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文檔簡介
試卷第=page11頁,共=sectionpages33頁試卷第=page11頁,共=sectionpages33頁義烏市普通高中2025屆適應性考試數(shù)學試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分,考試時間120分鐘,試卷總分為150分.請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.選擇題部分(共58分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,集合,則(
)A. B.C. D.2.已知復數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則(
)A. B. C. D.3.已知,向量與的夾角為,則(
)A.1 B. C. D.4.將一個棱長為6cm的正方體鐵塊熔鑄成一個底面半徑為3cm的圓錐體零件,則該圓錐體零件的高約為(
)(取)A.8cm B.12cm C.16cm D.24cm5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最小值為(
)A.1 B.2 C.3 D.46.在中,角所對的邊分別為,已知,則下列結論一定正確的是(
)A. B. C. D.7.已知過拋物線焦點的直線與該拋物線交于兩點,若,則的最大值為(
)A.2 B.3 C.4 D.68.狄利克雷函數(shù)定義為:,以下選項中正確的是(
)A.不存在,使得恒成立B.存在,使得恒成立C.對任意,滿足D.函數(shù)圖象上存在三點,使得是直角三角形二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.有兩組數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)A:1,3,5,7,9和數(shù)據(jù)B:1,2,4,8,16,則(
)A.數(shù)據(jù)A的平均數(shù)小于數(shù)據(jù)B的平均數(shù)B.數(shù)據(jù)A的方差小于數(shù)據(jù)B的方差C.數(shù)據(jù)A的極差小于數(shù)據(jù)B的極差D.數(shù)據(jù)A的中位數(shù)小于數(shù)據(jù)B的中位數(shù)10.設函數(shù),則(
)A.當時,有極大值4 B.當時,C.當時, D.當時,11.在平面直角坐標系中,動點在直線上的射影為點,且,記動點的軌跡為曲線,則下列結論正確的是(
)A.曲線關于原點對稱 B.點的軌跡長度為1C. D.曲線圍成的封閉區(qū)域的面積小于2非選擇題部分(共92分)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知等差數(shù)列的前n項和為,,則公差.13.若,則.14.已知四棱錐的底面為菱形,三棱錐為正四面體,則三棱錐與三棱錐的外接球半徑之比為.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某手機廠對屏幕進行兩項獨立檢測:亮度檢測通過率,色準檢測通過率.產(chǎn)品需通過兩項檢測才算合格.隨機抽取3件產(chǎn)品,設合格品數(shù)為X.(1)求單件產(chǎn)品為合格品的概率;(2)求X的分布列及數(shù)學期望;(3)已知合格品利潤100元/件,若改進工藝能使亮度檢測通過率提升至,但每件成本增加1元.是否值得改進?16.雙曲線的離心率為,過左焦點的直線與雙曲線的左支、右支分別交于點,當直線與軸垂直時,.(1)求雙曲線的方程;(2)點滿足,其中是坐標原點,求四邊形的面積.17.如圖,在三棱錐中,是正三角形,,,,點為的重心.(1)證明:平面;(2)若平面平面,求二面角的平面角的正切值.18.已知函數(shù),(1)當時,求的極值;(2)若在區(qū)間上存在零點(ⅰ)求a的取值范圍;(ⅱ)證明:當時,.19.給定正整數(shù),考慮集合的所有排列,對每個,定義:,并規(guī)定.記為所有排列中的最大值.(1)對于排列,計算,再直接寫出和的值,并分別給出一個滿足的排列和一個滿足的排列;(2)對任意整數(shù),證明:;(3)證明:.答案第=page11頁,共=sectionpages22頁答案第=page11頁,共=sectionpages22頁1.D【分析】解不等式化簡集合A,再利用交集的定義求解.【詳解】依題意,集合,而,所以.故選:D2.A【分析】利用復數(shù)的除法直接求出z.【詳解】因為,所以.故選:A3.B【分析】利用及數(shù)量積的運算律即可求出.【詳解】由題意可得,,解得或(舍).故選:B4.D【分析】利用正方體和圓錐的體積相等即可求出.【詳解】由題意可知,正方體的體積為,設圓錐的高為,則圓錐的體積為,則,得cm,則該圓錐體零件的高約為24cm.故選:D5.B【分析】利用導數(shù)值恒大于或等于0,再利用分離參變量思想即可求解.【詳解】求導得,要滿足函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,即,因為,所以,即,故選:B.6.D【分析】根據(jù)正弦定理可求解或,即可判斷AB,根據(jù)三角形內(nèi)角和以及正弦定理求解,即可判斷CD.【詳解】由正弦定理可得,由于,故或,故AB錯誤,若時,則,此時,若時,則,此時為三角形中最小的內(nèi)角,故,故C錯誤,D正確,故選:D7.A【分析】由拋物線方程可得焦點坐標,分直線斜率存在與不存在,建立方程,利用基本不等式,可得答案.【詳解】由拋物線,則焦點,設,,易知當直線的斜率不存在時,直線方程為,則,即,解得;當直線的斜率存在時,可設直線方程為,代入,整理可得,,,則,當且僅當時,等號成立,即,解得.綜上所述的最大值為.故選:A.8.D【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義可知當時,恒成立,即可判斷選項A;分析可知對于,當時,不成立,即可判斷選項B;令,,即可判斷選項C;取點,,,利用勾股定理即可即可判斷選項D.【詳解】根據(jù)狄利克雷函數(shù),可知:當時,若,則,,所以;若,則,,所以,故時,恒成立,故選項A錯誤;,當時,;,當時,,所以對于,當時,不成立,故選項B錯誤;令,,則,此時,,不成立,故選項C錯誤;取函數(shù)圖象上點,,,此時,,,所以,所以是直角三角形,故選項D正確.故選:D.9.ABC【分析】依次算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),方差,極差,中位數(shù)即可比較大小.【詳解】設數(shù)據(jù)A:1,3,5,7,9的平均數(shù),方差,極差,中位數(shù)依次為,數(shù)據(jù)B:1,2,4,8,16的平均數(shù),方差,極差,中位數(shù)依次為,對于A,,故A正確;對于B,,故B正確;對于C,,故C正確;對于D,,故D錯誤.故選:ABC.10.AD【分析】求導,根據(jù)導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求解極值判斷A,舉反例即可求解B,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解C,利用作差法,結合不等式的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由可得,當時,,當或時,在,單調(diào)遞增,當在單調(diào)遞減,故當時,取極大值4,故A正確,對于B,當時,取,則,此時,故B錯誤,對于C,當時,,且當時,,此時在單調(diào)遞增,但由于,故與的大小關系不確定,因此無法判斷,C錯誤,對于D,,當時,故,因此,所以,故D正確,故選:AD11.ACD【分析】根據(jù)兩點距離公式以及點到直線距離可得點的軌跡方程為,根據(jù)點的對稱可判斷A,根據(jù),結合,即可求解C,根據(jù)不等式,進而可得的范圍,根據(jù)矩形的面積可求解BD.【詳解】設,則.由,得,故點的軌跡方程為(※),對于A,關于原點的對稱點為,則也滿足方程(※),故C關于坐標原點對稱,A正確.對于C,由于,結合,所以,故,C正確,對于B,當點位于直線上時,此時長度最大,且或,此時與重合,因此點的軌跡為直線上點到之間的線段,故長度為2,故B錯誤,對于D,由于,當且僅當取等號,故,進而,故,同理可得,由于和圍成的矩形面積為,而曲線位于該矩形內(nèi),所以曲線圍成的封閉區(qū)域的面積小于2,故D正確,故選:ACD12.2【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及求和公式,建立方程組,可得答案.【詳解】由題意可得,解得.故答案為:.13.##【分析】利用平方公式配方,利用兩角差正弦公式展開,再結合齊次式弦化切,即可求解.【詳解】由,故答案為:14.##【分析】作出輔助線,得到三棱錐的外接球球心為,三棱錐的外接球球心為,設,利用半徑相等,求出兩個三棱錐外接球半徑,得到答案.【詳解】設的中心為G,三棱錐的外接球球心為,因為三棱錐為正四面體,所以三點共線,設,取的中點為,則,所以,同理,由勾股定理得,設,則,由勾股定理得,因為,所以,解得,所以三棱錐的外接球半徑為,設的中心為H,則四點共線,三棱錐的外接球球心為,且,則,過點作⊥于點,則,,設,則,其中,其中,,因為,所以,解得,所以三棱錐的外接球半徑為,即三棱錐與三棱錐的外接球半徑之比為故答案為:.15.(1)(2)分布列見解析,(3)值得改進【分析】(1)根據(jù)概率的乘法公式,可得答案;(2)根據(jù)離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望的計算,可得答案;(3)由(2)所求的期望,結合題意,可得改進前的利潤,利用二項分布的期望,結合題意,可得改進后的利潤,通過比較,可得答案.【詳解】(1)設合格的概率為,則:(亮度通過)(色準通過).(2),易知,,,,,所以X的分布列為:X0123P0.0270.1890.4410.343數(shù)學期望.(3)改進前:每件產(chǎn)品的合格概率.對于3件產(chǎn)品,期望合格數(shù).總期望利潤元.改進后:每件產(chǎn)品的合格概率,對于3件產(chǎn)品,新的期望合格數(shù).總期望利潤元.凈期望利潤元.改進前的期望利潤是210元,改進后是213元,改進后利潤增加了3元.16.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)實軸以及離心率求解的值,即可得解,(2)聯(lián)立直線與曲線方程可得韋達定理,結合相似比可得,即可利用弦長公式以及點到直線的距離公式,求解,由三角形面積公式求解,即可利用相似比求解四邊形的面積.【詳解】(1)由直線與軸垂直時,,故,故,又離心率為,則,所以,雙曲線的方程為:.(2)設直線l的方程是,,.由得,,.因為,所以,從而.所以,,消去得,解得,它滿足,.,故到直線的距離為,所以,由于,所以,17.(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接,并延長與交于點,則點為的中點,連接,根據(jù)重心的性質(zhì)得到,即可得證;(2)方法一:延長交與點,連接,在平面中,過點作,即可證明平面平面,點為坐標原點,建立空間直角坐標系,利用空間向量法計算可得;方法二:直接建立空間直角坐標系,設,利用面面垂直求出點坐標,其余同一.【詳解】(1)連接,并延長與交于點,則點為的中點,連接.為的重心,,因此,則,從而,又平面,平面,平面.(2)方法一:延長交與點,連接,則點為的中點,是正三角形,.在平面中,過點作,平面平面,平面平面,平面,,平面,又平面,所以,又,AC,平面;平面,又平面,平面平面,如圖,以點為坐標原點,建立空間直角坐標系,設,則,,由平面平面可知,,,所以,則,,設平面的法向量為,則,,令,則,平面ABD的一個法向量為,所以,設二面角為,則,所以,,所以二面角的平面角的正切值為.方法二:如圖,以點為坐標原點,建立空間直角坐標系,設,,,,,設,,,設平面的法向量為,則,取,,,設平面的法向量為,則,取,平面平面,即,則,,下同法一.18.(1)極小值,無極大值(2)(?。?;(ⅱ)證明見解析【分析】(1)利用導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)(?。├梅诸愑懻撍枷?,借助,把兩類單調(diào)的可能性排除,進而來求出參數(shù)的范圍;(ⅱ)利用上一問的結論,把要證的不等式轉(zhuǎn)化證明新的不等式,然后再借助條件消去參數(shù),從而變成僅關于的函數(shù)不等式,再借助導數(shù)思想來進行證明即可.【詳解】(1)當時,,,,當時,,當時,在上遞減,在上遞增,有極小值,無極大值;(2)(?。?,當時,由于恒成立,所以在上單調(diào)遞增,又,在上無零點;當時,由于,故,所以在上單調(diào)遞減,又,在上無零點;當時,,有,故在上單調(diào)遞減,,有,故在上單調(diào)遞增,所以有,又因為當時,,;綜上;(ⅱ)由(?。┛芍?,當時,,,且,要證,只要證,即證,只需證,令,在上單調(diào)遞增.又,即,由上式不等式成立可知原不等式恒成立.19.(1)答案見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)題設定義寫出、和的值,并確定對應排列;(2)構造排列將集合分為兩部分,前個元素和后個元素,并利用交叉排列或最優(yōu)子排列,使得中間的差值貢獻,即可證結論;(3)通過多次應用(2)的遞推關系,將分解為多個較小的,并累積項,最終證明結論.【詳解】(1)排列,則,,,,所以,對應排列為,對應排列為.(2)設原排列為,交換最后兩項得到新排列.顯然,即交換排列的最后兩項不改變的總和.考慮一般情況:設原排列為,交換1和的位置后得到新排列.顯然,對于或的項,有,因此只需比
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