湖北省楚天教科研協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期2月收心考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)年湖北省“楚天教科研協(xié)作體”高二（下）2月收心考試?8小題，每小題5分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線的傾斜角為A.B.C.D.2.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，且，，成等差數(shù)列，則A.7B.15C.31D.633.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.B.C.D.4.“”是“直線與直線平行”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.小明同學(xué)有6把鑰匙，其中2把能打開門.如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，第二次才能打開門的概率為如果試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為，則，的值分別為A.，B.，C.，D.，6.已知點，過點引直線l與曲線相交于A，B兩點，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，直線l的斜率等于A.B.C.D.7.在三棱錐PAPBPC若M為該三棱錐外接球上的一動點，則的最小值為A.B.C.D.8.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，O是坐標原點.過作C的一條漸近線的垂線，垂足為若，則C的離心率為第1頁，共1頁A.B.C.D.3分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是A.B.當(dāng)取得最大值時，C.數(shù)列是遞減數(shù)列D.10.下列命題正確的是()A.若三個事件A，B，C兩兩相互獨立，則B.設(shè)A，B是兩個隨機事件，且，，若，則A，B是相互獨立事件C.若，，則事件A，B相互獨立與A，B互斥有可能同時成立D.若事件A，B相互獨立，，，則11.如圖，在棱長為2的正方體中，點O為BD的中點，且點P滿足，則下列說法正確的是A.若，則B.若，，則點P的軌跡長度為C.若，，則D.若，，直線OP與平面所成的角為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。第1頁，共1頁12.雙曲線的兩個焦點分別是和，焦距為8，M是雙曲線上的一點，且，則的周長為.13.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.則“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為.14.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”又稱“角谷猜想”等如取正整數(shù)8個步驟變成簡稱為8步“雹程”現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，當(dāng)時，試確定使得至少需要步雹程;若m所有可能的取值集合M為.四、解答題：本題共5小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知點，，動點M滿足，記動點M的軌跡為曲線求曲線C的方程;過點的直線l與曲線C交于P，Q兩點，若，求直線l的方程.16.本小題15分已知拋物線的焦點為F，過F作傾斜角為的動直線l交E于A，B兩點.當(dāng)時，求拋物線E的方程;證明：無論如何變化，是定值為坐標原點，并求出該定值.17.本小題15分ABCDE中，，，，，G為BC的中點，以AD為折痕將圖甲中的折起，使點E到達如圖乙中的點S的位置，且第1頁，共1頁證明：平面平面求平面SAD與平面SBC的夾角的余弦值.18.本小題17分設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，已知求數(shù)列的通項公式;在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列.①設(shè)，求②在數(shù)列中是否存在三項、、其中mkp成等差數(shù)列項;若不存在，說明理由.19.本小題17分是圓AP是圓ABP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡為曲線第1頁，共1頁求曲線C的方程;一組平行直線的斜率為C有兩個公共點時，證明這些直線被曲線C截得的線段的中點在同一條直線上;設(shè)曲線C與y軸正半軸的交點為My軸負半軸的交點為N的直線TMTN分別與曲線C交于E、F兩點.若的面積是的面積的倍，求的最大值.第1頁，共1頁答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本題考查了直線的點斜式、斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．求傾斜角的值范圍的步驟求出斜率的值范圍若斜率不存在，則傾斜角為利用正切函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓確定傾斜角的值范圍【解答】解：由直線的方程得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又所以故選2.【答案】C【解析】解：設(shè)公比為q，因為，，成等差數(shù)列，所以，則，解得因為，所以，所以3.【答案】B【解析】解：由題意可得：，解得：，雙曲線的漸近線方程為故選4.【答案】C【解析】解：當(dāng)時，直線：與直線：，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行，滿足充分性；當(dāng)兩條直線平行時，得到，第1頁，共1頁解得，或不合題意舍去，故滿足必要性；所以“”是“直線與直線平行”的充分必要條件.5.【答案】A【解析】解：將6把鑰匙分別標號為1，2，3，4，5，6，其中標號，5，6的鑰匙是能打開門的，標號為1，2，3，4的鑰匙是不能打開門的，如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，即為不放回地抽取，則嘗試開門兩次，如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，即為不放回地抽取，則嘗試開門兩次，嘗試開門兩次的樣本點有個，其中第二次才能打開門的樣本點有，，，，，，，8個，所以；如果試過的鑰匙又混進去，即為有放回地抽取，則嘗試開門兩次的樣本空間為，共有36個樣本點，其中第二次才能打開門的樣本點有，，，，，，，共有8個，所以6.【答案】D【解析】解：曲線，得，則，所以曲線表示圓心為，半徑為的半圓軸及以上部分，由于，故當(dāng)時的面積取得最大值，此時圓心到直線l：的距離為，即，注意到，得7.【答案】B【解析】解：如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對角線的交點，第1頁，共1頁以P為原點，PA、PB、PC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，所以，，，，，，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，，則，，，，，，，，，所以，當(dāng)時，取得最小值故選8.【答案】D【解析】解：在中，，，，記，則，第1頁，共1頁在中，，由余弦定理，，結(jié)合解得9.【答案】AC【解析】解：設(shè)的公差為d，，故，故A正確；，故，所以，且，故D錯誤；又因為是等差數(shù)列，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故C正確；因為，，故當(dāng)取得最大值時，，故B錯誤．10.【答案】BD【解析】解：對于A選項，設(shè)樣本空間，每個樣本點的概率為，定義，；，；，，，，，；，，所以A、B、C兩兩相互獨立，而，，，此時，A選項錯誤；對于B選項，已知，，，即，所以A、B是相互獨立事件，B選項正確;對于C選項，若A、B互斥，則，若A、B相互獨立，則因為，，所以事件A，B相互獨立與A，B互斥不可能同時成立，C選項錯誤;對于D選項，因為A、B相互獨立，則，所以，D選項正確.第1頁，共1頁11.【答案】ACD【解析】解：連接，，DP，BP，，以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，，，，則，故，對于A，，，若，則，所以，故A正確;對于B，若，，則，因為，所以，所以點P的軌跡長度為1，故B錯誤；對于C，，，，的法向量為，則，故可設(shè)，所以點P到平面的距離，在中，，則，所以，故C正確;對于D，若，時，，，則，設(shè)，，第1頁，共1頁則，，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以，所以，，，，，所以，所以，所以，故D正確.12.【答案】解：由題意，，易得M在左支上，利用雙曲線的定義知，故，又焦距為8，故三角形的周長為，故答案為【解析】答案詳解和解析過程見【答案】13.【答案】【解析】解：設(shè)，分別表示甲兩輪猜對1個、2個成語的事件，，分別表示乙兩輪猜對1個、2個成語的事件．，，，，設(shè)“兩輪活動‘星隊?猜對3個成語”，則，且與互斥，與，與分別相互獨立，所以，因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是14.【答案】；【解析】解：當(dāng)時，則按運算法則得到：，第1頁，共1頁即使得需要10步“雹程”，若，則或1，當(dāng)時，則或5，若，則或21；若，則，若，則；當(dāng)時，或3，若時，則，若時，則；當(dāng)時，則或1，若，則或5；若，則，故m所有可能的取值集合M為，故答案為：10；15.【答案】解：設(shè)，由得，兩邊平方化簡得：，故曲線C的方程為：；當(dāng)直線l斜率不存在時，此時直線與圓相交于P，Q兩點，令，則，，不符合題意，舍；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)，圓心到直線l的距離為弦長，故，，又，平方，得，故或，所以直線l的方程為或，即或【解析】詳細解答和解析過程見【答案】16.【答案】解：拋物線的焦點，依題意，直線l的斜率不為0，設(shè)直線，，，由，消去x得：，顯然，，，第1頁，共1頁，當(dāng)時，，于是，解得，所以拋物線E的方程為由可知，，則，因此對任意的實數(shù)t，為定值，所以無論如何變化，是定值【解析】詳細解答和解析過程見【答案】17.【答案】證明：在平面五邊形ABCDE中，，，所以四邊形ABCDE是直角梯形，且，在直角中，，且，則，可得，從而是等邊三角形，AC平分因為G為BC的中點，所以，所以，又因為，且SA，平面SAC，所以平面又因為平面ABCD，所以平面平面取AD的中點F，連接SF，過點S作SO垂直AC于點O，連接OF，如圖，因為平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，則因為，F(xiàn)是AD的中點，所以，又且SO，平面SOF，所以平面SOF，第1頁，共1頁由平面SOF，則；又因為，所以，則點O是AC的中點，又，所以，可得以D為原點，以DA，DC所在的直線分別為x，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)平面SAD的一個法向量為，，則，令，則設(shè)平面SBC的一個法向量為，，則，令，則設(shè)平面SAD與平面SBC的夾角為，則，所以平面SAD與平面SBC的夾角的余弦值為【解析】詳細解答和解析過程見【答案】18.【答案】解：因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得，又因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，第1頁，共1頁而，因此，解得，因此數(shù)列是以3為首項，公比為4的等比數(shù)列，所以由知，，因為，所以，所以，則，所以，所以假設(shè)在數(shù)列中存在，，其中成等差數(shù)列成等比數(shù)列，則，即，因為m，k，p成等差數(shù)列，所以，不妨設(shè)，整理可得：，即，即，即，即，因為，則，故假設(shè)不成立，所以在數(shù)列中不存在三項，，其中m，k，p成等差數(shù)列成等比數(shù)列．【解析】詳細解答和解析過程見【答案】19.【答案】解