安徽省安慶市示范高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

安徽省安慶市示范高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．2．已知服從正態(tài)分布，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．1 B．4 C．6 D．123．已知點(diǎn),平面過(guò)原點(diǎn),且垂直于向量,則點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．4．山東煙臺(tái)蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國(guó)內(nèi)外．據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布，則估計(jì)蘋果直徑在內(nèi)的概率為（

）（附：若，則，．）A．0.6827 B．0.8413 C．0.9545 D．0.81865．函數(shù)，若數(shù)列滿足，，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．如圖，已知、雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．7．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N?M處為止，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的方法有9種B．甲?乙兩人相遇的概率為C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達(dá)N處的方法有20種二、多選題（本大題共3小題）9．若，則（

）A． B． C． D．10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為11．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在處取得極大值 B．函數(shù)的值域?yàn)镃．有兩個(gè)不同的零點(diǎn) D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線E與雙曲線具有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線E的方程為.13．直線與曲線相切，則.14．甲罐中有4個(gè)紅球，4個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則的值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且滿足（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.16．某品牌汽車4S店對(duì)2020年該市前幾個(gè)月的汽車成交量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，用表示2020年第月份該店汽車成交量，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：123456781412202022243026（1）求出關(guān)于的線性回歸方程.(，精確到整數(shù))（2）利用回歸方程預(yù)測(cè)九月份的汽車成交量，并預(yù)測(cè)哪個(gè)月份成交量開(kāi)始突破35輛.參考數(shù)據(jù)及公式：，，，.17．已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.18．已知函數(shù)，其中(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)恒成立，求a的值．19．已知函數(shù)．(1)求出函數(shù)的極值；(2)若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．

參考答案1．【答案】B【詳解】數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），設(shè)切點(diǎn)為（m，2lnm+1），則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，則對(duì)應(yīng)的切線方程為即且，即，則，則，故選B．2．【答案】D【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，，所以，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第項(xiàng)，令，可得，所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故選D.3．【答案】D【詳解】由題意,,,則,所以點(diǎn)到平面的距離為.故選D.4．【答案】D【詳解】由知，，所以.故選D.5．【答案】D【詳解】由題意可知分段函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且，即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選D.6．【答案】A【詳解】連接，由及雙曲線的對(duì)稱性知是矩形，由，，，則，，∴，∴離心率為，故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，列出關(guān)于關(guān)系式是?題關(guān)鍵．本題利用雙曲線的對(duì)稱性構(gòu)造矩形，然后結(jié)合雙曲線定義得出關(guān)系式，求得離心率．7．【答案】B【詳解】由，可得，令，可得，又，所以的圖像的對(duì)稱中心為，即，所以，故選B.8．【答案】B【詳解】對(duì)于甲，經(jīng)過(guò)到達(dá)有1種，經(jīng)過(guò)到達(dá)有種，經(jīng)過(guò)到達(dá)有種，經(jīng)過(guò)到達(dá)有1種，甲從M到達(dá)N處的方法共有20種，同理對(duì)于乙，經(jīng)過(guò)到達(dá)分別有種．對(duì)于A，甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的方法有9種，A正確，對(duì)于B，甲乙兩人相遇的概率，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，甲乙兩人在處相遇的概率，C正確，對(duì)于D，甲從M到達(dá)N處的方法共有20種，D正確故選B.9．【答案】CD【詳解】由，令得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.令得①，所以，C選項(xiàng)正確.令得②，①-②得，D選項(xiàng)正確.，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選CD.10．【答案】ABD【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑為.設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為.即.A，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，A正確.B，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，B正確.C，如圖所示，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切與第一象限時(shí)，最大.設(shè)切線的方程為，即，圓心到切線的距離為.所以的最大值為，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，D正確.故選ABD.11．【答案】ABD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)，令，解得：極大值所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，故A正確；對(duì)于BCD，令，得，即，當(dāng)時(shí)，，，則作出函數(shù)的抽象圖像，如圖所示：由圖可知函數(shù)的值域?yàn)椋蔅正確；函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；又函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則，故D正確；故選ABD.12．【答案】【詳解】由題意不妨設(shè)與雙曲線具有相同的漸近線的雙曲線E的方程為，若雙曲線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以雙曲線E的方程為.13．【答案】0或4/4或0【詳解】直線過(guò)點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)，所以切線方程為：，由切線過(guò)點(diǎn)可得，解得得，

所以或.14．【答案】/【詳解】分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件,則.15．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）依題意，可知（），當(dāng)時(shí)，由，可知，由，可得兩式相減可知，，即（），因此時(shí)，為公比為2的等比數(shù)列，故（），所以.（2）由（1）可知，，，當(dāng)時(shí)，，也符合該形式，因此（），.16．【答案】（1）；（2）預(yù)計(jì)9月份的成交量為30輛，從12月份起成交量開(kāi)始突破35輛.【詳解】解：（1）由題意得：，，∴，∴，所以回歸直線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，即預(yù)計(jì)9月份的成交量為30輛，由得：，∴即從12月份起成交量開(kāi)始突破35輛.17．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意得：，，，解得：，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或，故或，故直線方程為或18．【答案】(1)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；(2)2.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得函數(shù)，因，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（2）由（1）知，函數(shù)在處取得最小值，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，從而得，所以.19．【答案】