專題六：三角形中面積的計算問題(原卷版)

專題六三角形中面積的計算問題三角形中面積的計算問題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，此類問題一般是一問計算角或邊，另一問計算面積．對于計算角與邊的一問參考專題1，對于計算面積的一問一般用公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．但要結合三角恒等變換并同時用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【方法總結】三角形中面積計算問題的解題技巧首先處理已知條件中的邊角關系，得到兩邊及夾角，然后使用面積公式求解．對于條件中的邊角關系一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：(1)若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；(2)若式子中含有a，b，c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”，然后進行三角恒等變換；(3)若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；(4)同時出現(xiàn)兩個自由角(或三個自由角)時，要用到三角形的內角和定理．【例題選講】[例1]已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2－ab－2b2＝0．(1)若B＝eq\f(π,6)，求A，C；(2)若C＝eq\f(2π,3)，c＝14，求S△ABC．解析(1)由已知B＝eq\f(π,6)，a2－ab－2b2＝0結合正弦定理化簡整理得2sin2A－sinA－1＝0，于是sinA＝1或sinA＝－eq\f(1,2)(舍)．因為0<A<π，所以A＝eq\f(π,2)，又A＋B＋C＝π，所以C＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)． (2)由題意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，①由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，因為a＋b>0，所以a－2b＝0，即a＝2b，②聯(lián)立①②解得b＝2eq\r(7)，a＝4eq\r(7)．所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝14eq\r(3)．[例2](2014·浙江)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．解析(1)由題意得，eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))．由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得，2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3)．(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5)．由a<c，得A<C，從而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以，△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25)．[例3](2017·全國Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2．(1)求c；(2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．解析(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－eq\r(3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3)．由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·coseq\f(2π,3)．即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4．(2)由題設可得∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6)．故△ABD與△ACD面積的比值為eq\f(\f(1,2)AB·ADsin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1．又△ABC的面積為eq\f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq\r(3)，所以△ABD的面積為eq\r(3)．[例4]如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，滿足AD⊥AC，cos∠BAC＝－eq\f(1,3)，AB＝3eq\r(2)，BD＝eq\r(3)．(1)求AD的長；(2)求△ABC的面積．解析(1)因為AD⊥AC，cos∠BAC＝－eq\f(1,3)，所以sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)．又sin∠BAC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠BAD))＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0，解得AD＝5或AD＝3，由于AB>AD，所以AD＝3．(2)在△ABD中，eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，又由cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，得sin∠BAD＝eq\f(1,3)，所以sin∠ADB＝eq\f(\r(6),3)，則sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝eq\f(\r(6),3)．因為∠ADB＝∠DAC＋∠C＝eq\f(π,2)＋∠C，所以cos∠C＝eq\f(\r(6),3)．在Rt△ADC中，cos∠C＝eq\f(\r(6),3)，則tan∠C＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(3,AC)，所以AC＝3eq\r(2)．則△ABC的面積S＝eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)×eq\f(2\r(2),3)＝6eq\r(2)．[例5]已知△ABC內接于半徑為R的圓，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．(1)求A；(2)若AD是BC邊上的中線，AD＝eq\f(\r(19),2)，求△ABC的面積．解析(1)對于2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，由正弦定理得，bsinB－asinA＝bsinC－csinC，即b2－a2＝bc－c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)．因為0<A<180，所以A＝60．(2)以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，連接DE，易知A，D，E三點共線．在△ABE中，∠ABE＝120，AE＝2AD＝eq\r(19)，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos120，即19＝9＋AC2－2×3×AC×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得AC＝2．故S△ABC＝eq\f(1,2)bcsin∠BAC＝eq\f(3\r(3),2)．【對點訓練】1．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(a＋2c)cosB＋bcosA＝0．(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周長為3＋2eq\r(3)，求△ABC的面積．2．已知△ABC是斜三角形，內角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c．若csinA＝eq\r(3)acosC．(1)求角C；(2)若c＝eq\r(21)且sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，求△ABC的面積．3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知eq\f(b,c)＝eq\f(4\r(5),5)，A＋3C＝π．(1)求cosC的值；(2)若b＝eq\r(5)，求△ABC的面積．4．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且eq\f(b,a)＝eq\f(2cosB,1－2cosA)．(1)若eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(3),3)，求角A的大??；(2)若a＝1，tanA＝2eq\r(2)，求△ABC的面積．5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2eq\r(3)asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC．(1)求角C的大??；(2)若acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面積．6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足csinA＝acosC，c＝4．(1)求角C的大??；(2)若eq\r(3)sinA＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＋2，求△ABC的面積．7．在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且(a＋c)2＝b2＋3ac．(1)求角B的大?。?2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面積．8．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B＝60°，c＝8．(1)若點M，N是線段BC的兩個三等分點，BM＝eq\f(1,3)BC，eq\f(AN,BM)＝2eq\r(3)，求AM的值；(2)若b＝12，求△ABC的面積．9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c