河南省開封市等三地2025年高考數(shù)學二模試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁河南省開封市等三地2025年高考數(shù)學二模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設復數(shù)z滿足(z?1)i=?1，則z?=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i2.拋物線y=14x2A.y=?1 B.y=1 C.x=?116 3.在△ABC中，BD=13BC，若AB=a，A.13a?23b B.14.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且S3=1，A.?12 B.12 C.?25.設a，b∈R，則a<b的一個充分不必要條件是(

)A.1a>1b B.a2+6.已知正方體的內切球的體積為43π，則該正方體的外接球的表面積為A.12π B.36π C.93π7.將5名學生分配到3個社區(qū)當志愿者，每個社區(qū)至少分配1名學生，則不同的分配方法種數(shù)是(

)A.24 B.50 C.72 D.1508.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，圓O經(jīng)過直線x=±a，y=±b的四個交點，且圓O與C在第一象限交于點P，與xA.a2 B.b2 C.a2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知集合A={x|?3<2x?1<3}，?RB?A，則(

)A.?1?B B.2∈B C.?1∈A∪B D.2∈A∩B10.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時間t(單位：s)時相對于平衡位置的高度(單位：cm)由關系式?(t)=2sin(t+π4)確定，則下列說法正確的是(

)A.小球在開始振動(即t=0s)時在平衡位置上方2?cm處

B.每秒鐘小球能往復振動2π次

C.函數(shù)?(t)的圖象關于直線t=5π4對稱

D.小球從t=π11.設x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[?3.5]=?4，[2.1]=2.若存在實數(shù)t，使得[t]=1，[t2]=2，?，[tn]=nA.若[tn]=n，則t∈[n1n,(n+1)1n)

B.三、填空題：本題共3小題，共20分。12.已知cosα=34，則sin(2α+π13.已知經(jīng)過橢圓C：x2a2+y214.已知直線y=?x+b與函數(shù)y=lnx?2，y=ex+2的圖象分別交于A，B兩點，則|AB|取最小值時，b=______，最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

某物業(yè)公司為提高對某小區(qū)的服務質量，隨機調查了該小區(qū)50名男業(yè)主和50名女業(yè)主，每位業(yè)主對該物業(yè)公司的服務給出滿意或不滿意的評價，得到如下列聯(lián)表：滿意不滿意男業(yè)主4010女業(yè)主3020(1)依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，能否認為該小區(qū)男、女業(yè)主對該物業(yè)公司服務的評價有差異？

(2)從該小區(qū)的業(yè)主中任選一人，A表示事件“選到的人對該物業(yè)公司的服務不滿意”，B表示事件“選到的人為女業(yè)主”，利用該調查數(shù)據(jù)，給出P(B|A)，P(B|A?)的估計值．

附：α0.050.010.005χ3.8416.6357.87916.(本小題12分)

已知直線l：2x+2y+2=0與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點，C為圓O上不同于A，B的一點.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

(1)求角C；17.(本小題12分)

在四棱錐P?ABCD中，BC/?/AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD=120°，且PA=AB=BC=12AD=2．

(1)求證：PA⊥平面ABCD；

(2)求直線PB與平面18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=aex?lnx+1x?1，a>0．

(1)當a=2時，求f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)19.(本小題12分)

設n為不小于3的正整數(shù)，項數(shù)為n(n?1)2的數(shù)列{an}是公差大于0的等差數(shù)列，若存在項數(shù)為n的數(shù)列{bn}同時滿足：

①數(shù)列{bn}中任意兩項均不相同；

②任意正整數(shù)i，j(1≤i<j≤n)，bi+bj從小到大排列恰好為數(shù)列{an}.

此時稱數(shù)列{an}是n?可拆分等差數(shù)列．

(1)寫出一個3?可拆分等差數(shù)列{an}及其對應的一個數(shù)列{bn}；

答案解析1.【答案】B

【解析】解：由(z?1)i=?1，可得z=1?1i=1+i，

故z?=1?i．

故選：B．

2.【答案】A

【解析】解：因為拋物線的標準方程為：x2=4y，焦點在y軸上；

所以：2p=4，即p=2，

所以：p2=1，

所以準線方程y=?1．

故選：A．

先根據(jù)拋物線的標準方程得到焦點在y軸上以及3.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，BD=13BC，AB=a，AC=b，如圖，則D為BC的一個3等分點，作平行四邊形，

則AD=AE4.【答案】C

【解析】解：因為Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且S3=1，S6=?7，

由題可知，S6?S3=?8，

故q5.【答案】D

【解析】解：對于A，當a=1，b=?1時，滿足1a>1b，但是不符合a<b，故充分性不成立，故A錯誤；

對于B，a2+b2>2ab，即(a?b)2>0，即a≠b，所以a2+b2>2ab是a<b的必要不充分條件，故B錯誤；

對于C，eb?a>1=e0，即b>a，故eb?a>1是a<b的充要條件，故C錯誤；

6.【答案】B

【解析】解：設正方體的棱長為a，該正方體內切球的半徑為r，該正方體外接球的半徑為R，

則r=a2，R=32a，

又正方體的內切球的體積為43πr3=43π×(a2)3=47.【答案】D

【解析】解：可以分組為1、1、3，或1、2、2兩種情況，

若分組為1、1、3，則有2C53C31=60；

若分組為1、2、2，則有C52C32C31=90；

則不同分法為60+90=150種．

故選：D．8.【答案】B

【解析】解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，半焦距為c，

由題意，圓O的圓心在坐標原點，半徑r=a2+b2=c，

點E，F(xiàn)即雙曲線的左右兩焦點，如圖，可得|PE|?|PF|=2a①，

且因EF為圓的直徑，可得PE⊥PF，則有|PE|2+|PF|2=4c2②，

將①式兩邊取平方，(|PE|?|PF|9.【答案】BC

【解析】解：A={x|?3<2x?1<3}={x|?1<x<2}，

對于選項A，若?1?B，則?1∈?RB，則根據(jù)?RB?A有?1∈A，顯然矛盾，故選項A錯誤；

對于選項B，假設2?B，則2∈?RB，根據(jù)?RB?A有2∈A，顯然矛盾，則2∈B，故選項B正確；

對于選項C，由A知，?1∈B，則?1∈A∪B，故選項C正確；

對于選項D，顯然2?A，必有2?A∩B，故選項D10.【答案】ACD

【解析】解：對于A，當t=0時，?(0)=2sinπ4=2，選項A正確；

對于B，小球往復振動的周期為T=2πω=2π，所以每秒鐘小球能往復振動12π次，選項B錯誤；

對于C，因為?(5π4)=2sin(5π4+π4)=2sin3π2=?2，所以函數(shù)?(t)的圖象關于直線t=5π4對稱，選項C正確；

對于D，由19π12?π4=16π12=4π3，又?(π4)=2sin(π411.【答案】AC

【解析】解：對于A，[t]=1，則1≤t<2；

[t2]=2，則2≤t2<3，即212≤t<312；

[t3]=3，則3≤t3<4，即313≤t<413；

[t4]=4，則4≤t4<5，即414≤t<514；

?；

[tn]=n，則n≤tn<n+1，即n1n≤t<(n+1)1n，故A正確．

對B：當n=1時，[1,2)?[2,3)顯然錯誤，故B錯誤；

對CD：設An=[n1n,(n+1)1n),n∈N?，根據(jù)題意，A1∩A2∩A3∩…≠?，

12.【答案】18【解析】解：因為cosα=34，

所以sin(2α+π2)=cos2α=2cos2α?1=13.【答案】3【解析】解：橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點和上頂點的坐標分別為(?a,0)，(0,b)，

左頂點和上頂點的弦的中點坐標為(?2,1)，

可得?a+02=?20+b2=1，解得a=4，b=2，

∴c2=a2?b14.【答案】?1

3【解析】解：易知函數(shù)y=lnx?2，y=ex+2互為反函數(shù)，圖象關于直線y=x對稱，

又直線y=x，y=?x+b互相垂直，

則問題可轉化為求y=lnx?2上點A(x0,lnx0?2)到直線y=x距離的最小值的2倍，

即|AB|=2|x0?lnx0+2|2=2(x0?lnx0+2)，

令f(x0)=x0?lnx0+2，x0>0，

則f′(x0)=1?1x0=x0?1x15.【答案】能認為；

P(B|A)=23【解析】解：(1)根據(jù)題意可知，χ2=100×(40×20?10×30)250×50×70×30=10021≈4.762>3.841，

所以依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，能認為有差異；

(2)由題意P(A)=30100=0.3,P(AB)=2010016.【答案】C=60°或120°；

34【解析】(1)解：圓O：x2+y2=1是單位圓，圓心O到直線l：2x+2y+2=0的距離d=28=12，圓O的半徑R=1，

∴|AB|=c=2R2?d2=21?14=3，

又C為△ABC外接圓O上一點，∴csinC=2R=2，

解之得sinC=c2=32，

∵0°<C<180°，

∴C=60°或120°；

(2)解：由余弦定理得：c2=a2+b2?2abcosC=(a+b)2?2ab(1+cosC)，

即3=6?2ab(1+cosC)，即ab=32(1+cosC)，17.【答案】證明見解析；

64【解析】解：(1)證明：作CE⊥AB于E

∵∠BAD=120°，∴CE與AD必相交，

又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，CE⊥AB，

∴CE⊥平面PAB，∵PA?平面PAB，

∴CE⊥PA，

又PA⊥AD，CE?平面ABCD，AD?平面ABCD，CE與AD相交，

∴PA⊥平面ABCD

(2)在平面ABCD內作AF⊥AD交BC于F，則AF，AD，AP兩兩垂直，

以A為原點，以AF，AD，AP為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則A(0,0,0)，F(xiàn)(3,0,0)，B(3,?1,0)，P(0,0,2)，

∴PB=(3,?1,?2)，

∵AF⊥平面PAD，∴AF=(3,0,0)為平面PAD的一個法向量，

∴cos<PB,AF>=PB?AF|PB||AF18.【答案】2ex?y?2=0；

a=1．

【解析】解：(1)當a=2時，f(x)=2ex?lnx+1x?1，f′(x)=2ex+lnxx2，

則f′(1)=2e，

又f(1)=2e?2，

則所求切線方程為y?(2e?2)=2e(x?1)，即2ex?y?2=0．

(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=aex+lnxx2=1x2(ax2ex+lnx)，

令g(x)=ax2ex+lnx，則g′(x)=a(x2+2x)ex+1x>0，

即g(x)在(0,+∞)單調遞增，

當x→0時，g(x)→?∞，當x=1時，g(1)=ae>0，

所以?x0∈(0,1)，使得g(x0)=0，即f′(x0)=0，

且f(x)在x∈(0,x0)單調遞減，f(x)在x∈(x0,+∞)單調遞增，

所以f(x)在x=x0處取得極小值，

又當x→0時，f(x)→+∞，x→+∞時，f(x)→+∞，

故若f(x)有唯一的零點，則必有f(x0)=0，

則ae19.【答案】等差數(shù)列{an}：3，4，5，數(shù)列{bn}：1，2，3；

16；【解析】解：(1)首先項數(shù)為3(3?1)2=3，且數(shù)列{bn}中任意兩項均不相同；

b1+b2=3，b1+b3=4，b2+b3=5，滿足條件②，則上述數(shù)列滿足題意．

故等差數(shù)列{an}：3，4，5，數(shù)列{bn}：1，2，3；

(2)數(shù)列{bn}四項均不相同，故總的排列方法有A44=24種．

假設數(shù)列{bn}各項從小到大排列，即b1<b2<b3<b4，

則兩兩相加后最小項a1=b1+b2，次小項a2=b1