北京市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題含解析

Page16北京市2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期月考試卷高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)長：120分鐘）一、選擇題（每題4分，共10題）1.在中，，則∠A=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)及特殊角的函數(shù)值得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性判斷即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，A是；對(duì)于B，函數(shù)是偶函數(shù)，B不是；對(duì)于C，函數(shù)是奇函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，取最大值，則在上不單調(diào)，C不是；對(duì)于D，函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，D不是.故選：A3.在下列函數(shù)中，以π為周期的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)性質(zhì)逐一確定周期.【詳解】對(duì)于A：的周期，錯(cuò)誤；對(duì)于B：，其周期，正確；對(duì)于C：的周期，則的周期，錯(cuò)誤；對(duì)于D：，其周期，錯(cuò)誤.故選：B4.一個(gè)扇形的弧長為，面積為，則此扇形的圓心角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式求出扇形所在圓半徑，再利用弧長公式求解即得.【詳解】設(shè)扇形所在圓半徑為，于是，解得，所以此扇形的圓心角.故選：C5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意利用的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象；再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.故選：A.6.在中，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等腰三角形性質(zhì)，借助二倍角公式計(jì)算即得.【詳解】在中，，則，而，所以.故選：C7.在中，“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】在中，由，得為銳角，為銳角，當(dāng)為銳角時(shí)，，即，則，當(dāng)為鈍角時(shí)，，即，則，因此命題“若，則”是假命題；當(dāng)時(shí)，，有，則，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B8設(shè)函數(shù)，則可斷定函數(shù)（）A.最小正周期π，奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增B.最小正周期為π，偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減C.最小正周期為，奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增D.最小正周期為，偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)定義、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)判斷得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然，即函數(shù)是偶函數(shù)，排除AC；又，即函數(shù)的周期是，而，當(dāng)時(shí)，無意義，則不是的周期，因此的最小周期是，排除D；函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確.故選：B9.已知函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定表格中數(shù)據(jù)，結(jié)合單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心，函數(shù)的周期，再利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解即得.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，得函數(shù)的周期，又，且，于是得圖象的一條對(duì)稱軸為，又，，于是得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，而，，因此，，，顯然，解得，而，則，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意，所以.故選：A10.設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則周長的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出角的范圍，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等變換得，最后得到周長表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到范圍.【詳解】因?yàn)椤鳛殇J角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹驼叶ɡ淼?，由，即，所以，令，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值域?yàn)椋瑒t的周長的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化得到周長關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求最值.二、填空題（每題5分，共6題）11.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】，，即.故答案為：.12.在中，，，，則______；邊______．【答案】①.②.【解析】【分析】先利用正弦定理求，再用余弦定理求.【詳解】因?yàn)?，則，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，由余弦定理，解得，負(fù)值舍去.故答案為：；.13.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)在角的終邊上．若，則x=______；=______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)給定信息，利用正切函數(shù)的定義求出，再利用正弦函數(shù)的定義求出.【詳解】依題意，，解得，因此，角的終邊過點(diǎn)，于是，.故答案為：；14.設(shè)函數(shù)．則=______；函數(shù)的最小值為______．【答案】①.②.##【解析】【分析】先化簡，然后計(jì)算，換元，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】，則，令，則，對(duì)稱軸為，故最小值為.故答案為：；.15.對(duì)于函數(shù)，滿足“，都有，”，且，則=______．【答案】1【解析】【分析】確定函數(shù)周期性，然后賦值求解.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，由得，即，又，所以，所以.故答案為：16.設(shè)是單位圓的一條直徑，的頂點(diǎn)在該單位圓上，延長到（在線段），使得，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】由題意得到，根據(jù)邊和的范圍可設(shè)，，其中，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最大值即可.【詳解】是單位圓的一條直徑，的頂點(diǎn)在該單位圓上，，，，，故可設(shè)，，其中，則，，，，，的最大值為.故答案為：.三、解答題（共五小題，共80分）17.在中，．（1）求的大?。唬?）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角求出即可得解.（2）由（1）的結(jié)論，利用正弦定理求出，再利用三角形面積公式求解即得.小問1詳解】在中，由及正弦定理定理，得，而，則，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，而，，由正弦定理得，而，則，于是，,所以的面積.18.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）求證：；【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求定義域；（2）利用三角公式變形證明.【小問1詳解】令，得，即的定義域?yàn)椋弧拘?詳解】，，，所以.19.在中，．（1）求的大??；（2）若，求證：為直角三角形．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）在中，，結(jié)合降冪公式，化簡即可得到答案；（2）利用余弦定理，結(jié)合，化簡即可求證.【小問1詳解】由于在中，，則，所以，可化簡為：，即，因?yàn)?，所?【小問2詳解】由（1）知，根據(jù)余弦定理得：，由于，則，所以，則是以為直角的直角三角形.20.已知函數(shù)，在下列三個(gè)條件中，選擇可以確定和的值的兩個(gè)條件作為已知．條件①：的最小正周期為；條件②：的最大值與最小值之和為0；條件③：，（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值；（3）令，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）由條件①②③分別求出參數(shù)，再確定選擇的兩個(gè)條件求出函數(shù)解析式.（2）由（1）的結(jié)論，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.（3）由（1）求出及在指定區(qū)間上的值域，由不等式分離參數(shù)，用換元法后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出最值得的范圍.【小問1詳解】依題意，函數(shù)，條件①，，解得；條件②，，解得；條件③，，解得，顯然選擇條件①②或①③可以確定和的值，選擇條件①②，，選擇條件①③，.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在的最大值為1.【小問3詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，由，得，令，，則，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.21.如圖所示，在中，，，D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且．再從條件①、條件②、條件③條件①：；條件②：；條件③：．中選擇兩個(gè)使得三角形存在且解唯一，并求：（1）的值；（2）BE的長度；（3）四邊形BCED的面積．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）選條件①③，利用余弦定理結(jié)合已知判斷并求的值；選條件②③，利用同角公式及和角的正弦、正弦定理判斷并求的值；選條件①②，由正弦定理判定三角形解的情況即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理求出.（3）由（1）的結(jié)論，求出、的面積，作差可得出四邊形的面積.【小問1詳解】選條件①③，，，在中，，，由余弦定理得，即，整理得，解得或，而，則，于是存在且唯一，由正弦定理得.選條件②③，，，在中，，，則，