2024-2025學年新教材高中數(shù)學 第六章 平面向量及其應用 6.3 平面向量基本定理及坐標表示 6.3.2 6.3.3（教學用書）教學實錄 新人教A版必修第二冊

2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.26.3.3（教學用書）教學實錄新人教A版必修第二冊主備人備課成員教學內(nèi)容教材：新人教A版必修第二冊

章節(jié)：第六章平面向量及其應用

內(nèi)容：6.3平面向量基本定理及坐標表示，包括6.3.2向量的坐標表示，6.3.3向量的數(shù)量積的坐標表示。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生運用向量語言描述現(xiàn)實問題的能力，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)；強化空間觀念，發(fā)展數(shù)學建模和數(shù)學運算能力；通過向量坐標表示的學習，提高學生幾何直觀和數(shù)據(jù)分析的應用意識。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了哪些相關知識：

學生在進入本章節(jié)學習前，通常已經(jīng)具備平面幾何、坐標幾何以及向量的基本概念和運算的基礎知識。他們能夠理解和運用向量加法、減法、數(shù)乘等基本運算，以及平面直角坐標系中的點坐標表示。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中學生對數(shù)學學科的興趣參差不齊，部分學生對幾何問題尤其是涉及向量運算的問題表現(xiàn)出較高的興趣。學生的能力水平也各異，有的學生具有較強的空間想象能力和邏輯推理能力，能夠較快地理解和應用新知識；而有的學生可能在空間概念的理解和幾何問題的抽象思考上存在困難。學習風格上，有的學生偏好通過圖形直觀理解概念，而有的學生則更傾向于通過公式和邏輯推導來解決問題。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學習平面向量基本定理及坐標表示時，學生可能會遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是對向量坐標表示的理解，尤其是如何從幾何圖形中準確提取坐標信息；二是向量數(shù)量積的坐標表示公式推導和應用，可能會因為抽象性較強而感到困難；三是將向量知識應用于解決實際問題，需要學生具備一定的數(shù)學建模能力，這可能是學生們的難點之一。此外，學生在處理復雜向量問題時，也可能因為運算錯誤或概念混淆而出現(xiàn)困難。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習資料，即新人教A版必修第二冊。

2.輔助材料：準備與教學內(nèi)容相關的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，以幫助學生直觀理解向量坐標表示和數(shù)量積的概念。

3.教室布置：根據(jù)教學需要，布置教室環(huán)境，包括清晰的黑板、投影屏幕，以及用于演示的向量圖形板和坐標紙。教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對平面向量及其應用的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“向量在日常生活中有哪些應用？你們能想到哪些例子？”

展示一些生活中的向量應用場景，如風力方向、水流速度等圖片或視頻片段，讓學生初步感受向量的魅力或特點。

簡短介紹平面向量的基本概念和重要性，為接下來的學習打下基礎。

2.平面向量基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解平面向量的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解平面向量的定義，包括其主要組成元素或結構：起點、終點、方向和長度。

詳細介紹平面向量的組成部分或功能，使用向量圖形和坐標紙幫助學生理解。

3.平面向量案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解平面向量的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的平面向量應用案例進行分析，如物理中的運動學問題、工程中的力矩計算等。

詳細介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學生全面了解平面向量的多樣性或復雜性。

引導學生思考這些案例對實際生活或?qū)W習的影響，以及如何應用平面向量解決實際問題。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組選擇一個與平面向量相關的主題進行深入討論，如“如何利用向量解決幾何問題”。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對平面向量的認識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學生和教師對展示內(nèi)容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)平面向量的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，包括平面向量的基本概念、組成部分、案例分析等。

強調(diào)平面向量在現(xiàn)實生活或?qū)W習中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用平面向量。

7.布置課后作業(yè)（5分鐘）

目標：鞏固學習效果，培養(yǎng)學生獨立思考和解決問題的能力。

過程：

布置課后作業(yè)，要求學生完成以下任務：

（1）復習本節(jié)課的內(nèi)容，總結平面向量的關鍵知識點。

（2）選擇一個生活中的實際問題，嘗試運用平面向量知識進行解決。

（3）撰寫一篇簡短的報告，分享自己的學習心得和對平面向量應用的思考。學生學習效果學生學習效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.理解與掌握平面向量基本概念：

學生通過本節(jié)課的學習，能夠準確理解平面向量的定義、幾何意義和坐標表示方法。他們能夠識別并描述向量的大小、方向和起點，以及如何用坐標形式表示向量。

2.掌握向量運算：

學生學會了向量加法、減法、數(shù)乘等基本運算，并能夠熟練應用這些運算解決實際問題。他們能夠正確計算向量的和、差和數(shù)乘結果，以及解決涉及向量運算的幾何問題。

3.應用平面向量解決幾何問題：

學生能夠運用平面向量解決平面幾何問題，如計算線段的長度、角度的大小、平行四邊形的面積等。他們能夠利用向量運算解決向量與直線、平面相關的位置關系問題。

4.發(fā)展空間想象能力：

通過學習平面向量，學生的空間想象能力得到了顯著提升。他們能夠更好地理解幾何圖形在空間中的位置關系，以及向量在空間幾何中的應用。

5.提升邏輯推理能力：

在學習平面向量過程中，學生需要運用邏輯推理來證明向量的性質(zhì)和解決幾何問題。這有助于提高他們的邏輯思維能力和推理能力。

6.培養(yǎng)數(shù)學建模能力：

學生在學習平面向量及其應用的過程中，學會了如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。他們能夠從實際問題中提取關鍵信息，運用向量知識構建數(shù)學模型，并求解模型得到答案。

7.提高幾何直觀能力：

通過對向量坐標表示的學習，學生能夠直觀地理解向量的幾何意義。他們能夠通過坐標圖直觀地看到向量的大小、方向和位置關系，從而提高幾何直觀能力。

8.強化數(shù)學運算能力：

在學習向量運算的過程中，學生需要掌握多種運算方法，如向量的數(shù)量積、點積等。這有助于提高他們的數(shù)學運算能力，為后續(xù)學習打下堅實基礎。

9.增強合作學習意識：

在小組討論環(huán)節(jié)，學生學會了與他人合作，共同解決問題。這有助于培養(yǎng)他們的團隊合作精神，提高溝通能力和協(xié)作能力。

10.培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力：

學生在小組討論中提出創(chuàng)新性想法和建議，如如何改進現(xiàn)有算法或模型。這有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維能力，為未來職業(yè)生涯奠定基礎。課后作業(yè)1.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec=(-1,4)$，求向量$\vec{a}+\vec$的坐標表示。

解答：

$\vec{a}+\vec=(2,3)+(-1,4)=(2-1,3+4)=(1,7)$

2.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(4,-2)$和$\vec=(3,5)$，求向量$\vec{a}-\vec$的坐標表示。

解答：

$\vec{a}-\vec=(4,-2)-(3,5)=(4-3,-2-5)=(1,-7)$

3.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(5,2)$和$\vec=(3,-1)$，如果$\vec{a}$和$\vec$平行，求實數(shù)$k$的值。

解答：

由于$\vec{a}$和$\vec$平行，存在實數(shù)$k$使得$\vec{a}=k\vec$。

因此，$5=3k$和$2=-k$。

解得$k=\frac{5}{3}$和$k=-2$。由于$\vec{a}$和$\vec$平行，$k$的值應為$\frac{5}{3}$。

4.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(2,4)$和$\vec=(-3,6)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的數(shù)量積。

解答：

$\vec{a}\cdot\vec=(2,4)\cdot(-3,6)=2\times(-3)+4\times6=-6+24=18$

5.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec=(3,4)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的夾角余弦值。

解答：

$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{(1,2)\cdot(3,4)}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{1\times3+2\times4}{\sqrt{5}\sqrt{25}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{25}$

6.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(2,-1)$和$\vec=(4,3)$，求向量$\vec{a}$在$\vec$方向上的投影長度。

解答：

投影長度$=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}=\frac{(2,-1)\cdot(4,3)}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{2\times4+(-1)\times3}{5}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1$

7.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(3,5)$和$\vec=(2,-1)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的夾角正弦值。

解答：

$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{3\times2+5\times(-1)}{\sqrt{3^2+5^2}\sqrt{2^2+(-1)^2}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{6-5}{\sqrt{34}\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{170}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{170}}=\sqrt{\frac{169}{170}}=\frac{13\sqrt{10}}{10\sqrt{17}}$反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.實踐與理論相結合：在教學中，我嘗試將抽象的向量概念與具體的物理現(xiàn)象、工程問題相結合，讓學生在實際案例中感受向量的應用，提高他們的實踐能力。

2.多媒體輔助教學：利用多媒體資源，如動畫、視頻等，直觀展示向量的運動和變化，幫助學生更好地理解向量的幾何意義。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對向量概念的理解不夠深入：部分學生在學習向量時，對概念的理解停留在表面，缺乏對向量本質(zhì)的把握。

2.學生解決實際問題的能力有待提高：在實際應用中，學生往往難以將所學知識靈活運用到實際問題中，需要加強這方面的訓練。

3.課堂互動不足：在教學過程中，我發(fā)現(xiàn)學生參與課堂討論的積極性不高，需要改進教學方法，提高學生的參與度。

反思改進措施（三）

1.深入講解向量概念：在講解向量概念時，注重引導學生從幾何和代數(shù)的角度理解向量，并結合實例幫助學生加深對概