15屆初賽非數(shù)學(xué)類(lèi)B試題參考答案

第十五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試卷參考答案(非數(shù)學(xué)B類(lèi),2023年)姓名:姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專(zhuān)業(yè):,考試形式:閉卷考試時(shí)間:150分鐘滿(mǎn)分:100分,題號(hào)一二三四五六總分滿(mǎn)分得分注意:1.所有答題都須寫(xiě)在本試卷指定的答題區(qū)域內(nèi).2.密封線左邊請(qǐng)勿答題,密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記.,3.如答題空白不夠,可寫(xiě)在當(dāng)頁(yè)背面,并標(biāo)明題號(hào).,密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線得分評(píng)閱人一、(本題30分,每小題6分得分評(píng)閱人2x-1=.(2)設(shè)z=f(x2-y2,xy),且f(u,v)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),(3)設(shè)曲線y=ln(1+ax)+1與曲線y=2xy3+b在(0,1)處相切,則a+b=.,,解答-5=e2.zx=2xf1+yf2,zxy=2x(f11(-2y)+xf12)+f2+y(f21(-2y)+xf22)=f2-4xyf11+2(x2-y2)f12+xyf22.,(4)易得yI(x)=.當(dāng)x=0時(shí),yI(0)=1.,12(5)交換積分順序?得姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專(zhuān)業(yè):得分評(píng)閱人,二、(本題14分)設(shè)曲線y=3ax2+2bx+lnc經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn),且當(dāng)0≤x≤1時(shí)y>0.設(shè)該曲線與直線x=1,x軸所圍圖形的平面圖形D的面積為1.試求常數(shù)a,b,c姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專(zhuān)業(yè):得分評(píng)閱人,最小.解答.由于曲線y=3ax2+2bx+lnc經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn),故lnc=0,c=1.D的面D繞x軸一周所得到的旋轉(zhuǎn)體體積密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,不難得到,當(dāng)a=-時(shí),旋轉(zhuǎn)體得體積最小,此時(shí),b=1..(14注:推導(dǎo)最小值點(diǎn)時(shí),用其他辦法如配方也可以.,,34三、三、(本題14分)解方程得分評(píng)閱人解答.原方程變形為解方程2v-u=0,u+v+3=0,得到u=-2,v=-1,再令U=u+2,V=v+1,這是分離變量方程?解之得U(W-2)3=C(W-1)2,回代得(y2-2x2-3)3=C(y2-x2-1)2.姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專(zhuān)業(yè):得分評(píng)閱人,四、(本題姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專(zhuān)業(yè):得分評(píng)閱人,域及和函數(shù).解答.因?yàn)樗允諗堪霃綖?.當(dāng)x=±1時(shí)?絕對(duì)收斂?故收斂域?yàn)閇-1,1].....(5分)記該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x),則在(-1,1)上?,密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線S(x)=2arctansds=2xarctanx-ln(1+x2),x∈(-1,1).由于S(x)在收斂域上連續(xù)?所以S(x)=2arctansds=2xarctanx-ln(1+x2),x∈[-1,1].,,56得分評(píng)閱人五、(本題14分)設(shè)f(x)在[0,1]上可導(dǎo)且f(0)>0,f(1)>0,,01f(x)dx=0.得分評(píng)閱人(1)f(x)在[0,1]上至少有兩個(gè)零點(diǎn);(2)在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f/(ξ)+3f3(ξ)=0.證明.(1)首先我在(0,1)上至少存在一點(diǎn)x0使得f(x0)<0.否則若對(duì)于任意的x∈[0,1],f(x)>0.f(x)連續(xù)且不恒為零?故,01f(x)dx>0.與題設(shè)矛盾.其次?因?yàn)閒(x)連續(xù)?在區(qū)間[0,x0]和[x0,1]上分別應(yīng)用零點(diǎn)定理知?存0),ξ2(2)令F(x)=f(x)e,0x3f2(s)ds,則F在[0,1]上連續(xù)?(0,1)上可導(dǎo)且F(ξ1)=F(ξ2)=0.由羅爾定理?存在ξ∈(ξ1,ξ2)C(0,1)使得F/(ξ)=0.又F/(x)=(f/(x)+3f3(x))e,0x3f2(s)ds,所以f/(ξ)+3f3(ξ)=0.......(14分)姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專(zhuān)業(yè):得分評(píng)閱人,六、(本題14分)設(shè)f(x)在[0,1]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專(zhuān)業(yè):得分評(píng)閱人,f2(x)dx≤4(1—x)2jf,(x)j2dx,并求使上式成為等式的f(x).解答.由分部積分法密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,由Cauchy積分不等式,有于是f2(x)dx≤4(1—x)2jf,(x)j2dx.,等式成立時(shí)應(yīng)有常數(shù)c使得(1—x)f,(x)=cf(x).因此當(dāng)x∈(0,1