2023~2024學(xué)年江蘇南京高考數(shù)學(xué)押題試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（三模）一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)位于第四象限.故選：D.2．如圖，直線l和圓C，當(dāng)l從l0開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不超過(guò)90°）時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是A． B．C． D．【正確答案】D【分析】由題意可知：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，據(jù)此確定函數(shù)的大致圖像即可.【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求.故選D.本題主要考查實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3．已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出，即可求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，∴，又，所以，∴或（舍去），所以，所以在方向上的投影向量?故選：A.4．已知集合，若A，B均為U的非空子集且，則滿足條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．31 C．50 D．81【正確答案】C【分析】根據(jù)集合A中元素的個(gè)數(shù)分類討論，利用組合以及計(jì)數(shù)原理知識(shí)直接求解.【詳解】1°

A中有1個(gè)元素，4種情況，B有7種情況，此時(shí)有種情況；2°

A中有2個(gè)元素，種情況，B有3種情況，此時(shí)有種情況；3°

A中有3個(gè)元素，種情況，B有1種情況，此時(shí)有種情況.所以滿足條件的有序集合對(duì)一共有個(gè).故選：C.5．已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，另外六個(gè)數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為A．12 B．20 C．25 D．27【正確答案】D【分析】設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，列出關(guān)系式，因?yàn)樗鶎懗龅慕Y(jié)果對(duì)于的值不同所得的結(jié)果不同，所以要討論的三種不同情況．【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)字是，則平均數(shù)為，眾數(shù)是，若，則中位數(shù)為，此時(shí)，若，則中位數(shù)為，此時(shí)，，若，則中位數(shù)為，，，所有可能值為，，，其和為．故選．本題考查眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查未知數(shù)的分類討論，是一個(gè)綜合題目，這是一個(gè)易錯(cuò)題目．6．約翰·開(kāi)普勒是近代著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，有一次在上幾何課時(shí)，突然想到，一個(gè)正三角形的外接圓與內(nèi)切圓的半徑之比恰好和土星與木星軌道的半徑比很接近，于是他想，是否可以用正多面體的外接球和內(nèi)切球的半徑比來(lái)刻畫太陽(yáng)系各行星的距離呢？經(jīng)過(guò)實(shí)踐，他給出了以下的太陽(yáng)系模型：最外面一個(gè)球面，設(shè)定為土星軌道所在的球面，先作一個(gè)正六面體內(nèi)接于此球面，然后作此正六面體的內(nèi)切球面，它就是木星軌道所在的球面.在此球面中再作一個(gè)內(nèi)接的正四面體，接著作該正四面體的內(nèi)切球面即得到火星軌道所在的球面，繼續(xù)下去，他就得到了太陽(yáng)系各個(gè)行星的模型.根據(jù)開(kāi)普勒的猜想，土星軌道所在的球面與火星軌道所在球面半徑的比值為（

）

A． B．3 C． D．9【正確答案】C【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得內(nèi)接球的半徑，再由正四面體的外接球半徑求出正四面體棱長(zhǎng)，再由等體積法求正四面體的內(nèi)切球半徑即可得解.【詳解】設(shè)土星軌道所在球面半徑為R，內(nèi)接正六面體邊長(zhǎng)為a，則，∴，所以正六面體內(nèi)切球半徑，設(shè)正四面體邊長(zhǎng)b，外接球球心為，為底面中心，如圖，

正四面體中，，，在中，，則，，設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑，利用等體積法可得，解得，∴，故選：C.7．有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（兩側(cè)與頂部封閉），已知兩側(cè)走廊的高度都是6米，左側(cè)走廊的寬度為米，右側(cè)走廊的寬度為1米，現(xiàn)有不能彎折的硬管需要通過(guò)走廊.設(shè)可通過(guò)的最大極限長(zhǎng)度為l米（不計(jì)硬管粗細(xì)）.為了方便搬運(yùn)，規(guī)定允許通過(guò)此走廊的硬管的最大實(shí)際長(zhǎng)度為米，則m的值是（

）

A．7.2 B． C． D．9【正確答案】D【分析】先研究鐵管不傾斜時(shí)，令，建立，，利用導(dǎo)數(shù)求出；再研究鐵管傾斜后能通過(guò)的最大長(zhǎng)度.【詳解】如圖，鐵管不傾斜時(shí)，令，

，，，，.令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)通過(guò)最大長(zhǎng)度，∴，∴傾斜后能通過(guò)的最大長(zhǎng)度，∴.故選：D.8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：，且.若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由函數(shù)的性質(zhì)設(shè)，得到.由零點(diǎn)的定義得到，利用基本不等式和正弦函數(shù)的有界性求出a的值.【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：，且，不妨設(shè)滿足條件.此時(shí).令，即，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“＝”，當(dāng)時(shí)，，又，所以，此時(shí)要么沒(méi)零點(diǎn)，要么不僅一個(gè)零點(diǎn)，所以是的唯一零點(diǎn)，此時(shí)，解得，所以.故選：B.二、多選題9．已知m，n，l為空間中三條不同的直線，，，，為空間中四個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．若，，則B．已知，，，若，則C．若，，，則D．若，，，則【正確答案】BC【分析】對(duì)于A，由空間中的兩直線的位置關(guān)系判斷，對(duì)于B，由平面的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于C，由線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定方法分析判斷，對(duì)于D，在正方體模型中分析判斷.【詳解】，，則m與n可能平行，可能相交，也可能異面，A錯(cuò).因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋?，B對(duì).，，則，又，則，C對(duì).正方體中，設(shè)面為面ABCD，平面為面，面為面，面為面，則，，，但，D錯(cuò)，故選：BC.10．記A，B為隨機(jī)事件，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若事件A，B互斥，，，B．若事件A，B相互獨(dú)立，，，則C．若，，，則D．若，，，則【正確答案】BC【分析】對(duì)于A，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的性質(zhì)分析判斷即可，對(duì)于B，根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于CD，根據(jù)條件概率的公式和對(duì)立事件的性質(zhì)分析判斷.【詳解】，∴，A錯(cuò).，B對(duì).令，，，∴，，∴，，∴，C對(duì).，D錯(cuò)，故選：BC.11．已知雙曲線，直線l：與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí)，點(diǎn)之變化.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．點(diǎn)坐標(biāo)可以是 D．有最大值【正確答案】ACD【分析】聯(lián)立雙曲線和直線方程并根據(jù)有唯一公共點(diǎn)可得，可判斷A正確；利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線的直線方程可解得，，所以B錯(cuò)誤；易知，可知當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)坐標(biāo)可以是，即C正確；由可利用基本不等式得當(dāng)時(shí)，有最大值，即D正確.【詳解】對(duì)于A，聯(lián)立消y可得，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且，則，∴，∴，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由方程可得，則，∴，則的直線方程為，令，，令，，所以，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，則易知，若，則，，取，，即，所以C正確；對(duì)于D，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即D正確；故選：ACD12．三角函數(shù)表最早可以追溯到古希臘天文學(xué)家托勒密的著作《天文學(xué)大成》中記錄的“弦表”，可以用來(lái)查詢非特殊角的三角函數(shù)近似值，為天文學(xué)中很多復(fù)雜的運(yùn)算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函數(shù)值大小比較的問(wèn)題卻不一定要求出準(zhǔn)確的三角函數(shù)值，就比如下面幾個(gè)選項(xiàng)，其中正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】BC【分析】對(duì)于A，利用三角函數(shù)的性質(zhì)判斷出，，即可判斷；對(duì)于B，判斷出，即可判斷；對(duì)于C，令，，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可判斷；對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出，即可判斷，【詳解】對(duì)于A，∵，，∴，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，記，，則，記，，則，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，而，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，，所以，所以，，，故，故B正確；對(duì)于C，記，則，令，得；令，得；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意，都有，即恒成立，令，，所以，對(duì)于函數(shù)，，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，所以，故C正確，對(duì)于D，令，若，令，，由解得：，解得：，所以在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，所以，記，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所以，則，故D錯(cuò).故選：BC.方法點(diǎn)睛：比較大小類題目解題方法：（1）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（2）結(jié)構(gòu)不同的，尋找“中間橋梁”，通常與0、1比較.三、填空題13．設(shè)隨機(jī)變量，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)超幾何分布計(jì)算公式可得.【詳解】由隨機(jī)變量服從超幾何分布，可知3表示選出3個(gè)，2表示有2個(gè)供選擇，總數(shù)為10，根據(jù)超幾何分布公式可得.故14．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.【正確答案】/6.5625【分析】利用組合知識(shí)處理二項(xiàng)式展開(kāi)問(wèn)題即可得解.【詳解】可看作7個(gè)相乘，要求出常數(shù)項(xiàng)，只需提供一項(xiàng)，提供4項(xiàng)，提供2項(xiàng)，相乘即可求出常數(shù)項(xiàng)，即.故15．已知拋物線：，圓：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】利用拋物線的定義和圓的性質(zhì)得到，轉(zhuǎn)化為，即可解得.【詳解】因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，所以圓心即為拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)，∴，∴.∵，∴，，∴，∴.故四、雙空題16．已知數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，______；若數(shù)列的所有項(xiàng)僅取有限個(gè)不同的值，則滿足題意的所有實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.【正確答案】2【分析】先利用遞推公式求出，，再由，求出；利用通項(xiàng)公式判斷出a的值為2.【詳解】∵∴∴.∵，∴，∴.∴當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋?要使的所有項(xiàng)僅取有限個(gè)不同的值，則，此時(shí)，.否則時(shí)，取值有無(wú)窮多個(gè).故；2.五、解答題17．已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可知，由最小正周期為可得，即可知，再利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）根據(jù)三角形形狀可得，再由正弦定理得，又，所以.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，，故，因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，所以，故，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，則，所以.18．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和.【正確答案】(1)(2)2023【分析】（1）由遞推關(guān)系式，結(jié)合累加法求得的通項(xiàng)公式，分析可得的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)的關(guān)系式，結(jié)合并項(xiàng)求和即可得的前2023項(xiàng)的和.【詳解】（1）對(duì)任意的，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，符合，所以，.（2），所以當(dāng)時(shí)，，故.19．如圖，圓錐中，為底面圓的直徑，，為底面圓的內(nèi)接正三角形，圓錐的高，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面；(2)當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，直線PE和平面所成角的正弦值最大.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)點(diǎn)在距離點(diǎn)處【分析】（1）利用勾股定理證明出和，再用線面垂直的判定定理證明出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以是正三角形，則，又底面圓，底面圓，所以，在中，，所以，因?yàn)槭钦切?，所以，，，所以，，同理可證，又，，平面，所以平面.（2）如圖，建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，（），所以，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)直線和平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，直線和平面所成角的正弦值最大，故點(diǎn)在距離點(diǎn)處.20．一只不透朋的袋中裝有10個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0～9，先后從袋中隨機(jī)取兩只小球.用事件A表示“第二次取出小球的標(biāo)號(hào)是2”，事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號(hào)之和是m”.(1)若用不放回的方式取球，求；(2)若用有放回的方式取球，求證：事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是.【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計(jì)算作答.（2）利用列舉法求出概率，結(jié)合獨(dú)立性推理判斷充分性，再利用條件概率公式推理判斷必要性作答.【詳解】（1）用C表示“第一次取出小球的標(biāo)號(hào)是2”，則，，，，所以.（2）記第一次取出的球的標(biāo)號(hào)為x，第二次的球的標(biāo)號(hào)為y，用數(shù)組兩次取球，則，充分性：當(dāng)時(shí)，事件B發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，因此，事件AB發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，則，又，于是，所以事件A與事件B相互獨(dú)立；必要性因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，則，即，而，，于是，事件AB發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，即，則，又，，，因此關(guān)于x的不等式組，有10組整數(shù)解，即關(guān)于x的不等式組，有10組整數(shù)解，從而，得，所以事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是.21．已知橢圓E：，橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，D，，AD與BC相交于P點(diǎn).如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求直線AB的斜率.【正確答案】(1)是定值，定值為(2)【分析】（1）由題意求出直線的斜率，再求可設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后求解即可；（2）設(shè)，，，記，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，將A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得，再由可得，從而可得，進(jìn)而可得直線的方程，則可求出其斜率.【詳解】（1）由題意知，，，所以，，所以，設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（2）設(shè)，，，記()，得.所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線CD的方程，代入橢圓方程中消元化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用直線的斜率公式表示出，結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.22．已知函數(shù)，.(1)若與