海里；

【小問2詳解】

由（1）得：BAE45，EBC60，AC77.2，

∴BEABsinBAE40sin45202，

BE202202

BC40256.4

∴cosEBCcos601，

2

由題意得：ADF60，CDF30，

∴ADC90，

111.73

∴CDAC77.238.6，ADACcos3077.266.8（海里），

222

∴甲行駛路程為：ABBC4056.496.4（海里），乙行駛路程為：

ADCD66.838.6105.4（海里），

∵96.4105.4，且甲、乙速度相同，

∴甲貨輪先到達(dá)C港．

6.（2024重慶市B）如圖，A，B，C，D分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，B在A的正東方向，D在A的

正北方向，且在C的北偏西60方向，C在A的北偏東30方向，且在B的北偏西15方向，AB2

千米．（參考數(shù)據(jù)：21.41，31.73，62.45）

（1）求BC的長度（結(jié)果精確到0.1千米）；

（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)D出發(fā)去景點(diǎn)B，甲選擇的路線為：DCB，乙選擇的路線為：DAB．請

計(jì)算說明誰選擇的路線較近？

【答案】（1）2.5千米

（2）甲選擇的路線較近

【解析】

【小問1詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)B作BEAC于E，

由題意得，∠CAB903060，∠ABC901575，

∴ACB180CABABC45，

在Rt△ABE中，∠AEB90，AB2千米，

∴BEABcos∠BAE2cos603千米，

BE3

在RtBCE中，BC62.5千米，

sin∠BCEsin45

∴BC的長度約為2.5千米；

【小問2詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)C作CFAD于D，

在Rt△ABE中，AEABcos∠BAE2cos601千米，

∴ACAECE13千米，

13

在Rt△AFC中，CFACsinCAF13sin30千米，

2

33

AFACcosCAF13cos30千米，

2

在RtDCF中，∠DCF30，∠DFC90，

1333

∴DFCFtan∠DCFtan30千米，

26

13

CF33千米，

CD2

cos∠DCFcos303

33

∴CDBC64.03千米，

3

3333

ADABDFAFAB25.15千米，

62

∵4.035.15，

∴甲選擇的路線較近．

7.（2024甘肅臨夏）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內(nèi)，共九級，為砼框架式結(jié)構(gòu)，

造型獨(dú)特別致，遠(yuǎn)可眺太子山露骨風(fēng)月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹．某校數(shù)學(xué)興

趣小組在學(xué)習(xí)了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度AB的實(shí)踐活動(dòng)．A為乾元塔的頂端，

ABBC，點(diǎn)C，D在點(diǎn)B的正東方向，在C點(diǎn)用高度為1.6米的測角儀（即CE1.6米）測得A

點(diǎn)仰角為37，向西平移14.5米至點(diǎn)D，測得A點(diǎn)仰角為45，請根據(jù)測量數(shù)據(jù)，求乾元塔的高度

AB．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】乾元塔的高度AB約為45米

【解析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，設(shè)CE平移后得到DG，延長EG交AB于點(diǎn)F，設(shè)FGx，

分別解RtAFE,RtAFG，表示出AF的長，列出方程進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：設(shè)CE平移后得到DG，延長EG交AB于點(diǎn)F，則：CEDGBF1.6，EFAB，

EG14.5，

設(shè)GFx，則：EF14.5x，

在RtAFE中，AFEFtan370.75x14.5，

在Rt△AFG中，AFFGtan45x，

∴0.75x14.5x，

∴x43.5，

∴AF43.5，

∴ABAFBF43.51.645；

答：乾元塔的高度AB約為45米．

8.（2024甘肅威武）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)

現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)

組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù)．于是小組成員開展了“測量風(fēng)電塔

筒高度”的實(shí)踐活動(dòng)．如圖，已知一風(fēng)電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側(cè)，

CDEF1.6m，點(diǎn)C與點(diǎn)E相距182m（點(diǎn)C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點(diǎn)

A的仰角為45，在F處測得筒尖頂點(diǎn)A的仰角為53．求風(fēng)電塔筒AH的高度．（參考數(shù)據(jù)：

434

sin53，cos53，tan53．）

553

【答案】105.6m

【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)D作DGAH

于G，連接FG，則四邊形CDGH是矩形，可得GHCD1.6m，DGCH，再證明四邊形

EFGH是矩形，則FGHE，HGF90，進(jìn)一步證明D、G、F三點(diǎn)共線，得到DF182m；

33

設(shè)AGxm，解RtADG得到DGxm；解Rt△AFG得到FGxm；則xx182，解

44

得x104，即AG104m，則AHAGGH105.6m．

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DGAH于G，連接FG，則四邊形CDGH是矩形，

∴GHCD1.6m，DGCH，

∵CDEF1.6m，

∴GHEF，

由題意可得GH⊥CE，EF⊥CE，

∴GHEF，

∴四邊形EFGH是矩形，

∴FGHE，HGF90，

∴∠DGH∠FGH180，

∴D、G、F三點(diǎn)共線，

∴DFDGFGCHHECE182m；

設(shè)AGxm，

AG

在RtADG中，tanADG，

DG

x

∴tan45

DG

∴DGxm；

AG

在Rt△AFG中，tanAFG，

FG

x

∴tan53

FG

3

∴FGxm；

4

3

∴xx182，

4

解得x104，

∴AG104m，

∴AHAGGH105.6m，

∴風(fēng)電塔筒AH的高度約為105.6m．

9.（2024貴州?。┚C合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合

性學(xué)習(xí)．

【實(shí)驗(yàn)操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線

與水槽內(nèi)壁AC的夾角為A；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點(diǎn)E處時(shí)，停止注水．（直線NN為法線，AO為入射

光線，OD為折射光線．）

【測量數(shù)據(jù)】

如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，N在同一平面內(nèi)，測得AC20cm，A45，折射角

DON32．

【問題解決】

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）求BC的長；

（2）求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．

（參考數(shù)據(jù)：sin320.52，cos320.84，tan320.62）

【答案】（1）20cm（2）3.8cm

【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想

解答．

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算出的值；

（2）利用銳角三角函數(shù)求出DN長，然后根據(jù)