2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)2-2基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 （專題分層練）解析版

專題驗(yàn)收評(píng)價(jià)

專題2-2基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

內(nèi)容概覽

A-常考題不丟分

一.幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域（共6小題）

二,幕函數(shù)的圖象（共2小題）

三,指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域（共1小題）

四,指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（共1小題）

五,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共6小題）

六.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域（共1小題）

七,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（共2小題）

A.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)（共2小題）

九.反函數(shù)（共1小題）

一十.函數(shù)的零點(diǎn)（共2小題）

一十一.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理（共1小題）

一十二.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系（共11小題）

一十三.函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用（共2小題）

一十四.分段函數(shù)的應(yīng)用（共6小題）

一十五.根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型（共6小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）（18題）

C?挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分（14題）

A??？碱}不丟分、

黑函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域（共6小題）

I.（2023?黃浦區(qū)模擬）設(shè)，隹R,若幕函數(shù)），=乂黯-2/1定義域?yàn)镽,且其圖像關(guān)于軸成粕對(duì)稱，則機(jī)

的值可以為（）

A.1B.4C.7D.10

【分析】幕函數(shù)），=乂血2-2/1（mER）的圖像關(guān)于），軸對(duì)稱說明幕函數(shù)為偶函數(shù)，由此判斷可得〃［的

值.

【解答】解：由于鼎函數(shù)），=工公-2/1（〃匯R）定義域?yàn)镽,且圖像關(guān)于），軸對(duì)稱，故某函數(shù)是偶函數(shù)，

且n?-2m+l=（m-1）2為正的偶數(shù),

則〃?的值可以為7.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了事函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知轅函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（2,4）,則它是偶函數(shù).（判斷奇偶性）

【分析】由已知先求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性即可判斷.

【解答】解：設(shè)/（x）=K,

則f（2）=2。=4,

所以4=2,/（X）為偶函數(shù).

故答案為：偶.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了鬲函數(shù)解析式的求解及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）當(dāng).詫［〃，+8）時(shí)，基函數(shù)的圖像總在萬的圖像上方，則。的取值范圍

JA

為（1,+8）.

【分析】根據(jù)題意，解不等式>2>乂萬得出從而得出當(dāng)?隹（1，+8）時(shí)，轅函數(shù)），=7的圖像

總在y=xE的圖像上方，然后卻可求出〃的取值范圍.

【解答】解：由〉2>乂萬得，/>%>。，解得x>1，

???當(dāng).隹（1,+8）時(shí)，累函數(shù)的圖像總在5的圖像上方，此時(shí)爛口，-Foo）,

?">1,

工〃的取值范圍為：（1,+8）.

故答案為：（1，+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)/G）在g（x）的圖象上方時(shí)，滿足/（x）>g（X）,考查了計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

4.（2023?寶山區(qū)一模）若幕函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（相，3），則此幕函數(shù)的表達(dá)式為.

【分析】由題意，利用暴函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得a的值，從而得出結(jié)論.

【解答】解：???轅函數(shù)）二廿的圖像經(jīng)過點(diǎn)（加，3），

***（V5）=3，?'?a=3,

則此暴函數(shù)的表達(dá)式為），=9.

故答案為：），=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查哥函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）己知哥函數(shù)），=/（x）的圖像過點(diǎn)。（2,8）,則函數(shù)y=/（x）-x的零點(diǎn)為

0,1,-1.

【分析】設(shè)轅函數(shù)解析式，求解函數(shù)解析式，解方程即可得函數(shù)函數(shù)），=/（x）■%的零點(diǎn).

【解答】解：設(shè)嘉函數(shù)/（幻=N,因?yàn)楹瘮?shù)y=/（x）的圖像過點(diǎn)P（2,8）,

所以8=2%解得a=3

所以/（x）=/,

則函數(shù)），=/（、）?x的零點(diǎn)為方程/（x）?x=4?x=x（f-1）=0的根，

解得x=（）或犬=±1,

所以函數(shù)y=/（x）-%的零點(diǎn)為0,1,-1.

故答案為：0,1,-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了某函數(shù)解析式的求解?，還考查了函數(shù)零點(diǎn)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2023?黃浦區(qū)二模）若函數(shù)y=f的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,16）與（3,〃?），則小的值為81.

【分析】把點(diǎn)（2,16）代入函數(shù)解析式求出。的值，再把13,加）代人即可求出〃?的值.

【解答】解：???函數(shù)尸廿的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,16）與（3,機(jī)），

216

A/",解得卜=4,

,3a=mlm=81

即用的值為81.

故答案為：81.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了暴函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

二,黑函數(shù)的圖象（共2小題）

m

7.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示是函數(shù)丫=乂"（〃?，〃均為正整數(shù)且加，〃互質(zhì)）的圖象，則（）

A.M〃是奇數(shù)且典＜1

n

B.〃?是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且&＜1

it

C.機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且典＞1

n

D.〃?，〃是奇數(shù)，且典＞1

n

JTt

【分析】由箱函數(shù)性質(zhì)及0V.TV1時(shí)兩圖象的位置關(guān)系可知?jiǎng)t＜］；由圖象可知了:/7為偶函數(shù)，進(jìn)而

確定m,n的特征.

m

【解答】解：由幕函數(shù)性質(zhì)可知：y=與y=x恒過點(diǎn)°，1），即在第一象限的交點(diǎn)為（1，1），

m

當(dāng)oqvi時(shí)，3＞乂，則則＜1，

n

m

又y=X^圖象關(guān)于）'軸對(duì)稱，

m

???丫=乂驍為偶函數(shù)，

m_____

（-X）n=d（-X）m=xn=,

又〃?，〃互質(zhì)，

???，〃為偶數(shù)，〃為奇數(shù).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了尋函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬「基礎(chǔ)題.

8.（2023?寶山區(qū)校級(jí)三模）已知哥函數(shù)），=/（「的圖象過點(diǎn)8），則/（-2）=_J-_

【分析】設(shè)出曷函數(shù)的解析式，由圖象過（-1,8）確定出解析式，然后令x=-2即可得到了（?2）的

值.

【解答】解：設(shè)/（x）=/,因?yàn)槿瘮?shù)圖象過,8），

則有8=（￡）a,：,a=-3,即/（x）=x3,

-2）=（-2）-3=-1

8

故答案為：

8

【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求暴函數(shù)的解析式.會(huì)根據(jù)自變量的值求幕函數(shù)的函數(shù)值.

三,指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域（共1小題）

9.（2023?奉賢區(qū)校級(jí)三模）點(diǎn)尸（2,16）、Q（log23,r）都在同一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖像上，則尸9.

【分析】將點(diǎn)P代入指數(shù)函數(shù)），="（。>0）得再將點(diǎn)。代入，可得九

【解答】解：設(shè)這個(gè)指數(shù)函數(shù)為3，="

過點(diǎn)尸（2,16）,則有16=/,??“=4,

x

：.y=4f函數(shù)過點(diǎn)Q（10g23,r）>

［由田，log,3log.9

則有t=42=44=9n.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

四.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（共1小題）

10.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知OVoVl,b<-1,則函數(shù)y=/+〃的圖象必定不經(jīng)過（）

A.第一?象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】先考查y=/的圖象特征，/（“）的圖象可看成把），="的圖象向下平移->（

個(gè)單位得到的，即可得到/G）=/+b的圖象特征.

【解答】解：TOVoVl,b<-1,

???），=〃的圖象過第一、第二象限，且是單調(diào)減函數(shù)，經(jīng)過（0,i）,

f（x）=/+〃的圖象可看成把y="的圖象向下平移（-/?>1）個(gè)單位得到的，

故函數(shù)/（x）="+A的圖象

經(jīng)過第二、第三、第四象限，小經(jīng)過第一象限，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象的變換，指數(shù)函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

五.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共6小題）

11.（2023?上海模擬）若12a=3“=〃?，且工」=?,則加=2.

ab

【分析】先把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【解答】解；:12"=3，=，〃，.*.a=logi2/?F?Z?=log3〃1,

.1_1_

loga-2-Iog/w3=logm4=2,

ablog12mlog31n

.*.AZ/2=4,

又?.?m>0,

/?in—2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，考杳了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬)在財(cái)務(wù)審計(jì)中，我們可以用“本?福特定律”來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否造假.本?福

特定律指出，在一組沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)(均為正實(shí)數(shù))中，首位非零的數(shù)字是1?9這九

個(gè)事件不是等可能的.具體來說，隨機(jī)變量X是一組沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則

p(x=k)=lgk±L,k=l,2,…，g.則根據(jù)本?福特定律，首位非零數(shù)字是1與首位非零數(shù)字是8的

概率之比約為6(保留至整數(shù)).

【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.

P(X=1)=lg2二lg2=]g2___________0.301

【解答】解：由題意可得:P(X=8)=19=lg9-lg8=21g3-31g2^2X0.477-3X0.301

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬)方程/g(-2.V)=lg(3-A-2)的解集為3尸-11

f-2x=3-x2

【分析】依題意得到,-2x>0,解得即可.

3-X2>0

【解答】解：因?yàn)?g(-2t)=lg(3-?),

o

-2x=3-x^

則J-2x>0，解得x=-l,

3-X2>0

所以方程/g(-2A-)=lg(3-A-2)的解集為{.很=-1}.

故答案為：{x|x=?l}.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2023?閔行區(qū)二模)若實(shí)數(shù)X、y滿足蜘=/〃、y=10''m,則xy=10.

【分析】先把對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式求出X，再利用有理數(shù)指數(shù)察的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【解答】解：???實(shí)數(shù)X、y滿足如=，〃、y=\Oi'm,

：.x=S

io】F=10.

故答案為：io.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查了有理數(shù)指數(shù)索的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2023?靜安區(qū)二模）若10'-10'=10,其中％,yWR,則的最小值為1+2也2.

【分析】由題意可知10'=10V+10,再利用基本不等式求解即可.

【解答】解：???18-18'=10,

A1QV=1QV+1O>2V10rlO=WlO^1,當(dāng)且僅當(dāng)13=1°，即y=l時(shí)，等號(hào)成立，

兩邊平方得：山，

2X

???10,24,即10左y124,

io一

2.v-y-\21g4,

2.v-y^\+lg4=1+2lg2,當(dāng)且僅當(dāng)），=1,x=l+/g2時(shí)，等號(hào)成立，

即2x-），的最小值為1+2妒.

故答案為：1+2/&2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）若實(shí)數(shù)〃且log疝+log/=12,則3歷。■/泌=0.

3

【分析】利用換元法得到一元二次方程求出1。=3,再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則求解.

【解答】解1,，10g肪>1,設(shè)10g4/?=/,

*.*log?/>+log/x/=,

3

.?〃+▲=蛇，即3Z2-10/+3=0,

t3

V/>1,???/=3,

log?/?=3,?*.b=a'>

3Ina-bib=3Ina-lna^=3lna-3/〃〃=0,

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解法，對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則，屬于中檔題.

六.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域(共1小題)

17.(2023?浦東新區(qū)三模)函數(shù)y=/g(1+x)-/.?(x-1)的定義域是(1,+b).

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

【解答】解：由題意得

x-l>0

解得x>1.

故答案為：(1,+8)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時(shí)應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題

目.

七,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(共2小題)

18.(2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模)已知/(x)=2lgx-I,g(x)=2收x-3,若|/(x)|+|g(x)|=|y(x)+g(x)

I，則滿足條件的x的取值范圍是(0,T3|U|1(W75,+8).

【分析】由題意，分類討論，去掉絕對(duì)值，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的組象和性質(zhì)，求得式的范圍.

【解答】解：V/(x)=2/gx-l,g(x)=2蜘-3,???/(■=g(A)+2,

V|f(x)|+|g(x)\=\fCx)+g(x)I，即|g(x)+2|+|g(x)\=\2g(x)+2|,

^\2lgx-l|+|2fex-3|=4Xfex-1|,

lsx<i①，或[系引<1②或

l<lgx<y

l-21gx+3-21gx=4-41gxI21gx-1+3-21gx=4-41g>21gx-l+3-21gx=41gx-4

③；或廣豈“2?.

21gx-l+21gx-3=41gx-4

由①可得妙〈」?；由②可得姐=」?；由③可得如無解；由④可得如2旦.

222

綜上，可得如或姐》|，求得OVxWjlU或x>lo/10,

故滿足條件的x的取值范圍是(0,ViO]u[io7io,+8).

故答案為：(o,VlOlunoVlO,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題.

19.(2023?普陀區(qū)二模)設(shè)〃>0且arl,若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=k>g“(or+2)與y=log”

二一的圖像于直線/對(duì)稱，則/與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(?」，0).

2x+a2

【分析】根據(jù)兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線/對(duì)稱，再結(jié)合底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，

可求得4,可得出答案.

【解答】解：y=log〃---=-logu（2x+ti）=log<（2x+a）,

2x+a；

因?yàn)楹瘮?shù)y=log?（ax+2）與）：=log]（2x+a）的底數(shù)互為倒數(shù)，

a

函數(shù),v=log?（ar+2）與y=log1（2x+a）的圖像關(guān)于直線/對(duì)稱，

a

所以函數(shù)），=log”（ar+2）與）=logi（2r+a）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，

a

即直線/為K軸，

所以《x+2=2x+a,所以a=2,

則兩個(gè)函數(shù)分別為y=log2⑵+2）,y=log]（2x+2）,

~2

令log2（2x+2）=0,log1（2x+2）=0,得2x+2=l,解得x=-2，此時(shí)y=0,

萬2

所以/與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（-?1.0）.

2

故答案為：（-」?，0）.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.

八.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)（共2小題）

20.（2023?上海模擬）不等式/g（x-1）<1的解集是一（1,11）.（用區(qū)間表示）

【分析】由不等式可得可得0<x-1V10,從而求得不等式的解集.

【解答】解：由/g（x?l）VI,可得0Vx-lV10,求得IVxVU,故不等式的解集是（1,11）,

故答案為（1,11）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔

題.

21.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）函數(shù)/（X）=21og?（2r-1）+1（a>0且aWl）的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)

P的坐標(biāo)為（1,1）.

【分析】由/（I）=1即可得解.

【解答】解：已知函數(shù)/（x）=21o/（2i1）+1（a>0且。為），

令2x?1=1,

即x=l,

則/⑴=1,

即函數(shù)/（x）=21ogtf（2A-1）+1（t/>0且）的圖象恒過定點(diǎn)P（1,1）?

故答案為：（1,1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

九.反函數(shù)（共1小題）

22.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)一模）設(shè)函數(shù)＞=/（x）=2'+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,5）,貝Iy=/（x）的反函數(shù)

（X）=10g2（X-1）.

【分析】由/（2）=5,解得c=l,得y=/（x）=231,然后反解x后，對(duì)調(diào)x與/（%）可得.

【解答】解：依題意有：/（2）=22+C=5,解得：c=\,所以f（x）=2"1,

.*.2X=f（X）-1,X=log2（/（x）-1）?.*./1（x）=log2（X-1）

故答案為：log2（X-1）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù).屬基礎(chǔ)題.

一十.函數(shù)的零點(diǎn)（共2小題）

23.（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)立R,求方程|x-2|+2t-3|=|3x-5|的解集_（-8,-1]|J[2,+8

2

【分析】利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值，分類討論，分別求解即可.

【解答】解：當(dāng)X4微■時(shí)，則方程為2T+3-2X=5-3X,解得X〈日;

當(dāng)?shù)紉＜區(qū)時(shí)，貝U方程為2-X+2X-3=5-3X,解得犬=與，舍去；

2X32

當(dāng)$＜x＜2時(shí)，則方程為2-X+2X-3=3X-5,解得X=2,舍去；

3

當(dāng)x22時(shí)，則方程為x-2+2.3—3%-5,解得.Q2.

綜上所述，方程的解集為（-8,旦]U[2,+8）.

2

故答案為：（-8,2]U[2,+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含有絕對(duì)值得方程的求解，解題的關(guān)鍵是利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值，考查了邏

輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

24.（2。23?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知{Hr2-nzr+/7=0}={I},則〃!+〃=3.

【分析】轉(zhuǎn)化為方程7-，心+〃=0有兩個(gè)等根1,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解結(jié)論.

（解答]解：???{小2-M+〃=0}={I},

???方程,-加+〃=0有兩個(gè)等根1,

，1+1=加且1X1=〃,

可得〃?=2,n=19

???，〃+〃一3?

故答案為；3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

一十一.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理（共1小題）

25.（2023?閔行區(qū)二模）已知=cos2x-asinx,若存在正整數(shù)〃，使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0,rm）

內(nèi)有2023個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃所有可能的值為（）

A.1B.-IC.0D.I或-1

【分析】令/=sin.v€[-l,1],2r+at-1=0,分析可知該方程一定有解1或?1,然后分其中一解為1

和其中一解為-1,討論即可.

【解答】解：f（x）=-2sin2x-asinx+1,令r=sinx€[?1,I],則2內(nèi)皿-1=0,

當(dāng)/工土1時(shí)，/=shu?在半個(gè)周期內(nèi)必有偶數(shù)個(gè)解，即在（0,內(nèi)必有偶數(shù)個(gè)解.，不合題意，

則iP+at-1=0一定有解1或-1,

當(dāng)其中一解為1時(shí)，易知另一解為二，此時(shí)在（0,n）內(nèi)共有1個(gè)零點(diǎn)，在（m2n）內(nèi)共有2個(gè)零

2

點(diǎn)，

一個(gè)周期（0,2n）內(nèi)共有3個(gè)零點(diǎn)，

又2023=674X3+1,則當(dāng).=674X2+1=1349是滿足題意,此時(shí)a=7滿足題意：

當(dāng)其中一解為-1時(shí)，易知另一解為』，此時(shí)（（），TT）內(nèi)共有2個(gè)零點(diǎn)，在（n,2TT）內(nèi)共有1個(gè)零點(diǎn)，

2

一個(gè)周期（0,2TT）內(nèi)共有3個(gè)零點(diǎn)，

又2023=674X3+1,則此時(shí)不存在正整數(shù)’?滿足題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)以及正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查分類討論思想以及運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

一十二.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系（共H小題）

_?^—9Yn

26.（2023?徐匯區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（式）=X乙"現(xiàn)有如下命題，①若方程f（x）=，有四個(gè)不

Ilnx|,x>0

同的實(shí)根XI、X2、用、M則X|,X2?WX4的取值范圍是（0,1）：②方程f2（X）-（a4）f（x）+l=0

a

的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1,2,3,8.下列判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題

B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題

D.①為假命題，②為真命題

【分析】首先畫出函數(shù)y=/(x)的圖象.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得M+X2=-2,根據(jù)|仇0=也別得心

X4=h從而求得XrX2XX4的取值范圍，進(jìn)而判斷出命題①的真假；先根據(jù)方程求出/(X)的根，再

對(duì)根的大小分類討論，并結(jié)合)，=/(外的圖象判斷出根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而判斷出命題②的真假.

【解答】解：當(dāng)xWO時(shí)，/(/)=-?-2v,圖象為拋物線的一部分，拋物線開口向.卜，對(duì)稱軸為工=

-I,頂點(diǎn)為(-1,I),過(-2,0)和(0,0)；

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=|/m|,圖象過(1,0),如圖所示.

對(duì)于①，當(dāng)方程/(/)=。有四個(gè)不同的實(shí)根川、X2、工3、X4時(shí)，不妨假設(shè)XIVX2<X3<X4,

則OV〃V1,-2<X|<-1<.￥2<0<X3<1<X4<^，且X|+X2=-2,|/，次3|=|/幾詞，

所以■/〃X3=lnX4，所以X3-X4=1.

221

因止匕XIX2X3X4=X1X2=(-2-X2)X2=X2X2++1-1<A-2<O,

所以MXX3X4W(0,I),故①為真命題.

對(duì)于②，力程f2(x)一(a+-)f(x)+1=0等價(jià)卜(f(x)-a)(f(x)—)=餌值。，圻以7(x)二

aa

a或f(x)

a

當(dāng)時(shí)，o<—<V由y=f(x)的圖象得/(X)=。有2個(gè)不同實(shí)根，f(x)△有4個(gè)不同實(shí)

aa

根，故原方程有6個(gè)不同實(shí)根；

當(dāng)〃=1時(shí)，J^=a=1,由y=/(x)的圖象得/(幻=1有3個(gè)不同實(shí)根，故原方程有3個(gè)不同實(shí)根；

a

當(dāng)OV〃V1時(shí)，工>],由y=/(x)的圖象得八幻=。有4個(gè)不同實(shí)根，f(乂)」有2個(gè)不同實(shí)根，

aa

故原方程有6個(gè)不同實(shí)根；

當(dāng)。=?1時(shí)，上二a二-l，由)=/(x)的圖象得/(x)=-1有1個(gè)實(shí)根，故原方程有1個(gè)實(shí)根；

a

當(dāng)aVO且。工?1時(shí)，a*：工<0且工產(chǎn)-1，由y=/(x)的圖象得/(x)=。有1個(gè)實(shí)根，f(x)」

aaa

有1個(gè)實(shí)根，故原方程有2個(gè)不同實(shí)根;

綜上所述，方程f2(x)-(a」)f(x)+l=o的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)可能是1，2,3,6.

a

故②為假命題.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

27.(2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬)已知而(e,+~),則函數(shù)/(x)=出幾計(jì)依?工夕的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.IC.2D.3

【分析】求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論/(x)單調(diào)性，確定其最大值為正，再借助零點(diǎn)存在性

定理推理作答.

【解答】解：函數(shù)/(“)=?/外+辦【田定義域?yàn)?0,+8),

求導(dǎo)得：f(x)=(x+1)(―-ex),令g(x)=且-",x>0,

XX

顯然g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

而a>e,g(a)=1--Y0,g(1)=a-e>0,

則存在加E(1,。)，使得g(xo)=0,即」-=「0,

x0

當(dāng)OVxVxo時(shí)，g(x)>0,f(x)>0；當(dāng)x>xo時(shí)，g(x)<0,f(x)<0,

因此，f(x)在(0,xo)上單調(diào)遞增，在(刈，+8)上單調(diào)遞減，

x

f(JI)ma,x=f(.ro)=alrixo+axc-xoe0=a(bixo+xo-1)>0,

1Iaaa

而/(—)=aln—+\--=-abia+\--<-a+\-—<0,

aaaaa

則存在xie(A,xo),使得/(xi)=0,

a

即/(x)在(0,刈)上存在唯一零點(diǎn)，

又/(a)=a(lna+a-,

令〃(x)=btx+x-ex,x>e,

則"(x)=A+i-^<0,

x

則/?(x)在(e,+°°)上單調(diào)遞減，Yx>e,h(x)<h(e)=1+^-ee<l+e-e2<0,

于是得/'(a)<0,則存在X26(xo>a),使得/(%2)=0,

即f(x)在(刈，+8)上存在唯一零點(diǎn)，

綜上得：函數(shù)/(x)=abvc+aj：-工2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，并結(jié)

合零點(diǎn)存在性定理，分析解決問題，屬于中檔題.

28.(2023?寶山區(qū)校級(jí)三模)若存在實(shí)數(shù)使得x=\是方程(x+a)2=3X+〃的解，但不是方程

(x+a)=V3x+b的解,則實(shí)數(shù)L的取值范圍是(-3,+8).

【分析】根據(jù)工=1是(x+a)2=3x+〃的解，不是1+。=每后解直接可得.

【解答】解：由題意知，(1+°)2=3+4且a+iwj菰，故后E=-(1+?),顯然從320,即62

-3,

若人=-3,此時(shí)顯然不滿足題意，

故左(-3,+8).

故答案為：(?3,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

T,x>0

29.(2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬)定義符號(hào)函數(shù)sgn(x)=<0,x=0,則方程

-1,x<0

(1+sgn(x))Tog?|x|+(l-sgn(x))?2、=1的解集為—■二.)一,

【分析】由(1+sgn(x))?logo|x|+(1-sgn(x))?2X=1,可得"(-8，0)U(0,+°°)?按

照分段函數(shù)分類討論即可.

X

【解答】解：由方程(1+sgn(x))*10§9Ix|+(1-sgn(x))?2=T可得人w(-8,o)u(0,

+8),

當(dāng)x>0時(shí)，原式等價(jià)于210gzr+O=l,log”=￡,x=22=V2；

當(dāng)xVO時(shí)，原式等價(jià)于0+2X2x=l,即2rH=1,x+l=0,上=?1,

故答案為：｛-1，V2｝.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了對(duì)?數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

30.(2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)若/(x)的值域?yàn)椋?,1,2],則g(x)=(/(x)-x)(/(x)-2x)至

多有4個(gè)零點(diǎn).

【分析】分別代入/(x)=0、/(x)=1.f(x)=2,求出g(x)=0的解.，即可得出答案.

【解答】解：當(dāng)/(工)=0時(shí)，g(x)=21,

由g(x)=0可得，x=0；

當(dāng)=1時(shí)，g(x)=(A-1)(2r-1),

由g(x)=0可得，x=1或~；

x2

當(dāng)/(%)=2時(shí)，g(x)=2(x-1)(x-2),

由g(x)=0可得，x=\或x=2.

綜上所述，g(x)的零點(diǎn)可能是x=0或x=I或了」>或K=2.

x2

所以，g(r)的零點(diǎn)至多有4個(gè).

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

'cos(2兀x-2兀a),x<a

31.(2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模)設(shè)於R,函數(shù)f(x)499、，若函數(shù)/(x)在區(qū)間

xz-2(a+1)x+az+5,x>a

(0,+8)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是_(~1,冬u(2,今一

【分析】由/-2(d+I)x+a2+5=O最多有2個(gè)根，可得cos(2TLV-2mz)=0至少有4個(gè)根，分別討

論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮求解即可.

【解答】解：.1?2(a+1)x+/+5=0最多有2個(gè)根，所以cos(2iu-2na)=0至少有4個(gè)根由

27lx-2Ha=—+kH,kEZ，

可得x^T+a,k€

由0<￡弓+&<a"^W-2a-

時(shí)，當(dāng)一54-2a-工<7時(shí)，/<.)有4個(gè)零點(diǎn)，即工<a<2

244

當(dāng)-64-2a-.<-5,f(%)有5個(gè)零點(diǎn),畔《《今;

乙XX

當(dāng)-74/(X)有6個(gè)零點(diǎn)，即a<￥>；

當(dāng)時(shí),f(x)=)?-2(〃+l)r+/72+5.

A=4(a+1)2-4(?2+5)=8(a?2),

當(dāng)aV2時(shí)，△VO,/(x)無零點(diǎn)；

當(dāng)〃=2時(shí)，A=0,/(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

2

當(dāng)a>2時(shí)，令/(a)-2a(。+1)x+a+5=-2a+520,貝U2Va<—?

2

此時(shí)/(x)有2個(gè)零點(diǎn);

所以若a2時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)?

2

綜上，要使/(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn),

f7<<a<<9

74p4

則應(yīng)滿足<或，或《44

2<a=2或a>￡a<2

乙

則可解得4的取值范圍是：($,且］U(2,9］.

244

故答案為：得，手］U(2,

乙士*x

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

32.(2023?浦東新區(qū)模擬)已知關(guān)于x的方程>2-^=0有唯一實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為_匚

8,-2)U(2,+8).

ee

【分析】由已知可得-，=1倉，令/J)=［倉，可得f(x)為奇函數(shù)，研究函數(shù)在xAO時(shí)的單

x

調(diào)性，可求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

2

【解答】解：由乂2」一二0,可得/=-如=/心2,???-。=紅互_

6axX

令/(x)=皿:可得/(X)為奇函數(shù)，

X

12

-yX2xXx-lnx9

若x>0,/(A)=紅2_,f(x)x，2-lnx

Xx2x2

當(dāng)x>e時(shí)，/(%)<0,當(dāng)OVxVe時(shí)，f(x)>0,

,V(%)在(e,+°°)上單調(diào)遞減，f(X)在(0,e)上單調(diào)遞增,

.??-心2,2

???J(X)??ar=-?a<—,

eee

同理可"得x<()時(shí)，-々V--2,，2,

e

???關(guān)于人的方程乂2」^=0有唯?實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)d的取值范圍為（-8,-2）u（-2,十8）.

ee

故答案為：（?8,-2）u（2,+8）.

e

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

33.（2023?閔行區(qū)二模）若關(guān)于x的方程1nM7］在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

［-2,+8）.

【分析】根據(jù)題意，將方程（■|）乂+1ns五變形可得〃『五互-（1）\設(shè)/J）=V7H-（1）

\xe［-1,+8）,分析可得直線y=〃z與函數(shù)/（x）-（2）》的圖象有交點(diǎn)，分析/（x）的單

2

調(diào)性，求出其最小值，由此分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，方程變形可得〃?=后1?端尸，

設(shè)f（x）=Vx+l-C-）xe［-i,+8）,

2

若X的方程停）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，則直線y=〃?與函數(shù)/（外=V^+1-的圖象

有交點(diǎn),

函數(shù)），="x+l在區(qū)間［-1,+8）上為增函數(shù)，），=（"1）”在［-1,+OO）上為減函數(shù),

2

則函數(shù)/（X）=7X+1-（』）X在［-1,+8）上為增函數(shù)，

2

則/（X）＞/（-1）--2,

若直線y=〃?與函數(shù)/（x）=/7日-（工）、的圖象有交點(diǎn)，必有m2-2,即加的取值范圍為［-2,

2

+8）.

故答案為：［-2,+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的值域，屬于中檔題.

34.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）若關(guān)于x、y的方程組（x+2y=4無解，則實(shí)數(shù)〃=6.

3x+ay=6

【分析】把方程組1"+2y=4無解轉(zhuǎn)化為兩條直線無交點(diǎn)，然后結(jié)合兩直線平行與系數(shù)的關(guān)系列式求得

3x+ay=6

a值.

【解答】解：若關(guān)于x、y的方程組,"2尸4無解,

3x+ay=6

說明兩直線x+2y-4=0與3戶緲-6=0無交點(diǎn).

lX-3X2=0

則，a解得：A=6.

IX(-6)-3X(-4)^0

故答案為；6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

35.（2023?虹口區(qū)校級(jí)三模）若存在實(shí)數(shù)。及正整數(shù)〃，使得f（x）=cos2x-asiM在區(qū)間（0,5）內(nèi)恰

有2022個(gè)零點(diǎn)，則所有滿足條件的正整數(shù)〃的值共有5個(gè).

【分析】由二倍角公式可得/（工）=-2sin2x-tzsint+1,由A>0,可得方程2尸+<〃-1=0有兩不等實(shí)

根，”，⑵（假設(shè)力>[2）,由韋達(dá)定理可得"/2=-2V（）,于是有人>0>/2,分/2<-I、k=-1、-

2

IV/2Vo三種情況，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：由題意可得f（x）=-2sin2x-asiiiv+1,

令f（x）=0,siiu=3則有2尸+<"-1=0,

因?yàn)锳=J+8>0,

所以方程2p+〃L1=0有兩不等實(shí)根，八，a,（假設(shè)力>/2）,

則有t\+tj=-n/?=-A<0,

22

所以/1>0>/2?

當(dāng)/2<?1時(shí)，則有一個(gè)周期271內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，

易知”=2（）22或“=2021；

當(dāng)/2=-1時(shí)，則有一個(gè)周期2n內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，

2

則需要空空=674個(gè)周期，即〃=674X2=1348；

3

當(dāng)-1V/2<O時(shí)，此時(shí)將/=-1代入），=2尸+”-1,得2-4-A0,解得〃VI,

①當(dāng)-IVaVI時(shí)，此時(shí)0VAV1,則一個(gè)周期如內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，

則需要22^1=505+。，即〃=505X2+1=1011；

42

②當(dāng)4