導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)題型重難點(diǎn)專項(xiàng)突破

專題34導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年甲卷第6題，5分

2024年I卷第13題，5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)

定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難(1)導(dǎo)數(shù)的概念和定義

度均變化不大.重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

2023年甲卷第8題，5分(2)

計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求(3)求過某點(diǎn)的切線方程

切線方程為主.

2021年I卷第7題，5分

2021年甲卷第13題，5分

模塊一

【題型1】平均速度(變化率)與瞬時(shí)速度(變化率)

【題型2】導(dǎo)數(shù)的定義中極限的簡單計(jì)算

【題型4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

【題型3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義初步

【題型5】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

【題型6］導(dǎo)數(shù)的賦值運(yùn)算

模塊二督核心題型?舉一反三

【題型1】平均速度(變化率)與瞬時(shí)速度(變化率)

基礎(chǔ)知識(shí)

L求平均變化率的主要步歌：

(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量^y=f(x2)-fixi).

(2)再計(jì)算自變量的改變量Ar=X2—XI.

Ay于(12)-/(處)

(3)得平均變化率Ar=垃一》?

2.瞬時(shí)速度是當(dāng)加70時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體在勿到砧+4這段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限值，瞬時(shí)速度與平

均速度二者不可混淆.

1.函數(shù)在區(qū)間［。，20上的平均變化率為15,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-B.-C.1D.2

32

2.已知函數(shù)y=/（x）=2/+1在工=割處的瞬時(shí)變化率為-8,則/（羽）=

【鞏固練習(xí)I】某物體的運(yùn)動(dòng)方程為2=3/，若j吧與「二18加一位移單位：?

時(shí)間單位：s）,則下列說法中正確的是（）

A.18m/s是物體從開始到3s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度

B.18〃?/s是物體從3s到（3+這段時(shí)間內(nèi)的速度

C.18〃?/s是物體在3s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度

D.18根/s是物體從3s到（3+At）s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度

【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)/（%）=尤2在區(qū)間［%,尤0+△》］上的平均變化率為K,在區(qū)間［Xo-ZkX,x0］

上的平均變化率為心，貝N）

A.k、>h

B.kx<k2

C.k、=h

D.尢與心的大小關(guān)系與尤。的取值有關(guān)

【鞏固練習(xí)3】如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm?/s的速度向該容

器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間/（單位：S）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示,

忽略容器的厚度，則當(dāng)/=兀時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）

B.回m/s&/SV150

C.D.-------cm/s

6兀5兀3兀2兀

【題型2】導(dǎo)數(shù)的定義中極限的簡單計(jì)算

基礎(chǔ)知識(shí)

函數(shù)fW在x=/處瞬時(shí)變化率是lim電=lim/（%+"）-/（與）,我們稱它為函數(shù)y=/⑴在

x=不處的導(dǎo)數(shù)，記作f'（x0）或y[,/.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

①增量Ar可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.VO的意義：〃與。之間距離要多近

有多近，即|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)Ax->0時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與

包=/（x°+詞T?）無限接近;

AYAX

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一

時(shí)刻的瞬間變化率，即尸（%）=lim包=lim-X。+—.

—Ax-Ax

導(dǎo)數(shù)的物理意義

f

函數(shù)S=sQ）在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s（t0）是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度V,即y=S（%）；V=V（C在點(diǎn)t0的導(dǎo)

數(shù)M?o）是物體在力0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度〃，即1=/4）.

3.若函數(shù)y=/卜）在區(qū)間（。㈤內(nèi)可導(dǎo)，且與e（a,6）,則圖如L若幺包二2的值為（）

A./'（%）B.2仆）

C--2巾）D.0

4.（2024?江蘇南通?二模）已知=當(dāng)72fo時(shí)，+⑴..

【鞏固練習(xí)1】設(shè)函數(shù)/（x）可導(dǎo)，f（1）=1則lim⑴

△x->o3AX

【鞏固練習(xí)2】函數(shù)y=f（無）在區(qū)間（。,句內(nèi)可導(dǎo)，且不€（風(fēng)》）若1山1幺至土生也匚々=2,則（）

A.r（%）=1B.廣（尤。）=2C.廣（%）=4D./（X。）不確定

【鞏固練習(xí)3】(多選題)已知/(x),g(x)在R上連續(xù)且可導(dǎo)，且/'(%)H0,下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極

限的說法中正確的是()

/(xo-M-/(xo)

limB./(^A/Q-/(/-A/Q

A.=/'(%)lim

—。Ax△202A/zv7

+3y，

lim/UM-/(-o)g(x0+Ar)-g(%)=g(x°)

C.=[優(yōu))

—3Ax'一叮Go+盤)一〃％)f'M

【題型4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

基礎(chǔ)知識(shí)

一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(C為常數(shù))rw=o

于(x)=xa{a&Q)fr(x)=axa~x

于(x)=ax(a>0,〃w1)fr(x)=ax\na

/(x)=log。x(a>0,Qw1)廣(x)=」

xlna

/(x)=/f'M=ex

/(x)=lnx

f'M=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosxfr(x)=-sinx

二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(x)±g(x)]=fr(x)±gr(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(%)g(%)]=fr(x)g(x)+f(x)gr(x);

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)wO,則[弋]=''(x)g(x)：<(x)g'(x).

g(x)g(%)

特別地：

①y=e￡f(x),y'=ex[f(x)+f\x)]

②—，y.ZMzZW

e

5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

InY

(l)y=xex(2)y=；

x+\

6.設(shè)函數(shù)y(x)=x(x+D(%+2)…(x+10),則廣(。)的值為()

A.10B.59C.10x9x-x2xlD.0

【鞏固練習(xí)1］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)/(x)=-2x3+4x2

(2)/(x)=xe'

(3)f(x)=xsinx+cosx

(4)/(x)=^^

【鞏固練習(xí)2]求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

⑴/(x)=(x+l)lnx_?；

⑵仆)=?;

【鞏固練習(xí)3】在等比數(shù)列｛%｝中，。[0]3=2,若函數(shù)/（X）=]X（X—）（X—4）…（X-。2025），

則/'（0）=（）

A.-22024B.22024C.-22025D,22025

【題型3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義初步

基礎(chǔ)知識(shí)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)的大小可以根據(jù)函數(shù)圖象，觀察對應(yīng)切線的斜率的

大小，函數(shù)y=/（無）在尤=/處的導(dǎo)數(shù)/'（與）的幾何意義即為函數(shù)y=/（%）在點(diǎn)尸（不，%）處的切線

的斜率.

7.函數(shù)y=/（x）的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是（）

A.0</,(2)</,(3)</(3)-/(2)

B.0<八2)<〃3)-〃2)〈八3)

C.0<r(3)</(3)-/(2)<r(2)

D.0</(3)-/(2)<r(2)<r(3)

8.（湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題）曲線y=ln2x在點(diǎn)處的切線方程為（）

A.2x—y+1-0B.2尤—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

9.（23-24高三上?福建福州?期中）已知直線/與曲線〃x）=ln尤+爐相切，則下列直線中可能與/

平行的是（）

A.3尤一y-l=OB.2x-y+l=0C.4x-y+l=0D.5無一y+3=O

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y=f（無）的圖象如圖所示，/（無）是函數(shù)A?的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的

C.2f(2)<2f(4)<f(4)-f(2)D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2)

【鞏固練習(xí)2】（2024.全國?高考真題）設(shè)函數(shù)/"）二＞+冬.\則曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,1）處的切

1+X

線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）

【鞏固練習(xí)3】（2024?福建廈門.一模）已知直線/與曲線y=d-x在原點(diǎn)處相切，則/的傾斜角為（）

7171C,主5兀

A.B.-D.

~644~6

【鞏固練習(xí)4】(2024?四川宜賓.模擬預(yù)測)若曲線y=e'+a在x=0處的切線也是曲線y=lr?的切線,

則。=()

A.-2B.1C.-1D.e

【題型5】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

基礎(chǔ)知識(shí)

簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)復(fù)合函數(shù)的概念

一般地，對于兩個(gè)函數(shù)和i/=g(x),如果通過中間變量M,y可以表示成龍的函數(shù)，那么稱這

個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=/(a)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作v=Ag(x)).

(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則正確地拆分復(fù)合函數(shù)是求導(dǎo)的前提

一般地，對于由函數(shù)y=A")和"=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=/(g(無))，它的導(dǎo)數(shù)”=g(x)的導(dǎo)數(shù)

間的關(guān)系為yx'—yu'-Ux,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對a的導(dǎo)數(shù)與〃對尤的導(dǎo)數(shù)的乘積.

10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

⑴y=2sin(l-3x)；

【鞏固練習(xí)1］求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴y=